BAB 2 : KALIMAT BERKUANTOR

BAB 2 : KALIMAT BERKUANTOR
2.1 PENGANTAR LOGIKA PREDIKAT
2.1.1 PENDAHULUAN
Seperti yang telah dibahas sebelumnya, dapat ditarik satu kesimpulan
bahwa titik berat logika adalah pada pembuktian validitas suatu argumen
logika proposisional dengan berbagai teknik yang relevan, yaitu
menggunakan tabel kebenaran sebagai dasar pembuktian dan juga
menggunakan hukum-hukum logika.
Logika proposisional sudah cukup untuk menangani pernyataanpernyataan yang sederhana dan banyak dijumpai dalam peristiwa seharihari. Akan tetapi logika proposisional saja ternyata belum mampu
menangani argumen-argumen yang berisi pernyataan-pernyataan yang
rumit dan sering dijumpai dalam peristiwa sehari-hari. Sebagai contoh
perhatikan argumen berikut ini :
Contoh 2.1 :
1. Semua gajah mempunyai belalai.
2. Dumbo seekor gajah.
3. Dengan demikian, Dumbo memiliki belalai.
Tanpa perlu dibuktikan validitasnya, orang-orang pasti mengatakan
argumen tersebut valid karena dengan jelas kesimpulan mengikuti
premis-premisnya. Akan tetapi bagaimana cara membuktikannya?.
Tentunya memakai logika proposisional.
2.1.2 ARGUMEN PADA LOGIKA PREDIKAT
Validitas sebuah argumen dapat dibuktikan dengan contoh yang mirip
dengan contoh diatas. Perhatikan contoh argumen berikut :
Contoh 2.2 :
1. Semua mahasiswa pasti pandai.
2. Badu seorang mahasiswa.
3. Dengan demikian, Badu pandai.
Secara nalar, kebanyakan orang akan menilai bahwa argumen di atas
mempunyai validitas yang kuat. Akan tetapi, saat validitas tersebut ingin
dibuktikan dengan logika proposisional, ternyata tidak bisa diselesaikan.
Pembuktiannya dapat dilakukan dengan mengikuti prosedur logika
proposisional dengan menentukan terlebih dahulu proposisi-proposisinya :
A=Semua mahasiswa pasti pandai.
B=Badu seorang mahasiswa.
C=Badu pasti pandai.
Selanjutnya akan menjadi seperti berikut :
Dalam bentuk ekspresi logika : (A∧B) ⇒ C
A
B
―――
∴C
Dalam bentuk ekspresi logika diatas, tidak ada hukum-hukum logika
proposisional yang dapat digunakan untuk membuktikan validitas
argumen tersebut karena tidak ada yang mampu menghubungkan antara
ketiga proposisi yang digunakan di atas. Atau tidak mungkin suatu
kesimpulan yang berbeda dapat dihasilkan dari premis-premis yang
berbeda. Dengan kata lain, tidak mungkin suatu kesimpulan berupa C
dapat dihasilkan dari premis A dan premis B.
Kalau argumen diatas masih ingin dibuktikan dengan logika proposisional,
maka klaimatnya harus diperbaiki. Misalnya seperti berikut :
Contoh 2.3:
1. Jika Badu seorang mahasiswa, maka ia pasti pandai.
2. Badu seorang mahasiswa.
3. Dengan demikian, ia pasti pandai.
Jika dirubah dalam bentuk ekspresi logika
1. B ⇒ C
2. B
3. C
premis 1
premis 2
kesimpulan
Atau dapat juga ditulis [(B⇒C)∧B]⇒C
Dalam logika proposisional, ekspresi logika di atas sudah benar karena
kesimpulan diambil dari premis-premis.
Persoalan yang terjadi adalah pernyataan tersebut tidak sepenuhnya
mampu menangkap ide pada argumen yang pertama yaitu “Semua
mahasiswa pandai”. Ide pada pernyataan tersebut tidak tertangkap pada
argumen kedua karena hanya mampu menunjuk seorang mahasiswa yaitu
Badu, bukan semua mahasiswa.
