benda tegar - bayu buwana

DEPARTMEN
IKA
ITBFisika-Unej
Jurusan
BENDA TEGAR
Kuliah
Fisika
Dasar
–DrPasasa
Edy Supriyanto
FI-1101©
2004
Dr. Linus
MS
Bab 6-1
DEPARTMEN
IKA
ITBFisika-Unej
Jurusan
Bahan Cakupan
‰
‰
‰
Gerak Rotasi
Vektor Momentum Sudut
Si t Partikel
Sistem
P tik l
‰
Momen Inersia
‰
Dalil Sumbu Sejajar
‰
Dinamika Benda Tegar
‰
Menggelinding
‰
Hukum Kekekalan Momentum Sudut Benda Tegar
g
‰
Statika Benda Tegar
Kuliah Dr.
Fisika
Dasar
–DrMS
Edy/Fisika
Supriyanto
Linus
Pasasa
Dasar I
Bab 6-2
DEPARTMEN
IKA ITB
Gerak Rotasi & Pergeseran Sudut
ƒ Tinjau dahulu besaran-besaran vektor gerak rotasi.
rotasi, pergeseran sudut:
ƒ Dalam proses rotasi
Δθ = θ2 − θ1
ƒ Satuan SI untuk pergeseran
sudut adalah radian (rad)
360°
1 rad
d=
= 57,3°
2π
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
Bab 6-3
DEPARTMEN
IKA ITB
Gerak Rotasi & Pergeseran Sudut
ƒ kecepatan sudut rata-rata:
θ2 − θ1 Δθ
ω=
=
t 2 − t1
Δt
ƒ kecepatan sudut sesaat:
Δθ dθ
ω = lim ω = lim
=
Δt →0
Δt →0 Δt
dt
Satuan SI untuk kecepatan sudut adalah
radian per detik (rad/s)
Arah kecepatan sudut sama dengan arah pergeseran sudut.
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
Bab 6-4
DEPARTMEN
IKA ITB
Gerak Rotasi & Pergeseran Sudut
Arah kecepatan sudut:
Aturan tangan kanan
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
Bab 6-5
DEPARTMEN
IKA ITB
Gerak Rotasi & Pergeseran Sudut
ω2 − ω1
ƒ Percepatan sudut rata-rata:
Δω
α =
=
t 2 − t1
Δt
ƒ Percepatan sudut sesaat:
Δω dω
α = lim
=
Δt →0 Δt
dt
Satuan SI untuk percepatan sudut adalah
radian per detik (rad/s2)
Arah percepatan sudut sama dengan arah kecepatan sudut.
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
Bab 6-6
DEPARTMEN
IKA ITB
Persamaan Kinematika Rotasi
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
Bab 6-7
DEPARTMEN
IKA ITB
Perumusan Gerak Rotasi
ƒ Kecepatan tangensial:
v{
=
kecepatan
linear
r{
ω
(ω dalam rad/s )
kecepatan
tangensial
ƒ Percepatan
p
tangensial:
g
a{
percepatan
linear
=
r{
α
(α dalam rad/s2 )
percepatan
tangensial
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
Bab 6-8
DEPARTMEN
IKA ITB
Perumusan Gerak Rotasi
ƒ Percepatan sentripetal (dng arah radial ke
dalam):
v2
= ω 2r
ar =
r
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
Bab 6-9
DEPARTMEN
IKA ITB
Torsi – Momen gaya
ƒ Torsi didefenisikan
sebagai hasil kali
besarnya gaya
dengan panjangnya
lengan
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
Bab 6-10
DEPARTMEN
IKA ITB
Torsi – Momen gaya
ƒ Torsi berarah positif apabila gaya menghasilkan
rotasi yang berlawanan dengan arah jarum jam.
ƒ Satuan SI dari Torsi: newton.m (N.m)
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
Bab 6-11
DEPARTMEN
IKA ITB
Vektor Momentum Sudut
ƒ Momentum sudut L dari sebuah benda yang
berotasi tehadap sumbu tetap didefenisikan
sbb:
r
r r
r r
L = r × p = m( r × v )
l = mvr sin
i φ
= rp⊥ = rmv⊥
= r⊥ p = r⊥ mv
•Satuan SI adalah Kg.m2/s.
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
Bab 6-12
DEPARTMEN
IKA ITB
Vektor Momentum Sudut
ƒ P
Perubahan
b h momentum
t
sudut
d t tterhadap
h d waktu
kt
diberikan oleh:
dL
d
=
(r × p )
dt
dt
d
dr
dp⎞
⎛
⎞
⎛
(r × p) = ⎜⎝ × p⎟⎠ + ⎜⎝ r × ⎟⎠
dt
dt
dt
= (v × m v )
=0
Jadi
dL
dp
=r×
dt
dt
l
ingat
FEXT =
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
dp
dt
Bab 6-13
DEPARTMEN
IKA ITB
Vektor Momentum Sudut
ƒ P
Perubahan
b h momentum
t
sudut
d t tterhadap
h d waktu
kt
diberikan oleh:
dL
dL
= r × FEXT
dt
dL
dp
=r×
dt
dt
Akhirnya kita peroleh:
τ EXT
Analog dengan
FEXT
dp
=
dt
dL
=
dt
!!
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
Bab 6-14
DEPARTMEN
IKA ITB
ƒ
z
Hukum Kekekalan Momentum
Sudut
τ EXT =
dL dimana
dL
dt
L=r ×p
Jika torsi resultan = nol, maka
dan τ
EXT = r × FEXT
τ EXT
dL
dL
=
=0
dt
Hukum kekekalan momentum sudut
I1ω1 = I 2 ω 2
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
Bab 6-15
DEPARTMEN
IKA ITB
Hukum Kekekalan Momentum
ƒ Linear
o Jika ΣF = 0, maka p konstan.
