Pendahuluan Gelombang

Pendahuluan Gelombang
Dede Djuhana
E-mail:[email protected]
Departemen Fisika FMIPA-UI
0-0
Gelombang
✍ Gangguan sifat fisis suatu medium yang merambat dalam medium menurut tempat dan waktu,
dimana medium tidak bergerak
Berdasarkan arah rambat gelombang :
• Gelombang Longitudinal
• Gelombang Transversal
Berdasarkan sifat terjadinya gelombang
• Gelombang Elastis
• Gelombang Permukaan
• Gelombang Mekanik
• Gelombang Elektromagnet
Gelombang & Optik
1
Persamaan gelombang
∂2ξ
2
=
v
∂2t
∂2ξ
∂2ξ
∂2ξ
+
+ 2
2
2
∂x
∂y
∂z
(1)
ξ(x, t) = f1 (x − vt) + f2 (x + vt)
(2)
solusinya untuk arah sumbu-x dapat dinyatakan sbb:
ξ(x, t) dapat merupakan deformasi zat padat, tekanan dalam gas, medan listrik/magnet dll. Hal yang
menarik jika ξ(x, t) adalah gelombang harmonik/sinusiodal.
ξ(x, t) = ξo sin k(x − vt); k =
ξ(x, t) = ξo sin 2π
Gelombang & Optik
t
x
−
λ
T
2π
λ
(3a)
(3b)
2
Gelombang dalam media
Gel. longitudinal dalam batang pejal
v=
r
K
=
µ
r
Y =modulus Young dan ρ=kerapatan
Y
ρ
(4)
Gel. longitudinal dalam pegas
v=
r
K=modulus elastis pegas, k=konstanta pegas k
=
K
l
Kl
=
m
s
kl
µ
(5)
dan µ=massa/panjang
Gel. tekanan dalam gas
v=
B=Modulus Bulk
Gelombang & Optik
r
B
ρ
isotermis
(6)
3
Gerak gelombang dalam gas terjadi dalam proses adiabatik (tidak ada pertukaran panas) :
v=
r
P = cρ γ
γP
ρ
(7)
RT
M
(8)
Jika gas mengikuti gas ideal maka kecepatannya :
v=
r
γ
γ =konstant Laplace;R=konstanta; T=temperatur(K) dan M=berat molekul
• Cepat rambat bunyi tidak tergantung pada tekanan.
√
√
• v 1 : v 2 = T1 : T2 .
q
q
γ1
γ2
• v 1 : v 2 = M1 : M
2
Gel. transversal dalam tali
v=
T=tegangan tali dan µ=massa/panjang
Gelombang & Optik
r
T
µ
(9)
4
Gel. transversal dalam batang
v=
M=modulus geser dan ρ=kerapatan.
r
M
ρ
(10)
Gel permukaan dalam zat cair
Gaya-gaya yang bekerja pada permukaan :
• gaya karena tekanan udara
• gaya tegangan muka
• gaya berat cairan berada dibagian permukaan
Bentuk umum persamaan gelombang :
v=
s
2πγ
gλ
+
2π
ρλ
tanh
2πh
λ
(11)
dimana h=kedalaman cairan dan γ =tegangan muka zat cair.
Batasan-batasan :
Gelombang & Optik
5
• Jika h λ misal : laut dalam, sehingga tanh
v=
s
2πh
λ
∼1
2πγ
gλ
+
2π
ρλ
(12)
q
= gλ
→ gelombang gravitasi
2π
q
2πγ
2. Apabila λ cukup kecil maka v =
→ gelombang kapiler
ρλ
1. Apabila λ cukup besar maka v
• Jika h λ sehingga tanh
2πh
λ
2πh
λ
=
s
v
=
s
v
=
v
Gelombang & Optik
∼
2πγ
gλ
+
2π
ρλ
2πh
λ
4π 2 γh 4π 2 γh
gh +
;
≈0
ρλ2
ρλ2
p
gh
(13)
(14)
(15)
6
Hal ini cepat rambat tidak tergantung pada λ atau ω maka disebut medium NON-DISPERSIF,
sebaliknya jika tergantung λ atau ω disebut medium DISPERSIF.
Gel. dalam zat padat tak terbatas
v=
s
B + 4/3M
ρ
(16)
B=modulus Bulk dan M=modulus Geser.