Persoalan lain juga terjadi, yakni kesulitan menentukan objek, misalnya
orang yang dimaksudkan jika diganti dengan kata ganti orang. Perhatikan
pernyataan-pernyataan pada contoh argumen berikut ini :
Contoh 2.4:
1. Jika Badu seorang mahasiswa, maka ia pasti pandai.
2. Dewi seorang mahasiswa.
3. Dengan demikian, ia pasti pandai.
Siapakah “ia” yang berada pada kesimpulan? Apakah Badu atau Dewi?.
Kalau premis 1 diubah menjadi, “ Jika Dewi seorang mahasiswa, maka
pasti ia pandai”, maka pernyataan tersebut sudah pasti tepat. Akan tetapi
argumen tersebut menunjuk kepada dua orang mahasiswa yaitu Badu dan
Dewi sehingga kata “ia” sebagai kata ganti tunggal tidak bisa berperan
dengan tepat karena bisa berarti “Badu”, bisa juga berarti “Dewi”.
Jadi suatu argumen yang sangat kuat logikanya, memang ada yag tidak
dapat ditangani oleh logika proposisional. Oleh karena itu logika
proposisional dikembangkan menjadi logika predikat (predicate logic) atau
kalkulus predikat (predicate calculus).
Untuk mrncari kesamaan antara pernyataan-pernyataan dalam argumen
pada
logika
predikat,
diperlukan
sesuatu
yang
mampu
menghubungkannya. Pada contoh yang terakhir, penghubung antara Badu
dan Dewi adalah keduanya mahasiswa. Selain mengidentifikasikan
individu-individunya, yaitu Badu dan Dewi, juga akan dicari predikatnya.
Ini merupakan langkah awal logika predikat sebelum membuktikan
validitasnya. Secara umum, predikat digunakan untuk menjelaskan
properti, yakni hubungan antara individu-individu. Lihat contoh yang
sederhana berikut
Contoh 2.5 :
Badu dan Dewi berpacaran
Dalam logika proposisional akan dipecah menjadi dua pernyataan, yaitu
“Badu berpacaran” dan “Dewi berpacaran”. Kedua pernyataan tersebut
akan menjadi aneh karen maksud kalimatnya bukan seperti itu. Di sini
tidak diketahui dengan siapa Badu atau Dewi berpacaran. Padahal pada
pernyataan awal jelas bahwa Badu berpacaran dengan Dewi atau Dewi
berpacaran dengan Badu.
Dengan logika predikat, kata “berpacaran” pada contoh diatas merupakan
predikat, sedangkan individu-individunya yang berupa entitas yang
dihubungkan dengan predikat tersebut, yaitu Badu dan Dewi, disebut
term. Term pada logika predikat berfungsi sama seperti kata benda
(noun) pada bahasa inggris.
Sebagai pelengkap term dan predikat, orang menggunakan kuantor
(quantifier),
sedangkan
prosesnya
disebut
pengkuantoran
(quantification).Kuantor mengindikasikan seberapa banyak perulangan
pada pernyataan
tertentu yang bernilai benar, khususnya kuantor
universal (universal quantifier) yang menginikasikan suatu pernyataan
selalu bernilai benar. Kuantor lainnya adalah kuantor eksistensial
(Existensial quantifier) yang mengindikasikan bahwa suatu pernyataan
kadang-kadang bernilai benar atau mungkin juga salah . pada pernyataan
“Semua mahasiswa pasti pandai” maka kata “semua” secara universal
semuanya selalu bernilai benar.
Dari uraian di atas, maka hubungan antara logika predikat dengan logika
proposisional menjadi jelas, bahwa logika predikat sebenarnya
menjadikan logika proposisional menjadi bersifat universal atau umum.
Dengan demikian, selain term, predikat dan kuantor, logika predikat juga
memiliki proposisi-proposisi dan perangkai-perangkai sebagai bagian dari
pembahasan dan proses manipulasinya.
Satu bagian yang penting dari logika dari logika predikat adalah fungsi
proposisional (propositional function) atau cukup disebut fungsi saja.
Fungsi berperan penting sewaktu menggunakan persamaan-persamaan
karena ia bertugas persis seperti variabel proposisional karena fungsi
tersebutlah yang dirangkai dengan perangkai-perangkai logika, dan
kemudian membentuk ekspresi logika, dari yang rumit sampai yang
sederhana dan digunakan sebagai bahan untuk dimanipulasi secara
matematis.
