DERET FOURIER

Analisa
Fourier
S1 Sistem Komputer
Oleh Musayyanah, S.ST, MT
1
2
Analisis Fourier
• Sinyal yang memiliki lebih dari 1 frekuensi memberikan kesulitan
tersendiri untuk mengetahui frekuensi berapa saja yang ada dalam sinyal
tersebut.
• Ide besar di balik deret Fourier adalah menemukan informasi
tersembunyi dalam sinyal, yaitu frekuensi.
• Hal ini penting karena pengolahan sinyal dalam domain waktu biasanya
tidak cukup, dan kita memerlukan pengolahan sinyal dalam domain
frekuensi.
• Secara umum, pengolahan sinyal dalam domain frekuensi lebih mudah
daripada dalam domain waktu.
3
Analisis Fourier
– Contoh analisis frekuensi :
Saat kita mendengar dentingan piano, sebenarnya kita tidak terlalu peduli
dengan seberapa cepat getaran udara yang merambat masuk ke telinga
kita karena semuanya telah dirancang Tuhan untuk memprosesnya secara
otomatis. Di dalam proses tersebut sebenarnya terdapat analisis frekuensi
karena kita pada akhirnya bisa membedakan dentingan itu bernada tinggi
atau rendah.
4
Analisis Fourier
• Salah satu dampak analisis Fourier adalah kemungkinan untuk
menganalisis sinyal selain sinusoid dengan menggunakan komputer.
Dengan
menggunakan
analisis Fourier
kita bisa mendapatkan
pendekatan dari sinyal
apa pun sebagai
penjumlahan sinyal-sinyal
sinusoid
sehingga analisis
terhadap sinyal
tersebut dapat
dilakukan.
• Analisis Fourier dipergunakan untuk mendekomposisi sinyal menjadi
sinyal sinusoid. Sehingga, sinyal apa pun dapat dicari pendekatannya
berdasarkan sinyal sinusoid.
5
Pengenalan Bilangan
Kompleks
– Bilangan Kompleks -> 𝑎 = c + jd
– Riel : c  R = Re [c]
– Imajiner : d  X = Im [d]
– Bilangan Eksponensial -> 𝑎 = 𝑎 𝑒 𝑗𝜃
– 𝑎 = 𝑎2 + 𝑏 2
– 𝜃 = tan−1
𝑑
𝑐
𝑃𝑒𝑛𝑢𝑙𝑖𝑠𝑎𝑛 𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚 𝐵𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑃𝑜𝑙𝑎𝑟
𝑎= 𝑎 < 𝜃
6
Identitas Euler
 Diingat bahwa
 𝒆𝒋𝜽𝒕 = 𝐜𝐨𝐬(𝜽𝒕) + 𝒋 𝐬𝐢𝐧(𝜽𝒕)
 𝒆−𝒋𝜽𝒕 = 𝐜𝐨𝐬(𝜽𝒕) − 𝒋 𝒔𝒊𝒏(𝜽𝒕)
sin( ) 
e
j
e
2j
 j
...(1)
e j  e  j
cos( ) 
...(2)
2
7
Aplikasi Fourier pada Sinyal
Sinyal
Kontinyu (x(t))
Diskrit (x(k))
Periodik
Fourier Series (FS)
Discrete Time
Fourier Series
Series (DTFS)
Deret FOURIER
NON PERIODIK
Fourier Transform
Discrete Time
Fourier Transform
(DTFT)
Transform
FOURIER
DERET FOURIER
ANALISA SINYAL PERIODIK
8
9
Fourier Series Eksponensial

x(t ) 
a e
k  
1
ak 
T
•
•

T0
0
j t
k
x(t )e
 jkt
dt
Koefisien 𝑎𝑘 disebut koefisien deret Fourier / koefisien spektral x(t)
X(t) sinyal kontinyu yang periodik
10
Fourier Series Eksponensial
Contoh Soal
– Sinyal periodik x(t) dengan frekuensi dasar
2𝜋, 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑑𝑖𝑛𝑦𝑎𝑡𝑎𝑘𝑎𝑛 𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚 𝑏𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑑𝑖 𝑏𝑎𝑤𝑎ℎ 𝑖𝑛𝑖 ∶
x(t ) 
3
jk 2t
a
e
 k
k  3
Jika diketahui :
a0  1
1
4
1

