persamaan garis singgung lingkaran

PERSAMAAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN
Dari gambar orang bersepeda di atas jelas terlihat bahwa jalan yang dilalui sepeda
selalu menyinggung roda sepeda, baik depan maupun belakang masing-masing di
titik A dan B.
Garis dijalan yang dilalui sepeda dapat disebut garis singgung dan titik persentuhan
antara roda sepeda dan jalan disebut titik singgung. Perhatikan bahwa jari-jari yang
melalui titik singgung A dan B selalu tegak lurus dengan jalan.
Garis
singgung
adalah
garis
yang memotong lingkaran tepat
disatu
titik.
Titik
D>0
g ≡ Garis singgung
tersebut
disebut titik singgung. Jari-jari
lingkaran
yang
melalui
titik
singgung
selalu
tegak
lurus
dengan
garis
P(a,b)
singung.
A(x 1, y1)
Perhatikan gambar berikut :
O(0,0)
g ≡ Garis singgung
A(x1,y1) Æ titik singung
AP ⊥ g
r
Persamaan garis singgung dapat dinyatakan dalam bentuk y = mx + c, sehingga
secara umum mencari Persamaan garis singgung adalah mencari nilai m dan c
tersebut, seperti sudah dibahas sebelumnya mencari m dan c dapat dilakukan
dengan cara mensubtitusikan persamaan garis tersebut pada persamaan lingkaran,
menyusun persamaan kuadrat , menentukan Diskriminan dan menentukan nilai dari
D = 0. Tetapi cara ini sangat melelahkan karena tingkat kesulitannya hampir sama
dengan menurunkan rumusnya.
Persamaan Garis singgung lingkaran dapat dibedakan dalam tiga jenis seperti
digambarkan berikut ini :
y =m2 x +c2
y = m+c2
y =mx +c
T (x1,y1)
y = m+c1
Garis singgung melalui
suatu titik pada lingkaran
R(x1,y1)
y =m1 x +c1
Garis singgung melalui
r
suatu titik diluar lingkaran
Garis singgung
bergradien m
Persamaan Garis singgung melalui suatu titik pada lingkaran
Rumus Persamaan Garis Singung ini dapat dirangkum sebagai berikut :
Persamaan Lingkaran
Persamaan garis singgung
x2 + y2 = r2
xx1 + yy1 = r2
(x-a)2+(y-b)2= r2
(x-a) (x1-a)+(y-b)(y1-b)=r2
x2+y2 +Ax + By +C = 0
xx1 + yy1+
1
1
A(x + x1) + B(y + y1) + C = 0
2
2
Rumus tersebut hanya berlaku untuk Persamaan Garis singgung melalui titik pada
lingkaran, jika rumus ini digunakan untuk titik diluar lingkaran maka persamaan
garis yang didapat bukan garis singgung tetapi garis polar, yang akan dibahas
kemudian.
Contoh.
Tentukan Persamaan Garis Singgung pada lingkaran x2 + y2 = 8, dititik A(-2,2)
Jawab
Titik A(-2,2) Æ (-2)2+ 22 = 8 Æ 8 = 8 ,
gs ≡ y = x + 4
Jadi titik A pada lingkaran
Persamaan Garis Singgung, xx1 + yy1 = r2
A(-2,2)
Æ x.(-2) + y.2 = 8
-2x + 2y =8
O(0,0
y = x +4
L ≡ x2 + y 2 = 8
Contoh 2.
Tentukan persamaan garis singgung yang melalui titik berabsis -1 pada lingkaran
2
2
lingkaran x + y + 4x -2y -5 = 0
Jawab.
Berabsis -1 Æ x = -1 Æ (-1)2 + y2 + 4(-1) -2y -5 = 0
y2 + -2y - 8 = 0
(y - 4) (y + 2)=0, y = 4 atau y = -2
Titik singgung (-1,4 ) dan (-1,-2)
persamaan garis singgung 1 (GS1)
2
2
L ≡ x + y +4x -2y -5=0
Titik singgung (-1,4 )
B(-1,4)
xx 1 + yy1 + 2(x+x1) -1(y+y1) -5 = 0
x.(-1) + y.4 + 2(x-1) -1(y+4) -5 = 0
-x + 4y + 2x - 2 – y - 4 -5 = 0
P(-2,1)
x +3y -11 = 0
O(0,0)
persamaan garis singgung 2 (GS2)
Titik singgung (-1,-2 )
xx 1 + yy1 + 2(x+x1) -1(y+y1) -5 = 0
x.(-1) + y.(-2) + 2(x-1) -1(y-2) -5 = 0
-x -2y + 2x - 2 – y +2 -5 = 0
x +3y - 5 = 0
C(-1,-2)
Gs1≡ x + 3y -11=0
Persamaan Garis singgung bergradien m
Rumus Persamaan Garis Singung ini digunakan untuk mencari persamaan garis
singgung yang garidenya diketahui, sejajar atau tegak lurus dengan suatu garis atau
unsur lain yang berhubungan dengan gradien, rumus-rumus yang digunakan dapat
dirangkum sebagai berikut :
Persamaan Lingkaran
Persamaan garis singgung
x2 + y2 = r2
y= mx ± r
(x-a)2+(y-b)2= r2
y-b= m(x-a) ± r
x2+y2 +Ax + By +C = 0
1+ m2
1+ m2
Ubah bentuk persamaan ke (x-a)2+(y-b)2= r2
gunakan rumus, y-b= m(x-a) ± r
1+ m2
Contoh
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 10 yang sejajar dengan garis
l ≡ y+ 3x = 6
Jawaban
Garis y+ 3x = 6, Æ y = -3x +8, m1=-3
Gradien Garis singgung m2=m1=-3 ( dua garis sejajar jika gradien sama)
m= -3, r =
10
persamaan garis singgung
GS1≡ Y= -3X +10
1+ m2
y= mx ± r
y= -3x ±
GS2≡ Y= -3X-10
10 1 + 9
y= -3x ± 10
GS1 ≡ -3x +10
GS2 ≡ -3x -10
O(0,0)
x2 + y2 =10
Persamaan Garis Singgung melalui titik diluar lingkaran
Ada beberapa metode atauy teknik untuk memyelesaiakan masalah ini antara lain:
Menggunakan rumus, menggunakan rumus garis singgung bergradien m dan
menggunakan persamaan garis polar.
