rumus cepat matematika

http://meetabied.wordpress.com
SMAN 1 Bone-Bone, Luwu Utara, Sul-Sel
Kebahagiaan tertinggi dalam kehidupan adalah
kepastian bahwa Anda dicintai apa adanya, atau
lebih tepatnya dicintai walaupun Anda seperti diri
Anda adanya (Victor Hugo)
[RUMUS CEPAT MATEMATIKA]
Irisan Kerucut
================================================================================
Materi ini dapat disebarluaskan secara bebas, untuk tujuan bukan komersial, dengan atau tanpa
menyertakan sumber. Hak Cipta selamanya pada Allah Swt. Salam hangat selalu …
Muhammad Zainal Abidin | admin of http://meetabied.wordpress.com
1. UAN 2003/P-1/No.26
Koordinat titik pusat dan jari-jari lingkaran :
x2 +y2 -4x +6y +4 = 0 adalah….
A. (-3 ,2) dan 3
B. (3 ,-2) dan 3
C. (-2 ,-3) dan 3
D. (2 ,-3) dan 3
E. (2 ,3) dan 3
Gunakan info :
@ x2 +y2 -4x +6y +4 = 0
A = -4, B = 6 dan C = 4
O
Sebenarnya kita hanya
perlu mencari Pusat
lingkaran saja, sebab r
sudah sama pada pilihan.
@ Rumus Pusat :
1
1
1
1
P(- A, - B) = P(- .(-4), - .6)
2
2
2
2
= P(2 ,-3)
@ Jari-jari rumus :
1 2 1 2
A + B -C
4
4
1
1
=
.(-4) 2 + .6 2 - 4
4
4
1
1
=
.16 + .36 - 4
4
4
= 4+9-4 = 9 =3
r=
Jawaban : D
1 Perhatikan terobosannya
x 2 + y 2 - 4x + 6 y + 4 = 0
-2
-2
Pusat : ( 2 , -3 )
:
Jawaban : D
http://meetabied.wordpress.com
2
2. UAN 2003/P-2/No.26
Salah satu garis singgung yang bersudut 120o terhadap sumbu X
positif pada lingkaran dengan ujung diameter titik (7 ,6) dan (1
,-2) adalah….
A. y = -xÖ3 +4Ö3 +12
B. y = -xÖ3 -4Ö3 +8
C. y = -xÖ3 +4Ö3 -4
D. y = -xÖ3 -4Ö3 -8
E. y = -xÖ3 +4Ö3 +22
Gunakan info :
O
q = 120o berarti m = tg q = tg 120o = -Ö3
Titik ujung diameter : (7 ,6) dan (1 ,-2),
berarti
Pusat : ( 7 +2 1 , 6 -2 2 ) = ( 4 ,2 ) dan
r = ( 7 - 4 )2 + ( 6 - 2 )2 = 9 + 16 = 5
O
Pers. Garissinggung umum :
y - b = m( x - a ) ± r 1 + m 2
y - 2 = - 3 ( x - 4 ) ± 5 1 + ( - 3 )2
y = -xÖ3 +4Ö3 ! 5.2 +2
y = -xÖ3 +4Ö3 ! 12
1 Perhatikan
terobosannya
Jawaban : A
http://meetabied.wordpress.com
3
3. EBTANAS’99/No.25
Diketahui lingkaran x2 +y2 +2px +10y +9 = 0 menyinggung
sumbu X. Nilai p = ….
A. 9
B. 6
C. 3
D. 13
E.
1
9
Gunakan info :
@ x2 +y2 +2px +10y +9 = 0
Menyinggung sumbu-X,
berarti y = 0
x2 +2px +9 = 0
D = 0 ð (2p)2-4.1.9 = 0
4p2 -36 = 0
4p2 = 36
p2 = 9
p=±3
O
O
Menyinggung sumbu-X berarti
y = 0.
Menyinggung Sb-X, “ Pandang
Pendamping X-nya dan C “
2
æ A ö
Atau ç
÷ =C
è-2ø
1 Perhatikan terobosannya
x 2 + y 2 + 2 px + 10 y + 9 = 0
æ 2 p ö2
çç
÷÷ = 9
è -2 ø
p2 = 9
p = ±3
te ta pan
Jawaban : C
http://meetabied.wordpress.com
4
4. Lingkaran x2 +y2 -14x +2my +49 = 0. Menyinggung sumbu Y,
maka nilai m adalah….
A. 3
B. 5
C. 7
D. 9
E. 11
@ x2 +y2-14x +2my +49 = 0
Menyinggung sumbu-Y,
berarti x = 0
y2 +2my +49 = 0
D = 0 Þ (2m)2-4.1.49 = 0
4m2 -142 = 0
(2p)2 = 142
2p = ± 14
p=±7
O
O
Menyinggung sumbu-Y, berarti
x=0
Menyinggung Sb-Y, “ Pandang
Pendamping Y-nya dan C “
2
æ B ö
Atau ç
÷ =C
è-2ø
JAWABAN : C
@
Perhatikan terobosannya
x + y 2 - 14 x + 2 m y + 49 = 0
2
æ 2m
çç
è -2
ö2
÷÷ = 49
ø
m 2 = 49
m = ±7
te ta p a n
http://meetabied.wordpress.com
5
5. Persamaan lingkaran dengan pusat (3 ,-4) menyinggung
sumbu X adalah….
A. x2 +y2 -6x +8y +16 = 0
B. x2 +y2 -6x -8y -16 = 0
C. x2 +y2 -6x +8y +9 = 0
D. x2 +y2 -6x +8y -9 = 0
E. x2 +y2 -6x -8y -9 = 0
@ pusat (3 ,-4)
O
x2 +y2 -2px -2qy +p2 = 0
x2 +y2 -2.3x -2.(-4)y +32 = 0
x2 +y2 -6x +8y +9 = 0
JAWABAN : C
@
Perhatikan terobosannya
Pers.Lingkaran dengan
pusat (p ,q) dan
menyinggung sumbu X
adalah :
(x –p)2 +(y –q)2 = q2 atau
x2 +y2 -2px -2qy +p2 = 0
32
P (3 , - 4 )
k a lik a n
x
2
-2
+ y
2
-2
- 6x + 8y + 9 = 0
http://meetabied.wordpress.com
6
6. Persamaan lingkaran dengan pusat (-4 ,2) menyinggung
sumbu Y adalah….
A. x2 +y2 +8x -4y +16 = 0
B. x2 +y2 -8x +4y +16 = 0
C. x2 +y2 +8x -4y +4 = 0
D. x2 +y2 +8x +4y +4 = 0
E. x2 +y2 -8x +4y +4 = 0
@ pusat (-4 ,2)
@ Pers.Lingkaran dengan
-2
-4
(x +4)2 +(y -2)2 = r2
pusat (p ,q) dan
menyinggung sumbu Y
adalah :
L (x –p)2 +(y –q)2 = p2 atau
L x2 +y2 -2px -2qy +q2 = 0
Menyinggung sumbu Y,
berarti jari – jarinya sama
dengan absis titik pusat yaitu
r = |-4| = 4 ,maka persamaan
lingkarannya adalah :
(x +4)2 +(y -2)2 = 42
x2 +8x +16 +y2 -4y +4 = 16
x2 +y2+8x -4y +4 = 0
@
Perhatikan terobosannya
P(-4,2)
x2 +y2 -2px -2qy +q2 = 0
x2 +y2 -2(-4)x -2.2y +22 = 0
x2 +y2 +8x -4y +4 = 0
JAWABAN : C
7. Persamaan lingkaran dengan pusat (3 ,5) dan jari-jari 6
adalah….
A. x2 +y2 -6x +10y -2 = 0
B. x2 +y2 -6x -10y -2 = 0
2
C. xhttp://meetabied.wordpress.com
+y2 +6x +10y -2 = 0
7
@ P(3 ,5), r = 6
(x –p)2 +(y –q)2 = r2
(x –3)2 +(y –5)2 = 62
@ Pers.Lingkaran dengan
pusat (p ,q) dan jari-jari r
adalah :
L x2 +y2 -2px -2qy +p2+q2-r2 = 0
x2 -6x +9 +y2-10y +25 = 36
x2 +y2 -6x -10y -2 = 0
JAWABAN : B
3
2
+ 5 2 - 6 2 = -2
k u a d ra tk a n :
P (3
k a li k a n
x
, 5) , r = 6
-2
2
+ y
2
-2
- 6 x - 10 y - 2 = 0
http://meetabied.wordpress.com
8
8. PREDIKSI UAN/SPMB
Pusat dan jari-jari dari persamaan lingkaran :
x2 +y2 -10x +6y -15 = 0 adalah….
