Aljabar Vektor dan Kompleks Kode Mata Kuliah

Aljabar Vektor dan Kompleks
Kode Mata
Kuliah
: TE 1203
SKS
: 3
Tujuan
: Mahasiswa memahami konsep dan metode operasi vektor,
matriks dan bilangan kompleks, serta dapat
menerapkannya pada kasus real khususnya pada
permasalahan teknik elektro.
Pokok Bahasan
: Vektor dan matriks, aljabar vektor dan matriks, matriks khusus, linear
Kepustakaan
:
independence, basis, rank, invers, determinan, eigen-value dan eigenvektor, transformasi serupa (similarity transformation), sistem
persamaan linier, medan skalar dan medan vektor, gradient,
divergensi, curl. Konsep bil. kompleks, bentuk polar, turunan, fungsi
: eksponensial, trigonometri, hiperbolik dan logaritma. Barisan dan
deret kompleks, test konvergensi, deret pangkat deret Taylor dan
deret Maclaurin.
1.
2.
05/10/2007
Strout, Matematika Teknik Edisi bahasa Indonesia, Airlangga, 1988
Kreyzig, Erwin, Advanced Engineering Mathematics 8th edition, John Wiley
& Sons Inc., 1999
Ir. I Nyoman Setiawan, MT.
1
Aljabar Vektor dan
Kompleks
05/10/2007
Ir. I Nyoman Setiawan, MT.
2
Bilangan Kompleks
Persamaan Kwadrat
Ax 2 + Bx + c = 0
− B ± B 2 − 4 AC
x=
2A
Contoh 1 :
2x + 9x + 7 = 0
2
− 9 ± 81 − 56 − 9 ± 25 − 9 ± 5
=
=
x=
4
4
4
atau
− 3,5
x = −1,
05/10/2007
Ir. I Nyoman Setiawan, MT.
3
z
Contoh 2 :
5x − 6 x + 5 = 0
2
6 ± 36 − 100 6 ± − 64
x=
=
10
10
6 + − 64
6 − − 64
,
atau
x=
10
10
− 64 = (−1 x 64) = (−1) 64 = 8 − 1
−1 = j
8 − 1 = j8
Jadi x = 0,6 + j 0,8
05/10/2007
atau 0,6 − j 0,8
Ir. I Nyoman Setiawan, MT.
4
Bilangan kompleks
Bagian
riil
Bagian
imajiner
X = 0,6 + j 0,8
Bentuk Baku
z = x + jy
j = −1
j 2 = −1
Pangkat
dari j
j = −j
3
j4 = 1
05/10/2007
Ir. I Nyoman Setiawan, MT.
5
Penjumlahan dan Pengurangan
Bilangan Kompleks
Penjumlahan :
( x1 + jy1 ) + ( x2 + jy2 ) = ( x1 + x2 ) + j ( y1 + y2 )
Contoh :
(4 + j5) + (3 − j 2) = (4 + 3) + j (5 − 2)
= 7 + j3
05/10/2007
Ir. I Nyoman Setiawan, MT.
6
Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan
Kompleks
Pengurangan :
( x1 + jy1 ) − ( x2 + jy2 ) = ( x1 − x2 ) + j ( y1 − y2 )
Contoh :
(4 + j 7 ) − (2 + j5) = (4 − 2) + j (7 − 5)
= 2 + j2
05/10/2007
Ir. I Nyoman Setiawan, MT.
7
Perkalian dan Pembagian
Bilangan Kompleks
Perkalian :
( x1 + jy1 )( x2 + jy2 ) = x1 x2 + jx1 y2 + jy1 x2 + j y1 y2
2
= ( x1 x2 − y1 y2 ) + j ( x1 y2 + x2 y1 )
Contoh :
(3 + j 4)(2 + j5) = (6 − 20) + j (15 + 8)
= −14 + j 23
05/10/2007
Ir. I Nyoman Setiawan, MT.
