distribusi probabilitas yang umum

DISTRIBUSI PROBABILITAS
YANG UMUM
Pertemuan 6 dan 7
Distribusi Binomial
(Distribusi Probabilitas Diskrit)
Percobaan Bernoulli :
Sifat-sifat sebagai berikut :
 Percobaan itu terdiri dari n pengulangan
 Tiap pengulangan memberikan hasil yang dapat
diidentifikasi sukses atau gagal
 Probabilitas sukses dinyatakan dengan p, tetap
konstan (tidak berubah) dari satu pengulangan ke
pengulangan lainnya, sedangkan probabilitas gagal
adalah q = 1- p
 Tiap pengulangan dan pengulangan lainnya saling
bebas.
Distribusi Binomial

Banyaknya X sukses dalam n pengulangan suatu
percobaan bernoulli disebut sebagai variabel
random Binomial, sedangkan distribusi
probabilitasnya disebut distribusi Binomial
dan nilainya dinyatakan sebagai :
b(x,n,p) dimana x = 1, 2, …, n
 n  x nx
b( x;n, p)   p q
 x
 
Rata-rata dan Variansi Distribusi
Binomial :


Rata-rata =
Variansi =
  np
2
  npq
Contoh
 Probabilitas bahwa seorang pasien
sembuh dari penyakit darah yang langka
adalah 0,4. Bila 15 orang diketahui telah
terkena penyakit ini, berapakah probabilitas :




Paling sedikit 10 orang yang selamat
Dari 3 sampai 8 orang yang selamat
Tepat 5 orang yang selamat
Hitung rata-rata dan variansinya
Distribusi Poisson
(Distribusi Probabilitas Diskrit)
Percobaan Poisson :

Jika suatu percobaan menghasilkan
variabel random X yang menyatakan
banyak-nya sukses dalam daerah tertentu
atau selama interval waktu tertentu,
percobaan itu disebut percobaan Poisson.
Distribusi Poisson
Jumlah X dari keluaran yang terjadi selama satu
percobaan Poisson disebut Variabel random
Poisson, dan distribusi probabilitasnya disebut
distribusi Poisson.
 Bila x menyatakan banyaknya sukses yang terjadi
,  adalah rata-rata banyaknya sukses yang
terjadi dalam interval waktu atau daerah
tertentu, dan e = 2,718 , maka rumus distribusi
Poisson adalah :

e   x
p( x;  ) 
,
x!
x  0,1,2,......
Rata-rata dan Variansi Distribusi
Poisson

Mean (rata-rata) dan variansi dari distribusi
Poisson adalah .
Catatan :
 Distribusi Poisson sebagai suatu bentuk
pembatasan distribusi Binomial pada saat n besar ,
sedangkan p mendekati 0 , dan np konstan.
 Sehingga bila n besar dan p mendekati 0, distribusi
Poisson dapat digunakan untuk memperkirakan
probabilitas Binomial, dengan
  np
Contoh

Di suatu simpang jalan rata-rata terjadi 6
kecelakaan sebulan, maka hitunglah
probabilitas :
◦ Pada suatu bulan tertentu di simpang jalan itu
terjadi 7 kecelakaan
◦ Pada suatu bulan tertentu di simpang jalan
terjadi minimal 4 kecelakaan
◦ Pada suatu minggu tertentu di simpang jalan
itu terjadi 4 kecelakaan
Hubungan Distribusi Poisson
dengan Distribusi Binomial
Distribusi Poisson sebagai suatu bentuk
pembatasan distribusi Binomial pada saat
n besar , sedangkan p mendekati 0 , dan
np konstan.
 Sehingga bila n besar dan p mendekati 0,
distribusi Poisson dapat digunakan untuk
memperkirakan probabilitas Binomial,
dengan  = np

Contoh

Dalam suatu proses produksi yang
menghasilkan barang dari gelas, terjadi
gelembung atau cacat yang menyebabkan
barang tersebut sukar dipasarkan. Ratarata 1 dari 1000 barang yang dihasilkan
mempunyai satu atau lebih gelembung.
Hitung probablitas dalam sampel random
sebesar 8000 barang akan berisi kurang
dari 7 yang bergelembung.
Distribusi Hipergeometrik
(Distribusi Probabilitas Diskrit)
Perbedaan diantara distribusi binomial
dan distribusi hipergeometrik
adalah terletak pada cara penarikan sampel.
 Dalam distribusi binomial diperlukan sifat
pengulangan yang saling bebas, dan pengulangan
tersebut harus dikerjakan dengan pengembalian
(with replacement).
 Sedangkan untuk distribusi hipergeometrik tidak
diperlukan sifat pengulangan yang saling bebas
dan dikerjakan tanpa pengembalian (without
replacement).

