Pertemuan Ke-2 (Logika Proposisi)

LOGIKA PROPOSISI
Bagian Keempat :
Logika Proposisi
K U L I A H M AT E M AT I K A D I S K R I T
ARI FADLI, S.T.
Program Studi Teknik Elektro
Logika Proposisi
Tujuan :
Mahasiswa dapat menyebutkan tentang logika
proposisi, operator dan sifat proposisi
K U L I A H M AT E M AT I K A D I S K R I T
Program Studi Teknik Elektro
Proposisi
Definisi :
Setiap pernyataan yang hanya memiliki satu nilai
benar atau salah.
 disimbolkan menggunakan huruf
 Pernyataan yang memiliki makna/arti
 Disebut juga sebagai kalimat deklaratif
 Bukan merupakan kalimat perintah atau tanya

K U L I A H M AT E M AT I K A D I S K R I T
Program Studi Teknik Elektro
Logika Proposisi
Definisi :
Logika
yang
menangani,
memproses
atau
memanipulasi penarikan kesimpulan secara logis dari
proposisi
K U L I A H M AT E M AT I K A D I S K R I T
Program Studi Teknik Elektro
Logika Proposisi
Definisi :
1.
2.
3.
4.
Pernyataan = suatu kalimat yang memiliki arti
Ditulis dengan huruf besar/kecil A,B,c,d
Nilai dari pernyataan tersebut bisa bernilai benar
atau salah
Disebut juga sebagai kalimat deklaratif
K U L I A H M AT E M AT I K A D I S K R I T
Program Studi Teknik Elektro
Logika Proposisi
Contoh :
1.
2+2=4
2.
Bilangan bulat yang membagi habis 23 adalah 1 dan 23.
Bukan Proposisi :
1. A + B  5
K U L I A H M AT E M AT I K A D I S K R I T
Program Studi Teknik Elektro
Logika Proposisi
Deskripsi
A = Bilangan bulat yang membagi habis 23 adalah 1 dan 23.
A atau lainnya yang menggantikan atau mewakili
proposisi disebut sebagai variable proporsisional
True/False/T/F kemudian disebut sebagai konstanta
proporsisional
K U L I A H M AT E M AT I K A D I S K R I T
Program Studi Teknik Elektro
Soal
Proposisi atau bukan ?
1.
2.
3.
4.
5.
Dewi belajar
Budi adalah seorang mahasiswa yang pandai
pada matakuliah Matematika Diskrit
Angka 13 adalah angka sial
Tati, cepat kerjakan tugasmu !
Tari, apakah anda sudah menyelesaikan final
report
K U L I A H M AT E M AT I K A D I S K R I T
Program Studi Teknik Elektro
Jawaban
1.
2.
3.
Pernyataan ke-3 menimbulkan perdebatan karena
tidak setiap orang setuju ada juga yang tidak
perduli, atau tidak juga memiliki arti (bukan
proposisi)
Pernyataan ke-1 dan 2 (merupakan proposisi)
Pernyataan ke-4 dan ke-5 (bukan proposisi
karena merupakan kalimat perintah dan kalimat
tanya)
K U L I A H M AT E M AT I K A D I S K R I T
Program Studi Teknik Elektro
Contoh Soal
“Gajah lebih besar daripada kucing”
Ini suatu perrnyataan ?
Ini suatu proposisi ?
Apa nilai kebenarannya ?