A. (5 ,3) dan 5
B. (5 ,-3) dan 5
C. (5 ,3) dan 7
D. (5 ,-3) dan 7
E. (-5 ,3) dan 6
@ x2 +y2 -10x +6y -15 = 0
Pusat Rumus :
@ Lingkaran dengan
1 ö æ 1
1 ö
æ 1
ç - A,- B ÷ = ç - .(-10),- .6 ÷
2 ø è 2
2 ø
è 2
= (5,-3)
P(p ,q) maka :
r=
p2 + q2 - C
Jari-jari Rumus :
@
1 2
1
r =
=
=
=
A + B2 - C
4
4
1
1
.( - 10 ) 2 + . 6 2 + 15
4
4
1
1
. 100 + . 36 + 15
4
4
25 + 9 + 15 = 47 = 7
x2 + y2 -10x +6y -15= 0
dibagi : -2
P(5 , -3)
JAWABAN : D
-2
r = 52 + (-3)2 - (-15)
r =
49 = 7
http://meetabied.wordpress.com
9
9. EBTANAS ‘94/A1/No.21
Salah satu persamaan garis singgung lingkaran :
x2 +y2 = 25 yang di tarik dari titik (0 ,10) adalah…
A. x/3 +y = 10
B. x/3 +y = 50
C. x/3 +y = 25
D. -x/3 –y = 10
E. -x/3 –y = 50
@ Titik (0 ,10) di substitusikankan
ke pilihan (option) :
Ganti x= 0 harus di dapat y = 10
Option B : x = 0 à 3/x +y = 50
3/0 + y = 50 di dapat
y = 50 (tidak cocok)
Option A : x = 0 à 3/x +y = 10
3/0 + y = 10 di dapat
y = 10 ( cocok)
Berarti pilihan benar : A
@
Perhatikan
terobosannya
http://meetabied.wordpress.com
10
10. EBTANAS ‘95/A2/No.20
Persamaan garis singgung melalui titik (9 ,0) pada lingkaran
x2 +y2 = 36 adalah….
A. 2x +y/5 = 18 dan 2x -y/5 = 18
B. 2x +y/5 = 18 dan -2x +y/5 = 18
C. 2x +y/5 = -18 dan -2x -y/5 = -18
D. x/5 +2y = -18 dan x/5 -2y = 18
E. x/5 +2y = -18 dan x/5 -2y = -18
@ Persamaan garis polar
melalui Titik (x1 ,y1) pada
lingkaran x2 +y2 = r2
adalah : xx1 +yy1 = r2
@ Persamaan garis polar
melalui Titik (9 ,0) pada
lingkaran x2 +y2 = 36
adalah : 9x +0.y = 36
9x = 36 ,x = 4
Untuk x = 4 maka
42+y2=36 Þ y2 = 36 -16
y = ± √20
@ Persamaan Garis melalui
(4, ±√ 20) adalah :
xx1 +yy1 = r2
4x ±√ 20y = 36
4x ±2√5y = 36
2x ±y√5 =18
JAWABAN : A
@ Titik (9 ,0) di substitusikan
kan ke pilihan (options)
Ganti y = 0 harus di dapat x = 9
Options : A.
ì2x + 0 5 = 18Þ x = 9 (Cocok)
y = 0í
î2x - 0 5 = 18Þ x = 9 (Cocok)
Berarti Jawaban benar : A
@
Perhatikan terobosannya
http://meetabied.wordpress.com
11
11. EBTANAS ‘98
Diketahui lingkaran x2 +y2 –4x +2y + C = 0 melalui titik
A(5 ,-1). Jari-jari lingkaran tersebut sama dengan….
A. Ö7
B. 3
C. 4
D. 2Ö6
E. 9
@ A(5 ,-1) susupkan
keepers.lingkaran
52 +(-1)2 –4.5 +2(-1) +C = 0
25 +1 –20 –2 +C = 0
C = -4
@ x2 +y2 –4x +2y + C = 0
C = -4 . Persamaannya
menjadi :
x2 +y2 –4x +2y -4 = 0
x
2
+ y
2
d ib a g i :
JAWABAN : B
- 4x + 2y - 4 = 0
-2
P (2 , -1 )
-2
r =
2 2 + ( - 1) 2 - ( - 4 )
r =
9 = 3
http://meetabied.wordpress.com
12
12. EBTANAS 2002/P-1/No.26
Titik (a ,b) adalah pusat lingkaran :
x2+y2 -2x +4y +1=0. Jadi 2a +b =…
A. 0
B. 2
C. 3
D. –1
E. –2
O
Pusat (a ,b)
x2+y2 -2x +4y +1=0
@ Rumus Pusat :
1 ö æ 1
1 ö
æ 1
ç - A,- B ÷ = ç - .(-2),- .4÷
2 ø è 2
2 ø
è 2
= (1,-2)
@ Berarti a = 1 dan b = -2
Maka 2a +b = 2.1+(-2) = 0
JAWABAN : D
x2 + y 2 - 2x + 4 y + 1 = 0
dibagi : -2
-2
P(1 , -2)
a=1
b = -2
2a +b = 2 -2 = 0
http://meetabied.wordpress.com
13
13. EBTANAS 2001/P-1/No.25
Salah satu persamaan garis singgung dari titik (0,0) pada
lingkaran (x –3)2 +(y –4)2 = 5 adalah..
A. x – y = 0
B. 11x +y = 0
C. 2x +11y = 0
D. 11x –y = 0
E. 11x –2y = 0
1 Persamaan garis melalui
(0 ,0) adalah y = mx …( i )
Substitusi kepersamaan
lingkaran, didapat :
(x -3)2 +(mx -4)2 = 5
x2 -6x +9 +m2x2-8mx +16 = 5
(1 +m2)x2 –(6 +8m)x +20 = 0
D = 0 Þ b2 -4ac = 0
(6 +8m)2 -4(1 +m2).20 = 0
36 +96m +64m2-80-80m2 = 0
-16m2 +96m -44 = 0 : (-4)
4m2 -24m +11 =0
(2m -1)(2m -11) = 0
1
11
atau m =
2
2
11
Untuk m = substitisi ke (i)
2
11
didapat y = x atau
2
m=
11x – 2y = 0
INFO :
@ Jarak titik (a ,b) ke garis AX
+BY +C = 0 adalah :
d=
aA + bB + C
A2 + B 2
@ (x –3)2 +(y –4)2 = 5 , berarti
P(3 ,4) dan r = Ö5. Cari
jarak (3 ,4) ke garis pada
Option yang bernilai Ö5.
@ Option E :
d =
=
3 . 11 + 4 ( - 2 ) + 0
12 2 + ( - 2 ) 2
25
5
5
=
5
@ Berarti jawaban benar : E
http://meetabied.wordpress.com
14
14. Persamaan garis singgung pada lingkaran :
x 2 + y 2 = 5 di titik (1 ,2) adalah…
A. x +2y = 5
B. x –2y = 5
C. 2x +y = 5
D. 2x –y = 5
E. 2x +2y = 5
@ x 2 + y 2 = 5 Þ (1,2)
@ Persamaan Garis
@ Persamaman Garis
singgung pada
lingkaran
x 2 + y 2 = r 2 di titik
(x1 ,y1) adalah :
x1 x + y1 y = r 2
Singgungnya adalah :
1.x +2y = 5
x +2y = 5
JAWABAN : A
@
Perhatikan terobosannya
http://meetabied.wordpress.com
15
15. Persamaan garis singgung pada lingkaran :
x 2 + y 2 - 3 x - 2 y - 1 = 0 dititik (2 ,3) adalah..
A. x –4y –14 = 0
B. x +4y –14 = 0
C. x +4y +14 = 0
D. 4x +y –14 = 0
E. 4x –y +14 = 0
@ Ingat ! Cek dulu
titiknya : ( 2 ,3)
Substitusikan ke
persamaan lingkaran
x 2 + y 2 - 3x - 2 y - 1 = 0
22 +32 –3.2 –2.3–1 = 0
ternyata (2,3) berada
pada lingkaran.
@
Perhatikan terobosannya :
Pasang Rumus :
x1x + y1 y + 12 A(x1 + x) + 12 B(y1 + y) + C = 0
2x +3y + ½ (-3)(2 +x) + ½ (-2)(3 +y) – 1 = 0
2x +3y –3 -1 ½ x –3 –y –1 = 0
½ x +2y –7 = 0 atau x +4y –14 = 0
http://meetabied.wordpress.com
16
16. Persamaan garis singgung pada lingkaran x 2 + y 2 = 9 yang
sejajar dengan garis 2x –y +5 = 0 adalah….
A. y = 2x +2Ö5 dan y = 2x -2Ö5
B. y = 2x +3Ö5 dan y = 2x -3Ö5
C. y = 2x +4Ö5 dan y = 2x -4Ö5
D. y = 2x +5Ö5 dan y = 2x -5Ö5
E. y = 2x +6Ö5 dan y = 2x -6Ö5
O
Garis 2x –y +5 = 0 ,
berarti m = 2
@ Pers.garis singgung :
O
y = 2 x ± 3 1 + 22
= 2x ± 3 5
Persamaan garis
singgung pada
lingkaran x2 +y2 = r2
dengan gradient m
adalah :
y = mx ± r 1 + m 2
O
Garis Ax +By + C = 0
Sejajar Þ m = -
A
B
Tegak Lurus :
Þm=-
@ Jawaban benar : B
@
B
A
Perhatikan terobosannya
http://meetabied.wordpress.com
17
17. Persamaan garis singgung pada lingkaran x 2 + y 2 = 25 yang
Tegak lurus dengan garis x +3y -10 = 0 adalah….