Penerapan untuk distribusi
hipergeometrik
Ditemukan dalam berbagai bidang, dan paling
sering digunakan dalam penarikan sampel
penerimaan barang, pengujian elektronik,
jaminan mutu, dsb.
 Dalam banyak bidang ini, pengujian dilakukan
terhadap barang yang diuji yang pada akhirnya
barang uji tersebut menjadi rusak, sehingga tidak
dapat dikembalikan. Jadi, pengambilan sampel
harus dikerjakan tanpa pengembalian

Contoh

Suatu pabrik ban melaporkan bahwa dari
5 ban yang dikirimkan ke suatu toko terdapat 2 ban yang cacat. Bila seseorang
membeli 3 ban, maka hitung:
◦ Probabilitas terdapat 1 ban cacat yang dibeli
◦ Probabilitas tidak ada ban cacat yang dibeli
Distribusi Normal
(Distribusi Probabilitas Kontinu)
Kurva Normal dan Variabel Random
Normal
Distribusi probabilitas kontinu yang terpenting
adalah distribusi normal dan grafiknya disebut
kurva normal.
 Variabel random X yang distribusinya berbentuk
seperti lonceng disebut variabel random
normal.




x
Sifat kurva normal, yaitu :





Kurva mencapai maksimum pada x  
Kurva setangkup terhadap garis tegak yang
melalui x  
Kurva mempunyai titik belok pada x    
Sumbu x merupakan asimtot dari kurva
normal
Seluruh luas di bawah kurva, di atas sumbu x
adalah 1
Distribusi Normal

Variabel random X berdistribusi normal,
dengan mean dan variansi mempunyai
fungsi densitas
1
 ( x   ) 2 ( 2 2 )
n( x; , ) 
e
 2
  x  
luas daerah di bawah kurva dinyatakan dengan :
 P(x1  X  x 2 )

X1
x2
P( x1  X  x 2 )   n( x;, )dx 
x1

1
x2
e
x
X2
 ( x   ) 2 ( 2 2 )
 2 x
1
1
 ( x   ) 2 ( 2 2 )
P(   X   ) 
e
dx  1

 2  
dx
Distribusi Normal Standar (1)
apabila variabel X ditransformasikan
dengan substitusi Z  x  

 maka :

P(z1  Z  z 2 ) 
1
 2
z2

1
 z2
e 2 dz 
z1
1
2
z2

z1
1
z2
 z2
e 2 dz  n (z;0,1)dz

z1
x
ternyata substitusi Z 

menyebabkan distribusi normal n (z; , ) menjadi
n( z;0,1)
,
yang disebut distribusi normal standar.
Distribusi Normal Standar (2):

Karena transformasi ini, maka selanjutnya
nilai P(x  X  x )
1
2
ini dapat dihitung dengan menggunakan
tabel distribusi normal standar.
Contoh

Rata-rata berat 500 mahasiswa STIKOM
adalah 55 kg dan deviasi standarnya 3.4 kg.
Berapakah banyaknya mahasiswa yang
mempunyai berat
◦ kurang dari 53 kg
◦ di antara 53 kg dan 57 kg

Bila nilai ujian statistika mempunyai mean 74
dan deviasi standar 7.9, hitunglah
◦ Nilai lulus terendah, bila mahasiswa dengan nilai
10% terendah mendapat E.
◦ Nilai B tertinggi, bila probabilitas mahasiswa
dengan nilai 5% tertinggi men-dapat A .
Hubungan Distribusi Normal dan Distribusi
Binomial:

Jika n besar dan p atau q menuju 0, maka
distribusi binomial dapat didekati oleh distribusi
normal, sehingga bila X adalah variabel random
yang berdistribusi Binomial dengan mean   np
dan variansi  2  npq
maka
Z
X  np
npq
berdistribusi normal standar
Contoh

Suatu proses produksi menghasilkan
sejumlah barang yang cacat sebanyak 10%.
Bila 100 barang diambil secara random,
maka hitung probabilitas :
◦ Banyaknya cacat melebihi 13
◦ Antara 5 s/d 10 yang cacat
◦ Tepat 10 yang cacat