benar
K U L I A H M AT E M AT I K A D I S K R I T
Program Studi Teknik Elektro
Latihan
1. “1089 < 101”
2. “y > 16”
3. “Bulan ini Februari”
4. “Jangan Tidur dikelas”
5. “Jika gajah berwarna hijau mereka dapat
berlindung dibawah pohon bambu”
6. “x < y jika dan hanya jika y > x”
K U L I A H M AT E M AT I K A D I S K R I T
Program Studi Teknik Elektro
Jawaban
“1089 < 101”
Ini pernyataan ?
ya
Ini proposisi ?
ya
Apa nilai kebenaran dari
proposisi ini ?
salah
K U L I A H M AT E M AT I K A D I S K R I T
Program Studi Teknik Elektro
Jawaban
“y > 15”
Ini pernyataan ?
ya
Ini proposisi ?
bukan
Nilai kebenarannya bergantung pada nilai y, tapi
nilai ini tidak spesifik.
Kita katakan tipe pernyataan ini adalah fungsi
proposisi atau kalimat terbuka.
K U L I A H M AT E M AT I K A D I S K R I T
Program Studi Teknik Elektro
Jawaban
“Bulan ini februari”
Ini pernyataan ?
ya
Ini proposisi ?
ya
Apa nilai kebenaran dari
proposisi ini ?
salah
K U L I A H M AT E M AT I K A D I S K R I T
Program Studi Teknik Elektro
Jawaban
“Jangan tidur di kelas”
Ini pernyataan ?
bukan
Ini proposisi ?
bukan
Hanya pernyataan yang dapat menjadi
proposisi.
K U L I A H M AT E M AT I K A D I S K R I T
Program Studi Teknik Elektro
Jawaban
“Jika gajah berwarna merah,
mereka dapat berlindung di bawah pohon bambu”
Ini pernyataan ?
Ya
Ini proposisi ?
Ya
Apa nilai kebenaran
proposisi tersebut ?
probably false
K U L I A H M AT E M AT I K A D I S K R I T
Program Studi Teknik Elektro
Jawaban
“x < y jika dan hanya jika y > x”
Ini pernyataan ?
Ya
Ini proposisi ?
Ya
… sebab nilai kebenarannya tidak
bergantung pada nilai x dan y.
Apa nilai kebenaran dari
true
proposisi tsb ?
K U L I A H M AT E M AT I K A D I S K R I T
Program Studi Teknik Elektro
Logika Proposisi
Macam :
1.
2.
Proposisi tunggal (atomic)
Proposi yang hanya berisi satu variable atau satu
konstanta proporsisional
Proropisi majemuk (compound)
Penggabungan proposisi atomik menggunakan
kata penghubung (connectives)
K U L I A H M AT E M AT I K A D I S K R I T
Program Studi Teknik Elektro
Logika Proposisi
Contoh :
1.
2.
Proposisi tunggal (atomic)
Setiap mahasiswa teknik elektro pandai
Proropisi majemuk (compound)
Bono kaya raya dan memiliki banyak harta
K U L I A H M AT E M AT I K A D I S K R I T
Program Studi Teknik Elektro
Logika Proposisi
Penghubung Logika (Logical Connectives) :
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Tidak/Not/Negasi
Dan/And/Konjungsi
Atau/Or/Disjungsi
Implikasi
Bi-Implikasi
Exclusive OR (XOR)
Tidak Dan
Tidak Atau
Simbol
Simbol
Simbol
Simbol
Simbol
Simbol
Simbol
Simbol






|

K U L I A H M AT E M AT I K A D I S K R I T
Program Studi Teknik Elektro
Logika Proposisi
Hirarki Penghubung :
Hirarki ke -
Simbol
Nama
1

Negasi
tidak ….
2

Konjungsi
…. dan ….
3

Disjungsi
(XOR)
.... atau ….
4

Implikasi /
Conditional
.... jika …. Maka
5

Ekuivalensi / Bi Implikasi
/ Bi Conditional
.... bila dan hanya bila ….
K U L I A H M AT E M AT I K A D I S K R I T
Program Studi Teknik Elektro
Tabel Kebenaran

Definisi
Merupakan satu tabel yang menunjukan secara
sistematis satu demi satu nilai-nilai kebenaran sebagai
hasil kombinasi dari proposisi-proposisi yang
sederhana.
K U L I A H M AT E M AT I K A D I S K R I T
Program Studi Teknik Elektro
Tabel Kebenaran

Tabel Kebenaran Negasi
p
p
0
1
1
0
Contoh:
p = Budi seorang mahasiswa
p = Budi bukan seorang mahasiswa
K U L I A H M AT E M AT I K A D I S K R I T
Program Studi Teknik Elektro
Tabel Kebenaran

Tabel Kebenaran Konjungsi
p
q
pq
0
0
0



0
1
0
1
0
0
1
1
1
P
: Harimau adalah binatang buas
q
: Malang adalah ibukota Jawa Timur
p  q : Harimau adalah binatang buas dan
Malang adalah ibukota Jawa Timur
Definisi : p  q akan benar jika dan
hanya jika keduanya bernilai benar
dan jika lainnya pasti salah
K U L I A H M AT E M AT I K A D I S K R I T
Program Studi Teknik Elektro
Tabel Kebenaran

Tabel Kebenaran Disjungsi
p
q
pvq
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
p
: Bono seorang mahasiswa
q
: Wira seorang sarjana teknik
p v q : Bono seorang mahasiswa atau
Wira seorang sarjana teknik
Definisi : p  q akan benar jika dan
Salah satu diantaranya adalah benar
dan jika lainnya pasti salah
K U L I A H M AT E M AT I K A D I S K R I T
Program Studi Teknik Elektro
Tabel Kebenaran

