03_Pertemuan,5,6

MODEL MATEMATIK SISTEM FISIK
PEMODELAN MATEMATIK

Model Matematik
Gambaran matematik dari karakteristik dinamik suatu sistem.
 Beberapa sistem dinamik seperti mekanika, listrik, panas, hidraulik,
ekonomi, biologi dan sebagainya dapat dikarakteri-sasikan dengan
persamaan differensial.
 Persamaan tersebut dapat diperoleh dengan menggunakan beberapa
hukum fisika dari sistem yang dipelajari, misalnya:
◦ Hukum Newton untuk sistem mekanik
◦ Hukum Kirchhoff untuk sistem listrik
Problem Definition
Theory
Mathematical Model
Problem solving tools
Computer program & Interface
Data

Model dapat disajikan dalam beberapa bentuk yang berbeda, tergantung
pada sistem dan lingkungan sekelilingnya.
Contoh dalam persoalan kontrol optimal lebih mudah untuk
menggunakan perangkat persamaan differensial orde pertama.

Beberapa perangkat analitik dan komputer (metoda numerik) dapat
digunakan dalam analisis sistem dan sintesis.

Dalam mencari suatu model, kita harus mengkompromikan antara
penyederhanaan model dan ketelitian hasil analisis.

Kecepatan dan kehandalan komputer digital memungkinkan
merumuskan model matematika yang lebih lengkap dan kompleks.

Harus dicari kesesuaian yang baik antara hasil analisis model matematik
dan hasil studi eksperimental pada sistem fisik.
Physical Model
Mathematical Model
Modeling Error
Mathematical Model
Numerical Model
Discretization Error
Numerical Model
Computer Model
Numerical Error
SISTEM LINIER





Sistem Linier adalah suatu sistem yang mempunyai model persamaan
yang linier.
Suatu persamaan differensial adalah linier jika koefisiennya adalah
konstan atau hanya merupakan fungsi dari variabel bebasnya.
Prinsip superposisi menyatakan bahwa respon yang dihasilkan oleh
penggunaan secara serentak dua buah fungsi penggerak yang berbeda
adalah sama dengan jumlah dari dua buah respon individualnya.
Sistem linier parameter konstan (time invariant) dinyatakan oleh
persamaan differensial linier parameter konstan.
Misal: Sistem pegas.
Sistem linier parameter berubah (time-varying) dinyatakan oleh
persamaan differensial yang koefisiennya merupakan fungsi dari waktu.
Contoh: Sistem kendali pesawat ruang angkasa (masa pesawat berubah
karena konsumsi bahan bakar dan gravitasi).
SISTEM NON-LINIER

Sistem non-linier adalah sistem yang dinyatakan oleh persamaan non-
linier.
 Beberapa contoh persamaan non-linier:
y = ex
y = sin x
y = x2
z = x2 + y2
 Persamaan differensial disebut non-linier jika tidak berlaku prinsip
superposisi, contoh:
d2 x
2
 dx 

   x  A sin t
2
dt
 dt 
d2 x
dt 2
 ( x 2  1)
dx
x0
dt
FUNGSI ALIH
Fungsi Alih sistem linier parameter konstan didefinisikan sebagai
perbandingan dari transformasi Laplace keluaran (fungsi respon) dari
transformasi Laplace masukan (fungsi penggerak), dengan anggapan bahwa
semua syarat awal adalah nol.
Y(s) b 0 s m  b1s m1  ...  bm1s  bm
G(s) 

X(s)
a0 s n  a1s n1  ...  an1s  an


Fungsi alih merupakan sifat dari sistem itu sendiri untuk
merelasikan masukan dengan keluaran.
Fungsi alih tidak memberikan informasi mengenai struktur fisik
dari sistem.
Masukan
X(s)
Fungsi Alih
G(s)
Keluaran
Y(s)
Sistem Translasi Mekanik