Bagi para ahli di bidang ilmu komputer, logika predikat berperan penting
dengan beberapa alasan. Pertama, logika predikat memberi alasan logis
yang mendasari bahasa pemrograman logika, misalnya PROLOG dan LISP.
Kedua, logika predikat mampu mendorong pengembangan kebutuhan
aplikasi komputer. Ketiga, logika predikat mampu berperan di bagian
pembuktian tentang masalah “correctness” sehingga dapat secara tepat
mengetahui kondisi program yang menghasilkan keluaran yang benar.
Contoh-contoh argumen yang menggunakan logika predikat masih cukup
banyak, misalnya dua contoh berikut ini :
Contoh 2.6 :
1. Setiap kucing mempunyai ekor.
2. Tom adalah seekor kucing.
3. Dengan demikian, Tom memiliki ekor
Atau :
1. Setiap lelaki hidup abadi.
2. Socrates adalah seorang lelaki.
3. Dengan demikian, Socrates hidup abadi.
Argumen juga bisa lebih panjang karena memiliki lebih dari 2 premis,
tetapi tetap dengan satu kesimpulan. Lihat contoh argumen berikut :
Contoh 2.7:
1.
2.
3.
4.
Badu menyukai Siti.
Pria yang menyukai Siti pasti menyukai Dewi.
Badu hanya menyukai wanita cantik.
Dengan demikian, Dewi adalah wanita cantik.
Jelas bahwa kesimpulan pada pernyataan ke-4 adalah logis karena jelas
berasal dari premis-premisnya, tetapi jika dibuktikan melalui logika
proposisional akan terjadi kesulitan karena kesimpulan bukan diambil
utuh dari premisnya, tetapi merupakan gabungan dari beberapa premis.
Di sinilah logika predikat akan berperan.
Banyak argumen logis yang tidak bisa diselesaikan pembuktian
validitasnya dengan logika proposisional. Untuk itu, kemudian
dikembangkan logika predikat untuk mengatasi masalah tersebut.
Logika predikat diperkenalkan oleh Sir William Hamilton (1788-1856)
dengan doktrinnya yang dinamakan “Quantification Theory”. Oleh karena
itu, logika predikat sebenarnya adalah logika proposisional yang ditambah
dengan hal-hal baru, yaitu pengkuantoran.
2.2 KALIMAT BERKUANTOR
Perhatikan ketiga kalimat berikut :
a) Semarang ibukota jawa tengah
b) X adalah binatang berkaki empat, X={kuda, burung, ular, singa}
Jika diperhatikan pada kedua kalimat diatas, kalimat (a) adalah sebuah
kalimat pernyataan dengan nilai kebenaran T. Kalimat (b) belum dapat
ditentukan nilai kebenarannya sebelum variabel x –nya
diganti dengan salah satu himpunan dari x, karena itu kalimat (b) disebut
kalimat terbuka. Jika x diganti dengan “Kuda” atau “Singa”, maka kalimat
terbuka (b) menjadi benar. Tetapi jika diganti dengan “Burung” atau
“Ular”, maka kalimatnya menjadi salah.
Apa yang terjadi jika terhdap suatu kalimat terbuka ditambahkan katakata seperti : “untuk semua/ setiap x…..”, Beberapa/Terdapat/Ada x……..
Untuk kalimat (b) maka kalimatnya menjadi :
1) Untuk semua/setiap x, x adalah binatang berkaki empat.
2) Terdapat binatang x, dimana x adalah binatang berkaki empat.
Kata-kata semua…….., setiap………, beberapa…….., terdapat…….., ada……..
seperti adi atas disebut dengan kalimat berkuantor (Quantifier).
Kuantor tersebut menunjukkan atau berkait dengan banyaknya pengganti
peubah x sehingga didapatkan suatu pernyataan berkuantor yang bernilai
benar saja atau salah saja. Seperti yang telah diuaraikan pada argumen
pada logika predikat, kuantor ada dua jenis yaitu kuantor universal dan
kuantor eksistensial.
KUANTOR UNIVERSAL (UNIVERSAL QUANTIFIER).