2
1

3
a1  a 1 
a 2  a 2
a 3  a 3
11
Fourier Series Eksponensial
Contoh Soal
– Komponen yang harmonis dengan frekuensi dasar yang
sama maka diperoleh :
1
1
1
x(t )  1  (e j 2t  e  j 2t )  (e j 4t  e  j 4t )  (e j 6t  e  j 6t )
4
2
3
2
x(t )  1  cos(2t )  cos(4t )  cos(6t )
3
12
Fourier Series Eksponensial
Contoh Soal (2)
x(t )  sin(t )
Tentukan koefisein - koefisien deret Fourier untuk sinyal x(t)
1 j t 1  j t
e 
e
2j
2j
maka diperoleh
sin(t ) 
a1 
1
2j
a 1  
ak  0
1
2j
13
Fourier Series Eksponensial
Contoh Soal (2)
Tentukan koefisien - koefisien deret Fourier sinyal x(t) di bawah ini
dan gambar grafik koefisien tersebut
x(t )  1  sin(t )  2 cos(t )  cos(2t 

4
)
Penyelesaian


1 j t
1  j t
1 j ( 4 )  j 2 t
1  j ( 4 )  j 2 t
x(t )  1  (1  )e  (1  )e
 ( e )e
( e
)e
2j
2j
2
2
14
a0  1
1
1
a1  (1  )  1  j
2j
2
1
1
a 1  (1  )  1  j
2j
2

1
2
a2  e

(1  j )
2
4


j
(
)
1
2
4
a 2  e

(1  j )
2
4
j( )
4
15
Fourier Series Sinusoidal

x(t )  a   an cos(nt ) bn sin(nt )
0
n 1
dimana
1 T /2
a n   x(t ) cos(nt )dt
T T / 2
1 T /2
bn   x(t ) sin( nt )dt
T T / 2
a0 : komponen DC
16
DTFS (Discrete Time
Fourier Series)
1
x ( n) 
N
N 1
j n
X
(
k
)
e
...(1) DTFS

k 0
N 1
X (k )   x(n)e jn ...(2) Inverse DTFS
k 0
2

N
 : frekuensi fundamental
N : Sampling Rate
17
DTFS
Contoh Soal
– Tentukan transformasi x[n] -> X[k] menggunakan IDTFS, jika
diketahui N = 17,


N
dan  0  2 , k  3
dimana : x(n)  cos(n 

3
)
6

x[n]  cos( n  )
17
3

1 3
x[n]  (e e
2
j
j ( 3)
2
n
17
e
j

3
e
j ( 3)
2
n
17
)
18
N 1
X [k ]   x(n)e jn
k 0
maka masing - masing nilai X[k] adalah sbb

j

1 3
e ,k  3

2



j
1

X[k]  
e 3 , k  3
2

0, k yang lainnya k  {-8,-7,...8}


19
IDTFS
Contoh Soal
– Sinyal diskrit domain frekuensi X[k] (seperti pada gambar)
ditransformasikan ke dalam domain waktu x(n)
menggunakan IDTFS, jika ditentukan N = 5 dan 𝜔 ∶
2𝜋
.
5
Tentukan Transformasinya, dimana n , k : -2,-1,0,1,2
X[k]
-2
-1
0
1
2
X[k]
20
2
x[n] 
-2
 x[k ]e
j
2
kn
5
k  2
-1
0
1
2
x[n]  e
j
4
n
5
e
j
4
n
5
1 e
j
2
n
5
e
j
2
4
x[n]  1  2 j sin( n)  2 j sin( n)
5
5
4
n
5