aria-joko-pramono-geometric-sequences

RANGKUMAN
DERET GEOMETRI
Diajukan untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah “Matematika Sekolah”
Dosen Pembina: Dr. Tatag Yuli Eko Siswono, M.Pd.
Oleh :
ARIA JOKO PRAMONO
147785037
UNIVERSITAS NEGERI SURABAYA
PROGRAM PASCASARJANA
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
2014
BAB XIV
DERET GEOMETRI
A. Deret Geometri
Deret geometri adalah sebuah deret yang didefinisikan oleh 𝑢1 = 𝑎
dan 𝑢𝑖+1 = 𝑟𝑢1 , dimana 𝑖 ∈ ℕ dan 𝑟 ≠ 0 atau 1. Konstanta 𝑟 disebut dengan
rasio. Jika 𝑟 = 0, maka berdasarkan definisi akan didapatkan deret
𝑎, 0, 0, 0, … ; Jika 𝑟 = 1, maka akan didapatkan deret 𝑎, 𝑎, 𝑎, 𝑎, … . Rumus
suku ke-i didapat dari 𝑢1 ke 𝑢𝑖 dengan mengkalikan pangkat rasionya dengan
i – 1, jadi 𝑢𝑖 = 𝑟 𝑖−1 × 𝑢1 , sehingga 𝑢𝑖 = 𝑎𝑟 𝑖−1. Jadi rumus suku ke-i adalah
𝑢𝑖 = 𝑎𝑟 𝑖−1 .
Contoh:
Sebuah deret gometri mempunyai suku pertama 𝑢1 = 1 dan rasio 1,1.
Tentukan suku pertama yang lebih dari
a. 2,
b. 5,
c. 50
Penyelesaian:
a. 𝑢2 = 𝑢1 𝑟 2−1 = 1 × 1,1 = 1,1
b. 𝑢5 = 𝑢1 𝑟 5−1 = 1 × 1,14 = 1,14641
c. 𝑢50 = 𝑢1 𝑟 50−1 = 1 × 1,149 = 106,718957
B. Jumlah Suku Pertama Deret Geometri
Deret geometri mempunyai beberapa aplikasi dalam bidang keuangan,
biologi, mekanik dan peluang serta kadang dibutuhkan untuk menemukan
jumlah dari semua suku. Dalam hal ini, biasanya disebut dengan jumlah suku
pertama deret geometri. Untuk menemukan jumlah suku pertama deret
geometri, dimisalkan S adalah jumlah dari suku-n pertama dari sebuah deret.
𝑆 = 𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟 2 + … + 𝑎𝑟 𝑛−2 + 𝑎𝑟 𝑛−1 .
Jika persamaan di atas dikalikan dengan r, maka:
𝑆𝑟 = 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟 2 + 𝑎𝑟 3 + ⋯ + 𝑎𝑟 𝑛−1 + 𝑎𝑟 𝑛 .
Sisi kanan dari kedua persamaan ini memiliki suku 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟 2 + … +
𝑎𝑟 𝑛−2 + 𝑎𝑟 𝑛−1 , sehingga:
𝑆 − 𝑎 = 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟 2 + … + 𝑎𝑟 𝑛−2 + 𝑎𝑟 𝑛−1 = 𝑆𝑟 − 𝑎𝑟 𝑛 ,
Dengan demikian
𝑆(1 − 𝑟) = 𝑎(1 − 𝑟
𝑛)
𝑎(1 − 𝑟 𝑛 )
atau S =
1−r
Jadi, rumus jumlah suku pertama deret geometri adalah
𝑎(1−𝑟 𝑛 )
1−r
.
Contoh:
Tentukan bentuk sederhana dari penjumlahan 𝑝6 − 𝑝5 𝑞 + 𝑝4 𝑞 2 − 𝑝3 𝑞 3 +
𝑝2 𝑞 4 − 𝑝𝑞 5 + 𝑞 6 .
