Momentum Sudut

Momentum Sudut
(Bagian 1)
Momentum Sudut Klasik
dalam 3-dimensi
Momentum Sudut Klasik
Tinjau partikel di suatu posisi r:
r
dengan
r = xi + yj  zk
k
i
v
j
Kecepatan partikel diberikan oleh:
dr dx
dy
dz
v= =i
+ j k
dt
dt
dt
dt
v = vxi + v y j  vzk
Momentum Sudut Klasik
Momentum linier dari sebuah partikel yang
Bermassa m diberikan oleh:
p=mv
Dalam komponen:
dx
p x = m vx  m
dt
Momentum sudut diberikan oleh:
L= r  p = m r  v
L
|r| |p| sin
p

r
L =rXp

Momentum Sudut Klasik
Vektor posisi:
r = xi + yj  zk
Momentum sudut:
L= r  p = (xi  yj  zk)  ( pxi  p y j  pzk) 
Dapat dihitung dengan cara:
i
L= r  p = x
j
y
k
z
px
py
pz
Memberikan:
L= (ypz  zp y )i  ( zpx  xpz )j  (xp y  ypx )k
Momentum Sudut Klasik
Torsi
Tinjau perubahan momentum terhadap waktu:
dL dr
dp
= p  r 
dt dt
dt
Memberikan:
dL
dp
dp
= mv  v  r 
r
 r F
dt
dt
dt
d 2r
Hukum Newton : m 2  F
dt
F
r
Momentum Sudut Klasik
dL
 rF
dt
F
r
Untuk sistem yang bersifat simetris
terhadap pusat dengan gaya yang
bekerja dalam arah yang sama
dengan r, haruslah berlaku:
dL
 0  momentum sudut kekal
dt
Momentum Sudut Klasik
r
Contoh:
F
Gerak elektron mengelilingi inti atom
Gerak planet mengelilingi Matahari
Untuk system tersebut, L adalah konstanta gerak,
(atau kuantitas kekal), yang tidak berubah dengan waktu
sehingga:
dL
dt = 0
Momentum Sudut Klasik
(Tinjauan gerak rotasi
2-dimensi)
Posisi dan kecepatan pada gerak melingkar
Tinjau partikel bermassa m bergerak di bidang-xy
Dalam suatu lingkaran dengan radius tetap a:
This image cannot currently be display ed.
z
Posisi partikel diberikan oleh:
r= xi + yj
dengan
k
j
a
i
x
y
|r|= r  r  x 2  y 2  a
Kecepatan diberikan oleh:
dr dx
dy
=i
+j
dt
dt
dt
v= v xi + v y j
Lebih sesuai bekerja dalam sistem koordinat polar (r,φ):
Maka:
z
r=i x+ j y
menjadi :
k
r= i r cos + j r sin 

i
x
r
j
y
Kecepatan diberikan oleh :
d (r cos  )
d (r sin  )
v=i
+j
dt
dt
Karena r konstan (r = a), maka:
v=  i r sin 
d
d
+ j r cos 
dt
dt
Posisi dan kecepatan pada gerak melingkar
z
Catat bahwa:
|v| = v  v
k
2

r
j
i
y
v
 d 
2
2
 a2 
 [sin   cos  ]
 dt 
 d 
 a

dt


v  r  vx rx  v y ry
x
 a 2 sin 

r  i r cos   j r sin 
d
d
v=  i r sin 
 j r cos 
dt
dt
d
d
cos   a 2 sin 
cos 
dt
dt
0
Kecepatan ( v ) tegak lurus terhadap
vektor posisi (r ).
Momentum sudut untuk gerak melingkar
z
Momentum sudut diberikan oleh:
L= r  p = m r  v
k

r
j
i
y
v
x
Maka:
L=r  p=(i x+j y )  (i px  j p y )
= i  i ( x px )  i  j ( x p y )
 j  i ( ypx )  j  j ( yp y )

r  i r cos   j r sin 
d
d
v=  i r sin 
 j r cos 
dt
dt
 k xp y  k ypx
L  ( xp y  ypx )k
L  m( xv y  yvx )k
Momentum sudut untuk gerak melingkar
L
z
L  m( xv y  yvx )k
k
d

L  [mr cos 
dt
d
2
2
mr sin 
]k
dt
2

r
j
i
y
v
x
d
Lmr
k
dt
L  m | r |  | v | k | r |  | p | k
2

r  i r cos   j r sin 
d
d
v=  i r sin 
 j r cos 
dt
dt
2
Energi total untuk gerak melingkar
d
L  mr
k
dt
2
L
z
Energi totalnya adalah:
E=Ekin  E pot dengan E pot  0
k
 2  d  
 d 
 mr 
mr 


