BAB II TINJAUAN PUSTAKA

6
BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
2.1
Sistem Tenaga Listrik
Sistem Tenaga Listrik dikatakan sebagai kumpulan/gabungan yang terdiri
dari komponen-komponen atau alat-alat listrik seperti generator, transformator,
saluran transmisi, saluran distribusi dan beban yang saling berhubungan dan
merupakan satu kesatuan sehingga membentuk suatu sistem.
Suatu sistem tenaga listrik yang lengkap seperti gambar 2.1 pada dasarnya dapat
dikelompokan atas empat komponen sebagai berikut (Kadir, 2006) :
1. Pembangkit tenaga listrik.
2. Sistem transmisi
3. Saluran distribusi
4. Konsumen
Gambar 2.1 Jaringan sistem tenaga listrik
Sumber : (PT PLN (Persero) Distribusi Bali
Pembangkit-pembangkit tenaga listrik ada beberapa macam seperti pembangkit
listrik tenaga air (PLTA), pembangkit listrik tenaga diesel (PLTD), pembangkit
listrik tenaga uap (PLTU), pembangkit listrik tenaga gas (PLTG), pembangkit
listrik tenaga nuklir (PLTN), pembangkit listrik tenaga panas bumi (PLTP),
pembangkit listrik tenaga biomassa, dan lainnya. Pada umumnya letak pusat
7
pembangkit jauh dari pusat-pusat beban sehingga diperlukan saluran transmisi
untuk menyalurkan tenaga listrik.
Tenaga listrik yang dihasilkan oleh unit pembangkit sebelum disalurkan melalui
saluran transmisi dinaikkan dulu menjadi tegangan menjadi 70 kV, 150 kV, 500
kV melalui transformator penaik tegangan. Dari tegangan trasmisi diturunkan di
gardu Induk menjadi tegangan menengah atau tegangan distribusi 20 kV sehingga
bisa disalurkan ke konsumen. Tegangan menengah akan mengalami penurunan
tegangan menjadi tegangan rendah 220/380 V melalui gardu distribusi, konsumen
dengan daya kecil tersambung dengan jaringan tegangan rendah sedangkan untuk
konsumen dengan daya besar tersambung dengan jaringan tegangan menengah
atau jaringan tegangan tinggi tergantung dari besarnya daya yang terpasang.
2.2.
Kondisi Eksisting Ketenagalistrikan Bali
Sistem ketenagalistrikan di Bali merupakan sistem interkoneksi antara
Pulau Bali dan Pulau Jawa, dimana Pulau Bali pada sampai dengan bulan Juni
2011 untuk memenuhi kebutuhan listriknya disuplai dari Unit Pembangkit
Pesanggaran dengan daya terpasang 281,79 MW, Unit Pembangkit Pemaron
dengan daya terpasang 147,6 MW, dan Unit Pembangkit Gilimanuk dengan daya
terpasang 133,8 MW , serta Unit Kabel Laut dengan daya terpasang 220 MW,
sehingga total daya terpasang adalah 783,19 MW, sedangkan daya mampu dari
total Unit terpasang adalah 688,01 MW. Kondisi pasokan tenaga listrik pada
sistem kelistrikan Bali dapat dilihat pada Tabel 2.1. Beban puncak sistem Bali
pada tahun 2011 sebesar 597,2 MW terjadi pada bulan Nopember 2011 (lihat tabel
2.2), apabila salah satu unit yang mempunyai kapasitas besar (PLTG Gilimanuk)
keluar dari sistem karena ada pemeliharaan, maka akan terjadi kekurangan daya
atau tidak sesuai kriteria N-1.
Pemakaian energi listrik atau kWh jual dari tahun ke tahun semakin naik,
realisasi kWh jual pada tahun 2006 sebesar 2,125 GWh, dan realisasi kWh jual
tahun 2010 sebesar 3,09 GWh. Pertumbuhan kWh jual dari tahun 2006 sampai
tahun 2010 rata-rata sebesar
8,16 % (lihat table 2.2).