Menggunakan rumus
Rumus persamaan garis singgung lingkaran melalui titik A(x1,y1) pada lingkaran
(x-a)2+(y-b)2= r2 adalah
y-y1=m(x-x1)
dengan m=
( y1 − b)( x1 − a) ± ( y1 − b) 2 + ( x1 − a ) 2 − r 2
( x1 − a) 2 − r 2
Rumus ini sangat praktis digunakan tetapi sangat sulit dihafal, sehingga disarankan
rumus ini hanya digunakan untuk mengecek hasil dari perhitungan cara 2 atau 3
Contoh
Tentukan persamaaan garis singgung lingkaran, x2 + y2 = 25 yang melalui (7,1)
jawab
72 + 12 = 50>r2 titik A diluar lingkaran
y-1 = m(x-7) Æ y=m(x-7) +1
x2 + y2 = 25, a=0, b=0 , r=5, y1= 1, x1=7
m=
m=
(1 − 0)(7 − 0) ± (1 − 0) 2 + (7 − 0) 2 − 5 2
(7 − 0) 2 − 5 2
7 ± 25
24
m1=
GS2 ≡ 3x + 4y = 25
L ≡ x2 + y2 =25
4
3
, m2=- ,
3
4
A(7,1)
Persamaan garis singgung 1
m1=
y=
4
,
3
4
(x-7)+1
3
3y=4x-28+3
4x-3y=25
O(0,
GS1 ≡ 4x –3y = 25
Persamaan garis singgung 2
m2=y= -
3
,
4
3
(x-7)+1
4
4y=-3x+21+4
3x+4y=25
Menggunakan rumus persaan garis singgung bergradien m
Teknik ini menggunakan kesamaan garis dari dua persamaan, persamaan 1 (satu)
adalah garis melalui A(x1,y1) dan persamaan 2 (dua) adalah persamaan garis
singgung bergradien m.
Contoh
Tentukan persamaaan garis singgung lingkaran, x2 + y2 = 25 yang melalui (7,1)
jawab
persamaan 1 Æ y-y1 = m(x-x1)
y-1 = m (x-7)
y= mx –7m +1
persamaan 2 Æ y= mx ± r
y= mx ± 5
y= mx ± 5
5
1 + m2
1 + m 2 Æ y= mx –7m +1
1 + m 2 = –7m +1
25 ( 1+m2)= 49m2- 14m +1
25+ 25m2= 49m2- 14m +1
24 m2 –14m-24 =0
(4m+3)(3m-4)=0
m1= -
1+ m2
3
4
atau m2 =
4
3
Persamaan GS1
m1=
y= mx –7m +1
y= -
3
3
x –7.( - )+1
4
4
4y=-3x+21+4
3x+4y =25
Persamaan GS2
m1=
y= mx –7m +1
y=
4
4
x –7.( )+1
3
3
3y=4x-28+3
4x-3y =25
Menggunakan persamaan garis polar
Teknik ini menggunakan rumus garis
polar xx1 + yy1 = r2 , rumus ini adalah
rumus garis singgung tetapi jika yang
disubtitusikan
adalah
titik
GS2
GS1
Garis polar
diluar
T2
lingkaran, persamaan garis polar ini
memotong
lingkaran
berbeda,
garis
dimaksud
dapat
di
dua
singgung
dicari
titik
A(x1,y1)
yang
dengan
O(0,0)
persamaan garis singgung di suatu titik
T1
pada lingkaran, menggunakan dua titik
tersebut (T1 dan T2)
Contoh
Contoh
Tentukan persamaaan garis singgung lingkaran, x2 + y2 = 25 yang melalui (7,1)
jawab
Persamaan garis polar xx1 + yy1 = r2 Æ 7x + y = 25 Æ y= 25-7x
Titik potong garis polar dengan lingkaran
x2 + (25-7x)2 = 25
x2 + 625-350x +49 x2 = 25
50x2 -350x +600 = 0
x2 –7 x +12 = 0
(x-3)(x-4)=0
x=3 atau x=4
x=3 Æ y= 25-7.3 , y= 4, titik potong ( 3,4)
x=4 Æ y= 25-7.4 , y= -3, titik potong ( 4,-3)
Persamaan garis singgung 1
Titik singgung ( 3,4 )
xx1 + yy1 = 25
3x + 4y = 25
Persamaan garis singgung 2
Titik singgung ( 4,-3 )
xx1 + yy1 = 25
4x - 3y = 25