Logaritma Natural dan Eksponen

KAKLULUS INTEGRAL
Oleh:
Oleh:
ABDUL RAHMAN
FUNGSI LOGARITMA
DAN
FUNGSI EKSPONEN
1. FUNGSI LOGARITMA ASLI
Definisi
Fungsi logaritma asli didefinisikan
x
1
ln x = ∫ dt , x > 0
t
1
Dengan TDK 1 diperoleh:
x1  1
Dx (ln x) = Dx  ∫ dt  =
1 t  x
Teorema
Jika u suatu fungsi dari
x yang diferensiabel dan
u(x) > 0, maka
1 d
u
D x (ln u ) =
u dx
atau
1
D x (ln u ) = D x (u )
u
Sifat-sifat Logaritma
1. ln 1 = 0
2. ln (ab) = ln a + ln b
a
3. ln   = ln a − ln b
b
r
4. ln a = r ln a
Ilustrasi:
Ingat:
1.
d
[ln (4 + 5 x )] = 1 d (4 + 5 x )
4 + 5 x dx
dx
1
=
(5)
4 + 5x
5
=
4 + 5x
2.
d
1
d
2
ln x − 6 x + 8 = 2
x2 − 6x + 8
dx
x − 6 x + 8 dx
1
= 2
(2 x − 6)
x − 6x + 8
2x − 6
= 2
x − 6x + 8
[ (
)]
1 d
D x (ln u ) =
u
u dx
(
)
Ilustrasi:
3.
d
dx
  x 
d  x 
1


 ln  x + 1   = x
dx  x + 1 

 
x +1
x + 1 1( x + 1) − x (1)
=
x
(x + 1)2
x +1 x +1− x
=
x ( x + 1)2
1
=
x ( x + 1)
Ingat Sifat-sifat turunan:
Dx (u.v ) = u ' v + uv'
 u  u ' v − uv'
Dx   =
v2
v
Latihan hal 43:
1.Deferensialkan fungsi berikut
b. g ( x) = ln (1 + 4 x )
f. f ( x) = x ln x
c. h(x) = ln 4 + 5x
g. g(y) = ln(ln y )
d. f(t) = ln (3t + 1)
h. f(y) = ln (sin 5 y )
i. g(y) = cos (ln x)
2
e. g(y) = ln (3t + 1)
2
2. Turunan fungsi logaritma dan integral
menghasilkan logaritma asli
Teorema 1
Jika u suatu fungsi yang diferensiabel dari x, maka
1
D x (ln | u |) = D x (u )
u
Teorema 2
1
∫ u du = ln u + c
Pd Kalkulus 1 dijelaskan
x =
x2
Ilustrasi
Contoh 1:
D x (ln x ) = D x (ln
x
2
Contoh 2:
)
(x)
=
1
=
D x  x 2

x2
x2
1
=
=
1
=
2
( )
x
1
=
x2
x




(2 x) 

−
1
2



( )
x2
2
1
2
( )

 x. x 2
x2 
1
x
x2
1
−
1 2
x

2
2
x 
1
=
Dx
x2
∫ x 3 + 1 dx
misalkan u = x 3 + 1 maka du = 3 x 2 dx
1 du
sehingga dx =
3 x2
1 x 2 du
x2
∫ x 3 + 1 dx = 3 ∫ u x 2
1 1
= ∫ du
3 u
1
= ln u + c
3
1
= ln x 3 + 1 + c
3
Teorema-teorema Integral tak tentu
untuk fungsi trigonometri
1. ∫ tan u du = ln sec u + c
2 . ∫ cot u du = ln sin u + c
3 . ∫ sec u du = ln sec u + tan u + c
4 . ∫ csc u du = ln csc u − ctg u + c
(
)
(
)
2 

3
D x ln x + 1 = D x  ln x + 1 


1
=
Dx
x3 + 1
2
3
x +1
3
(
=
=
=
)
(x
+1
3
+1
3
(x
(
])
)
2
+1
3x2
2 x3 + 1
1
2 −2
)
)
2
2
(x
3
+1
2




(3 x ) 