Tinjau sistem pegas-massa daspot (menimbulkan gaya
viskos atau redaman).
Setiap gerakan relatif antara batang torak dan silinder
dilawan oleh minyak.
Energi yang diserap daspot didisipasikan sebagai panas
sehingga daspot tidak menyimpan energi kinetik atau
potensial.
Gaya x(t) sebagai masukan dan perpindahan masa y(t)
sebagai keluaran.
Kita akan mengikuti langkah-langkah sebagai berikut:
◦ Menulis persamaan diferensial dari sistem
◦ Mencari transformasi Laplace dari persamaan diferensial,
dengan mengganggap semua syarat awal nol.
◦ Mencari perbandingan dari keluaran Y(s) dan masukan
X(s). Perbandingan ini adalah fungsi alih.
Jawab
Hukum Newton untuk sistem translasi:
m.a =  F
dengan: m = massa (kg), a = percepatan (m/dtk2), F = gaya (N).
 Terapkan hukum Newton pada sistem, kita peroleh:

atau
m
d2 y
dt 2
m

d2 y
dt 2
 f
dy
 ky  x
dt
f
dy
 ky  x
dt
Transformasi Laplace tiap suku persamaan diperoleh:

 d2 y 
 2

L m 2   ms Y (s)  sy (0)  y (0)
 dt 


 dy 
L f
 f sY (s)  y (0)

 dt 
L ky   kY (s)
L ( x )  X (s )

Jika kita
tentukan syarat awal sama dengan nol, maka y(0) = 0, dan

makaytransformasi
Laplace diatas dapat ditulis:
(0)  0
(ms2 + fs + k)Y(s) = X(s)

Dengan mencari perbandingan Y(s) dan X(s), diperoleh:
G(s) 
Y(s)
1

X(s) ms 2  fs  k
Soal
Buatlah fungsi pindah dari sistem rotasi mekanik yang terdiri dari inersia
beban dan peredam gerakan viskositas.



Untuk sistem rotasi mekanik, hukum Newton menyatakan:
J =  T
dengan: J = momen inersia (kg-m2),  = percepatan sudut
(rad/dtk2), T = torsi (Nm).
Dengan menerapkan hukum Newton pada sistem diperoleh:
J’ + f = T
Dengan menganggap torsi T sebagai masukan dan kecepatan
sudut  adalah keluaran, maka fungsi alih adalah:
G(s) 

dimana:
(s) = L[(t)]
T(s) = L[T(t)]
(s)
1

T(s) Js  f
Rangkaian R-L-C
Rangkaian RLC terdiri dari suatu induktansi L (henry), suatu tahanan R
(ohm) dan suatu kapasitansi C (farad).
Tentukan fungsi alih dari sistem ini.

Dengan menerapkan hukum Kirchhoff pada sistem kita peroleh:
L
di
1
 Ri 
i dt  e i
dt
C

1
i dt  e o
C


Dengan mencari transformasi Laplace dan menganggap syarat
awal nol, kita peroleh:
LsI (s)  RI(s) 
11
I(s)  E i (s)
Cs
1 1
I(s)  E o (s)
Cs

Jika ei dianggap sebagai masukan dan eo sebagai keluaran, maka
fungsi alih dari sistem adalah:
G(s) 
E o (s)
1

Ei (s) LCs 2  RCs  1
IMPEDANSI KOMPLEKS

Dalam menurunkan fungsi alih rangkaian listrik, seringkali kita rasakan
lebih mudah untuk menuliskan persamaan dalam bentuk transformasi
Laplace secara langsung. (tanpa menulis persamaan differensialnya).
Z1
ei
Z2
E o (s )
Z 2 (s )

E i (s ) Z 1 (s )  Z 2 (s )
eo
Z1  Ls  R ,
Fungsi alih dapat diperoleh langsung sebagai berikut:
E o (s )

E i (s )
1
Cs
1
Ls  R 
Cs

1
LCs 2  RCs  1
1
Z2 
Cs
ELEMEN PASIF DAN AKTIF

Elemen Pasif : jumlah energi yang diberikan tidak melebihi jumlah
energi yang tersimpan dalam elemen.
Contoh: kapasitansi, tahanan, induktansi; massa, inersia, pegas.