Tabel Kebenaran Implikasi
p
q
pq
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
p
: Bono seorang mahasiswa
q
: Wira seorang sarjana teknik
p  q: jika Bono seorang mahasiswa
maka Wira seorang sarjana teknik
antecendent  consequent
hipotesis  kesimpulan
Definisi : p  q akan salah jikanilai p
bernilai benar dan nilai q bernilai salah
dan jika lainnya pasti benar
K U L I A H M AT E M AT I K A D I S K R I T
Program Studi Teknik Elektro
Proposisi

Cara Penyebutan Implikasi
if p then q
whenever p then q
p is sufficient for q
p only if q
p implies q
K U L I A H M AT E M AT I K A D I S K R I T
Program Studi Teknik Elektro
Tabel Kebenaran

Cara Penyebutan Implikasi
q if p
q whenever p
q is neccesarry for p
q is implied by p
K U L I A H M AT E M AT I K A D I S K R I T
Program Studi Teknik Elektro
Tabel Kebenaran

Syarat Implikasi adalah perlu dan Cukup, perhatikan
contoh berikut ini :



Kondisi “perlu” dinyatakan oleh konklusi.
Kondisi “cukup” dinyatakan oleh hipotesa.
Perlu = necessary; Cukup = sufficient

Contoh:
Jika Bono seorang mahasiswa maka Wira
seorang sarjana teknik


Kondisi perlu : Wira seorang sarjana teknik
Kondisi cukup : Bono seorang mahasiswa
K U L I A H M AT E M AT I K A D I S K R I T
Program Studi Teknik Elektro
Tabel Kebenaran

Tabel Kebenaran Bi Implikasi
p
q
p p
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
Definisi : Proposisi yang bernilai benar
Jika p bernilai benar dan q bernilai benar
Jika p bernilai salah dan q bernilai salah
Dan lainnya pasti salah
K U L I A H M AT E M AT I K A D I S K R I T
Program Studi Teknik Elektro
Tabel Kebenaran

Tabel Kebenaran Tidak Atau
p
q
pq
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
P  q dapat pula disebut sebagai not or
Dan akan bernilai benar jika p bernilai
salah dan q bernilai salah, dan jika
lainnya pasti salah
K U L I A H M AT E M AT I K A D I S K R I T
Program Studi Teknik Elektro
Tabel Kebenaran

Tabel Kebenaran Tidak Dan
p
q
p|q
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
p | q dapat pula disebut sebagai not and
Akan bernilai salah jika p bernilai benar
dan q bernilai benar dan jika lainnya
pasti benar
K U L I A H M AT E M AT I K A D I S K R I T
Program Studi Teknik Elektro
Logika Proposisi
Contoh Penerapan :
p : motor itu bannya kurang angin
q : motor itu kehabisan bahan bakar
Motor itu bannya kurang angin dan kehabisan bahan
bakar dapat disimbolkan dengan
pq
K U L I A H M AT E M AT I K A D I S K R I T
Program Studi Teknik Elektro
Logika Proposisi
Contoh :
Dengan kondisi sama simbolkanlah pernyataan berikut :
1.
2.
Motor itu tidak kehabisan bahan bakar tapi bannya
kurang angin
Tidak benar bahwa motor itu kehabisan bahan
bakar dan bannya kurang angin
K U L I A H M AT E M AT I K A D I S K R I T
Program Studi Teknik Elektro
Logika Proposisi
p = Motor itu tidak kehabisan bahan bakar
q = Motor itu bannya kurang angin
K U L I A H M AT E M AT I K A D I S K R I T
Program Studi Teknik Elektro
Logika Proposisi
Solusi :
Motor itu tidak kehabisan bahan bakar tapi bannya
kurang angin
q  p
Tidak benar bahwa motor itu kehabisan bahan bakar
dan bannya kurang angin
 (q  p)
K U L I A H M AT E M AT I K A D I S K R I T
Program Studi Teknik Elektro
Logika Proposisi
Tabel Kebenaran :
p
q
p
pq
pq
pq
pq
T
T
F
T
T
T
T
T
F
T
F
T
F
F
F
T
T
F
T
T
F
F
F
T
F
F
T
T
K U L I A H M AT E M AT I K A D I S K R I T
Program Studi Teknik Elektro
Latihan
Misalkan kondisinya seperti ini :
A = Budi sakit flu
B = Budi test SPMB
C = Budi lulus
Buatlah pernyataan
berikut ini :
1. A   B
2. B   C
dan
tabel
kebenarannya
3. (A  B)  C
4. (A  B)  C
K U L I A H M AT E M AT I K A D I S K R I T
Program Studi Teknik Elektro
Jawaban
A = Budi sakit flu
B = Budi test SPMB
C = Budi lulus
1.
AB
A
B
B
A  B