Kuantor universal menunjukkan bahwa setiap objek dalam semestanya
mempunyai sifat kalimat yang menyatakannya. Kita dapat meletakkan
kata-kata “Untuk semua/setiap x” di depan kalimat terbuka yang
mengandung variabel x untuk menghasilkan kalimat yang mempunyai
suatu nilai kebenaran. Nilai x ditentukan berdasarkan semesta
pembicaraannya. Kuantor universal disimbolkan dengan “∀
∀”. Kuantor
universal mengindikasikan bahwa sesuatu bernilai benar untuk semua
individual-individualnya. Perhatikan kalimat berikut ini :
“Semua gajah mempunyai belalai”
Maka jika predikat “mempunyai belalai” diganti dengan simbol B maka
dapat ditulis :
G(x) ⇒ B(x), dapat dibaca “Jika x adalah gajah, maka x mempunyai
belalai”
Tetapi kalimat di atas belum berupa kalimat berkuantor karena kalimat
diatas belum memuat kata “semua”. Untuk itu perlu ditambahkan simbul
kuantor universal sehingga menjadi
(∀x)(G(x) ⇒ B(x)), jadi sekarang dapat dibaca ” Untuk semua x, jika x
adalah gajah, maka x mempunyai belalai”.
Pernyataan-pernyataan yang berisi kata ”semua”, ”setiap”, atau kata lain
yang sama artinya, mengindikasikan adanya pengkuantifikasian secara
universal, maka dipakai kuantor universal. Dalam bahasa inggris,
misalnya untuk orang ada kata ”every people”, ”all people”, ”anybody”,
“each people”, dan lain-lainnya.
Misalnya jika diketahui pernyataan logika, ”Setiap mahasiswa harus
belajar dari buku teks”, jika ingin ditulis dalam logika predikat, maka
ditentukan misal B untuk “ harus belajar dari buku teks”, sehingga jika
ditulis B(x), berarti “x harus belajar dari buku teks”. Kata “Setiap
mahasiswa” mengindikasikan bernilai benar untuk setiap x, maka
penulisan yang lengkap adalah :
(∀x) Bx, dibaca “Untuk setiap x, x harus belajar dari buku teks”.
Akan tetapi notasi diatas belum sempurna karena x belum menunjuk
mahasiswa, maka harus lebih ditegaskan dan sebaiknya ditulis :
(∀x)(M(x) ⇒ B(x)), dibaca “Untuk setiap x, jika x mahasiswa, maka x
harus belajar dari buku teks”.
Langkah untuk melakukan pengkuantoran universal :
Perhatikan pernyataan berikut ini :
“Semua mahasiswa harus rajin belajar”
Untuk melakukan pengkuantoran universal pada pernyataan tersebut
maka dilakukan langkah-langkah seperti berikut :
1. Carilah lingkup (scope) dari kuantor universalnya, yaitu
“Jika x adalah mahasiswa, maka x harus rajin belajar”.
Selanjutnya akan ditulis :
mahasiswa(x) ⇒ harus rajin belajar(x)
2. Berilah kuantor universal di depannya
(∀x)(mahasiswa(x) ⇒ harus rajin belajar(x))
3. Ubahlah menjadi suatu fungsi
(Ax)(M(x) ⇒ B(x))
Contoh 2.8 :
1. ”Semua tanaman hijau membutuhkan air untuk tumbuh ”.
• Jika x adalah tanaman hijau, maka x membutuhkan air untuk
tumbuh
Tanaman hijau(x) ⇒ membutuhkan air untuk tumbuh(x)
• (∀x) (Tanaman hijau(x) ⇒ membutuhkan air untuk tumbuh(x))
• (∀x)(T(x) ⇒ A(x))
2. ”Semua artis adalah cantik”.
• Jika x adalah artis, maka x cantik, Artis(x) ⇒ cantik(x).