Gel. Elektromagnetik
Gelombang terdiri atas medan listrik dan medan magnet merambat tegak lurus arah perambatan. Arah
~
rambat ditentukan oleh perkalian silang E
~
×B
Kecepatan GEM
c=
r
1
≈ 3 × 108 m/s
o µo
(17)
µo =permeabilitas dan o =permitivitas. Dalam medium berlaku
~ = v|B|
~ dalam medium
|E|
Gelombang & Optik
(18)
7
Energi dan Intensitas
✍ Dalam penjalarannya gelombang membawa energi dan momentum.
Intensitas Gel. longitudinal
Misalnya gerak gelombang dalam batang
∂W
∂t
fungsi gelombang ξ = ξo sin(kx − ωt)
∂ξ
∂t
∂ξ
∂x
F
=
(−F )
∂ξ
∂t
=
−ωξo cos(kx − ωt)
=
ξo k sin(kx − ωt)
=
YA
(19)
∂ξ
= Y Ak sin(kx − ωt)
∂x
Maka energi persatuan waktu
∂W
= Y Aωkξo2 cos2 (kx − ωt)
∂t
Gelombang & Optik
(20)
8
jika v
2
=
Y
ρ
→ Y = ρv 2 dan ω = kv
1
Energi total GHS= 2 ρω
2 2
ξo
∂W
∂t
∂W
∂t
=
vAρω 2 ξo2 cos2 (kx − ωt)
=
1
vA( ρω 2 ξo2 )
2
avg
(21)
menyatakan energi persatuan volume atau rapat energi.
1
I=
A
∂W
∂t
= vE
(22)
avg
2
dimana vE =Arus energi persatuan luas persatuan waktu atau Intensitas gelombang satuan W/m .
Intensitas Gel. Tekanan(gas)
Hubungan amplitudo dengan tekanan
Po = vρo ωξo → ξo =
Gelombang & Optik
Po
ρo ωv
(23)
9
Rapat energi atau intensitas
E
I
=
1 2 2
1
ρω ξo = ρω 2
2
2
=
Po2
2ρo v 2
=
Po2
vE =
2ρv
Po
ρωv
2
(24)
(25)
Intensitas gelombang elektromagnetik
~ 2
= 12 o |E|
1
~ 2 = 1 o |E|
~ 2
Rapat energi medan magnet EB = 2µ
|
B|
2
o
~ 2
Rapat energi total Etotal = EL + EB = o |E|
Rapat energi medan listrik EL
Intensitas rata-rata
Irata =
1
~ 2
co |E|
2
(26)
Momentum persatuan volume
p=
Gelombang & Optik
E
~ × B|
~
= o | E
c
(27)
10
Kecepatan Grup
✍ Kecepatan grup adalah kecepatan dari gelombang yang bersuperposisi dengan perbedaan frekuensi
yang kecil dan amplitudo yang sama
◦
misal : cahaya putih (λ
◦
: 300A − 700A)
Amplitudo bermodulasi berhubungan dengan kecepatan yang didefinisikan
vg
=
=
=
dv
Pada kondisi dk
Pada kondisi vg
d(kv)
dω
=
dk
dk
dv
dk
+k
v
dk
dk
dv
v+k
dk
= 0 disebut Kecepatan fase → vg = v pada medium NON-DISPERSIF.
< v atau vg > v pada medium DISPERSIF. q
Contoh : Gelombang suatu permukaan cairan dinyatakan v
Jawab : vg
dv
= v + k dk
=v−
Gelombang & Optik
(28)
v
2
=
v
2
=
gλ
.
2π
Tentukan kecepatan grup?
→ vg < v
11
LATIHAN
1. Tunjukkan apakah gelombang ξ(z, t)
= A sin2 4π(t + z) fungsi gelombang, berapakah cepat
rambatnya ?
2. Fungsi gelombang ξ(x, t)
= 10 cos 2π
dan frekuensi!
x
2×10−7
15
− 1, 5 × 10 t Tentukan : Kecepatan, λ
3. Sebuah gelombang merambat ke arah x-positif dengan kecepatan 100 cm/s. Pada jarak x=10,
gelombang tersebut meme nuhi persamaan :
S(x = 10, t) = 0, 5sin(0, 4t)cm, t dalam detik.
Tentukan:
(a) Panjang gelombang dan frekuensi
(b) Fungsi gelombang tersebut S(x,t)
(c) Percepatan getar pada t=0, x=10 cm
4. Suatu gelombang harmonik dengan amplitudo 10 satuan, yang dituliskan oleh fungsi gelombang
ξ(x, t) sedemikian hingga ξ(0, 0)=0. Jika frekuensi sudut= π2 dan bergerak dengan kecepatan 10
m/det. Tentukan besar gangguan pada t=5 pada titik 20 m dari titik asalnya (x=0).
Gelombang & Optik
12