sistem bilangan real

SISTEM BILANGAN REAL
KALKULUS I
Kalkulus I - Sistem Bilangan Real
PENDAHULUAN
• Bilangan Real adalah gabungan dari
bilangan rasional dan bilangan Irasional
• Berikut adalah Skema Bilangan Real
Bilangan
Real
Bilangan
Irasional
Pecahan
Bilangan
Rasional
Bulat Negatif
Bulat
Asli
Cacah
Nol
Kalkulus I - Sistem Bilangan Real
R
Bilangan Real
Q
Bilangan
Rasional
Z
Bilangan Bulat
N
Bilangan
Asli
Kalkulus I - Sistem Bilangan Real
Sifat – sifat Medan
Kalkulus I - Sistem Bilangan Real
Sifat-sifat urutan bilangan Real
Kalkulus I - Sistem Bilangan Real
Kalkulus I - Sistem Bilangan Real
Garis Bilangan (Interval)
• Misal dua bilangan a dan b serta berlaku
sifat urutan a < b digambarkan pada garis
bilangan berikut :
a
b
• Interval yaitu suatu himpunan bagian dari
bilangan real yang memenuhi
pertidaksamaan tertentu.
Kalkulus I - Sistem Bilangan Real
Definisi Interval dan Notasinya
Kalkulus I - Sistem Bilangan Real
Pertidaksamaan Real
Kalkulus I - Sistem Bilangan Real
Contoh
Kalkulus I - Sistem Bilangan Real
Harga Mutlak
Kalkulus I - Sistem Bilangan Real
Hitung himpunan penyelesaian
1) 2 x  1  5
2) x 2  3x  14  4
2
3) x  2  4 x  2  3  0
Kalkulus I - Sistem Bilangan Real
Binomial Newton
Kalkulus I - Sistem Bilangan Real
Segitiga Pascal
Kalkulus I - Sistem Bilangan Real
1. Jabarkan (a+2b)4!
2. Berapakah Koefisien x9 dari (1+x)12 ?
Induksi Matematika
• Induksi matematika merupakan suatu teknik
pembuktian yang baku di dalam matematika
• Melalui induksi matematika kita dapat
mengurangi langkah-langkah pembuktian bahwa
semua bilangan bulat termasuk dalam suatu
himpunan kebenaran dengan hanya sejumlah
langkah terbatas
Kalkulus I - Sistem Bilangan Real
Prinsip Induksi Sederhana
• Misalkan P(n) adalah pernyataan perihal bilangan
bulat positif.
• Kita ingin membuktikan bahwa P(n) benar untuk
semua bilangan bulat positif n.
• Untuk membuktikan pernyataan ini, maka kita
hanya perlu menunjukkan bahwa :
1. p(1) benar, dan
2. Diasumsikan bahwa p(k) benar untuk suatu
bilangan asli k dan ditunjukkan bahwa p(k+1)
benar.
 Maka dapat disimpulkan bahwa pernyataan P(n)
benar untuk semua bilangan asli n.
Kalkulus I - Sistem Bilangan Real
Contoh Induksi Matematika
1. Buktikan bahwa:
1
1  2  3  ...  n  n  n  1 
2
2. Buktikan bahwa:
11
13  4
135  9
1  3  5  7  16
dst.
1  3  5  ...  (2n  1)  n2
Kalkulus I - Sistem Bilangan Real
Penggunaan Induksi Matematika
• Digunakan untuk mengecek hasil proses
yang terjadi secara berulang sesuai
dengan pola tertentu.
• Suatu teknik yang dikembangkan untuk
membuktikan pernyataan.
Kalkulus I - Sistem Bilangan Real
Homework
1. Buktikan bahwa 7n – 2n selalu habis dibagi 5, untuk n
adalah bilangan asli.
2. Buktikan:
13  23  33  ...  n3  1  2  3  ...  n 
2