Sedangkan untuk
pertumbuhan kWh produksi atau kWh Salur yang diterima sistem Bali dari P3B
melalui jaringan transmisi rata-rata sebesar 8,98% (lihat table 2.2) mulai dari
8
tahun 2006 sampai tahun 2010. Realisasi energi listrik yang disalurkan P3B pada
tahun 2006 sebesar 2,32 GWh dan tahun 2010 sebesar 3,27 GWh.
Tabel 2.1 Kondisi Pembangkit sampai September 2011
PEMBANGKIT
TAHUN
OPERASI
DAYA
TERPASANG
(MW)
DAYA MAMPU
(MW)
PLTD #1 [MIRLESS]
PLTD #2 [MIRLESS]
PLTD #3 [MIRLESS]
PLTD #4 [MIRLESS]
PLTD #5 [MIRLESS]
PLTD #6 [MIRLESS]
PLTD #7 [MIRLESS]
PLTD #8 [SWD]
PLTD #9 [SWD]
PLTD #10 [SWD]
PLTD #11 [SWD]
PLTD BOO (Ops. 04/08/2010)
TOTAL PLTD PESANGGARAN
1974
1974
1974
1974
1980
1982
1982
1983
1983
1989
1989
2010
5,080
5,080
5,080
5,080
4,140
6,770
6,770
6,520
6,520
12,400
12,400
28,000
103,840
3,800
3,920
3,920
3,920
3,040
5,340
5,340
3,990
3,990
8,000
7,500
25,500
78,260
PLTG #1 [ALSTOM]
PLTG #2 [GE]
PLTG #3 [WESTINGHOUSE]
PLTG #4 [WESTINGHOUSE]
PLTD UNIT BOT 01(ops 07/02/2011)
PLTD UNIT BOT 02 (ops 07/02/2011)
PLTD UNIT BOT 03 (ops 07/02/2011)
TOTAL PLTG PESANGGARAN
1985
1993
1994
1994
2011
2011
2011
21,350
20,100
42,000
42,000
17,500
17,500
17,500
177,950
17,650
18,300
36,150
36,150
15,500
15,500
15,500
154,750
PLTG GILIMANUK [ABB]
1997
133,800
130,000
PLTG #1 PEMARON
PLTG #2 PEMARON
PLTD BOO (Ops. 27/08/2010)
TOTAL PLTG PEMARON
2004
2004
2010
48,800
48,800
50,000
147,600
40,000
40,000
45,000
125,000
1997
1998
110,000
110,000
100,000
100,000
220,000
783,190
200,000
688,010
KABEL LAUT #1
KABEL LAUT #2
TOTAL KABEL LAUT # 1 & 2
TOTAL DISTRIBUSI (BRUTO)
Sumber : PT PLN (Persero) Indonesia Power
9
Data beban puncak sistem ketenagalistrikan PT PLN (Persero) Distribusi
Bali selama 5 (lima) tahun terakhir dari tahun 2006 sampai dengan bulan
Desember 2011 (dilihat Tabel 2.2), dan beban puncak sistem Bali cenderung
meningkat dari tahun ke tahun dengan pertumbuhan rata-rata dari tahun 2006
sampai dengan tahun 2011 sebesar 6,91%.
Tabel 2.2 Data Energi dan Beban Puncak
Pemakaian Energi
Energi Tersalurkan
Beban
Growth
Tahun
Jual
Growth
P3B
Growth
Puncak
(%)
(GWh)
(%)
(GWh)
(%)
2006
2,125.03
1.45%
2,319.77
1.13%
426.20
6.34%
2007
2,375.02
11.67%
2,555.97
10.18%
454.60
6.66%
2008
2,551.10
7.41%
2,715.21
6.23%
485.80
6.86%
2009
2,788.65
9.31%
2,953.59
8.78%
493.20
1.52%
2010
3,090.93
10.84%
3,270.17
10.72%
548.50
11.21%
2011
3,221.19
4.21%
3,413.04
4.37%
597.20
8.88%
Rata – rata pertumbuhan beban puncak 6.91%
Sumber data : PT PLN (Persero) Distribusi Bali
Harga rata-rata jual (Rp/kWh jual) cenderung meningkat setiap tahunnya
seiring dengan peningkatan konsumsi energi listrik, dan tarif non subsidi yang
diberlakuan pada daya ≥ 6.600 VA, serta listrik prabayar (LPB). Kenaikan ratarata Rp/kWh Jual 5(lima) tahun terakhir dari 2006 sampai dengan Desember
tahun 2011 sebesar 36,96 Rp/kWh seperti pada Tabel 2.3.