A. y = 3x +5Ö10 dan y = 3x -5Ö10
B. y = 3x +6Ö5 dan y = 3x -6Ö10
C. y = 3x +7Ö5 dan y = 3x -7Ö10
D. y = 5x +5Ö5 dan y = 5x -5Ö5
E. y = 5x +6Ö5 dan y = 5x -6Ö5
O
O
Garis x +3y -10 = 0 ,
berarti m = 3
Pers.garis singgung :
O
y = 3x ± 5 1 + 3 2
= 3 x ± 5 10
Persamaan garis
singgung pada
lingkaran x2 +y2 = r2
dengan gradient m
adalah :
y = mx ± r 1 + m 2
@ Garis Ax +By + C = 0
Sejajar Þ m = -
A
B
Tegak Lurus :
Þm=-
@ Jawaban benar : A
@
B
A
Perhatikan terobosannya
http://meetabied.wordpress.com
18
18. SPMB 2002/R-III/No.11
Lingkaran : L1 : x 2 + y 2 - 10 x + 2 y + 17 = 0 dan
L2 : x 2 + y 2 + 8 x - 2 y - 7 = 0
A. tidak berpotongan
B. bersinggungan dalam
C. bersinggungan luar
D. berpotongan di dua titik
E. mempunyai jari-jari yang sama
@ L1 : Pusat (5 ,-1)
à r1 = 3
L2 : Pusat (-4 ,11) à r2 = 12
@ Jarak Pusat L1 dan L2 :
1
d = (5 - (-4)) 2 + (-1 - 11) 2
= 81 + 144 = 225 = 15
Jika ada dua lingkaran
Jika jarak kedua pusat
lingkaran dan jumlah
kedua jari – jarinya
sama maka kedua
lingkaran tersebut
Bersinggungan di luar.
@ r1 + r2 = 3 +12 = 15
Terlihat Jarak kedua pusat =
jumlah kedua jari-jarinya.
Berarti kedua lingkaran
tersebut bersinggungan di
luar
P1
r1
r2
P2
@
Perhatikan terobosannya
JAWABAN : C
http://meetabied.wordpress.com
19
19. SPMB 2002/R-I/No.6
Titik pusat lingkaran L berada di kuadran I dan berada
disepanjang garis y = 2x. Jika L menyinggung sumbu Y di titik
(0 ,6) maka persamaan L adalah….
A.
B.
C.
D.
E.
x2 +y2-3x –6y = 0
x2 +y2 +6x +12y -108 = 0
x2 +y2 +12x +6y -72 = 0
x2 +y2-12x –6y = 0
x2 +y2-6x –12y +36 = 0
1 Pada gambar terlihat :
Pusat (3 ,6) dan r = 3
Rumus :
(x –a)2 +(y –b)2 = r2
(x –3)2 +(y –6)2 = 32
x2 -6x +9 +y2-12y +36 = 9
x2 +y2 -6x -12y +36 = 0
Y
(0 ,6)
y = 2x
r=3
P(3 ,6)
3
X
JAWABAN : E
62
P( 3
k a lik a n
-2
, 6)
-2
x 2 + y 2 - 6 x - 12 y + 36 = 0
http://meetabied.wordpress.com
20
20. UMPTN 2001/B,C
Garis g menghubungkan titik A(5 ,0) dan titik
B(10 cos q, 10 sin q). Titik P terletak pada AB sehingga AP
: PB = 2 : 3. Jika q berubah dari 0 sampai 2p, maka titik P
bergerak menelusuri kurva yang berupa….
A. lingkaran x2 +y2 -4y = 32
B. lingkaran x2 +y2 -6x = 7
C. elips x2 +4y2 -4x = 32
D. parabol x2 -4y = 7
E. parabol x2 -4x = 32
O
AP : PB = 2 : 3 berarti :
p = 15 (3a + 2b) = 15 (15 + 20 cos q ,0 + 20 sin q )
= (3 + 4 cos q ,4 sin q )
x = 3 +4 cos q atau cos q =
y = 4 sin q
O
x-3
4
x2 = 9 + 16 cos2q +24 cos q
y2 = 16 sin2q +x2 +y2 = 9 +16(cos2q +sin2q)
x -3
+24(
)
4
x2 +y2 = 25 +6x -18 atau x2 +y2 -6x = 7
@
Perhatik
an
terobosa
nnya
JAWABAN : B
http://meetabied.wordpress.com
21
21. UMPT 2001/A
Jika titik (1 ,2) merupakan titik tengah suatu tali busur
lingkaran x2 +y2 -4x -2y -20 = 0 maka persamaan tali busur
tersebut….
A. x +2y -5 = 0
B. x +y -3 = 0
C. x –y +1 = 0
D. 3x +y -5 = 0
E. 2x +y -4 = 0
O
O
O
Lingkaran :
x2 +y2 -4x -2y -20 = 0
Pusatnya : P(2 , 1)
Perhatikan gambar :
1
m = tga = = 1
1
tali busur
2
1
a
(1 ,2)
P(2 ,1)
1
2
Persamaan tali busur
melalui (1 ,2) dengan
gradien 1 adalah :
y -2 = 1.(x -1) atau
x –y +1 = 0
@
Perhatikan terobosannya
JAWABAN : C
http://meetabied.wordpress.com
22
22. UAN 2004/P-1/No.25
Salah satu persamaan garis singgung pada lingkaran
x2 +y2 -4x -2y -15 = 0 yang tegak lurus garis x +2y -3 = 0
adalah….
A. y = 2x -7
B. y = 2x -13
C. y = -2x +15
D. y = -2x -5
E. y = -2x +7
@ x2 +y2 -4x -2y -15 = 0
Pusat (2 , 1)
r = 2 2 + 12 - (-15) = 20
@ tegak lurus x +2y -3 = 0,
berararti m = 2
@ Persamaan garis singgung :
y –b = m(x –a) ± r m 2 + 1
y -1 = 2(x -2) ± 20 2 2 + 1
y -1 = 2x -4 ± 100
y -1 = 2x -4 ± 10
@ Ambil ( - ) di dapat :
y – 1 = 2x -4 -10
y = 2x -13
@ Pusat (2 ,1) dan r = √20
@ tegak lurus x +2y -3 =
0, berararti m = 2
Pada pilihan garis yang
memiliki m = 2 hanya A dan
B saja. Berarti pilihan C, D
dan E jelas salah.
@ Cari jarak pusat ke garis
pada A atau B yang
bernilai √20, yakni yang
sama dengan jari-jari
lingkaran.
@ Pilihan A. y = 2x-7 atau
2x –y -7 = 0, dan P(2,1)
d =|
JAWABAN : B
2 .2 - 1 .1 - 7
2 2 + ( - 1) 2
-4
4
=|
|=
5
5
5
|
Tidak sama dengan √20
Berarti pilihan benar : B
http://meetabied.wordpress.com
23
22. Agar garis y = ax –3 tidak memotong parabola
y 2 = 4 x . Harga a adalah….
A. a > - 13
B. a > - 14
C. a < - 12
D. a < 13
E. a < - 13
@ y = ax –3
y 2 = 4 x berarti :
(ax -3)2 = 4x
a2x2 -6ax +9 = 4x
a2x2 –(6a +4)x +9 = 0
Tidak berpotongan : D < 0
(6a +4)2 -4.a2.9 < 0
36a2+48a +16 -36a2 < 0
48a +16 > 0 atau 48a < -16
O
Agar garis y = mx + n TIDAK
memotong
parabol y
2
= 4 px
L m dan n sama tanda ,
maka :
p
>n
m
L m dan n beda tanda , maka
:
1
Berarti a < 3
p
<n
m
JAWABAN : E
beda tanda
y = 4. 1 x
1
a < -3
y = a x -3
a < -1
3
http://meetabied.wordpress.com
24
23. Persamaan parabol yang berkoordinat focus
(4,-1) dan persamaan direktriksnya y = -5 adalah…
A. x2 -8x -8y +8 = 0
B. x2 -8x -8y -8 = 0
C. x2 -4x -4y +8 = 0
D. x2 -4x -4y -8 = 0
E. x2 +4x +4y -8 = 0
@ Fokus (4, -1) ,
direktriks y = -5, berarti
parabol tersebut vertical
@ Rumus focus F(a, b +p)
a = 4 dan b +p = -1
@ Rumus direktriks y = b –p
Berarti b –p = -5
dari : b +p = -1
b –p = -5 2p = 4 Þ p = 2
b = -3
@ Rumus Parabol vertical :
(x –a)2 = 4p(y –b)
(x -4)2 = 4.2(y +3)
x2 -8x +16 = 8y +24
x2 -8x -8y -8 = 0
tetap
F( 4 , -1)
P(4,
y = -5
-1 - 5
) = (4,-3)
2
p = -1 -(-3) = 2
O
( x - a ) 2 = 4 p ( y - b)
( x - 4) 2 = 4.2( y + 3)
x 2 - 8x - 8 y - 8 = 0
@
Perhatikan terobosannya
JAWABAN : B
http://meetabied.wordpress.com
25
24. Persamaan parabola yang berpuncak (2 ,3) dan
(4 ,3) adalah….