Elemen Aktif : elemen fisik yang dapat memberikan energi eksternal ke
dalam sistem.
Contoh : Penguat mempunyai catu daya dan memberikan daya kepada
sistem, Gaya, Torsi atau kecepatan eksternal.
Analogi Gaya - Tegangan
Tinjau sistem mekanik dan sistem listrik

Persamaan diferensial Sistem
Mekanik:
d2 x
dx
m
f
 kx  p
dt
dt

Persamaan diferensial Sistem
Listrik:
L
L
di
1
 Ri 
i dt  e i
dt
C

d2 q
dt 2
R
dq 1
 q  ei
dt C
BESARAN-BESARAN KESEPADAN
Besaran-besaran Sepadan dalam Analogi Gaya-Tegangan
Sistem Mekanik
Gaya p (Torsi T)
Massa m (Inersia J)
Koefisien gesekan viskos f
Konstanta pegas k
Perpindahan x (sudut q)
Kecepatan v (kecepatan sudut )
Sistem Listrik
Tegangan e
Induktansi L
Tahanan R
Kebalikan dari kapasitansi 1/C
Muatan q
Arus i
Soal
Tentukan fungsi pindah dari rangkaian dibawah ini
E o (s )
1

E i (s) RCs  1
X o (s )
1

f
X i (s )
s 1
k
Soal 2
Tentukan fungsi pindah dari rangkaian dibawah ini
E o (s )
RCs

E i (s) RCs  1
f
s
k
X o (s )

f
X i (s )
s 1
k
Analogi Gaya - Arus


Bentuk analogi lain yang sangat berguna antara sistem listrik dan sistem
mekanik adalah analogi gaya-arus.
Persamaan diferensial yang melukiskan sistem mekanik:
d2 x
dx
m
f
 kx  p
dt
dt


Hukum Kirchhoff untuk sistem listrik:
iL + iR +iC = isL
Dengan:
e
1
iR 
iL   e dt
R
L
Persamaan dapat ditulis:
1
e
de
e
dt


C
i

L
R
dt

Fluksi magnetik gandeng dihubungkan dengan:

Persamaan kemudian dapat ditulis:
C
d2 
dt 2

1 d 1
 i
R dt L
iC  C
de
dt
d
e
dt
BESARAN-BESARAN KESEPADAN
Besaran-besaran Sepandan dalam Analogi Gaya Arus
Sistem Mekanik
Gaya p (Torsi T)
Massa m (Inersia J)
Koefisien gesekan viskos f
Konstanta pegas k
Perpindahan x (sudut q)
Kecepatan v (kecepatan sudut )
Sistem Listrik
Arus i
Kapasitansci C
Kebalikan dari tahanan 1/R
Kebalikan dari induktansi 1/L
Fluksi magnetik gandeng 
Tegangan e
MOTOR SERVO HIDRAULIK

Motor servo hidraulik merupakan penguat daya hidraulik dengan
pengontrolan katup pandu dan aktuator.

Katup pandu adalah suatu katup imbang (semua gaya tekan yang bekerja
padanya adalah setimbang).

Keluaran daya yang sangat besar dapat dikendalikan dengan katup pandu
yang posisinya diatur dengan daya sangat kecil.
Operasi motor servo hidraulik adalah sbb.:
Jika tutup pandu digerakkan ke kanan maka lubang I dihubung-kan
dengan lubang catu, dan minyak bertekanan masuk ke dalam ruang di
sebelah kiri torak daya.
Karena lubang II dihubungkan dengan lubang kuras, maka minyak di
sebelah kanan torak daya keluar kembali.
Minyak yang mengalir ke dalam silinder daya mempunyai tekanan yang
tinggi, sedangkan minyak yang keluar dari silinder daya mempunyai
tekanan yang rendah.





Beda tekanan yang dihasilkan pada kedua sisi torak akan menyebabkan
torak bergerak ke kanan.
Minyak yang kembali ke saluran kuras ditekan dengan sebuah pompa
kemudian di sirkulasikan lagi di dalam sistem.
Jika torak pandu digerakkan ke kiri, maka torak daya akan bergerak ke
kiri.
Besaran-besaran:
Q = laju aliran minyak ke silinder (kg/dtk).
DP = P2 – P1 = beda tekanan pada torak daya (N/m2).
x = perpindahan katup pandu (m).
Q = f(x, DP)
Dengan linierisasi persamaan non-linier, kita peroleh:
_
_
_
Q  Q  K1 (x  x)  K 2 (DP  D P)
Q
K1 
x
_
_
x  x ,DP  D P
Q
K2  
DP
_
_
x  x ,DP  D P
_


Q  0,
Kondisi kerja normal sistem ini adalah :
sehingga persamaan menjadi :
Q = K1x – K2DP
_
x  0,
_
DP  0
Gambar menunjukkan hubungan antara Q, x dan DP yang
dilinierkan (kurva karakteristik motor servo hidraulik dilinierkan).