Penyelesaian:
Deret geometri tersebut mempunyai 7 suku, dengan suku pertama 𝑝6 dan
𝑝
rasio − 𝑞 .
Sehingga jumlahnya adalah
S=
𝑎(1 − 𝑟 𝑛 )
1−r
⇔S =
𝑝6 (1 − (− 𝑞 ⁄𝑝)7 )
1 − (− 𝑞 ⁄𝑝)
𝑝6 (1 − (−𝑞 7 /𝑝7 ))
=
1 + 𝑞/𝑝
=
𝑝7 (1 + 𝑞 7 /𝑝7 )
𝑝(1 + 𝑞/𝑝)
=
𝑝7 + 𝑞 7
.
𝑝+𝑞
Cara lain untuk menulis hasil contoh di atas adalah:
𝑝7 + 𝑞 7 = (𝑝 + 𝑞)(𝑝6 − 𝑝5 𝑞 + 𝑝4 𝑞 2 − 𝑝3 𝑞 3 + 𝑝2 𝑞 4 − 𝑝𝑞 5 + 𝑞 6 ).
C. Deret Konvergen
Ambil beberapa deret, misalnya deret pada segitiga yang mempunyai
bilangan 𝑡1 = 1, 𝑡2 = 3, 𝑡3 = 6, … . Dari deret baru yang merupakan jumlah
dari angka segitiga berturut-turut:
𝑆1 = 𝑡1 = 1, 𝑆2 = 𝑡1 + 𝑡2 = 1 + 3 = 4, 𝑆3 = 𝑡1 + 𝑡2 + 𝑡3 = 1 + 3 +
6 = 10 dan seterusnya.
Untuk deret baru yang telah diberikan di atas, jumlah suku pertama deret
geometri 𝑆𝑖 = 𝑢1 + … + 𝑢𝑖 adalah didefinisikan oleh 𝑆1 = 𝑢1 dan 𝑆𝑖+1 =
𝑆𝑖 + 𝑢𝑖+1 .
Jika |𝑟| < 1,
jumlah suku pertama deret geometri dengan suku
𝑎
pertama a dan rasio r cenderung mendekati limit 𝑆~ = 1−𝑟 sebagai jumlah
suku tak terhingga. Deret geometri tak hingga disebut dengan konvergen.
Contoh:
Ubahlah bentuk desimal 0,296296296… ke dalam bentuk pecahan!
Penyelesaian:
Bentuk desimal di atas dapat ditulis sebagai berikut
0,296 + 0,000 296 + 0, 000 000 296 + …
= 0,296 + 0,296 × 0,001 + 0,296 × (0,001)2 + …
Bentuk tersebut merupakan deret geometri dengan a = 0,296 dan r = 0,001.
Karena |𝑟| < 1, deret tersebut konvergen dengan jumlah
0,296
1−0,001
=
296
999
. Jika
8
disederhanakan, bentuk pecahan tersebut menjadi 27.
D. Pangkat Naik dan Pangkat Peluruhan
Banyak situasi dalam kehidupan sehari-hari yang menggambarkan
deret geometri. Berikut dua contoh yang pertama mempuntai rasio lebih dari
1 dan yang kedua mempunyai rasio diantara 0 dan 1.
Contoh 1:
Seseorang menginvestasikan $1000 di sebuah BANK dengan bunga 6% per
tahun. Hitunglah jumlah tabungan setelah 8 tahun!
Penyelesaian:
Bunga setiap tahun adalah 0,6 kali jumlah tabungan di awal tahun. Bunga
tersebut dijumlahkan dengan uang yang ada pada tabungan. Sehingga, jumlah
tabungan di akhir tahun setelah ditambah bunga adalah 1,06 kali jumlah
tabungan di awal tahun. Dengan demikian:
Jumlah tabungan setelah 1 tahun = $1000 × 1.06 = $1060
Jumlah tabungan setelah 2 tahun = $1060 × 1.06 = $1124
Jumlah tabungan setelah 3 tahun = $1124 × 1.06 = $1291 dan seterusnya.