])
3x2
2
1
2
([
1
3
([
 3x2

. x3 + 1
 2

+1
3
])
)
2
1
(x
([
2
1 3

x +1
2

1
(x
)
)
2
)
(

D x  x3 + 1

1
=
=
(
Latihan:
)
2
1
2 −2
2




cos t
∫ 1 + 2 sin t dt
Jawaban
cos t
∫ 1 + 2 sin t dt
misalkan u = 1 + 2 sin t maka du = 2 cos t dt
1 du
sehingga dt =
2 cos t
cos t
1 cos t du
∫ 1 + 2 sin t dt = 2 ∫ u cos t
1 1
= ∫ du
2 u
1
= ln u + c
2
1
= ln 1 + 2 sin t + c
2
Latihan:
FUNGSI EKSPONEN DAN FUNGSI
LOGARITMA YANG LAIN
Teorema
Jika a bilangan positif dan u suatu fungsi yang
diferensiabel terhadap x, maka
du
D x ( a ) = a ln a D x (u ) = a ln a
dx
u
u
u
dan
u
a
∫ a du = ln a + c
u
Apa perlu
contoh soal
bapak dan
ibu?
Nah…. ini contohnya bu…. pa…..
Carilah turunan dan integral dari fungsi
berikut y = 3
2x
Penyelesaian:
D x ( 3 2 x ) = 3 2 x ln 3 D x ( 2 x ) = 3 2 x (ln 3) 2 = 2 (ln 3). 3 2 x
dan
1
2x
∫ 3 dx = 2
u
2x
1
3
3
u
∫ 3 du = 2 ln 3 + c = 2 ln 3 + c
Hore……..ada
Hore……..
latihannya.
Gampang ini coy
Hitung Integral taktentu berikut ini:
1.
2.
∫ a dx
nx
∫ x 10 dx
2
x3
3.
4.
∫ a (ln x + 1)dx
x ln x
∫
4
ln x
x
dx
Penyelesaian
1.
∫
nx
nx
1
a
a
a nx dx =
+ c =
+ c
n ln a
n . ln a
u
x3
1
1 10
10
u
2 . ∫ x 10 dx = ∫ 10 du =
+c=
+c
3
3 ln 10
3 ln 10
2
x3
u
x ln x
a
a
3 . ∫ a x ln x (ln x + 1)dx = ∫ a u du =
+c=
+c
ln a
ln a
4.
∫
4 ln x
dx =
x
∫
u
ln x
4
4
+ c =
+ c
4 u du =
ln 4
ln 4
Teknik Integral
1.
2.
3.
4.
∫
dx
5− x
2
=
x
= arc sin
+c
2
5
5 − x2
∫
dx
∫x
dx
x −5
2
=
∫
dx
x −
2
x
5
2
1
=
arc sec
5
x
+c
5
dx
1
2 dx
1 1
2x − 3
1
2x − 3
=
=
ln
+
c
=
ln
+c
∫ 4 x 2 − 9 2 ∫ (2 x )2 − 32 2 2.3 2 x + 3
12 2 x + 3
∫
dx
x +4
2
=∫
dx
x +2
2
2
(
)
(
)
= ln x + x 2 + 2 2 + c = ln x + x 2 + 4 + c
Integral Parsial
Bila bertemu dengan integran yang pengintegralannya tidak
dapat dibawa ke bentuk dasar. Salah satu cara penyelesaiannya
dengan metode integral parsial.
Dengan pemisalan: u = f(x) dan v = g(x). Metode integral
parsial memiliki bentuk:
udv
=
uv
−
vdu
∫
∫
Keterangan:
u = f(x)
v = g(x)
- du = turunan dari u
- dv = turunan v
Contoh:
∫ x sin x dx
pilih:
u = x sehingga du = dx , dv = sin x sehingga v = − cos x
maka
∫ x sin x dx = x ( − cos x ) − ∫ ( − cos x ) dx
= − x cos x + ∫ cos x dx
= − x cos x + sin x + c
Contoh(lanjutan):
∫x
2
ln x dx
pilih:
1
u = ln x sehingga du = dx ,
x
maka
∫
1 3
dv = x sehingga v = x
3
2
1 3
1 3 dx
x ln x dx = x ln x − ∫ x
3
3
x
x 3 ln x 1
=
− ∫ x 2 dx
3
3
2
x 3 ln x 1  1 3 
x 3 ln x 1 3
=
−  x +c =
− x +c
3
33 
3
9
Contoh(lanjutan):
∫x e
2 −3 x
dx
pilih:
u = x sehingga du = 2 x dx , dv = e
maka