A. (y -3)2 = 8(x -2)
B. (y +3)2 = 8(x +2)
C. (y -2)2 = -8(x -2)
D. (x +2)2 = 8(y -3)
E. (x +2)2 = -8(y -3)
@ Puncak P(2 ,3) , F(4, 3)
Perhatikan ordinat sama,
berarti parabol tersebut
horizontal (y-nya kuadrat)
@ P(2 ,3) berarti a = 2 dan
b=3
F(4 ,3) bandingkan :
F(a +p,b) berarti :
a +p = 4 Þ 2 +p = 4
p=2
@ Persamaan Parabol
(y –b)2 = 4p(x –a)
(y -3)2 = 4.2(x -2)
(y -3)2 = 8(x -2)
berfokus
sama, Y-nya kuadrat
P( 2 , 3)
tetapan
F( 4 , 3)
p = 4 -2 = 2
( y - 3) 2 = 4 . 2 ( x - 2 )
( y - 3) 2 = 8( x - 2)
@
Perhatikan terobosannya
JAWABAN : A
http://meetabied.wordpress.com
26
25. Persamaan parabol yang berpuncak (5 ,6) dan
(8 ,6) adalah…
A. (y -6)2 = 12(x -5)
B. (y +6)2 = 12(x +5)
C. (y -6)2 = -12(x -5)
D. (x -5)2 = 8(y -6)
E. (x +5)2 = -8(y -6)
@ Puncak P(5 ,6) , F(8, 6)
Perhatikan ordinat sama,
berarti parabol tersebut
horizontal (y-nya kuadrat)
@ P(5 ,6) berarti a = 5 dan
b=6
F(8 ,6) bandingkan :
F(a +p,b) berarti :
a +p = 8 Þ 5 +p = 8
p=3
@ Persamaan Parabol
(y –b)2 = 4p(x –a)
(y -6)2 = 4.3(x -5)
(y -6)2 = 12(x -5)
O
@
berfokus
Pers.Parabol yang
berpusat (puncak) di
P(a ,b) dan berfokus di
F(n ,b) adalah :
( y - b) 2 = 4(n - a)(x - a)
Perhatikan terobosannya
( y - b)2 = 4(n - a)(x - a)
( y - 6) 2 = 4(8 - 5)(x - 5)
JAWABAN : A
( y - 6) 2 = 12( x - 5)
http://meetabied.wordpress.com
27
26. Persamaan parabola yang berpuncak (-5 ,6) dan
(-5 ,13) adalah….
A. (y -6)2 =28(x -5)
B. (y +6)2 = 28(x +5)
C. (y -6)2 = -28(x -5)
D. (x +5)2 = 28(y -6)
E. (x +5)2 = -28(y -6)
@ Puncak P(-5 ,6) , F(-5, 13)
Perhatikan Absis sama,
berarti parabol tersebut
vertikal (x-nya kuadrat)
@ P(-5 ,6) berarti a = -5 dan
b=6
F(-5 ,13) bandingkan :
F(a ,b +p) berarti :
b +p = 13 Þ 6 +p = 13
p=7
@ Persamaan Parabol
(x –a)2 = 4p(y –b)
(x +5)2 = 4.7(y -6)
(x +5)2 = 28(y -6)
berfokus
sama, x-nya kuadrat
P(-5 , 6)
tetapan
F( -5 ,13)
p = 13 -6 = 7
( x + 5) 2 = 4 . 7 ( y - 6 )
( x + 5) 2 = 28( y - 6)
@
Perhatikan terobosannya
JAWABAN : D
http://meetabied.wordpress.com
28
27. Persamaan parabola yang berpuncak (8 ,1) dan berfokus
(8 ,7) adalah….
A. (y -1)2 = 12(x -5)
B. (y +1)2 = 12(x +5)
C. (y -1)2 = -12(x -5)
D. (x -8)2 = 24(y -1)
E. (x -8)2 = -24(y -1)
@ Puncak P(8 ,1) , F(8, 7)
Perhatikan Absis sama,
berarti parabol tersebut
vertikal (x-nya kuadrat)
@ P(8 ,1) berarti a = 8 dan
b=1
F(8 ,7) bandingkan :
F(a ,b +p) berarti :
b +p = 8 Þ 1 +p = 7
p=6
@ Persamaan Parabol
(x –a)2 = 4p(y –b)
(x -8)2 = 4.6(y -1)
(x -8)2 = 24(y -1)
O
@
Pers.Parabol yang
berpusat (puncak) di
P(a ,b) dan berfokus di
F(a ,n) adalah :
(x - a) 2 = 4(n - b)( y - b)
Perhatikan terobosannya
(x - a)2 = 4(n - b)(y - b)
(x -8)2 = 4(7 -1)(y -1)
( x - 6) 2 = 4(6)( y - 1)
JAWABAN : D
( x - 6) 2 = 24( y - 1)
http://meetabied.wordpress.com
29
28. Himpunan titik-titik yang berjarak sama terhadap titik (3 ,4)
dan garis x = -1 adalah….
A. y2 +8y -8x +8 = 0
B. y2 -8y -8x +24 = 0
C. y2 +8y -4x -8 = 0
D. y2 -8y -4x +24 = 0
E. y2 -8y +4x +16 = 0
@ Berjarak sama terhadap
direktriks x = -1, berarti
focus F(3, 4)
Direktriknya x, berarti
parabol horizontal,
@ F(3 ,4) Þ F(a +p, b)
a +p = 3 dan b = 4
direktriks : x = a –p
berarti a –p = -1
@ Dari a +p = 3
a –p = -1 (–)
2p = 4 , p = 2
a=1
O
( y - b ) 2 = 4. p ( x - a )
tetap
F( 3 , 4 )
P(
x = -1
-1+ 3
, 4 ) = (1, 4 )
2
p=3-1=2
O
( y - b ) 2 = 4. p ( x - a )
( y - 4) 2 = 4.2( x - 1)
y 2 - 8 y - 8 x + 24 = 0
@
Perhatikan terobosannya
( y - 4) = 4.2( x - 1)
2
y 2 - 8 y - 8 x + 24 = 0
JAWABAN : B
http://meetabied.wordpress.com
30
29. Parabol dengan persamaan y2 = 8x mempunyai titik focus
dan persamaan garis direktiks berturut-turut adalah…
A. (2 ,0) dan x = -2
B. (2 ,0) dan x = 2
C. (-2 ,0) dan x = -2
D. (-2 ,0) dan x = 2
E. (0 ,2) dan y = -2
O
y2 = 8x
8
p= =2
4
Fokus : (2 ,0)
Direktriks : x = -2
O
Parabol y2 = 4px
mempunyai :
L Fokus : (p ,0)
L Direktriks : x = -p
@
Perhatikan terobosannya
JAWABAN : A
http://meetabied.wordpress.com
31
30. Parabol dengan persamaan y2 = -6x mempunyai titik focus
dan persamaan garis direktiks berturut-turut adalah…
A. (- 23 ,0) dan x = 23
B. (- 32 ,0) dan x = 32
C. (3 ,0) dan x = -3
D. (0 ,3) dan x = 3
E. (0 ,3) dan y = -3
O
y2 = 8x ……
-6
3
p=
=4
2
3
Fokus : (- 2 ,0)
O
Parabol y2 = 4px
mempunyai :
L Fokus : (p ,0)
Direktriks : x = -p
@
Perhatikan terobosannya
Direktriks : x = 32
JAWABAN : B
http://meetabied.wordpress.com
32
31. Parabol dengan persamaan x2 = 12y mempunyai titik focus
dan persamaan garis direktiks berturut-turut adalah…
A. (3,0) dan x = -3
B. (3,0) dan x = 3
C. (0 ,2) dan y = 2
D. (0 ,3) dan y = 3
E. (0 ,3) dan y = -3
O
x2 = 12y
12
p=
=3
4
Fokus : (0 ,3)
Direktriks : y = -3
O
Parabol x2 = 4py
mempunyai :
L Fokus : (0 ,p)
L Direktriks : y = -p
@
Perhatikan terobosannya
JAWABAN : E
http://meetabied.wordpress.com
33
32. Parabol (y -4)2 = 8(x -5) mempunyai koordinat focus….
A. (8 ,4)
B. (7 ,4)
C. (6 ,4)
D. (4 ,6)
E. (5 ,6)
O
(y -4)2 = 8(x -5)
p = ¼ .8 = 2
O
Parabol (y -b)2= 4p(x
–a) mempunyai :
L Puncak : P(a ,b)
L Fokus : F(a +p,b)
@
Perhatikan terobosannya
LFokus : (a +p,b) = (5 +2,4)
= (7 ,4)
JAWABAN :
http://meetabied.wordpress.com
34
33. Parabol y2 +6y +8x -7 = 0 mempunyai focus dan persamaan
direktriks berturut –turut adalah…..
A. (2 ,9) dan y = -2
B. (3 ,0) dan y = -3
C. (0 ,-2) dan x = 2
D. (0 ,-3) dan x = 4
E. (0 ,-4) dan x = 4
O
y2 +6y +8x -7 = 0
y2 +6y +( ½ .6)2 = -8x +7+( ½ .6)2
(y +3)2 = -8x +7 +9
(y +3)2 = -8(x -2) , p = ¼ .(-8) = -2
O
Fokus : (2 -2, -3) = (0 ,-3)
Direktriks : x = 2 +2 = 4
O
@
Parabol :
(y –b)2 = 4p(x –a)
LFokus : (a +p,b)
LDirektriks : x = a -p
Perhatikan
terobosannya
JAWABAN : D
http://meetabied.wordpress.com
35
34. Salah satu persamaan garis singgung pada parabol
y2 = 8x di titik yang berabsis 2 adalah….
A. x –y +2 = 0
B. x +y -2 = 0
C. x +y -6 = 0
D. x –y -3 = 0
E. x +2y = 0
O
O
y2 = 8x …absis 2 (x = 2)
p = ¼ .8 = 2
x = 2 à y2 = 8.2 = 16 ,
berarti :
y = ± 4 titiknya (2 ,4) dan
(2 ,-4)
O
Pers.Garis singgung
parabol y2 = 4px di
titik (x1,y1) adalah :
y1y = 2p(x1 +x)
Ambil titik (2,4),misalnya.