Tabel 2.3. Data Rupiah per kWh Jual
Tahun
2006
2007
2008
2009
Tarif
686.12
696.22
758.07
793.66
(Rp/kWh)
Growth
1.47
8.88
4.70
(%)
Rata – rata kenaikan Rp/kWh jual sebesar 36.96
2010
2011
838.33
874.12
5.63
4.27
Sumber data : PT PLN (Persero) Distribusi Bali
2.3.
Analisa aliran daya
Analisa aliran daya ini sangat penting dalam perencanaan pengembangan
sistem untuk masa yang akan datang, karena pengoperasian yang baik dari suatu
10
sistem sangat tergantung pada pengaruh-pengaruh interkoneksi dengan sistemsistem daya yang lain, beban baru, stasiun pembangkit baru, dan saluran transmisi
baru yang akan terpasang.
Tujuan analisis aliran daya antara lain adalah (Sulasno, 2001) :
a.
Untuk mengetahui tegangan pada tiap-tiap bus yang ada pada sistem.
b.
Untuk mengetahui daya aktif dan reaktif yang mengalir dalam setiap saluran
dalam sistem.
c.
Untuk mengetahui apakah semua peralatan memenuhi batas-batas yang
ditentukan untuk menyalurkan daya listrik yang diinginkan.
d.
Untuk memperoleh kondisi awal untuk studi-studi seperti studi analisis
hubung singkat, stabilitas dan pembebanan ekonomis.
Analisa aliran daya yang dilakukan dalam perencanaan perluasan sistem,
akan sangat membantu untuk mengetahui prosedur pengoperasian yang baik
setelah mempelajari efek tambahan dari sistem yang akan dilakukan dalam
perencanaan selanjutnya, termasuk apabila terjadi gangguan pada sistem tenaga
listrik seperti hilang atau keluarnya satu atau lebih sentral pembangkit atau saluran
transmisi.
2.4.
Saluran Transmisi
2.4.1. Saluran Transmisi Pendek
Saluran transmisi pendek adalah saluran transmisi dengan panjang tidak
lebih dari 80 km. Admitasi pararel sering disebut line charging biasanya
merupakan kapasitansi murni, yang nilainya kecil sekali sehingga dalam
perhitungan dapat diabaikan. Sehingga rangkaian ekivalen merupakan impedansi
seri seperti gambar 2.2.
11
Gambar 2.2. Rangkaian ekivalen saluran transmisi pendek (Stevenson,1994)
Dikarenakan besarnya IS = IR, maka persamaan yang digunakan untuk
saluran transmisi pendek adalah (Stevenson, 1994) :
VS = VR + Z.IR
…………………....
(2.1)
IS = Arus ujung pengirim atau ujung generator.
IR = Arus ujung penerima atau ujung beban.
VS = Tegangan ujung pengirim atau ujung generator.
VR = Tegangan ujung penerima atau ujung beban.
Z = R + jX = Impedansi saluran.
2.4.2. Saluran Transmisi Menengah
Saluran transmisi menengah memiliki panjang antara 80 sampai 240 km.
Nilai kapasitansi pada saluran ini cukup besar, sehingga tidak dapat diabaikan
dalam perhitungan. Rangkaian ekivalennya disebut juga rangkaian ekivalen TNominal dimana admitansi pararel yang terpusat ditengah-tengah saluran seperti
gambar 2.3.
