Ruang Vektor Euclidean

Aljabar Linier & Matriks
1
Pendahuluan
 Ruang vektor tidak hanya terbatas maksimal 3 dimensi saja
 4 dimensi, 5 dimensi, dst
 ruang n-dimensi
 Jika n adalah bilangan bulat positif, maka sekuens sebanyak n bilangan
riil dinyatakan sebagai (a1, a2, …, an) disebut berada dalam ruang n
atau Rn.
 Dua vektor u = (u1, u2,…,un) dan v =(v1, v2,…,vn) dalam Rn adalah sama
jika
2
 Jumlahan vektor u dan v didefinisikan sebagai:
 Jika k adalah skalar maka
 Vektor nol dalam Rn didefinisikan sbg:
 Jika vektor u = (u1, u2,…,un) dalam Rn maka negatif vektor u
didefinisikan sbg:
 Beda antara dua vektor dalam Rn didefinisikan sbg:
3
Examples
 Data eksperimental
Seorang ilmuan melakukan eksperimen dan membuat n pengukuran numerik
setiap satu kali eksperimen. Hasilnya dapat dinyatakan sebagai vektor y=(y1,
y2,…,yn) dalam Rn dengan y1, y2,…, yn adalah hasil pengukuran.
 Gambar atau citra
Salah satu cara untuk menampilkan gambar (citra) berwarna pada layar
komputer adalah dengan menambahkan informasi hue, saturasi, dan
kecerahan (brightness) pada tiap pikselnya. Dengan demikian gambar
berwarna dinyatakan dalam vektor 5 dimensi, misalnya v = ((x, y, h, s, b); x dan
y menyatakan posisi koordinat piksel pada layar, h = hue, s = saturasi, dan b =
kecerahan.
4
Sifat-sifat Aritmatika Vektor Rn
Jika u, v dan w adl vektor dalam Rn dan k dan m adl skalar,
maka:
 u+v=v+u
 u +( v + w) = (u + v) + w
 u+0=0+u=u
 u + (-u) = 0 atau u – u = 0
 k(m u) = (k m)u
 k(u + v) = ku + kv
 (k + m)u = ku + mu
 1u = u
5
Euclidean
n
R
 Jika vektor u = (u1, u2,…,un) dan v =(v1, v2,…,vn) dalam Rn maka hasil
kali perkalian dalam u.v adalah
 Contoh
Jika u = (2, 4, 4, 1) dan v = (-1, -4, 3, 2) maka temukan u.v
Catatan:
Bandingkan dengan perkalian titik pada ruang 2D dan 3D
6
Sifat-sifat Perkalian Dalam
Jika u, v dan w adl vektor dalam Rn dan k adl skalar, maka:
 u.v = v.u
 (u + v).w = u.w + v.w
 (ku).v = k(u.v)
 v.v ≥ 0; v.v = 0 jika dan hanya jika v = 0
Contoh aplikasi perkalian dalam (dot product)  ISBN
(International Standard Book Number)
7
International Standard Book Number
Semua buku yang dipublikasikan 25 tahun terakhir diberikan 10 digit
bilangan unik yg dikenal dgn istilah ISBN. Sembilan digit pertama
dibagi dlm 3 grup, grup pertama mewakili negara atau grup negara dari
mana buku berasal, grup kedua menentukan penerbit, dan grup ketiga untuk judul buku yg bersangkutan. Angka ke-10 disebut digit cek,
dihitung dari sembilan digit pertama dan digunakan utk memastikan
bahwa transmisi elektronik dr ISBN (misalkan via internet) tidak
mengalami eror.
Misalkan sembilan digit pertama dlm ISBN dinyatakan sbg vektor b
dan vektor a = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), maka digit cek c dpt ditentukan
8
dengan prosedur sbb:
 Temukan hasil a.b
 Bagi a.b dengan 11, yg akan menghasilkan sisa c (berupa bilangan 0 –
9). Jika dihasilkan c = 10 maka ditulis X utk menghindari digit dobel.