2
p
dt 
 dt  





2m
2m
2mr 2
L2z

2mr 2
2

r
2 2
j
i
y Ekin
v
x
d
| p | mr
dt

2
Karena I=mr 2 adalah momen inersia, maka
2
Ekin
Lz

2I
Momentum Sudut Mekanika Kuantum
(Rotasi dalam 2-dimensi)
Membangun Hamiltonian untuk gerak melingkar
z
Seperti biasa, Hamiltonian
diberikan oleh:
k

r
j
y
i
x
x  r cos 
Hˆ = Eˆ kin+ Eˆ pot
tetapi dalam hal ini E pot = 0
y=r sin 
Memberikan:
2
y
2
2





p


 2
Hˆ 

2
2m 2m
2m  x y 
2
x
p
2
Membangun Hamiltonian untuk gerak melingkar
z
Dalam koordinat bola :
k

r
j
y
i
x
2
2
2


d
d

ˆ
 2  2 
H= 
2m  dx dy 
Hˆ  ( )  E ( )
2
2
2 1 
1 2
 2 2
 2
2
x y
r
r r r  2
2
2
2








 ( ) 

(
)
1
(
)
1


Hˆ  ( )  
r r
r 2  2 
2m  r 2
Karena ψ tidak bergantung pada r,
dua turunan pertama terhadap r
dapat diabaikan memberikan:
2
2

1



ˆ
H  
2m  r 2  2 
Membangun Persamaan Schrödinger
untuk gerak melingkar dalam koordinat bola
z
karena : I = mr 2 , maka
2

Hˆ  
2I
k

r
j
i
x
 2 
 2 


y Persamaan Schrödinger menjadi :
 2  2ψ

 Eψ
2
2 I 
Dituliskan:
2
2



1

ˆ
H 

2
2
2m  r  
dengan
atau
 2ψ
2 IE
 2 ψ
2


 2ψ
2
 ml ψ
2

2 IE
2
ml  2

Solusi Persamaan Schrödinger
untuk gerak melingkar dalam koordinat bola
z
Solusi umumnya adalah:
ψ ml ()  N ml expiml 
k

r
i
x
 2ψ
2


m
l ψ
2

2 IE
2
ml  2

j
dengan:
y
2 IE
 disini ml
ml  

adalah bilangan real
Haruslah didapat bahwa:
ψ ml ()  ψ ml (  2)
karena (r , ) dan (r ,   2)
mewakili titk yang sama dalam ruang
Solusi Persamaan Schrödinger
untuk gerak melingkar dalam koordinat bola
z
ψ ml (  2 ) 
k
=

1
exp iml (  2 ) 
2
r
j
i
y
1
exp iml 2  exp iml  
2
=expi 
2 ml
  1
2 ml
x
Solusi umumnya adalah:
ψ ml ()  N ml expiml 
dengan:
1
N ml 
2
ψ ml ( )
ψ ml ( )
Jadi agar ψ ml (  2) sama dengan
ψ ml (), maka
 1
2 ml
1
atau :
ml  0,1,2,3,...
Sifat - sifat solusi Persamaan Schrödinger
untuk gerak melingkar dalam koordinat bola
Didapat bahwa:
2
2 IE
 ml
ml  
 maka E 

2I
dengan ml  0,1,2,...
Nilai ml positif terkait dengan rotasi
dalam satu arah, sedangkan nilai ml
negatif terkait dengan rotasi dalam
arah yang sebaliknya. Untuk setiap
harga mutlak ml, nilai energinya
sama. Kedua keadaan itu dikatakan
ber-degenerasi.
2
Sifat - sifat solusi Persamaan Schrödinger
untuk gerak melingkar dalam koordinat bola
2
2
 ml
E
2I
ml  0;1;2,...
1
ψ ml () 
expiml 
2
1
cosml   i sinml 

2
Jumlah simpul pada bagian riil
dari ψml (φ) meningkat dengan ml.
Bagian riil dari fungsi gelombang
mewakili partikel pada suatu cincin.
Momentum Sudut dari solusi Persamaan Schrödinger
untuk gerak melingkar dalam koordinat bola
Lz  ( xp y  ypx )
Dalam notasi mekanika kuantum:
Lˆz  xˆpˆ y  yˆ pˆ x
 
 
ˆ
Lz   xˆ  yˆ 
i  y
x 
Dalam koordinat bola:
 
ˆ
Lz 
i 
Catat bahwa:
1
ψ ml () 
expiml
2
adalah fungsi eigen dari
dengan nilai eigen:
Lz  ml
dengan ml  0,1,2,...
L̂z
Sifat - sifat solusi Persamaan Schrödinger
untuk gerak melingkar dalam koordinat bola
2
2
 ml
E
2I
ml  0;1;2,...
1
ψ ml () 
expiml 
2
1
cosml   i sinml 

2
Jumlah simpul pada bagian riil
dari ψml (φ) meningkat dengan ml.
Bagian riil dari fungsi gelombang
mewakili partikel pada suatu cincin.