Gambar 2.3. Rangkaian ekivalen T-Nominal (Stevenson, 1994)
Persamaan yang berlaku pada rangkaian ekivalen T-Nominal adalah :
12
Relasi tegangan dan arus :
=
+
+
…………………....
(2.2)
……………………
(2.3)
……………………
(2.4)
dengan :
=
Y =
=
+ (
Y +
(1 +
+
)Y
)
Apabila keseluruhan admitansi pararel saluran dibagi menjadi dua sama
besar dan ditempatkan masing-masing pada ujung pengirim dan ujung penerima,
maka rangkaian ekivalen terbentuk disebut rangkaian ekivalen Π-Nominal seperti
gambar 2.4.
Gambar 2.4 Rangkaian ekivalen Π-Nominal (Stevenson, 1994)
Pada rangkaian ekivalen Π-Nominal berlaku persamaan :
Relasi tegangan dan arus :
=
+
=
Z
+
=
+
(1 +
)
……………………
(2.5)
……………………
(2.6)
……………………
(2.7)
……………………
(2.8)
……………………
(2.9)
Arus :
=
+
=
(1 +
)+
(Y +
)
dengan :
=
Arus pada ujung pengirim.
=
Arus pada ujung penerima.
13
=
Tegangan pada ujung pengirim.
=
Tegangan pada ujung penerima atau beban.
Z
=
Impedansi seri total saluran.
Y/2
=
Admitansi pararel pada ujung saluran.
2.4.3. Saluran Transmisi Panjang
Saluran transmisi ini memiliki panjang lebih dari 240 km. Rangkaian
T-Nominal dan Π-Nominal tidak dapat mempresentasikan saluran transmisi
panjang dengan tepat, karena rangkaian tersebut tidak memperhitungkan
kenyataan bahwa parameter saluran tersebut merata.
Untuk mendapatkan
rangkaian ekivalen transmisi panjang secara tepat dengan mengukur pada ujungujung saluran. Rangkaian ekivalen Π untuk saluran panjang seperti gambar 2.5.
Gambar 2.5 Rangkaian ekivalen Π untuk saluran panjang (Stevenson, 1994)
Persamaan hiperbolis untuk rangkaian transmisi panjang adalah :
=
cosh
+
=
cosh
+
dan :
=
=
sinh
/
sinh
……………………
(2.9)
……………………
(2.9a)
14
dengan :
= konstanta rambatan (propagation constant)
= impedansi karakteristik
Seperti persamaan yang berlaku untuk rangkaian ekivalen Π-Nominal, maka
untuk rangkaian ekivalen Π berlaku :
=
+ Z´
……………………
(2.10)
dengan :
Z´ = impedansi seri saluran transmisi panjang.
= admitansi pararel saluran transmisi panjang.
Dengan menbandingkan persamaan (2.10) dengan persamaan (2.9) dan (2.9a),
akan diperoleh :
=
sinh
= Z
……………………
(2.11)
……………………
(2.12)
dan
+ 1 = cosh
Dengan memasukan nilai
pada persamaan (2.11) ke persamaan (2.12), maka
diperoleh :
=
=
tanh
=
2.5.
……………………
(2.13)
……………………
(2.14)
……………………
(2.15)
Kuantitas Per-Unit
Dalam sebuah perhitungan tenaga listrik yang mana permasalahan sangat
kompleks, maka diperlukan penyederhanaan penyelesaian di dalam menganalisa
suatu rangkaian sistem tenaga listrik, dapatdilakukan dengan cara mengubah
15
besaran-besaran yang sebenarnya ke dalam besaran per-unit (pu) untuk
mempermudah didalam perhitungan.
Pada prinsipnya nilai dasar sistem tiga fasa sama dengan sistem satu fasa.