Kita peroleh :
A r dy = Q dt
laju aliran minyak Q (kg/dtk) dikali dt (dtk) sama dengan perpin-dahan
torak dy (m) dikali luas torak A (m2) dikali rapat massa minyal r
(kg/m3).
1
dy
DP 
(K 1x  Ar )
 Persamaan dapat ditulis:
K2
dt
 Gaya yang dibangkitkan torak daya sama dengan beda tekanan
dikali luas torak
Gaya yang dibangkitk an  A DP


A 
dy 
 K 1x  Ar

K2 
dt 
Gaya yang dibangkitkan torak daya dikenakan pada massa dan
gesekan beban, sehingga diperoleh:
atau

A
(K 1x  Ary ' )
my " fy ' 
K2
AK 1
A 2r
x
)y' 
my "(f 
K2
K2
Dengan menganggap bahwa perpindahan x dari katup pandu (pilot-valve)
adalah masukkan, dan perpindahan y dari torak daya adalah keluaran,
maka fungsi alih motor servo hidraulik adalah:
dengan:
Y (s )
1
K


X (s )
 mK 2
fK 2 Ar  s( Ts  1)

s
s

AK 1 K 1 
 AK 1
K
1
f K 2 Ar

AK 1 K 1
dan
T
mK 2
f K 2  A 2r
DIAGRAM BLOK
Suatu sistem kontrol terdiri dari beberapa komponen.
 Diagram blok suatu sistem adalah penyajian dari fungsi yang dilakukan
oleh tiap komponen dan aliran sinyalnya.
 Buat diagram blok rangkaian listrik dibawah ini


Persamaan untuk rangkaian adalah:
e  eo
i i
R
,
i dt

eo 
C

Transformasi Laplace dari persamaan dengan syarat awal nol:
I(s) 


Ei (s)  E o (s)
R
Persamaan menyatakan operasi penjumlahan, diagram bloknya
dinyatakan dengan:
Persamaan keluaran:
I(s)
E o (s ) 
Cs

Dengan merakit kedua elemen diatas, diperoleh diagram blok
keseluruhan dari sistem
GRAFIK ALIRAN SINYAL





Diagram blok sangat berguna dalam menyajikan sistem kendali secara
grafis, tetapi untuk sistem yang sangat kompleks, proses penyederhanaan
diagram blok memerlukan waktu cukup lama.
Suatu pendekatan lain untuk mencari hubungan antara variabel sistem
kontrol yang kompleks adalah pendekatan grafik aliran sinyal, yang
dikembangkan oleh S.J. Mason.
Grafik aliran sinyal adalah suatu diagram yang menggambarkan
seperangkat persamaan diferensial linier simultan.
Untuk menggunakan metode grafik, kita harus mentransformasi-kan
persamaan diferensial menjadi persamaan aljabar dalam s.
Contoh: Gambarkan Grafik Aliran Sinyal dari Hukum Ohm E = R I
dengan E adalah tegangan, I adalah arus dan R suatu tahanan.
R
I
E
Soal
Gambarkanlah Grafik Aliran Sinyal dari rangkaian R1 dan R3 yang dipasang
seri dibawah ini.
Jawab:
 1 
 1 
1
v1  v 2    v1   v 2
i1 
R1
 R1 
 R1 
dan
v 2  R 3i1
R3
v2

v1 R 1  R 3
Soal 2
Sistem mekanik terdiri atas dua buah pegas dengan konstanta pegas k1 dan
k2 dan masa M1 dan M2, friksi f1 dan f2 dan pergeseran X1 dan X2 dan gaya F.
Gambarkan Grafik Aliran Sinyalnya.
Jawab:
(I) F + k1X2 = (M1s2 + f1s + k1) X1
(II)
k1X1 = (M2s2 + f2s + k1 + k2) X2
Ambil: A  M1s2 + f1s + k1
 (I) (1/A)F + (k1/A)X2 = X1
B  M2s2 + f2s + k1 + k2  (II) (k1/B)X1 = X2