1 MODEL MATEMATIKA SISTEM ELEKTRIK

MODEL MATEMATIKA SISTEM ELEKTRIK
PENGANTAR
Pada bagian ini akan dibahas mengenai pembuatan model matematika dari sistem elektrik
baik dalam bentuk persamaan differensial, fungsi alih maupun diagram blok. Sistem
elektrik yang akan dibahas meliputi rangkaian listrik yang melibatkan resistor, induktor,
kapasitor dan operasional amplifier. Persamaan dinamik dari elemen sistem elektrik
diperoleh berdasarkan hukum arus dan tegangan Kirchoff
MODEL MATEMATIKA SISTEM ELEKTRIK
Hukum dasar yang mengatur sistem elektrik adalah Hukum arus dan tegangan Kirchoff.
Hukum arus Kirchoff menyatakan bahwa jumlah arus yang memasuki suatu simpul sama
dengan jumlah arus yang meninggalkan simpul yang sama. Hukum tegangan Kirchoff
menyatakan bahwa jumlah tegangan dalam suatu loop sama dengan nol. Model
matematika dari suatu rangkaian listrik ini dapat diperoleh dengan menerapkan salah satu
atau kedua dari Hukum Kirchoff.
Elemen sistem elektrik terdiri dari :
1. Resistor
i(t)
ei(t)
R
Vr(t)
Persamaan dinamik :
v R (t ) = R . i (t )
Transformasi Laplacenya :
V R (s ) = R . I (s )
1
Fungsi alih :
VR (s )
=R
I (s )
Diagram Blok :
I ( s)
VR(s)
R
2. Induktor
I(t)
ei(t)
vL(t)
L
Persamaan dinamik :
v L (t ) = L .
di (t )
dt
Transformasi Laplacenya :
V L (s ) = L .s . I (s )
Fungsi alih :
V L (s )
= Ls
I (s )
Diagram Blok :
I ( s)
VL(s)
L.s
2
3. Kapasitor
I(t)
ei(t) C
vC (t)
Persamaan dinamik :
vC (t ) =
1
i (t ) dt
C∫
Transformasi Laplacenya :
VC (s ) =
1
I (s )
Cs
Fungsi alih :
Vc (s )
1
=
I (s )
Cs
Diagram blok :
I(s)
1
Cs
VL(s)
4. Operasional Amplifier
v2
v1
i1
K
i1
vo
Sifat –sifat Operasional amplifier :
1. Gain sangat besar K= 10 5 sampai dengan 10 6 kali.
3
2. Mempunyai dua masukan yaitu masukan positif (v1) dan masukan negatif (v2).
3. Mempunyai impedansi masukan yang sangat besar sehingga arus input pada masukan
positif atau masukan negatif kecil sekali ≈ 0
4. Mempunyai keluaran vo = K ( v1 – v2 )
a. Non inverting amplifier
if R
f
i1 R1
i0
A
vo
vi
Node A : if – i1 – i0 = 0
ii (t ) =
v A (t )
R1
dan
i f (t ) =
vo (t ) − v A (t )
Rf
kondisi ideal :
i0 ≈ 0 dan
ε=0
maka
v A (t ) = vi (t )
sehingga
ii (t ) = i f (t )
v A (t ) vo (t ) − v A (t )
=
R1
Rf
vo (t ) v A (t ) v A (t )
=
+
Rf
R1
Rf
4
vo (t ) vi (t ) vi (t )
=
+
Rf
R1
Rf
⎛ Rf ⎞
⎟ vi (t )
vo (t ) = ⎜⎜1 +
⎟
R
1 ⎠
⎝
Transformasi laplacenya :
⎛ Rf
Vo (s ) = ⎜⎜1 +
R1
⎝
⎞
⎟ V1 (s )
⎟
⎠
Fungsi alih :