Jika Budi sakit flu maka budi tidak test SPMB
0
0
1
1

Oleh karena budi sakit flu maka budi
0
1
0
1
0
1
1

Budi tidak test SPMB jika Budi sakit flu
1

Budi tidak test SPMB oleh karena budi sakit flu 1 1
0
1
tidak test SPMB
K U L I A H M AT E M AT I K A D I S K R I T
Program Studi Teknik Elektro
Jawaban
A = Budi sakit flu
B = Budi test SPMB
C = Budi lulus
1.
BC

B
C
Jika Budi test SMPB maka budi tidak test lulus 0 0
C
B  C
1
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
1
0
1
K U L I A H M AT E M AT I K A D I S K R I T
Program Studi Teknik Elektro
Jawaban
A = Budi sakit flu
B = Budi test SPMB
C = Budi lulus
1.
(A  B)  C
A B C AB
(A  B)  C
(A  B ) C
A B C AB
(A  B ) C
0 0 1
0
1
0 0 1
0
1
0 1 0
0
1
0 1 0
1
1
1 0 1
0
0
1 0 1
1
1
1 1 0
1
1
1 1 0
1
1
K U L I A H M AT E M AT I K A D I S K R I T
Program Studi Teknik Elektro
Proposisi

Tautologi, proposisi yg memuat nilai true untuk
variabel hasilnya.


Kontradiksi, proposisi yg memuat nilai false untuk
variabel hasilnya.


p v p
pp
Kontingensi, proposisi yg memuat campuran dari true
dan false utk kolom hasilnya.

pq
K U L I A H M AT E M AT I K A D I S K R I T
Program Studi Teknik Elektro
Proposisi

Contoh Tautologi (Disimbolkan oleh) = Excluded Middle Law

p v p
p
p
pvp
T
F
T
T
T
T
F
F
T
F
F
T
K U L I A H M AT E M AT I K A D I S K R I T
Program Studi Teknik Elektro
Proposisi

Contoh Kontradiksi

pp
p
p
pp
T
F
F
T
F
F
F
T
F
F
T
F
K U L I A H M AT E M AT I K A D I S K R I T
Program Studi Teknik Elektro
Proposisi

Contoh Kontingensi

pq
p
p
q
p q
T
F
T
T
T
F
F
F
F
T
T
F
F
T
F
F
K U L I A H M AT E M AT I K A D I S K R I T
Program Studi Teknik Elektro
Proposisi

Konversi
q  p disebut konversi dari p  q

Inversi

dari p  q adalah  p   q
Kontraposisi
q  p disebut kontrapositif dari p  q
K U L I A H M AT E M AT I K A D I S K R I T
Program Studi Teknik Elektro
Proposisi

1.
2.
Hukum Ekuivalensi Logika
Hukum Komutatif


Hukum Asosiatif
  (  )  (  )  
  (  )  (  )  
K U L I A H M AT E M AT I K A D I S K R I T
Program Studi Teknik Elektro
Proposisi

3.
4.
Hukum Ekuivalensi Logika
Hukum Distributif
  (  )  (  )  (  )
  (  )  (  )  (  )
Hukum Identitas
pTp
pRp
K U L I A H M AT E M AT I K A D I S K R I T
Program Studi Teknik Elektro
Proposisi

5.
6.
7.
Hukum Ekuivalensi Logika
Hukum Ikatan
pTT
Hukum Negasi Ganda
  
Hukum Negasi
ppT
pFF
K U L I A H M AT E M AT I K A D I S K R I T
Program Studi Teknik Elektro
Proposisi

8.
9.
Hukum Ekuivalensi Logika
Hukum Idempoten
ppp
Hukum Demorgan
ppp
 (  )    
 (  )    
K U L I A H M AT E M AT I K A D I S K R I T
Program Studi Teknik Elektro
Proposisi

Hukum Ekuivalensi Logika
10.
Hukum Absorpsi
p  (p  p)  p
p  (p  p)  p
K U L I A H M AT E M AT I K A D I S K R I T
Program Studi Teknik Elektro
Contoh Soal

Tunjukkan bahwa p   (p  q)  p   q !
Solusi :
p   (p  q)  p  ( p   q)
(Hukum De Morgan)
 (p   p)  (p   q) (Hukum distributif)
 T  (p   q)
pq
(Hukum negasi)
(Hukum identitas)
K U L I A H M AT E M AT I K A D I S K R I T
Program Studi Teknik Elektro
Contoh Soal

Buktikan hukum penyerapan : p  (p  q)  p !
Solusi :
p  (p  q)
 (p  F )  (p  q) (Hukum identitas)
 p  (F  q)
(Hukum distributif)
pF
(Hukum Null)
p
(Hukum identitas)
K U L I A H M AT E M AT I K A D I S K R I T
Program Studi Teknik Elektro