• (∀x)( Artis(x) ⇒ cantik(x))
• (∀x)(A(x) ⇒ C(x))
3. Jika diketahui persamaan x+3>10, dengan x adalah himpunan
bilangan bulat positif A > 5 . Tentukan nilai kebenaran (∀x∈A)
x+3>10. Untuk menentukan nilai kebenarannya, maka harus dicek
satu persatu
A={1,2,3,4}. Jika kuantor universal, maka untuk semua nilai A yang
dimasukkan harus memenuhi persamaan yaitu x+3>10
Untuk A=1, maka 1+3>10 ≡ 4>10
Memenuhi
A=2, maka 2+3>10 ≡ 5>10
Memenuhi
A=3, maka 3+3>10 ≡ 6>10
Memenuhi
A=4, maka 4+3>10 ≡ 7>10
Memenuhi
Karena semua himpunan A memenuhi, maka (∀x) x+3>10 bernilai
benar. Tapi jika ada satu saja nilai A yang tidak memenuhi, misalnya
dimasukkan A=8, sehingga 8+3>10 ≡ 11>10, dimana hasilnya salah
maka (∀x) x+3>10 bernilai salah. Nilai x yang menyebabkan suatu
kuantor bernilai salah disebut dengan contoh penyangkal atau
counter example.
KUANTOR EKSISTENSIAL (EXISTENSIAL QUANTIFIER)
Kuantor eksistensial menunjukkan bahwa diantara objek-objek (term –
term) dalam semestanya, paling sedikit ada ada satu term/objek
yang memenuhi sifat kalimat yang menyatakannya.
Kita dapat
meletakkan kata-kata : “Terdapat…..”, “Beberapa x bersifat…..”, “Ada……”,
“Paling sedikit ada satu x………” di depan kalimat terbuka yang
mengandung variabel x. Kuantor eksistensial disimbolkan dengan ”∃
∃”.
Kuantor eksistensial mengindikasikan bahwa sesuatu kadang-kadang
bernilai benar untuk individu-individualnya.
Dalam bahasa inggris, penggunaan kuantor eksistensial dapat ditunjukkan
dengan penggunaan kata kata: ”some”,” there is”, ”at least one”, dan
kata-kata lain yang sama artinya.
Perhatikan kalimat berikut ini :
” Ada pelajar yang memperoleh beasiswa berprestasi ”
Untuk melakukan pengkuantoran eksistensial pada pernyataan tersebut,
dilakukan langkkah-langkah sebagai berikut :
1. Carilah scope dari kuantor-kuantor eksistensialnya, yaitu :
“Ada x yang adalah pelajar, dan x memperoleh beasiswa berprestasi “.
Selanjutnya akan ditulis :
Pelajar(x) ∧ memperoleh beasiswa berprestasi(x)
2. Berilah kuantor eksisitensial di depannya.
(∃x) (Pelajar(x) ∧ memperoleh beasiswa berprestasi(x))
3. Ubahlah menjadi suatu fungsi.
(∃x)(P(x) ∧ B(x))
Contoh 2.9:
1. “Beberapa orang rajin beribadah”.
Jika ditulis dengan menggunakan logika predikat, maka:
• ”Ada x yang adalah orang, dan x rajin beribadah”.
• (∃x)(Orang(x) ∧ rajin beribadah(x))
• (∃x)(O(x) ∧ I(x))
2. “Ada binatang yang tidak mempunyai kaki”.
• “Terdapat x yang adalah binatang, dan x tidak mempunyai kaki”.
• (∃x)(binatang(x) ∧ tidak mempunyai kaki(x))
• (∃x)(B(x) ∧ ¬K(x))
3. Misalkan B adalah himpunan bilangan bulat. Tentukan nilai kebenaran
(∃x ∈ B)(x2=x).
(∃x ∈ B)(x2=x) dapat dibaca “Terdapat x yang adalah bilangan bulat
dan x memenuhi x2=x”. (∃x ∈ B)(x2=x) akan bernilai benar jika dapat
ditunjukkan paling sedikit ada satu bilangan bulat yang memenuhi
x2=x.
Tidak memenuhi
Misal x= -1, maka (-1)2=1
2
Memenuhi
X= 1, maka (1) =1
Karena ada satu nilai yang memenuhi, yaitu x=1, maka pernyataan di
atas bernilai benar.
MEMPREDIKATKAN SATU DAN N-ARITAS OBJEK
Contoh berikut merupakan pernyataan untuk semakin memahami cara
menulis simbol dengan logika predikat. Perhatikan dengan sekssms
bsgsimsns huruf besar menggantikan predikat dan huruf kecil
menggantikan variabel (objek).