Pers.Garis :
y1y = 2p(x1 +x)
4y = 2.2(2 +x)
y = 2 +x atau
x – y +2 = 0
@
Perhatikan terobosannya
JAWABAN : A
http://meetabied.wordpress.com
36
35. Persamaan garis singgung pada parabola y2 = 8x dengan
gradien 4 adalah….
A. 4x +2y +1 = 0
B. 4x -2y +1 = 0
C. 8x +2y +1 = 0
D. 8x -2y +1 = 0
E. 8x -2y -1 = 0
O
y2 = 8x
= 2.4x, berarti p = 2
Persamaan Umum Garis
p
singgung : y = mx +
m
2
Jadi PGS : y = 4x +
4
4y = 16x +2
2y = 8x +1
8x -2y +1 = 0
@ Persamaan Umum
Garis singgung pada
parabol y2 = 4px
dengan gradient m
p
adalah: y = mx +
m
@
Perhatikan terobosannya
JAWABAN : D
http://meetabied.wordpress.com
37
36. Persamaan garis singgung pada parabola
(y -8)2 = 4(x -6) di titik (10 ,12) adalah….
A. 2x -y +14 = 0
B. 2x +yy -14 = 0
C. x +2y -14 = 0
D. x +2y +14 = 0
E. x -2y +14 = 0
O
(y -8)2 = 4(x -6) di titik (10 ,12)
x + 10
(12 -8)(y -8) = 4(
- 6)
2
x + 10 - 12
4(y -8) = 4(
)à
2
2(y -8) = x -2
2y -16 = x -2
x -2y +14 = 0
JAWABAN : E
@ Pers.Garis singgung
pada parabol :
(y –b)2 = 4p(x –a)
di titik (x1,y1) adalah :
(y1-b)(y-b) = p(
@
x + x1
-a)
2
Perhatikan terobosannya
http://meetabied.wordpress.com
38
37. UAN 2004/P-1/No.36
Persamaan grafik parabola pada gambar adalah….
A. y2 -4y +x +5 = 0
B. y2 -4y +x +3 = 0
(-1, 2)
C. x2 +2x +y +1 = 0
(0, 1)
D. x2 +2x –y +1 = 0
2
E. x +2x +y -1 = 0
@ Dari gambar , parabol
tersebut vertical, dengan
puncak (-1 ,2)
(x –a)2 = 4p(y –b)
(x +1)2 = 4p(y -2)
@ Melalui titik (0, 1)
(0 +1)2 = -4p(1 -2)2
1 = -4p.1
p=-
1
4
@ Persamaannya menjadi
(x +1)2 = -4.
1
(y -2)
4
x2 +2x+1 = -y +2
x2 +2x +y -1 = 0
JAWABAN : E
@ Dari gambar , parabol
tersebut vertical,
berarti pilihan A dan
B jelas SALAH.
@ Grafik membuka ke
bawah, berarti a < 0,
berarti pilihan D Salah
@ Pilihan C :
Di tulis y = -x2 -2x -1
Melalui (0, 1), maka
1 = -02-2.0 -1
1 = -1 (pernyataan
yang salah) Jadi
pilihan C ,SALAH.
@ Berarti Jawaban yang
benar adalah E
http://meetabied.wordpress.com
39
39. Prediksi UAN
Koordinat titik puncak parabola y2 -2y -2x +5 = 0 adalah,…
A. (2, 1)
B. (2, -1)
C. (1 ,2)
D. (1, -2)
E. (-1, -2)
@ Persamaan parabola :
y2 -2y -2x +5 = 0
y2 -2y = 2x -5
y2 -2y +(-1)2 = 2x -5 +(-1)2
(y -1)2 = 2x -4
(y -1)2 = 2(x -2)
@ Terlihat puncaknya (2, 1)
JAWABAN : A
y2 -2y -2x +5 = 0
Karena y-nya kuadrat,
maka Turunkan
bagian yang
mengandung y.
didapat :
2y -2 = 0
y=1
1 y = 1 substitusikan
kepersamaan awal :
12 -2.1 -2x +5 = 0
2x = 4
x=2
1 Jadi Puncak (2, 1)
1
@
Perhatikan terobosannya
http://meetabied.wordpress.com
40
37. Diketahui Ellips dengan persamaan :
25x2 +16y2 +100x - 96y -156 = 0
Koordinat pusat elips tersebut adalah….
A. (-3 ,3)
B. (-2 ,3)
C. (-1 ,3)
D. (3 ,2)
E. (3 ,5)
@ 25x22+16y2+100x-96y
–156 = 0
2
25x +100x +16y –96y = 156
25(x2 +4x) +16(y2 –4y) = 156
25(x2 +4x +4) +16(y2 –6y +9) =
156 +100 +144
25(x +2)2 +16(y –3)2 = 400
( x + 2) 2 ( y - 3) 2
+
=1
16
25
p = -2 dan q = 3
@ 25x2+16y2+100x-96y
–156 = 0
Turunan, bagian x
50x +100 = 0
x = -2
Turunan, bagian y
32y -96 = 0
y=3
1 Jadi Pusat (-2, 3)
1 Pusat : P(p ,q) = (-2 ,3)
@
Perhatikan
terobosannya
JAWABAN : B
http://meetabied.wordpress.com
41
38. Diketahui Ellips dengan persamaan :
9x2 +25y2 +18x -100y -166 = 0
Koordinat pusat elips tersebut adalah….
A. (-3 ,3)
B. (-2 ,3)
C. (-1 ,2)
D. (3 ,2)
E. (3 ,5)
@ 9x22+25y2+18x-100y
–116 = 0
2
9x +18x +25y –100y = 116
9(x2 +2x) +25(y2 –4y) = 116
9(x2 +2x +1) +25(y2 –4y +4)
= 116 +9 +100
9(x +1)2 +25(y –2)2 = 225
( x + 1) 2 ( y - 2) 2
+
=1
25
9
p = -1 dan q = 2
1 Pusat : P(p ,q) = (-1 ,2)
@ INFO : Ellips Ax2 +By2
+Cx +Dy +E =
0 , maka
D ö
æ C
,
÷
è - 2 A - 2B ø
Pusat : ç
@2 Ellips
:
2
9x +25y +18x-100y –116 = 0
Pusat :
æ 18 - 100 ö
,
ç
÷ = (-1,2)
è - 18 - 50 ø
@
Perhatikan terobosannya
JAWABAN : C
http://meetabied.wordpress.com
42
x2 y2
+
=1
16 49
Koordinat titik fokus elips tersebut adalah….
A. (0 ,-Ö33) dan (0,Ö33)
B. (0,-Ö23) dan (0,Ö23)
C. (-Ö33,0) dan (Ö33,0)
D. (-Ö23,0) dan (Ö23,0)
E. (-4,0) dan (4 ,0)
39. Diketahui Ellips
@
x2 y2
+
= 1,
16 49
a2 = 49 dan b2 = 16
maka :
c = a 2 - b 2 = 49 - 16 = 33
@ Fokus : (0 ,c) dan (0 ,-c) =
(0,Ö33) dan (0,-Ö33)
x2 y2
+
=1
16 49
@ Perhatikan 16 < 49, di
bawah x2 bilangannya
lebih kecil. Berarti
elips tersebut
Vertikal.Jadi Fokus
terletak di Y.
@ Ellips
JAWABAN : A
Bil.dibawah x2
KECIL, berarti
Elips vertikal
x 2
16
+
y 2
49
= 1
(-)
c = 49 - 16 = 33
F ( 0,±c ) = (0, ± 33 )
http://meetabied.wordpress.com
43
(x + 2)2 y2
+ =1
100 64
Koordinat titik fokus elips tersebut adalah….
A. (0 ,8) dan (0,-4)
B. (0,-8) dan (0,4)
C. (-8,-1) dan (4,-1)
D. (-8,0) dan (4,0)
E. (-8,1) dan (4 ,1)
41. Diketahui Ellips
(x + 2) 2 ( y - 0) 2
@
+
= 1, berarti
100
64
p = -2 dan q = 0
a2 = 100 dan b2 = 64
a2 = b2 +c2 …berarti
@ Bilangan dibawah x2
BESAR, berarti Elips
Horizontal
c = a2 -b2 = 100-64= 36= 6
@ Fokus : (p +c,q) dan (p –c,q)
(-2 +6,0) dan (-2 –6,0) atau
(4 ,0) dan (-8 ,0)
p = -2
q = 0
( x + 2)2
( y - 0)2
+
=1
100
64
(-)
c =
100 - 64 =
36 = 6
F ( p ± c , q ) = ( - 2 ± 6 ,0 )
= ( 4 , 0 ) dan ( - 8 , 0 )
http://meetabied.wordpress.com
44
43. Diketahui Ellips
x2 y2
+
=1
25
9
Koordinat titik fokus elips tersebut adalah….
A. (0,±1)
B. (0,±2)
C. (0,±4)
D. (±4,0)
E. (±2,0)
@
x2 y2
+
=1,
25
9
Perhatikan 25 > 9,
di bawah x2 bilangannya
lebih besar. Berarti elips
tersebut Horizontal. Jadi
Fokus terletak di X.