8
Perkalian dan Pembagian
Bilangan Kompleks
Pembagian :
x1 + jy1
( x1 + jy1 )( x2 − jy2 )
=
x2 + jy2 ( x2 + jy2 )( x2 − jy2 )
⎛ x1 x2 + y1 y2 ⎞
⎟⎟ +
= ⎜⎜ 2
2
⎝ x2 + y2 ⎠
Contoh :
4 − j 5 (4 − j 5)(1 − j 2 )
=
1 + j 2 (1 + j 2 )(1 − j 2 )
Konjugat
⎛ x2 y1 − x1 y2 ⎞
⎟⎟
j ⎜⎜ 2
2
⎝ x2 + y2 ⎠
− 13
⎛ 4 − 10 ⎞ ⎛ − 5 − 8 ⎞ − 6
=⎜
+ j
= −1,2 − j 2,6
⎟ + j⎜
⎟=
5
5
⎝ 1+ 4 ⎠ ⎝ 1+ 4 ⎠
05/10/2007
Ir. I Nyoman Setiawan, MT.
9
Kesamaan Bilangan
Kompleks
Dua buah bilangan kompleks dikatakan sama
apa bila:
• Kedua bagian riilnya sama
• Kedua bagian imajinernya sama
z1 = x1 + jy1
Syarat
sama
05/10/2007
dan
z2 = x2 + jy2
x1 = x2
y1 = y2
Ir. I Nyoman Setiawan, MT.
10
Bidang Kompleks
( Complex Plane)
Diagram Argand
Sumbu
imajiner
y
y
1
z = x + jy
3
4
5
x
-1
-2
-3
Sumbu riil
2
z = 4 - j3
-4
x
JEAN ROBERT ARGAND (1768-1822)
Ahli Matematika Perancis
05/10/2007
Ir. I Nyoman Setiawan, MT.
11
Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan
Kompleks Secara Grafis
y
y
Penjumlahan
z1+z2
z2
Pengurangan
z2
z1
z1
x
y
z1 - z2
z1
x
-z2
Konjugat
x
Z1*
05/10/2007
Ir. I Nyoman Setiawan, MT.
12
Bilangan Kompleks Bentuk
Kutub
y
z = x + jy
r 2 = x2 + y2
z =r
θ
x
Bentuk
Kutub
y
tan θ =
x
x = r cosθ
z =r=
x2 + y 2
y
θ = tan
x
y = r sin θ
dan
−1
z = x + jy
z = r cosθ + jr sin θ = r (cosθ + j sin θ )
r = modulus z , ditulis ' mod z ' atau z
θ = argumen z , ditulis ' arg z '
05/10/2007
Ir. I Nyoman Setiawan, MT.
13
Contoh:
Nyatakanlah z = 4 + j3 dalam
y
bentuk kutub
z = 4 + j3
3
z =r
θ = dalam derajat (°)
θ
4
r 2 = 42 + 32
x
z = r = 42 + 32 = 25 = 5
3
tan θ = = 0,75
θ = tan −1 (0,75) = 36,87°
4
z = r (cosθ + j sin θ ) = 5(cos 36,87° + j sin 36,87°)
05/10/2007
Ir. I Nyoman Setiawan, MT.
14
Bilangan Kompleks Bentuk Eksponensial
e
Rumus Euler :
jθ
= cosθ + j sin θ
e − jθ = cosθ − j sin θ
z = r (cosθ + j sin θ )
z = re
jθ
θ = dalam radian (rad )
Contoh :
Nyatakanlah dalam bentuk eksponensial
z = 5(cos 60° + j sin 60°)
r = 5,
05/10/2007
θ = 60° =
π
3
radian
Ir. I Nyoman Setiawan, MT.
jadi z = 5e
j
π
3
15
Logaritma bilangan
kompleks
z = re
jθ
z = re
− jθ
ln z = ln r + jθ
ln z = ln r − jθ
Contoh :
z = 6,42e
j1, 57
ln z = ln 6,42 + j1,57
= 1,8594 + j1,57
05/10/2007
Ir. I Nyoman Setiawan, MT.
16