Contoh 2.10:
1. Badu seorang mahasiswa.
2. Jika Badu rajin belajar, maka ia akan lulus.
3. Semua rumput berwarna hijau.
M(b)
B(b) ⇒ L(b)
(∀y)(R(y) ⇒ H(y))
Tidak selalu harus menggunakan huruf kecil x untuk variabel yang umum,
tetapi yang penting adalah konsisten. Jadi untuk contoh no.3 tidak boleh
ditulis (∀y)(R(y) ⇒ H(x))
Contoh 2.11:
1. Semua orang harus bekerja. (∀x)(O(x) ⇒ B(x))
2. Beberapa mahasiswa lupus sarjana. (∃x)(M(x) ∧ L(x))
3. Ada sesuatu yang hilang di desa Sidomakmur. (∃x)(S(x) ∧ H(x))
Dari berbagai contoh di atas, dapat kita simpulkan bahwa :
• Jika pernyataan memakai kuantor universal (∀), maka digunakan
perangkai implikasi (⇒), yaitu “Jika semua......maka.....”
• Jika pernyataan memakai kuantor eksistensial (∃), maka digunakan
perangkai konjungsi (∧), yaitu “Ada...yang...dan....”.
Conoth-contoh diatas berhubungan dengan predikat unary atau relasi satu
tempat (objek hanya satu), dan tentu saja penulisan simbol harus ampu
menunjukkan predikat n-ary yaitu relasi dimana objeknya sebanyak n
buah. Lihat contoh berikut :
Contoh 2.12:
1. Setiap orang mencintai Jogjakarta. (∀x) C(x,J)
2. Setiap bilangan genap dapat dibagi 2. (∀x)(G(x) ⇒ B(x,2))
3. Tak ada bilangan prima di antara 23 dan 29. (∃x)(P(x) ∧ A(x,23,29))
4. Badu mengenal seua benda. (∀x) K(b,x)
KUANTOR GANDA
Domain atau semesta pembicaraan penafsiran kuantor sangat penting
untuk menentukan jenis kuantor yang akan digunakan serta
mempengaruhi penulisan simbolnya. Lihat contoh berikut :
“Setiap orang mencintai Jogjakarta”
Selanjutnya, dapat ditulis simbolnya dengan logika predikat
(∀x) C(x,j)
Simbol tersebut dapat dibaca “Untuk semua y, y mencintai Jogjakarta”.
Persoalan yang terjadi adalah domain penafsirab seseorang untuk y bisa
berbeda-beda. Ada orang yang menganggap y hádala manusia, tetapi
mungkin orang lain menganggap y bisa mahluk hidup apa saja, misal
ayam, bebek, bahkan mungkin y bisa menjadi benda apa saja. Tentu saj
domain penafsiran semacam ini kacau karena yang dimaksudkan pasti
hanya orang atau manusia. Oleh karena itu, untuk memastikan bahwa
domain penafsiran hanya orang, penulisan simbol harus diperbaiki seperti
berikut :
(∀y)(O(y) ⇒ C(y,j))
Sekarang simbol tersebut dapat dibaca ”Untuk semua y jika y adalah
orang, maka y mencintai Jogjakarta”.
Untuk menulis simbol yang tepat, memang harus menempatkan terlebih
dahulu
domain
penafsiran
karena
domain
penafsiran
Sangay
mempengaruhi penulisan
dan sekaligus
menghindari terjadinya
ambiguitas. Contoh domain penafsiran yang bersifat umum antara lain
manusia, binatang, tumbuh-tumbuhan, bilangan prima, bilangan asli, dan
sebagainya, yang nantinya akan menggunakan kuantor universal. Akan
tetapi jira tertentu saja atau tidak semuanya, misalnya beberapa
manusia, atau satu manusia saja, akan memakai kuantor yang berbeda
yaitu kuantor eksisitensial.
Persoalan selanjutnya adalah bagaimana jira memakai dua kuntor yang
berbeda pada satu penulisan simbol yang berasal dari satu pernyataan.