Tegangan dasar pada sistem tiga fasa adalah
kali tegangan satu fasa, demikian
juga volt-amper fasa adalah tiga kali dari volt-amper satu fasa. Maka impedansi
dasar dapat diperoleh sebgai berikut (Stevenson, 1994) :
Impedansi dasar (Ω) =
…………... (2.16)
Impedansi dasar (Ω) =
……...……... (2.17)
Impedansi dasar (Ω) =
……………… (2.18)
Arus dasar =
…………….. (2.19)
Dengan menggunakan dasar-dasar persamaan diatas maka perhitungan per
unit untuk masing-masing impedansi dapat dapat dilakukan dengan persamaan,
impedansi per unit :
(2.20)
Dalam sistem kadang-kadang impedansi per-unit dinyatakan dengan dasar yang
berbeda dari yang telah dipilih sebagai dasar. Karena seluruh impedansi dalam
sistem harus dinyatakan dengan nilai dasar yang sama, maka diperlukan suatu
cara untuk mengubah besaran per-unit dari satu nilai dasar ke nilai dasar yang
lain.
Dengan mensubtitusikan persamaan 2.17 ke dalam persamaan 2.20 maka
akan diperoleh impedansi per-unit dalam suatu elemen rangkaian yaitu :
=
……… (2.21)
Persamaan (2.21) memperlihatkan bahwa impedansi per-unit berbanding lurus
dengan kilovolt-amper dasar dan berbanding terbalik kuadrat tegangan dasar.
Maka dari itu untuk mengubah impedansi per-unit menurut dasar yang diberikan
menjadi impedansi per-unit dengan dasar yang baru, dapat dipakai persamaan
berikut (Stevenson. 1996) :
16
=
x
………(2.22)
Untuk mengubah dasar nilai per-unit selain dengan persamaan (2.5) dapat juga
dilakukan dengan mengubah nilai per-unit menurut suatu dasar menjadi nilai ohm
dan membaginya dengan impedansi dasar yang baru (Stevenson, 1994).
Membuat perhitungan sistem listrik dalam nilai per-unit sangat
menyederhanakan pekerjaan. Beberapa keuntungan dari perhitungan per-unit
(Sulasno, 2001) :
1. Bila tahanan dan reaktansi dari suatu peralatan diketahui dalam % atau p.u
nilai dasar yang digunakan adalah nilai nominal kVA dan kV dari peralatan
tersebut.
2. Nilai dasar biasanya dipilih sedemikian rupa sehingga arus nominal harganya
mendekati 1.0 p.u untuk penyederhanaan perhitungan.
3. Impedansi (dalam p.u) dari transformator sama, tidak tergantung pada nilai
impedansi (dalam ohm) apakah dinyatakan terhadap sisi tegangan rendah atau
tinggi.
4. Bila impedansi dari transformator diketahui dalam p.u, kVA dasar yang
digunakan adalah nominal dari transformator tersebut dan kV dasar yang
digunakan adalah kV yang digunakan untuk memperoleh impedansi tersebut
dalam ohm.
5. Ketiga belitan dari transformator tiga belitan apabila mempunyai kVA
nominalyang berbeda maka nilai impedansinya (dalam p.u) harus dikoreksi
dengan menggunakan kVA dasar yang sama.
2.6
Klasifikasi Bus
Daya listrik selalu akan mengalir menuju beban, karena itu dalam hal ini
aliran daya juga merupakan aliran beban. Pada dasarnya beban dapat digolongkan
menjadi dua macam yaitu beban statis dan beban dinamis (berputar/bergerak).
Beban-beban ini dapat direpresentasikan sebagai impedansi tetap Z, sebagai daya
yang tetap S, tegangan V ataupun arus I yang tetap, tetapi yang lazim pembebanan
dipilih menggunakan tegangan yang konstan (Sulasno, 2001).
17
Besarnya aliran daya dan rugi-ruginya dalam setiap saluran transmisi dapat
diketahui dengan terlebih dahulu menghitung besar (magnitude) tegangan dan
sudut fasa tegangan pada semua bus dalam sistem tenaga listrik. Setiap bus dalam
sistem tenaga listrik akan memiliki 4 (empat) parameter atau besaran meliputi
(Sulasno, 2001) :
1.