Contoh:
ISBN nomor 0 – 471 – 15307 – 9
maka a = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) dan b = (0, 4, 7, 1, 1, 5, 3, 0, 7)
sehingga a.b = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).(0, 4, 7, 1, 1, 5, 3, 0, 7) = 152
 152/11 = 13 + 9/11  sisa = c = 9  digit ke=10
9
Norma & Jarak Euclidean
n
R
Jika vektor u = (u1, u2,…,un) dan v =(v1, v2,…,vn) dalam Rn maka:
 Norma vektor u didefinisikan sbg:
 Jarak antara vektor u dan v dinyatakan sbg:
Contoh:
Jika u = ( 1, 3, -2, 7) dan v = (0, 7, 2, 2) maka temukanlah ||u|| dan jarak
antara u dan v.
10
Teorema:
 Jika vektor u dan v dalam Rn maka:
 Jika vektor u dan v dalam Rn maka u dan v orthogonal jika u.v = 0.
 Jika u dan v ortogonal dalam Rn maka
 Notasi alternatif utk vektor dimensi n
- sbg vektor baris
atau vektor kolom
11
Formula Matriks Utk Perkalian Titik
Jika u dan v adl sbb:
Maka
Sehingga dapat dinyatakan:
12
Juga berlaku:
dengan A adl matriks ukuran nxn.
Contoh:
Buktikan u.v = vTu jika
13
Transformasi dari
n
R
ke
m
R
Fungsi dari Rn ke Rm memetakan variabel dalam domain ruang n (Rn)
ke kodomain ruang m (Rm).
Notasi
f : Rn  Rm
Jika n = m maka:
f : Rn  Rn
Misalkan:
Fungsi yg memetakan dari R2 ke R3
14
Ilustrasi:
Misalkan fungsi f1, f2, …, fm adalah fungsi bernilai riil dari n variabel
sbb:
Hal ini berarti bahwa ada m fungsi f yang memetakan setiap titik (x1,
x2, …, xn) dlm Rn ke satu titik unik (w1, w2, …, wn) dlm Rm. Dapat
dinotasikan sbg;
T : Rn  Rm
dan
15
Example
Misalkan fungsi yg memetakan dari R2 ke R3 sbb:
Notasi fungsi transformasi:
T : R 2  R3
Tranformasi akan memetakan titik (x1, x2) ke:
T(x1, x2) = (x1 + x2, 3x1 x2 , x12 – x22)
Dimana peta titik (1, -2)? T(1, -2) = …………..
16
Transformasi Linear
Jika persamaan transformasinya linear maka
T : Rn  Rm
disebut transformasi linear (atau operator linear jika n = m). Maka
bentuknya menjadi:
Dalam bentuk matriks mjd:
17
atau dpt dinyatakan sbg:
w = Ax
Matriks A disebut matriks standar utk transformasi linear T, dan T
disebut perkalian oleh A (multiplication by A).
Contoh:
Transformasi linear T : R  R ditentukan oleh:
4
3
maka dlm bentuk matriks:
18
Jenis-jenis Transformasi Linear
19
20
Operator Proyeksi
Operator utk memetakan vektor ke proyeksi ortogonal sejajar sumbu x
dpt dinyatakan dgn w = T(x) sbb:
Sehingga matriks standarnya adl:
21
Proyeksi Ortogonal
2
R
22
Proyeksi Ortogonal
3
R
23
Examples
 Gunakan perkalian matriks untuk menemukan cerminan titik (-1, 2)
terhadap:
 Sumbu x
 Sumbu y
 Garis y = x
 Gunakan perkalian matriks untuk menemukan cerminan titik (2, -5, 3)
terhadap:
 Bidang xy
 Bidang xz
 Bidang yz
24
Examples
 Gunakan perkalian matriks untuk menemukan proyeksi ortogonal
titik (2, -5) terhadap:
 Sumbu x
 Sumbu y
 Gunakan perkalian matriks untuk menemukan proyeksi ortogonal titik
(-2, 1, 3) terhadap:
 Bidang xy
 Bidang xz
 Bidang yz
25