BABI - Digilib ITS

BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
2.1. Program Linier
Para ahli mendefinisikan program linier sebagai
sebuah teknik analisa yang digunakan untuk memecahkan
segala persoalan atau masalah-masalah keputusan yang ada
sehingga didapatkan hasil yang optimal dengan
memperhatikan batasan-batasan yang ada (M. Iqbal Hasan,
2002). Dalam pelaksanaannya program linier menggunakan
model matematis untuk menjalankan persoalan yang
dihadapinya. Menurut penggalan katanya sendiri adalah
linier berarti model matematisnya merupakan fungsi yang
linier ( lurus ) sedangkan program disini bukanlah sebuah
program komputer melainkan lebih mengarah kepada sebuah
perencanaan. Oleh karena itu maka program linier banyak
digunakan
untuk
masalah
meminimasikan
atau
memaksimalkan sebuah perencanaan. Nantinya hal-hal yang
dihasilkan dari program linier berbentuk beberapa
pertimbangan atau alternative penyelesaian masalah yang
optimal yang dapat ditangani oleh teknik ini. Optimal disini
berarti mencapai tujuan yang terbaik diantara seluruh
alternative yang ada. Dari uraian diatas dapat disimpulkan
program linier adalah merencanakan beberapa aktifitas
secara tepat untuk memperoleh hasil yang optimum.
Menurut J. Supranto (1983) suatu persoalan disebut
persoalan Linier Programming apabila memenuhi hal-hal
atau syarat sebagai berikut :
1. Tujuan yang akan dicapai harus dapat dinyatakan dalam
bentuk fungsi linier. Fungsi ini disebut fungsi tujuan
(fungsi obyektif). Misalnya jumlah hasil penjualan
harus maksimal, jumlah biaya transportasi harus
minimal.
2. Harus ada alternative pemecahan untuk dipilih salah
satu yang terbaik. Pemecahan yang membuat nilai
fungsi tujuan optimum (laba yang maksimum, biaya
yang minimum, dan lain sebagainya).
3. Sumber-sumber tersedia dalam jumlah yang terbatas
(bahan mentah terbatas, modal terbatas, ruang untuk
menyimpan barang terbatas, dan lain sebagainya).
4. Pembatas-pembatas harus dinyatakan didalam bentuk
pertidaksamaan yang linier.
Dari syarat-syarat sebuah persoalan Linier Programming
diatas maka dalam membuat permodelan linier programming
harus melalui beberapa langkah yaitu :
1. menentukan variabel keputusan (masalah yang akan
diselesaikan).
2. membuat rumusan tujuan.
3. merumuskan pembatas-pembatas yang menjadi kendala.
Pada dasarnya bentuk umum persoalan linier
programming dapat dirumuskan sebagai berikut :
Fungsi tujuan
: Z = C 1 x 1 +C 2 x 2 +...+C n x n (minimum
atau maksimum).
Dimana
: x 1 , x 2 , . . . , x n adalah nilai yang dicari
(variabel keputusan)
Pembatas-pembatas
: a 11 x 1 +a 12 x 2 +...+a 1n x n <=> b 1
a 21 x 1 +a 22 x 2 +...+ a 2n x n <=> b 2
.
.
.
a m1 x 1 +a m2 x 2 +...+a mn x n <=> b m
x j <=> 0
Ada beberapa metode atau cara yang dapat dipergunakan
dalam memecahkan persoalan program linier. Beberapa cara
tersebut antara lain :
1. Metode Aljabar
2. Metode Grafik
3. Metode Simplex
4. Alogaritma Simplex
5. Metode M Besar
6. Dan beberapa metode lain seperti Dual Programming,
Integer Programming.
2.2. Beberapa cara penyelesaian program linier.
Program linier dapat diselesaikan dengan beberapa
cara antara lain adalah
2.2.1.