@ a2 = 25 dan b2 = 9 maka :
@ Bil.dibawah x2 BESAR,
berarti Elips vertikal
c = a 2 - b 2 = 25 - 9 = 16 = 4
@ Fokus : (±c,0) = (±4,0)
JAWABAN : D
x2
y2
+
= 1
25
9
selalu besar-kecil
(-)
c = 25 - 9 = 16 = 4
F ( ± c ,0 ) = ( ± 4 ,0 )
http://meetabied.wordpress.com
45
45.Diketahui Ellips
(x-4)2 (y-3)2
+
=1
25
16
Panjang sumbu mayor dan sumbu minor adalah….
A. 6 dan 4
B. 7 dan 5
C. 8 dan 6
D. 9 dan 7
E. 10 dan 8
@
(x - 4)2 ( y - 3)2
+
= 1,
25
16
berarti a2 = 25 dan b2 = 16
a2 = 25 maka a = 5
b2 = 16 maka b = 4
@ Panjang sumbu mayor = 2a
= 2.5 = 10
Panjang sumbu minor = 2b
= 2.4 = 8
Jadi 10 dan 8
Pokokny
a yang
besar a
dan
yang
kecil b.
JAWABAN : E
( x - 4) 2 ( y - 3) 2
+
=1
25
16
@
@
b = 16 = 4
a = 25 = 5
Panjang sumbu mayor = 2.5 = 10
Panjang sumbu minor = 2.4 = 8
http://meetabied.wordpress.com
46
47. Diketahui Ellips dengan persamaan :
9x2 + 25y2 - 72x + 200y + 319 = 0
Koordinat fokus elips tersebut adalah….
A. (0,-4) dan (8,-4)
B. (0,-5) dan (9,-3)
C. (0,-6) dan (9,-2)
D. (2,-3) dan (3,0)
E. (2,-5) dan (5,0)
@ 9x22+25y2-72x+200y
+319 = 0
2
9x -72x +25y +200y = -319
9(x2 -8x) +25(y2 +8y) = -319
9(x2 -8x +16) +25(y2 +8y
+16) = -319 +144+400
9(x -4)2 +25(y +4)2 = 225
( x - 4) 2 ( y + 4) 2
+
=1
25
9
p = 4 dan q = -4
JAWABAN : A
c = a 2 - b 2 = 25 - 9 = 16 = 4
Fokus : F(p±c ,q) = (4±4 ,-4)
atau (0,-4) dan (8,-4)
c =
25 - 9 = 4
9 x + 25 y 2 - 72x + 200y + 319 = 0
-18 -50 :
4 -4
-2
p
q
2
Fokus :
(4±4,-4) =
(0,-4) dan (8,-4)
http://meetabied.wordpress.com
47
49. Diketahui Ellips dengan persamaan :
25x2 +16y2 +100x - 96y -156 = 0
Sumbu mayor dan sumbu minor elips adalah….
A. 8 dan 14
B. 9 dan 12
C. 10 dan 8
D. 12 dan 6
E. 14 dan 4
@ 25x22+16y2+100x-96y
–156 = 0
2
25x +100x +16y –96y = 156
25(x2 +4x) +16(y2 –4y) = 156
25(x2 +4x +4) +16(y2 –6y +9)
= 156 +100 +144
25(x +2)2 +16(y –3)2 = 400
( x + 2) 2 ( y - 3) 2
+
=1
16
25
a2 = 25 berarti a = 5
b2 = 16 berarti b = 4
@ Panjang sumbu mayor = 2a =
2.5 = 10
@ Panjang sumbu minor = 2b =
2.4 = 8
25x 2 + 16y 2 + 100x - 96y - 156 = 0
a= 25=5 b = 16= 4
@ Sumbu mayor = 2.5 = 10
@ Sumbu minor = 2.4 = 8
http://meetabied.wordpress.com
48
51. Diketahui koordinat focus elips
(-3,0) dan (3,0), dan sumbu mayor
10, maka persamaan elips tersebut adalah…
x2 y2
+
=1
36
9
x2 y2
B.
+
=1
36 25
x2 y2
C.
+
=1
25 36
A.
x2
+
25
x2
E.
+
25
D.
@ Fokus : (-3,0) dan (3,0)
y2
=1
16
y2
=1
9
@ Sudah jelas pusat elips di
(0,0), dan perhatikan yang
terisi bukan 0 di x, berarti
Elips horizontal. Jadi
bilangan yang di bawah x2
“Besar”
Sumbu mayor = 2a
Berarti 2a = 10
Jadi a = 5
c = 3 dan b2 = a2 –c2
b2 = 25 – 9 = 16
@ Elips umumnya :
x2 y2
+
=1
a2 b2
x2 y2
+
= 1 Jawab : D
25 16
@
Perhatikan terobosannya
http://meetabied.wordpress.com
49
52. Ebtanas 2002/P-1/No.27
(-3,0) dan (3,0), dan sumbu mayor
10, maka persamaan elips tersebut adalah…
A. 4x2 +9y2 –24x –36y –72 = 0
B. 4x2 +9y2 –24x –36y –36 = 0
C. 3x2 +4y2 +18x –16y –5 = 0
D. 3x2 +4y2 –18x –16y +5 = 0
E. 3x2 +4y2 –18x –16y –5 = 0
@ Fokus : (p ± c,q)
Padahal Fokus : (1,2) dan (5,2)
1+ 5
Berarti : p =
=3
2
dan c = 5 – 3 = 2, sedang q = 2
Sumbu mayor : 2a = 8.
Jadi a = 4
b2 = a2 –c2 = 16 – 4 = 12
@ Bagian
tetapnya
berada di y,berarti
elips
tersebut
horizontal.
Jadi
bilangan
besarnya
berada di bawah
(x-p)2
@ Umumnya elips berbentuk :
( x - p) 2
a2
+
( y - q) 2
b2
=1à
( x - 3) 2 ( y - 2) 2
+
=1
16
12
12(x-3)2 +16(y-2)2 = 192
2
@
Perhatikan terobosannya
2
12(x -6x+9) +16(y -4y+4) = 192
12x2-72x+108+16y2-64y+64 =
192
12x2 +16y2-72x-64y –20 = 0__ : 4
3x2 +4y2 –18x –16y –5 = 0
http://meetabied.wordpress.com
50
53. Ebtanas 1988
Diketahui elips 4x2+y2+8x–2y+1= 0
Salah satu Koordinat titik potong garis y = x dengan elips
tersebut adalah…
A. (-1,-1)
B. (2,2)
C. (1,1)
D. (-5,-5)
E. ( ½ , ½ )
@ y =2 x substitusi
ke elips:
2
4x +x +8x –2x +1 = 0
5x2 +6x +1 = 0
(5x +1)(x +1) = 0
x = -1/5 diperoleh y = -1/5
titiknya (-1/5,-1/5)
x = -1 diperoleh y = -1
titiknya (-1,-1)
berarti jawabnya : ( A )
@ Masukan
titik-titik
pada
pilihan ke persamaan elips di
atas,
yang
mana
yang
menghasilkan nilai nol (0)
x y
(-1
, -1)
Option A :
4x 2 + y 2 + 8x - 2y + 1 = 0
4
1
-8
2
1
4+1-8+2+1=0
Berarti pilihan A jawaban
yang benar.
http://meetabied.wordpress.com
51
55. Ebtanas 1994
Persamaan garis singgung elips
x2 y2
+
= 1 di titik (3,-3)
36 12
adalah….
A. x +3y +12 = 0
B. x +3y –12 = 0
C. x –3y –12 = 0
D. 3x +y +12 = 0
E. 2x –y –12 = 0
@ Titik singgung (3,-3) berada
pada elips, maka :
x1 x y1 y
+
=1
36
12
3x - 3 y
+
=1
36
12
x - 3y
+
= 1 à x –3y = 12
12
12
@ Persamaan garis
singgung di titik
(x1 ,y1) pada elips
x2
JAWABAN : C
y2
= 1 adalah :
a2 b2
x1 x y1 y
+ 2 =1
a2
b
atau x –3y –12 = 0
@
+
Perhatikan terobosannya
http://meetabied.wordpress.com
52
56. Ebtanas 1990
Persamaan garis singgung elips :
x2 +4y2 = 4 yang sejajar dengan garis y = x +3 adalah….
A. y = x ± 52
B.
C.
D.
E.
y=x± 5
y = x ±1
y= x±5
y=x±
1
5
10
@ y = 1.x +3
berarti m = 1
1.x +4y = 4 terihat a2 = 4
dan b2 = 1
@ Pendamping x2 < y2, berarti
elips tersebut horizontal
Rumus Pers.Garis singgung
2
2
@ Persamaan garis
singgung pada elips :
x2
a2
y2
b2
= 1 atau
b2x2 +a2y2 = a2b2
dengan gradient m
adalah :
y = mx ± a 2 m 2 + b 2
y = 1 . x ± 4 .1 2 + 1 2
y = mx ± a 2 m 2 + b 2
y=x± 5
JAWABAN : B
+
@
Perhatikan terobosannya
http://meetabied.wordpress.com
53
57. Ebtanas 1989
Persamaan yang sesuai untuk elips
Di bawah ini adalah…
A. 16x2+25y2 = 400
B. 25x29y2 = 225 (-5,0)
C. 3x2+4y2 = 12
F(-3,0)
D. 9x2+25y2 = 225
E. 25x2+16y2 = 400
@
Y
(5,0)
O
F(3,0)
X
Perhatikan terobosannya
Y
(-5,0)
(5,0)
F(-3,0)
O
F(3,0)
X
@ Persamaan umum
elips horizontal
dengan pusat (0, 0)
adalah :
a
x2 y2
+
=1
a2 b2
c
@ b2 = a2 – c2 = 25 – 9 = 16
Pers.Elips Horizontal :
x2 y2
x2 y2
+
=
1
à
+
=1
25 16
a2 b2
16x2 +25y2 = 400
@
Perhatikan terobosannya
JAWABAN : A
http://meetabied.wordpress.com
54
58. Diketahui Ellips dengan persamaan :
9x2 + 25y2 +18x -100y -116 = 0
Koordinat pusat elips tersebut adalah….