Apakah domain penafsiran juga akan berbeda atau sama?. Perhatikan
contoh berikut ini :
“Setiap orang dicintai oleh seseorang”
Dengan notasi simbol logika predikat, akan ditullis seperti berikut
(∀x)(∃y) C(y,x)
Yang dapat dibaca ”Untuk semua x, terdapat y dimana y mencintai x”
X dan Y sebenarnya menunjuk domain penafsiran yang sama yaitu orang,
dan pada simbol tersebut ternyata dibedakan. Penulisan tersebut lebih
baik lagi jika bisa memakai variable yang sama. Maka pernyataan diatas
secara lengkap dapat ditulis :
(∀x)(O(x) ⇒ (∃x)(O(y) ∧ C(y,x)))
Sekarang perhatikan contoh penulisan
menggunakan angka atau bilangan.
pernyataan
berikut
jika
(∀x∈real)(∀y∈real)S(x,y), misalkan S(x,y)=x+y=y+x dan dapat dibaca “
Untuk semua bilangan real x dan semua bilangan real y, adalah benar
x+y=y+x”
Sekarang perhatikan jika pengkuantoran ternyata melibatkan lebih dari
satu jenis kuantor dengan contoh pernyataan berikut :
“Terdapat bilangan positif x sedemikian sehingga untuk semua bilangan
positif y berlaku y<x”
Pernyataan di atas dapat ditulis :
(∃x)(∀y)(y<x)
Sebelumnya telah dijelaskan bahwa kuantor universal (∀) dan kuantor
eksistensial (∃) diperlakukan sebagai perangkai unary dan kuantor juga
memiliki urutan lebih tinggi dibandingkan dengan perangkai binary. Lihat
contoh berikut :
Contoh 2.13:
H(x) : x hidup
M(x) : x mati
(∀x)(H(x) ∨ M(x)) dibaca “Untuk semua x, x hidup atau x mati”
Akan tetapi jika ditulisnya (∀x)(H(x)) ∨ M(x) maka dibaca “Untuk semua x
hidup, atau x mati”. Pada “x mati”, x tidak terhubing dengan kuantor
universal, yang terhubung hanya”x hidup”. Sekali lagi, perhatikan
penulisan serta peletakan tanda kurungnya.
Secara umum, hubungan antara penempatan kuantor ganda adalah
sebagai berikut :
(∀x)(∀y) P(x,y) ≡ (∀y)(∀x) P(x,y)
(∃x)(∃y) P(x,y) ≡ (∃y)(∃x) P(x,y)
(∃x)(∀y) P(x,y) ≡ (∀y)(∃x) P(x,y)
Ingkaran kalimat berkuantor ganda dilakukan dengan cara yang sama
seperti ingkaran pada kalimat berkuantor tunggal.
¬[(∃x)(∀y) P(x,y)] ≡ (∀x)(∃y) ¬P(x,y)
¬[(∀x)(∃y) P(x,y)] ≡ (∃x)(∀y) ¬P(x,y)
Contoh 2.14:
Tentukan negasi dari logika predikat berikut ini :
1. (∀x)(∃y) x=2y dengan domainnya adalah bilangan bulat
(∀x)(∃y) x=2y dibaca “Untuk semua bilangan bulat x, terdapat
bilangan bulat y yang memenuhi x=2y. Maka negasinya :
¬[(∀x)(∃y) x=2y] ≡ (∃x)(∀y) x≠2y
2. Ada toko buah yang menjual segala jenis buah
Dapat ditulis (∃x)(∀y) x menjual y. Maka negasinya
¬[(∃x)(∀y) x menjual y] ≡ (∀x)(∃y) x tidak menjual y
Dibaca “Semua toko buah tidak menjual paling sedikit satu jenis
buah”.
Mengubah pernyataan ke dalam logika predikat yang memiliki kuantor
ganda
Misal : “Ada seseorang yang mengenal setiap orang”
Langkah-langkahnya :
1. Jadikan potongan pernyataan ”x kenal y”, maka akan menjadi K(x,y).
K(x,y) : x kenal y
2. Jadikan potongan pernyataan ”x kenal semua y”, sehingga menjadi
(∀y) K(x,y)
3. Jadikan pernyataan “ada x, yang x kenal semua y”, sehingga menjadi
(∃x)(∀y) K(x,y)
Latihan :
Ubahlah pernyataan berikut ke dalam logika predikat kemudian negasikan
1. Setiap orang memiliki seseorang yang menjadi ibunya.
2. Semua orang menghormati Presiden SBY.
3. Ada mahasiswa TI yang tidak lulus logika informatika.
4. Setiap orang dicintai oleh seseorang.
5. Ada programmer yang menguasai semua bahasa pemrograman.