Penyelesaian Program Linier Metode Aljabar
Metode
Aljabar
berarti
dalam
menyelesaikan
permasalahan
digunakan
perhitungan matematika untuk mendapatkan nilai
yang diinginkan (nilai yang memaksimumkan atau
nilai yang meminimumkan). Biasanya model
matematika yang dipecahkan adalah model
pertidaksamaan.
Sebagai contoh pemecahan persoalan linier
programming dengan cara aljabar perhatikan
persoalan yang telah dirumuskan sebagai berikut.
Cari
: x1, x2
Fungsi
: Z = 5x 1 + 3x 2 , minimumkan
Pembatas
: 2x 1 + x 2 ≥ 2
x1 + x2 ≥ 0
x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0
persamaan tersebut harus dirubah dulu menjadi
persamaan standar dengan memasukkan variabel
yang harus dikurangkan di dalam suatu
ketidaksamaan agar supaya menjadi persamaan.
Persamaan kemudian menjadi sebagai berikut
Cari
: x1, x2, x3, x4
Fungsi
: Z = 5x 1 + 3x 2 + 0x 3 + 0x 4 ,
minimumkan
Pembatas
: 2x 1 + x 2 - x 3 = 3
x1 + x2 - x4 = 2
x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0, x 3 ≥ 0, x 4 ≥ 0
Jawaban
:
1. x 1 = x 2 = 0
3x 1 + 5x 2 – x 3 = 3
-x 3 = 3 x 3 = -3
5x 1 + 2x 2 – x 4 = 2
-x 4 = 2 x 4 = -2
Z 1 tidak perlu dihitung karena pemecahan ini
tidak fisibel, x 3 dan x 4 tidak memenuhi syarat
(negatif).
2. x 1 = x 3 = 0
2x 1 + x 2 – x 3
x2 = 3
x2 – x4 = 2
x1 + x2 – x4
3(1) – x 4 = 2
-x 4 = 2 – 3 = -1
x4 = 1
Z 2 = 5x 1 + 3x 2 + 0x 3 + 0x 4 = 9
3. x 1 = x 4 = 0
2x 1 + x 2 – x 3 = 3
x1 + x2 – x4 = 2
x2 – x3 = 5
x2 = 2
x2 – x3 = 5
2 – x3 = 5
-x 3 = 5 – 2 = 3
x 3 = -3(tidak fisibel)
4. x 2 = x 3 = 0
2x 1 + x 2 – x 3 = 3
2x 1 = 3
x 1 = 3/2
x1 + x2 – x4 = 2
x1 – x4 = 2
3/2 – x 4 = 2
x 4 = -1/2
5. x 2 = x 4 = 0
2x 1 + x 2 – x 3 = 3
2x 1 -x 3 = 3
x1 + x2 – x4 = 2
x1 = 2
2x 1 – x 3 = 3
x3 = 1
Z 5 = 5x 1 + 3x 2 + 0x 3 + 0x 4 = 10
6. x 3 = x 4 = 0
2x 1 + x 2 – x 3 = 3
2x 1 +x 2 = 3
x1 + x2 – x4 = 2
x 1 +x 2 = 2 x1 = 1
x2 = 1
Z 6 = 5x 1 + 3x 2 + 0x 3 + 0x 4 = 8
Z 6 = Zmin karena merupakan nilai tujuan
yang terkecil apabila dibandingkan dengan
nilai tujuan lainnya. Pemecahan optimal
memberikan nilai Z = 8 dengan x 1 = x 2 = 1.
2.2.2.