A. (-1 ,-2)
B. (1 ,-2)
C. (-1 ,2)
D. (1 ,2)
E. (2 ,-1)
@ 9x22+25y2+18x-100y
–116 = 0
2
9x +18x +25y –100y = 116
9(x2 +2x) +25(y2 –4y) = 116
9(x2 +2x +1) +25(y2 –4y +4)
= 116 +9 +100
9(x +1)2 +25(y –2)2 = 225
( x + 1) 2 ( y - 2) 2
+
=1
25
9
p = -1 dan q = 2
Pusat : P(p ,q) = (-1 ,2)
@ INFO : Ellips
:
Ax2 +By2 +Cx +Dy +E = 0 ,
D ö
æ C
,
÷
è - 2 A - 2B ø
maka Pusat : ç
@ Ellips :
9x2+25y2+18x-100y –116 = 0
Pusat :
æ 18 - 100 ö
,
ç
÷ = (-1,2)
è - 18 - 50 ø
@
Perhatikan terobosannya
JAWABAN : C
http://meetabied.wordpress.com
55
60. UAN 2003/P-2/No.27
Persamaan elips dengan pusat yang sama tetapi panjang
sumbunya dua kali elips :
( x - 2) 2 ( y - 1) 2
+
= 1 adalah….
3
2
A. 2x2 +3y2 -8x -6y -1 = 0
B. 4x2 +9y2 -16x -18y -11 = 0
C. 3x2 +2y2 -6x -8y -1 = 0
D. 2x2 +3y2 -8x -6y -13 = 0
E. 12x2 +9y2 -32x -52 = 0
O
Elips baru pusat sama , tetapi
panjang sumbunya dua kali
elips
( x - 2) 2 ( y - 1) 2
+
= 1 adalah
3
2
( x - 2) 2 ( y - 1) 2
+
=1
(2 3 ) 2 (2 2 ) 2
( x - 2) 2 ( y - 1) 2
+
=1
12
8
8(x -2)2 +12(y -1)2 = 8.12 : 4
@
Perhatikan terobosannya
2(x2 -4x +4) +3(y2 -2y +1) = 24
2x2 +3y2 -8x -6y +8 +3 -24 = 0
2x2 +3y2 -8x -6y -13 = 0
JAWABAN : D
http://meetabied.wordpress.com
56
55. UAN 2004/P-1/No.27
Persamaan elips yang mempunyai focus (-1, 0) dan (7, 0)
serta melalui titik (0,
12
) adalah….
5
( x + 3) 2 y 2
+
=1
25
9
( x + 3) 2 y 2
B.
+
=1
9
25
( x + 3) 2 y 2
C.
+
=1
9
16
A.
( x - 3) 2 y 2
+
=1
25
9
( x - 3) 2 y 2
E.
+
=1
9
25
D.
@ Persamaan elips :
(x - p) 2
a
2
( x - 3)
2
b 2 + 16
@
+
+
( y - q)2
b2
( y - 0)
b2
2
=1
=1
b2(x -3)2+(b2+16)(y)=b2(b2+16)
12
Melalui titik (0,
) di dapat :
5
225b2+144(b2+16)=25b2(b2+16)
25b4 +31b2 -2304 =0
b2 = 9 atau b2 = -10,24
berarti b2 = 9
a2 = b2 +16
= 9 + 16 = 25
Persamaan elips yang ditanyakan
( x - 3) 2 y 2
+
= 1 ………. D
25
9
@ F(-1,0) dan F(7 ,0)
bagian absis (x)
berbeda, berarti elips
tersebut horizontal.
@ Rumus Fokusnya :
F(p ± c, q)
p +c = -1
p –c = 7 +
2p = 6,maka p = 3
c=4
@ Pusat : (3 ,0)
a 2 = b2 + c 2
a2 = b2 + 16
@
Perhatikan terobosannya
http://meetabied.wordpress.com
57
55. UAN 2004/P-1/No.27
Persamaan elips yang mempunyai focus (-1, 0) dan (7, 0)
serta melalui titik (0,
12
) adalah….
5
( x + 3) 2 y 2
+
=1
25
9
( x + 3) 2 y 2
B.
+
=1
9
25
( x + 3) 2 y 2
C.
+
=1
9
16
A.
( x - 3) 2 y 2
+
=1
25
9
( x - 3) 2 y 2
E.
+
=1
9
25
D.
@ Perhatikan terobosannya
F(7 , 0)
F(-1 , 0)
@ F(-1,0) dan F(7 ,0)
bagian absis (x)
berbeda, berarti elips
tersebut horizontal.
horizontal
Pusat : (
-1+ 7
2
,0) = (3,0)
@ Dilihat dari pusatnya, hanya
pilihan D dan E saja yang
sesuai, maka A,B dan C jelas
SALAH.
@ Karena elipsnya horizontal,
maka hanya pilihan D yang
sesuai (lihat di bawah x2 nya
besar)
JAWABAN : D
@
Perhatikan terobosannya
http://meetabied.wordpress.com
58
61. Diketahui focus- focus suatu hiperbol (-2,0) dan (2,0) dan
puncaknya ( 32 ,0) .Persamaan hiperbol tersebut adalah…
3x 2 3 y 2
=1
9
7
4x 2 4 y 2
B.
=1
9
7
5x 2 5 y 2
C.
=1
9
7
A.
3x 2 3 y 2
=1
7
9
4x 2 4 y 2
E.
=1
7
9
D.
@ Fokus : (-2,0) dan (2,0), berarti
c=2
Puncak : ( 32 ,0) berarti a =
a2 =
9
4
2
b2 = c –a2 = 4 -
9
4
=
3
2
7
4
@ Persamaan Hiperbol
Horizontal :
x2 y2
x2 y2
=
1
à
- 7 =1
9
a2 b2
4
4
atau :
4x 2 4 y 2
=1
9
7
@ Perhatikan bagian yg
tidak nol, terletak di
Xnya, berarti hiperbol
tersebut Horizontal
@ Persamaan umum
hiperbol horizontal yang
berpusat di (0, 0) adalah
x2 y2
=1
a2 b2
@
Perhatikan terobosannya
JAWABAN : B
http://meetabied.wordpress.com
59
62. Dari suatu hiperbol diketahui pusat nya (3,2),fokusnya (8,2)
dan puncaknya (7,2).Persamaan hiperbol tersebut adalah…
( x + 3)2 ( y - 2)2
=1
9
16
( x - 3)2 ( y - 2)2
B.
=1
16
9
( x + 2)2 ( y -1)2
C.
=1
9
16
A.
(x +1)2 ( y - 2)2
=1
16
9
(x - 2)2 ( y +1)2
E.
=1
16
9
D.
@ Pusat : (3,2) Fokus : (8,2)
@ Perhatikan bagian yg
berubah, terletak di
Xnya, berarti hiperbol
tersebut Horizontal,jadi
yang berada di bawah
(x-p)2nya “Besar”
c=8–3=5
Pusat : (3,2) .Puncak : (7 ,2)
a=7–3=4
b2 = c2 –a2 = 25 – 16 = 9
@
( x - p)2 ( y - q)2
=1
a2
b2
( x - 3)2 ( y - 2)2
=1
16
9
@
Perhatikan terobosannya
JAWABAN : B
http://meetabied.wordpress.com
60
63. Persamaan hiperbol yang mempunyai focus (0,±3) dan sumbu transfer 5, adalah….
A. 100x2 –44y2 = 275
B. 44x2 –100y2 = 275
C. 100y2 –44x2 = 275
D. 44y2 –100x2 = 275
E. 44x2 –100y2 = 275
@ Fokus : (0,±3) , berarti c = 3
Sb.Transfer = 5 berarti :
a = 52
b2 = c2 –a2 = 9 –
@
25
4
=
11
4
y2 x2
y2 x2
à
=
1
- 11 = 1
25
a2 b2
4
4
2
@ Perhatikan bagian yg
@
tidak nol terletak di Ynya,
berarti hiperbol tersebut
Vertikal. Jadi yang berada
di bawah y2nya “Besar”
Persamaan Umumnya :
y2 x2
- =1
a2 b2
2
4 y 4x
=1
25 11
44y2-100x2 = 275
@
Perhatikan terobosannya
JAWABAN : D
http://meetabied.wordpress.com
61
64. EBTANAS 1994
Persamaan asymtot hiperbol dengan
persamaan 16y2-9x2 –36 = 0, adalah….