Tahun-ke
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Jumlah tabungan
1000
1060
1124 1191 1262 1338 1419 1504 1594
Nilai-nilai tersebut ditunjukan oleh gambar berikut:
Jumlah
$
$90
1000
$60
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Nomor Tahun
Perhatikan bahwa pada tahun pertama bunga adalah $ 60, tetapi pada tahun
kedelapan itu adalah $ 90. Hal ini karena jumlah di mana 6% dihitung telah
naik dari $ 1000 sampai $ 1504. Ini adalah karakteristik dari pangkat naik di
mana kenaikan tersebut sebanding dengan jumlah saat ini. Sebagai jumlah
naik, peningkatan naik.
Contoh 2:
Harga sebuah mobil yang baru adalah $15000 dan setiap tahun nilai harganya
menurun 20%. Tentukan harga mobil tersebut setelah 5 tahun pertama
pembelian!
Penyelesaian:
Harga mobil pada akhir tahun adalah 0,8 kali harga mobil di awal tahun.
Hasil perhitungan ditunjukan pada tabel berikut
Tahun-ke
0
1
2
3
Harga ($)
15000 12000 9600 7680 6144 4915
Nilai-nilai tersebut ditunjukan oleh gambar berikut:
4
5
Harga
$
15000
$3000
10000
5000
$1229
0
1
2
3
4
5
6
Nomor Tahun
Nilai turun sebesar $ 3000 di tahun pertama, tetapi hanya $ 1.229 pada tahun
kelima, karena pada saat itu 20% dihitung hanya $ 6144 lebih dari $ 15 000.
ini '' karakteristik pangkat peluruhan, di mana penurunan sebanding dengan
nilai saat ini. Perhatikan bahwa, jika aturan 20% terus, nilai tidak pernah
menjadi nol seberapa lama Anda menjaga mobil.
Perhatikan bahwa dalam kedua contoh diatas lebih alami untuk
berpikir tentang istilah pertama urutan sebagai 𝑢0 . Daripada 𝑢𝑖 , sehingga $
𝑢𝑖 , adalah jumlah uang dalam rekening, atau nilai dari mobil, setelah 𝑖 tahun.
Urutan dalam Contoh 1 memiliki:
𝑢0 = 1000 dan 𝑢𝑖+1 = 1,06𝑢𝑖 untuk 0 ≤ 𝑖 ≤ 7
Dari sini dapat disimpulkan bahwa 𝑢1 = 1000 × 1,06, 𝑢2 = 1000 × 1,062
dan seterusnya dapat dihitung 𝑢𝑖 = 1000 × 1,06𝑖 .
Urutan dalam Contoh 2 memiliki:
𝑢0 = 15000 dan 𝑢𝑖+1 = 0,8𝑢𝑖 untuk 0 ≤ 𝑖 ≤ 4
Dalam hal ini 𝑢1 = 15000 × 0,8, 𝑢2 = 15000 × 0,82 dan 𝑢𝑖 = 15000 ×
0,8𝑖 .
Dari contoh diatas merupakan contoh dari deret pangkat. (Kata
exponential, berasal dari 'eksponen', yang adalah kata lain untuk indeks.
Alasan untuk nama adalah bahwa variabel 𝑖 muncul dalam eksponen formula
untuk 𝑢𝑖 .) Deret pangkat adalah jenis khusus dari deret geometri, di mana 𝑎
dan 𝑟 keduanya positif. Jika suku pertama dilambangkan oleh 𝑢0 , deret dapat
didefinisikan secara induktif dengan
𝑢0 = 𝑎 dan 𝑢𝑖+1 = 𝑟𝑢𝑖
atau dengan rumus
𝑢𝑖 = 𝑎𝑟 𝑖
Jika 𝑟 > 1 urutan mewakili pangkat naik; jika 0 < 𝑟 < 1 mewakili pangkat
peluruhan.