`Penyelesaian Program Linier dengan Metode
grafik
Metode Grafik dipergunakan dalam
penyelesaian apabila program linier tersebut
mempunyai dua variable saja. Bila program linier
terdiri dari tiga variabel maka akan sangat susah
dan rumit untuk digambarkan Prosedur pemecahan
dengan metode grafik adalah sebagai berikut :
a. Setiap pertidaksamaan harus digambarkan
grafiknya sehingga secara keseluruhan bisa
diperoleh daerah dimana variabel yang dicari
boleh mengambil nilai ( harus lebih bersar dari
nol).
b. Fungsi obyektif juga harus digambarkan
grafiknya dengan jalan menentukan nilai z
semaunya saja, kemudian dibuat garis yang
menunjukkan garis fungsi z tersebut. Kemudian
tarik garis yang sejajar atau parallel dengan
garis ini. Garis itu ditarik kearah yang
memberikan nilai semakin besar atau semakin
kecil sampai dicapai titik yang memberikan
nilai fungsi obyektif z maksimum atau
minimum (tergantung pada persoalan yang
akan dipecahkan).
2.2.3.
Penyelesaian program linier dengan metode
simplex.
Penyelesaian program linier dengan metode
simplex adalah metode yang paling efisien dalam
memecahkan persoalan program linier. Walaupun
cara aljabar dapat dipergunakan untuk jumlah
variabel lebih dari dua akan tetapi cara ini tidak
efisien untuk variable yang terlalu banyak. Misalkan
kalau ada 10 variabel dengan 5 persamaan, maka
akan diperoleh lebih dari 200 persamaan dasar.
Sedangkan cara grafik hanya cocok untuk dua
variable saja. Untuk variabel lebih dari tiga akan
susah dalam penggambarannya. Oleh karena itu cara
simplex adalah metode yang paling efisien untuk
dipakai.
Metode simplex adalah suatu metode yang
memerlukan perhitungan yang berulang-ulang atau
bersifat iterative yang bergerak selangkah demi
selangkah menuju titik ekstrim yang optimum.
Pemecahanya
adalah
dengan
mengadakan
pengubahan pertidaksamaan menjadi persamaan
dengan cara menambahkan slack variabel untuk
pertidaksamaan yang mengandung tanda ≤ dan
mengurangkan
variabel
surplus
untuk
pertidaksamaan yang mengandung tanda ≥.
Beberapa langkah pemecahan dengan metode
simplex seperti berikut ini.
Langkah 1.
Mengubah fungsi tujuan menjadi fungsi implicit,
artinya c ij x ij dipindahkan ke sebelah kiri sehingga
sama dengan nol. Kemudian mengubah fungsi
pembatas dari pertidaksamaan menjadi persamaan
dengan menambahkan slack variabel.
Langkah 2.
Data disusun kedalam bentuk tabel, dimana :
Kolom variabel dasar (basis) memuat variabel
Z dan variabel slack.
Kolom Z memuat data koefisien Z dan
koefisien variabel tambahan.
-
Kolom x1, x2, … memuat data koefisien yang
bersesuaian dengan variabel.
Kolom solusi memuat data sebelah kanan
persamaan dari fungsi pembatas.
Langkah 3.
Menentukan kolom kunci. Kolom kunci adalah
kolom yang memiliki nilai pada baris funsi tujuan
yang bertanda negative dan harga mutlak terbesar.
Jika seandainya pada suatu table tidak terdapat lagi
nilai yang bertanda negative pada baris fungsi
tujuannya, maka jawaban sudah optimal.
Langkah 4.
Menentukan baris kunci. Baris kunci didapat dengan
melihat kolom rasio. Kolom rasio adalah kolom
hasil bagi antara nilai pada kolom solusi dengan
nilai pada kolom kunci. Baris kunci merupakan baris
yang pada kolom rasio nilainya positif terkecil.
Langkah 5.
Menentukan kolom pengali. Kolom pengali adalah
kolom hasil bagi antara nilai pada kolom kunci
dengan nilai perpotongan baris kunci dengan kolom
kunci. Tiap nilai hasil kemudian dikalikan -1 kecuali
nilai pada baris kunci.
Langkah 6.
Mengubah elemen pada baris kunci dangan cara
semua elemen pada baris kunci dibagi dengan
elemen perpotongan baris dan kolom kunci.
Langkah 7.