Rf
Vo (s )
= 1+
Vi (s )
R1
Diagram blok :
Vi(s)
R1 +
Rf
if
Rf
Vo(s)
R1
b. Inverting amplifier
i1
i0
R1
A
vi
vo
Node A : i1 – i0 – if = 0
ii (t ) =
vi (t ) − v A (t )
R1
dan
i f (t ) =
v A (t ) − vo (t )
Rf
kondisi ideal :
5
i0 ≈ 0 dan v A (t ) = ε = 0 ,
sehingga
i1 (t ) = i f (t )
vi (t ) − v A (t ) v A (t ) − vo (t )
=
R1
Rf
vi (t )
v (t )
=− o
R1
Rf
vo (t ) = −
Rf
R1
vi (t )
Transformasi Laplacenya :
Vo (s ) = −
Rf
R1
Vi (s )
Fungsi alih :
Rf
Vo (s )
=−
Vi (s )
R1
Diagram blok :
Vi(s)
−
Rf
R1
Vo(s)
Untuk mendapatkan fungsi alih dari inverting amplifier dapat dilakukan dengan pendekatan
impedansi. Tinjau rangkaian inverting amplifier berikut :
6
I(s)
I(s)
Z2(s)
Z1(s)
Vi(s)
V0(s)
Dari rangkaian inverting amplifier di atas kita dapatkan :
V1 (s ) = Z1 (s ). I (s )
V2 (s ) = − Z 2 (s ). I (s )
Sehingga fungsi alih dari rangkaian inverting amplifier di atas adalah
Vo (s )
Z (s )
=− 2
Vi (s )
Z1 (s )
Tabel berikut menunjukkan fungsi alih dari rangkaian inverting amplifier untuk impedansi
masukan Z1(s) dan impedansi keluaran Z2(s) yang bervariasi
7
Elemen input
Elemen feedback
R1
R2
Z1 = R1
Z2 = R2
R1
C2
Fungsi alih
−
a
⎛
1 ⎞1
⎜⎜ −
⎟⎟
R
C
⎝ 1 2⎠s
b
Z1 = R1
Z2 = C2
C1
R2
(− R2C1 )s
c
Z1 = C1
Z2 = R2
R2
1
R1C2
1
s+
R2C2
−
R1
d
Z1 = R1
R1
e
R2
R1
C2
1
1
=
+ sC 2
Z2 R 2
C2
R2
Z1 = R1
Z2 = R 2 +
1
sC 2
−
R2 ⎛ s + 1 R2C2 ⎞
⎜
⎟
R1 ⎝
s
⎠
R1
R2
f
C1
1
1
=
+ sC1
Z1 R 1
Z2 = R2
R1
R2
⎛
1 ⎞
⎟
− R2C1 ⎜⎜ s +
R1C1 ⎟⎠
⎝
−
g
C2
C1
1
1
=
+ sC1
Z1 R 1
1
1
=
+ sC 2
Z2 R 2
8
1 ⎞
C1 ⎛
⎜⎜ s +
⎟
C2 ⎝
R1C1 ⎟⎠
1
s+
R2C2
Contoh sistem elektrik yang lainya :
1. Perhatikan rangkaian operasional amplifier berikut.
A
C
v1
B
R2
R1
vo
R3
Tentukan fungsi alih sistem Vo(s) / Vi(s)
Penyelesaian :
Tegangan di titik A dalam transformasi Laplace :
V A (s ) =
R1
1
+ R1
sC1
Vi (s ) =
sR1C1
Vi (s )
sR1C1 + 1
Tegangan di titik B dalam transformasi Laplace :
VB ( s) =
R3
Vo ( s )
R2 + R3
Perhatikan bahwa :
V A (s ) − V B (s ) = K Vo (s )
Karena K nilainya sangat besar sekali, maka
V A (s ) = V B (s )
R3
sR1C1
Vi (s ) =
Vo ( s )
sR1C1 + 1
R2 + R3
Sehingga fungsi alih dari rangkaian operasional amplifier adalah
⎛ R2 ⎞
⎜⎜1 +
⎟⎟ s
R
Vo (s ) R2 + R3 sR1C1
3⎠
=
=⎝
1
Vi (s )
R3 sR1C1 + 1
s+
R1C
9
LATIHAN
Perhatikan sistem rangkaian RC paralel berikut :
Jika eo(t) adalah keluaran sistem dan ei(t) adalah masukan sistem, maka tentukan model
matematika dari sistem rangkaian RC paralel ini dalam bentuk fungsi alih.
10