A. 9x +16y = 0 dan 9x –16y = 0
B. 3x +2y = 0 dan 3x –2y = 0
C. 2x +3y = 0 dan 2x –3y = 0
D. 4x +3y = 0 dan 4x –3y = 0
E. 3x +4y = 0 dan 3x –4y = 0
@ 16y2-9x2 –36 = 0 (horizontal)
Terlihat : b2 =
b=
2
36
16
=
9
4
berarti
3
2
a =
36
9
@ Hiperbol dengan pusat
(0,0) mempunyai
asimtot :
a) Hiperbol horizontal
b
y=± x
a
b) Hiperbol vertical
a
y=± x
b
= 4 berarti a = 2
@ Pers.Asymtot hiperbol
horizontal pusat O(0,0) :
3
b
y=± x à y=± 2 x
a
2
4y = ± 3x atau 3x +4y = 0 dan
3x –4y = 0
JAWABAN : E
@
Perhatikan terobosannya
http://meetabied.wordpress.com
62
65. EBTANAS 1996
Hiperbol yang berfokus di titik (5,0) berpusat di titik (0,0)
dan panjang sumbu mayor = 8. Persamaannya adalah….
x2 y2
=1
64 36
x2 y2
B.
=1
25 16
x2 y2
C.
=1
16
9
A.
y2 x2
=1
25 9
y2 x2
E.
=1
16
9
D.
@ Fokus : (5,0) berarti c = 5
Sumbu Mayor : 2a = 8 berarti
a=4
b2 = c2 –a2 = 25 –16 = 9
@ Hiperbol dengan focus
F(c ,0), adalah horizontal
@ Persamaan Umumnya :
x2 y2
= 1 dengan
a2 b2
panjang sumbu mayor
adalah 2a, dan sumbu
minor 2b
@ Pers.Hiperbol Horizontal (lihat
bukan 0 di x)
x2 y2
x2 y2
=
1
à
=1
16
9
a2 b2
@
Perhatikan terobosannya
JAWABAN : C
http://meetabied.wordpress.com
63
66. EBTANAS 1997
Salah satu persamaan asimtot dari hiperbol :
9x2 –16y2 –54x +64y –127 = 0 adalah….
A. 4x –3y –18 = 0
B. 4x –3y –6 = 0
C. 4y –3x –1 = 0
D. 3x –4y –17 = 0
E. 3x –4y –1 = 0
@ 9x2 –16y2 –54x +64y –127
=0
9x2 –54x –16y2 +64y –127
=0
9(x2 –6x) –16(y2 –4y) =127
9(x2 –6x +9) –16(y2 –4y
+4) = 127 +81-64
9(x –3)2 –16(y –2)2 = 144
( x - 3) 2 ( y - 2) 2
=1,
16
9
berarti p = 3 dan q = 2
a = 4 dan b = 3
@ Asimtot :
b
( x - p)
a
3
y - 2 = ± ( x - 3)
4
y-q=±
Ambil Å à 4y –8 = 3x –9
atau 3x –4y –1 = 0
@
Perhatikan terobosannya
-2
3
2
:
:
-18
32
9x 2 - 16y 2 - 54x + 64y - 127 = 0
akarnya
y-2=±
3
( x - 3)
4
akarnya
@ Ambil Å : 4y –8 = 3x –9
atau 3x –4y –1 = 0
Selalu pendamping x2 sebagai
pembilang
JAWABAN : E
http://meetabied.wordpress.com
64
68. UAN 2003/P-1/No.27
Koordinat pusat hiperbola 3x2 -4y2 +12x +32y +10 = 0
adalah…..
A. (-2 ,4)
B. (-2 ,-4)
C. (2 ,4)
D. (2 ,-4)
E. (4 ,2)
@ Gunakan konsep
melengkapkan kuadrat :
O
3x2 -4y2 +12x +32y +10 = 0
3x2 +12x -4y2 +32y = -10
3(x2 +4x +4) -4(y2 -8y +16) = 10 +3.4 -4.16
3(x +2)2 -4(y -4)2 = -10 +12 -64
O
1
Hiperbol :
Ax2 +By2 +Cx +Dy +E = 0
Pusatnya : (
O2
C
D
,
)
- 2 A - 2B
Hiperbol :
3x -4y2 +12x +32y +10 = 0
Pusatnya :
12
32
(
,
) = (-2,4)
- 2.3 - 2.(-4)
Sudah terlihat pusatnya :
P(-2 ,4)
JAWABAN : A
6x +12 = 0
x = -2
turunkan
3x2 - 4 y 2 + 12x + 32 y + 10 = 0
turunkan
y=4
-8y +32 = 0
Jadi Pusatnya : (x ,y) = (-2, 4)
http://meetabied.wordpress.com
65
70. PREDIKSI UAN
Persamaan garis singgung hiperbola :
( y - 5) 2 ( x + 4) 2
= 1 yang sejajar garis 4x +3y = -15
25
9
adalah….
A. 3y = -4x +8
B. 3y = -4x -8
C. 3y = 6x +8
D. 3y = 6x -8
E. 2x -3y +8 = 0
O
Garis 4x +3y = -15 Þ m = - 43
a2 = 25 dan b2 = 9
O
Pers.Garis Singgung :
y - q = m(x - p) ± a 2 - b 2 m2
y - 5 = - 43 ( x + 4) ± 25 - 9. 16
9
y - 5 = - 43 ( x + 4) ± 3
3 y = -4x - 16 + 15 ± 9
3 y = -4x - 1 ± 9
O
Jadi 3y = -4x +8 atau
3y = -4x -10
JAWABAN : A
1
Garis : Ax +By +C = 0
a) Sejajar , maka :
A
m=B
b) Tegak lurus maka
B
m=
A
1 Persamaan garis
singgung pada Hiperbol
vertikal (dibawah y2nya
besar) pusat (p, q)
dengan gradient m
adalah :
y -q = m(x - p) ± a2 -b2m2
http://meetabied.wordpress.com
66
71. PREDIKSI UAN
x2 y2
Persamaan garis singgung hiperbola :
= 1 yang
36 4
tegak lurus garis 2x -y +8 = 0 adalah….
A. y = ½ x ! Ö3
B. y = -½ x ! Ö3
C. y = ½ x ! Ö5
D. y = -½ x ! Ö5
E. y = ¼ x ! Ö5
O
O
Garis 2x –y +8 = 0
tegak lurus, berarti
m = BA = -21
a2 = 36 dan b2 = 4
PGS umum :
y = mx ± a 2 m 2 - b 2
y = - 12 x ± 36. 14 - 4
y = - 12 x ± 9 - 4
y = - 12 x ± 5
JAWABAN : D
1
Garis : Ax +By +C = 0
c) Sejajar , maka :
A
m=B
d) Tegak lurus maka
B
m=
A
1 Persamaan garis
singgung pada Hiperbol
horizontal pusat (0, 0)
dengan gradient m
adalah :
y = mx ± a 2 m 2 - b 2
http://meetabied.wordpress.com
67
72. PREDIKSI UAN
Persamaan garis singgung hiperbola :
( y + 3) 2 ( x - 1) 2
= 1 di titik (1 ,-6) adalah…
9
4
A. 2x -3y -4 = 0
B. 2x -4y -4 = 0
C. x = 8
D. y = -6
E. y = 2x -6
O
Titik (1 ,-6) terletak pada
hiperbol (silahkan cek)
PGS : umumnya :
( y1 - q)(y - q) (x1 - p)(x - p)
=1
a2
b2
(-6 + 3)( y + 3) (1 - 1)( x - 1)
=1
9
4
-3(y +3) = 1.9
-3y -9 = 9 à -3y = 18
y = -6
JAWAB : D
1 Persamaan Garis singgung
di titik (x1,y1) pada
hiperbola
( y - q) 2
a2
-
(x - p) 2
b2
=1
Adalah :
(y1 -q)(y -q) (x1 - p)(x - p)
=1
a2
b2
@
Perhatikan terobosannya
http://meetabied.wordpress.com
68
68. UAN 2004/P-1/No.28
Koordinat titik potong salah satu asimtot hiperbola :
16x2 -9y2 +64x -54y -161 = 0 dengan sumbu Y adalah…
1
3
1
B. (0, - )
4
1
C. (0,
3
A. (0, - )
1
)
4
3
E. (0, )
4
D. (0,
@ 16x2 -9y2 +64x -54y -161 = 0
Bagian x : 16x2+64x = 0
Turunkan : 32x +64= 0
x = -2
Bagian y : -9y2 -54y =0
Turunkan : -18y -54 = 0
y = -3
Berarti p = -2 dan q = -3
a2 = 16 di dapat : a = 4
b2 = 9 di dapat : b = 3
@ Koordinat titik potong asimtot
dengan sumbu Y adalah :
4.(-2)
ap
-3 )
(0, ±
+ q ) = (0, ±
b
3
-8
= (0, ±
- 3)
3
1
Ambil (-) di dapat : (0, - )
3
@ Perhatikan :
16x2 -9y2 +64x -54y -161 = 0
Pendamping x2 > y2 ( 16 > 9)
berarti hiperbola tersebut
horizontal.
@ Rumus umum asimtotnya :
y-q=±
a
( x - p)
b
@ Memotong sumbu Y,maka
x = 0 di dapat :
y= ±
ap
+q
b
Titik potongnya dengan
sumbu Y adalah :
(0, ±
ap
+q)
b
JAWAB : A
http://meetabied.wordpress.com
69