Mengubah elemen pada baris yang lain dengan
rumus :
EBB = EBL + (EKP x EBK)
Keterangan :
EBB = elemen baris baru
EBL =
EKP =
BK =
elemen baris lama
elemen kolom pengali
elemen baris kunci
Langkah 8
Apabila pada koefisien z masih terdapat nilai
negative maka ulangi langkah 3 sampai langkah 7
hingga didapatkan hasil yang optimum.
Langkah-langkah diatas adalah penyelesaian
untuk persoalan maksimasi, sedangkan bila yang
timbul adalah persoalan minimasi maka caranya
adalah pada langkah 1 ubah persamaan fungsi tujuan
dengan cara mengalikan dengan -1, kolom kunci
merupakan kolom paling positif, kemudian
selesaikan sebagai persoalan maksimasi. Persamaan
yang minimum bila dikalikan -1 akan menjadi
maksimum. Oleh sebab itu bila hasil perhitungannya
sudah didapat, maka harus dikalikan -1 kembali
untuk mendapatkan nilai minimum.
Contoh, fungsi Z = 5x 1 + 3x 2 (minimumkan)
Pembatas 2x 1 + x 2 ≥ 3
x1 + x2 ≥ 2
x1, x2 ≥ 0
Langkah 1
Ubah fungsi,
-Z = -5x 1 - 3x 2 → -Z = Z*
Z* = -5x 1 - 3x 2 (maks)
2x 1 + x 2 - s 1 = 3
x1 + x2 - s2 = 2
Langkah 2
Tabel 2.1 Tabel Simpleks
Bentuk table data
Iterasi Basis Z X 1 X 2 S 1 S 2 Solusi Rasio Pengali
Z
1 5
3 0 0
0
0
S1
0 2
1 -1 0
3
0 1
1
0 -1
2
S2
Langkah 3
Menentukan kolom kunci
X
S
X2 S1
Iterasi Basis Z
1
0
Z
S1
S2
1
0
0
5
2
1
2
3 0 0
1 -1 0
1 0 -1
Kolom kunci
Langkah 4
Menentukan baris kunci
S S
X
X2
Iterasi Basis Z
1
0
1
2
Solusi
Rasio
0
3
2
-
Solusi
Rasio
Z
1
5
3
0
0
0
-
S1
0
2
1
-1
0
3
3
2
S2
0
1
1 0 -1
Kolom kunci
2
Langkah 5
Menentukan kolom pengali
X X S S
Solusi
Iterasi Basis Z
0
1
2
1
2
Pengali
Pengali
2
Baris kunci
Rasio
Z
1
5
3
0
0
0
-
S1
0
2
1
-1
0
3
3/2
S2
0
1
1
0
-1
2
2
Pengali

5
2
1/2

1
2
Langkah 6
Mengubah elemen baris kunci
X S S
Solusi
Iterasi Basis Z S 1
0
2
1
2
0
0
Z
1
-400
-300
0
X1
0
1
1/2
1/2
0
3/2
S2
0
2
2
0
1
300
-
Rasio
Pengali
-
Langkah 7
Mengubah elemen baris yang lainnya
Iterasi Basis Z S 1 X 2
S1
S 2 Solusi Rasio Pengali
0
Z
1
0
X1
0
1
S2
0
0
1
2
1
2
1
2
5
2

0
1
2
1
2
0
-1

15
2
3
2
1
2
-
Langkah 8
Karena pada koefisien z masih terdapat nilai yang
positif maka langkah 3 sampai langkah 7 diulang
sehingga di dapat tabel
Iterasi Basis Z X 1 X 2 S 1
S 2 Solusi rasio Pengali
0
Z
1
0
0
2
1
-8
X1
X2
0
0
1
0
0
1
-1
1
1
-2
1
1
-
Dengan demikian didapatkan :
X1 = 1
Z* = -Z = -8 berarti Zmin = 8
X2 = 1
2.3. Struktur tower
Tower telekomunikasi biasanya menggunakan besi
profil siku sebagai struktur utamanya. Beberapa alasan
mengapa profil ini digunakan sebagai struktur adalah karena
profil tidak terlalu besar, dan tidak terlalu berat serta yang
paling penting adalah kemudahannya sewaktu pelaksanaan
erection. Dengan menggunakan profil siku pemasangan
tower (pembautan) akan lebih mudah apabila dibandingkan
dengan menggunakan profil yang lainnya.