2
−3 x
1 −3 x
sehingga v = − e
3
1 2 −3 x
1 −3 x
∫ x e dx = − 3 x e − ∫ 3 e . 2 x dx
1 2 −3 x
1 −3 x
1 2 − 3 x 2 x − 3 x 1 −3 x
⇔ − x e − ∫ e .2 x dx = − x e − ( e − ∫ e .2 dx )
3
3
3
9
9
1 2 − 3 x 2 x −3 x 2 − 3 x
⇔− xe −
e −
e +c
3
9
27
2
−3 x
Identitas Fungsi Trigonometri
1) sin 2 x + cos 2 x = 1
2 ) 1 + tan 2 x = sec 2 x
3) 1 + cot x = csc x
1
2
4 ) sin x = (1 − cos 2 x )
2
1
2
5) cos x = (1 + cos 2 x )
2
1
6 ) sin x. cos x = sin 2 x
2
2
2
Fungsi Trigonometri yang Tunggal
∫ sin
3
x dx
penyelesaian
3
sin
x dx =
∫
=
∫ sin x . sin
2
x dx
2
sin
x
.(
1
−
cos
x ) dx
∫
2
sin
x
dx
−
sin
x
.
cos
x dx
∫
∫
1
= − cos x + cos 3 x + c
u = cos x
3
=
du = − sin x dx
Fungsi Trigonometri yang Kombinasi
4
sec
x tan
∫
2
x dx =
sec 2 x = 1 + tan 2 x
2
sec
x . tan
∫
=
∫ (1 + tan
=
∫ (tan
=
∫ tan
2
2
2
2
x . sec 2 x dx
x ) tan
x + tan
4
2
x . sec 2 x dx
x ) sec 2 x dx
x . sec 2 x dx +
∫ tan
1
1
3
= tan x + tan 5 x + c
3
5
4
x . sec 2 x dx
Integral Fungsi Rasional
Fungsi Rasional dan Pecahan Parsial
• Fungsi rasional diekspresikan sbb
R( x ) =
P ( x)
Q( x)
dimana P ( x ) dan Q ( x ) adalah polinomial
• Untuk menghitung integral fungsi rasional, perlu dilakukan
dekomposisi pecahan-parsial dari fungsi rasional tersebut.
• Metode pecahan parsial adalah suatu tehnik aljabar
dimana R(x) didekomposisi menjadi jumlahan suku-suku:
P ( x)
= p( x ) + F1 ( x ) + F2 ( x ) + K + Fk ( x ),
Q( x)
dimana p( x ) suatu polinomial dan Fi ( x ) pecahan - parsial
R( x ) =
A
(faktor linier) atau
n
(ax + b)
Bx + C
(faktor kuadratik)
2
n
(ax + bx + c )
A, B, C , a, b, c adalah konstanta - konstanta.
berbentuk
Penyebut Merupakan Faktor Linear yang Berbeda
A1
A2
An
F ( x) =
+
+ ... +
a1 x + b1 a 2 x + b 2
a n x + bn
Contoh: carilah
∫
1
x2 − 4
Penyelesaian
1
A
B
=
+
2
x −4 x−2 x+2
x 2 − 4 = ( x − 2)( x + 2)
Dengan menyamakan penyebut diperoleh 1 = A( x + 2) + B( x − 2)
Utk ‫ = ݔ‬2 maka ‫= ܣ‬
∫
ଵ
ସ
dan utk ‫ = ݔ‬−2 maka B =
ଵ
−
ସ
1
1
1
1
1
=
dx
−
dx
2
∫
∫
x −4
4 x−2
4 x+ 2
1
x−2
1
1
+c
= ln x − 2 − ln x + 2 + c = ln
4
x+ 2
4
4
sehingga
Penyebut Merupakan Faktor Linear yang Berulang
A1
A2
An
F ( x) =
+
+ ... +
2
ax + b (ax + b )
(ax + b )n
Contoh: carilah
∫
( 2 x + 3 ) dx
x2 − 2x + 1
Penyelesaian
2x + 3
A
B
=
+
2
x − 2 x + 1 x − 1 ( x − 1)2
x 2 − 2 x + 1 = ( x − 1) 2
Dengan menyamakan penyebut diperoleh
2 x + 3 = A( x − 1) + B ⇔ 2 x + 3 = Ax − A + B
A = 2 dan B = 5
∫
( 2 x + 3 ) dx
1
1
= 2∫
dx + 5 ∫
dx
x2 − 2x +1
x −1
( x − 1) 2
5
= 2 ln x − 1 −
+c
( x − 1)
maka