Injeksi netto daya nyata (net real power injected) mempunyai simbol “ P “
dengan satuan Megawatt (MW).
2.
Injeksi netto daya semu (net reactive power injected) mempunyai simbol
“ Q “ dengan satuan Megavolt Amper Reactive (MVAR).
3.
Magnitude tegangan mempunyai symbol “ V “ dengan satuan Kilovolt (kV).
4.
Sudut fasa tegangan mempunyai simbol “
“ dengan satuan radian.
Daya nyata dan daya reaktif adalah daya yang dibangkitkan oleh generator
yang mengalir ke bus. Apabila bus sendiri mempunyai beban, maka daya ini
adalah selisih daya yang dibangkitkan generator dengan daya pada beban.
Tetapi,jika bus sistem tidak memiliki generator maka beban pada bus tersebut
dianggap sebagai generator yang membangkitkan daya negative yang mengalir ke
bus tersebut. Pada bus-bus yang demikian daya kompleks dapat dituliskan sebagai
berikut (Stevenson, 1996) :
=
+
=
-
+
-
…………........ (2.23)
dengan :
=
Daya aktif yang disuplai oleh generator pada bus i
=
Daya reaktif yang di-suplai oleh generator pada bus i
=
Daya aktif beban pada bus i
=
Daya reaktif beban pada bus i
Untuk
memperoleh penyelesaian aliran daya pada setiap bus, maka perlu
diketahui dua buah besaran dari empat besaran yang terdapat paada setiap bus
sistem tergantung pada parameter-parameter yang diketahui. Dengan demikian
setiap bus dalam sistem tenaga listrik yang digunakan dapat diklasifikasikan
dalam 3 (tiga) kategori yaitu (Sulasno, 2001) :
18
1.
Load Bus atau Bus Beban.
Load bus biasanya disebut juga bus P-Q, karena parameter-parameter yang
diketahui adalah P dan Q, sedangkan parameter-parameter yang tidak
diketahui adalah V dan
2.
Bus Control atau Generator Bus
Generator bus biasanya disebut bus P-V, dimana parameter-parameter yang
diketahui adalah P dan V, sedangkan parameter-parameter yang tidak
diketahui adalah Q dan . Bus ini memiliki kendala untuk daya reaktif (Q)
yang melalui bus. Jika kendala ini tidak dipenuhi dalam perhitungan
iterasinya, maka bus ini diganti menjadi load bus. Jika daya reaktif (Q)
memenuhi kendala tersebut dalam proses iterasinya, maka bus tersebut akan
dihitung kembali sebagai generator bus.
3.
Bus Ayun atau Bus Referensi (Slack Bus).
Parameter-parameter yang diketahui dalam slack bus adalah V dan , dimana
biasanya
dan
bernilai nol (
). Selama perhitungan aliran daya, parameter V
akan tetap dan tidak berubah. Slack Bus akan selalu memiliki generator
dimana kapasitas daya yang dimiliki paling besar. Dalam perhitungan aliran
daya, parameter P dan Q pada bus ini akan dihitung setelah proses iterasi
selesai.
adalah
Tujuan ditentukannya slack bus dalam perhitungan aliran daya
untuk
memenuhi
kekurangan
daya
(rugi-rugi
dan
beban)
seluruhnya,karena aliran daya ke dalam sistem pada setiap bus tidak dapat
ditentukan atau diketahui sampai seluruh iterasi terselesaikan. Karena itu
bus ini berfungsi sebagai bus referensi, maka sudut fasa tegangan adalah
sama dengan nol.
2.7.
Metode Penyelesaian Aliran Daya
Setelah diperolehnya tegangan-tegangan setiap bus maka bisa dihitung
besarnya aliran daya antara bus-bus yang terhubung, persamaan umum dari arus
yang menuju bus adalah :
atau dalam bentuk polar dapat ditulis :
19
Analisa aliran daya dapat diselesaikan dengan menggunakan metode-metode
sebagai berikut :
1.