Struktur utama tower didefinisikan sebagai Truss
yang mana pada tiap-tiap komponen hanya menerima
tegangan tarik dan tegangan tekan saja. Struktur tower terdiri
dari tiga buah bagian yaitu:
leg tower
bracing tower
redundant tower
ketiga bagian tersebut membentuk sebuah sub-struktur,
sedangkan kumpulan dari beberapa sub-struktur membentuk
struktur tower itu sendiri.
utama
komponen-komponen
Berikut
fungsi
struktur:
- leg tower
: leg tower berfungsi sebagai penyokong
utama berdirinya struktur utama. Salah
satu tujuannya adalah untuk menahan
beban gravitasi yang terjadi dan
sebagian beban horizontal yang terjadi.
- bracing tower
: bracing tower mempunyai fungsi
sebagai
pemikul
utama
beban
horizontal yang terjadi pada tower dan
kemudian menyalurkannya kebawah.
- redundant tower : redundant tower berfungsi untuk
menjaga stabilitas leg tower ketika
memikul beban gravitasi.
2.3.1. Fabrikasi dan Erection Tower
Sebelum erection tower tentunya diawali
dengan fabrikasi. Fabrikasi material tower diawali
dengan memotong lonjoran-lonjoran besi profil
sesuai dengan ukuran yang diinginkan. Potongan
tersebut kemudian ditandai dan diberi kode
berdasarkan urutan dan pasangan pada saat erection.
Pemberian tanda dilakukan agar tidak terjadi
kesalahan dan kesulitan pada erection, dengan kata
lain mempermudah pelaksanaan erection. Selanjutnya
besi profil diberi lubang untuk tempat baut. Setelah
semuanya selesai besi profil diberi lapisan anti karat.
Biasanya lapisan anti karat untuk tower adalah
galvanis maka dari itu semua besi profil yang sudah
dipotong, ditandai dan dilubangi dikirim ke
perusahaan galvanis.
Untuk erection harus mengacu pada kodekode yang telah dibuat. Apabila tidak mengacu sesuai
kode dapat dipastikan pelaksanaan erection akan
kacau karena ukuran besi profil yang ada hamper
sama antara satu dengan yang lain.
2.4. Program Solver
Solver adalah suatu program penyelesaian pada
Excel untuk menyelesaikan masalah-masalah yang meliputi
jawaban fungsi tujuan dan jawaban kendala serta jawaban
analisis sensitivitas. Ada beberapa rumus implementasi yang
perlu dimengerti dalam Excel :
a. SUMPRODUCT
(a1:b2,c1:d2)
artinya
perkalian dari (a1 x c1)+(b2 x d2).
b.
SUM (c1:c3) artinya penjumlahan dari
(c1+...+c3).
c. SUM (a1,b2,d10,f9) artinya penjumlahan dari
(a1+b2+d10+f9)
Ada beberapa hal yang harus dilakukan sebelum memasuki
solver diantaranya adalah mendefinisikan dan memilih
variabel keputusan, kendala dan fungsi tujuan dari suatu
masalah. Setelah itu masukkan data fungsi tujuan, kendala
dan variabel keputusan dalam solver parameternya.
Banyak masalah-masalah yang bisa diselesaikan
oleh program ini diantaranya adalah masalah pembelian,
masalah produksi, masalah sisa potongan, masalah distribusi,
masalah keuangan, serta masalah penjadwalan.