Metode Gauss-Seidel
2.
Metode Newton-Raphson
3.
Metode Decoupled
4.
Metode Fast Decoupled
Dalam analisa ini mengggunakan metode Newton-Raphson karena
metode Newton-Raphson memiliki perhitungan lebih baik dan cepat daripada
metode Gauss-Seidel dan hasil lebih akurat dibandingkan dengan Fast Decoupled.
Untuk mengetahui aliran daya (load flow) pada sistem yang besar dan kompleks,
penggunaan metode Newton-Raphson lebih praktis dan efisien.
2.7.1
Metode Newton-Raphson
Dasar dari metode Newton-Raphson dalam penyelesaian aliran daya
adalah deret Taylor untuk suatu fungsi dengan dua variabel lebih, dalam metode
Newton-Raphson untuk menyelesaikan masalah aliran daya dengan menggunakan
suatu persamaan non linier untuk menghitung besarnya tegangan dan sudut fasa
tegangan tiap bus.
Suatu persamaan non-linear terdiri dari n variabel dinyatakan sebagai
berikut (Steveson, 1994) :
(
)=
(
)=
(
)=
Perkirakan jawaban persamaan ini sebagai
……………………… (2.26)
dan
, tanda (0) menunjukkan
bahwa nilai-nilai ini adalah perkiraan pertama, kemudian ditetapkan bahwa
dan
adalah nilai-nilai yang harus ditambahkan pada
dan
untuk
mendapatkan penyelesaian yang benar. Jadi dapat dituliskan (Steveson, 1996) :
20
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
) …(2.27)
(
Untuk selanjutnyan dilakukan dengan menguraikan persamaan (2.27) dalam deret
Taylor untuk menghasilkan :
=
(
)+
+…+
+
(0)
=
(
)+
+…
+
(0)
(0)
=
(
(0)
(0)
)+
(0)
+…
+
(0)
(0)
(2.28)
(0)
Dimana turunan parsial yang mempunyai orde lebih dari satu dalam
deret uraian diatas telah diabaikan. Dengan adanya pengabaian turunan-turunan
parsial yang mempunyai orde lebih dari satu, maka persamaan (2.28) dituliskan
dalam bentuk matriks sebagai berikut :
-
(
(
)
) =
(0)
,
,
(0)
-
(
)
,
(0)
, …,
(0)
(0)
, …,
(0)
(0)
……. (2.29)
, …,
(0)
(0)
dimana matriks bujursangkar turunan parsial itu dinamakan matriks Jacobi atau
matriks J. Apabila sudah ditentukan nilai Δ
Δ ,… Δ
sebagai nilai
,
…,
yang telah ditetapkan (spec) dikurangi dengan nilai , …,
yang dihitung
(calc) dari persamaan (2.26), maka dengan cara yang sama akan diperoleh :
= .
Dengan melakukan invers atau solusi secara iterasi pada matriks Jacobi maka
didapat nilai Δx pada esimasi mula-mula, apabila hasil estimasi mula-mula belum
memberikan hasil yang benar naka harus dicoba lagi dengan nilai estimasi baru
sebagai berikut :
21
=
+
....................................................... (2.30)
atau jika k dilambangkan sebagai banyaknya iterasi, maka :
=
+
………………………………. (2.31)
Dan seterusnya mengulangi proses diatas sehingga mendapatkan perbedaan nilai
yang sedemikian kecilnya sehingga memenuhi persyaratan indeks ketelitian sesuai
yang dipilih.
Untuk menerapkan metode Newton-Raphson pada penyelesaian
persamaan studi aliran daya dengan menerapkan pada suatu persamaan daya.
Untuk menyatakan tegangan bus dan admitansi saluran dalam bentuk polar, jika
dipilih dalam bentuk polar maka diuraikan unsurnya yaitu nyata(real) dan
khayal(imajiner) :
=|
=|
dan
=|
=|
Daya komplek pada bus seperti persamaan (2.24) adalah :
-
=
……………………
(2.32)
Akhirnya diperoleh :
Dengan memisahkan bagian real dan imajiner didapatkan :
Pada metode Newton-Raphson nilai-nilai Pi dan Qi dapat ditetapkan
untuk semua bus kecuali bus referensi (slack bus) memperkirakan besar dan sudut
tegangan pada setiap bus kecuali bus referensi (slack bus) yang mana besar dan
sudut tegangan telah ditentukan. Penggunaan nilai perkiraan ini untuk menghitung
nilai
dan
dari persamaan (2.27) sehingga didapatkan (Steveson, 1994) :
22
=
-
…………………… (2.36)
=
-
…………………… (2.37)
dimana “spec” berarti “yang ditetapkan” sedang “calc” berarti “dihitung”.
Nilai
dan
telah diketahui, tetapi nilai
dan
belum diketahui kecuali
pada slack bus. Kedua persamaan (2.34) dan (2.35) yang merupakan persamaan
non linier tersebut dapat diuraikan menjadi persamaan simultan linier dengan cara
menyatakan hubungan antara perubahan daya nyata
terhadap perubahan magnitude tegangan
dan daya reaktif
dan sudut fasa tegangan
.
Dalam bentuk matrik Jacobian terdiri dari turunan parsial P dan Q
terhadap masing-masing variable dalam persamaan (2.34) dan (2.35) yang dapat
dituliskan seperti berikut (Steveson, 1994) :
=
……………………….
Unsur Jacobian atau submatrik
dari persamaan (2.34) dan (2.35) terhadap
,
(2.38)
menunjukkan turunan parsial
dan V yang bersesuaian, secara
matematis dapat dituliskan sebagai berikut :
=
=
=
=
=
=
=
=
……………………..
(2.39)
Setelah seluruh persamaan diselesaikan maka, nilai koreksi magnitude dan
sudut tegangan ditambahkan ke nilai sebelumnya. Apabila k dilambangkan sebagai
banyaknya iterasi, maka :
23
=
=
+
……………………… (2.40)
+
Dengan demikian setelah diperoleh nilai magnitude dan sudut tegangan yang baru
untuk digunakan pada iterasi berikutnya. Proses iterasi terus berulang sampai
dan
untuk semua bus (selain slack bus ) memenuhi nilai konvergen
yang ditentukan.
Perhitungan aliran daya dengan menggunakan metode Newton-Raphson,
langkah-langkahnya sebagai berikut :
1. Tentukan nilai
dan
yang mengalir kedalam sistem pada
setiap bus untuk nilai yang ditentukan atau perkiraan dari besar dan
sudut tegangan untuk iterasi pertama atau tegangan yang ditentukan
paling akhir untuk iterasi berikutnya.
2. Hitung
pada setiap bus.
3. Hitung nilai-nilai jacobian dengan menggunakan nilai-nilai perkiraan
atau yang ditentukan dari besar dan sudut tegangan dalam persamaan
untuk turunan parsial dengan diferensial pada persamaan (2.34) dan
(2.35).
4. Balikkanlah jacobian itu dan hitung koreksi-koreksi tegangan
dan
| pada setiap bus.
5. Hitunglah nilai baru dari
dan
| dengan menambahkan
dan
| pada nilai sebelumnya.
6. Kembalilah ke langkah 1 dang ulangi prose situ dengan
menggunakan nilai untuk besar dan sudut tegangan yang ditentukan
paling akhir, sehingga semua nilai
dan
dan
atau semua nilai
| lebih kecil dari indeks ketepatan yang telah dipilih.
Keuntungan dalam waktu komputer yang lebih pendek untuk
penyelesaian dengan ketelitian yang sama, sehingga metode Newton-Raphson
lebih banyak dipilih untuk semua sistem, kecuali sistem yang sangat kecil atau
sistem yang berbentuk radial.