ƒ Rotasi
o Jika
Jik Στ
Σ = 0,
0 maka
k Lk
konstan.
t
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
Bab 6-16
DEPARTMEN
IKA ITB
p=
mv
Momentum Sudut:
D f i i&P
Defenisi
Penurunan
ƒ Untuk gerak linear sistem partikel berlaku
dp
Momentum kekal jika
FEXT =
FEXT = 0
dt
ƒ Bagaimana
B
i
d
dng G
Gerak
kR
Rotasi?
t i?
Untuk Rotasi
Rotasi, Analog gaya F adalah Torsi
Analog momentum p adalah
τ=r ×F
L =r ×p
momentum sudut
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
Bab 6-17
DEPARTMEN
IKA ITB
Sistem Partikel
ƒ Untuk sistem partikel benda tegar
tegar, setiap partikel
memiliki kecepatan sudut yang sama, maka
momentum sudut total:
n r
r
r r r r
L = l1 + l2 + l3 + ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ + ln = ∑ li
i=1
r
r
n
dL n dli
r
r
=∑
= ∑τ net ,i = τ net
dt i =1 dt i =1
Perubahan momentum sudut ssistem
stem hanya d
disebabkan
sebabkan oleh
torsi gaya luar saja.
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
Bab 6-18
DEPARTMEN
IKA ITB
Sistem Partikel
ƒ Perhatikan sistem partikel benda tegar yg berotasi
pd bidang x-y, sumbu rotasi z. Total momentum
sudut adalah jumlah masing2 momentum sudut
partikel:
L = ∑r × p = ∑m r ×v = ∑m r v k̂
i
i
i
i
i i
i
i
(krn ri dan vi tegak lurus)
i i i
v1
Arah L sejajar sumbu z
Gunakan vi = ω ri , diperoleh
p
L = ∑ m i r i ω kˆ
2
m2
v2
i
r
r
L = Iω
j
i r1 m1
r2
ω
m3
r3
v3
Analog dng p = mv !!
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
Bab 6-19
DEPARTMEN
IKA ITB
Vektor Momentum Sudut
ƒ DEFINISI
Momentum sudut dari sebuah benda yang
berotasi tehadap sumbu tetap adalah hasil
kali dari momen inersia benda dengan
kecepatan sudut terhadap sumbu rotasi
tersebut.
tersebut
r
r
L = Iω
ƒ Demikan juga dengan torsi (Hk II Newton
untuk gerak rotasi):
r
r
r
r
d L d ( Iω )
dω
τ =
=
=I
= Iα
dt
dt
dt
r
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
Bab 6-20
DEPARTMEN
IKA ITB
Vektor Momentum Sudut
L = Iω
ƒ Jika tidak ada torsi luar, L kekal. Artinya bahwa
hasil perkalian antara I dan ω kekal
I = ∑ mi ri
2
L = Iω
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
L = Iω
Bab 6-21
Momen Inersia
DEPARTMEN
IKA ITB
Momen Inersia bagi suatu sistem partikel benda tegar
didefenisikan sebagai
I =
∑
m i ri = m 1 r1 + m 2 r2 + ...
2
2
2
i
I = momen inersia benda tegar,
menyatakan ukuran inersial sistem untuk berotasi
terhadap sumbu putarnya
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
Bab 6-22
Momen Inersia
DEPARTMEN
IKA ITB
Untuk benda yang mempunyai distribusi massa kontinu,
momen inersianya diberikan dalam bentuk integral
I = ∑ mi ri ⇒ I = ∫ r dm
2
2
i
I = ∫ r dm = ∫ ρr dV
2
z
2
Dimana Elemen Volume
y
dm
x
dV = rdr ⋅ dθ ⋅ dl
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
Bab 6-23
DEPARTMEN
IKA ITB
Momen Inersia
dV = rdr ⋅ dθ ⋅ dl
ƒ dimana rdr : perubahan radius,
perubahan sudut,,
ƒ dθ : p
ƒ dl : perubahan ketebalan.
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
Bab 6-24
Momen Inersia
DEPARTMEN
IKA ITB
Untuk lempengan benda dibawah ini, momen
inersia dalam bentuk integral
I = ∫ r ρ (rdr ⋅ dθ ⋅ dl )
2
As msi rapat massa ρ konstan
Asumsi
ƒ Kita dapat membaginya dalam
3 iintegral
t
l sbb:
bb
I = ρ ∫ r (rdr ) ⋅ ∫
R
0
2
2π
0
(dθ ) ⋅ ∫0 (dl )
L
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
Bab 6-25
DEPARTMEN
IKA ITB
Momen Inersia
R
⎡r ⎤
2π
L
I = ρ ⎢ ⎥ ⋅ [θ ]0 ⋅ [l ]0
⎣ 4 ⎦0
4
Hasilnya adalah
R
I=ρ
⋅ 2π ⋅ L
4
4
Massa dari lempengan
tersebut
M = ρ ⋅π ⋅ R ⋅ L
2
M
Momen
IInersia
i b
benda
d
1
2
I = MR
2
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
Bab 6-26
DEPARTMEN
IKA ITB
Dalil Sumbu Sejajar
Untuk benda tegar bermassa M yang berotasi terhadap
sumbu putar sembarang yang berjarak h dari sumbu sejajar
yang melalui titik pusat massanya (ICM diketahui),
diketahui) momen
inersia benda dapat ditentukan dengan menggunakan:
Dalil Sumbu Sejajar
I = I cm + Mh
2
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
Bab 6-27
DEPARTMEN
IKA ITB
Momen Inersia:
1
I = ml 2
12
ℓ
1 2
I = ml
3
R
R
I = mR
1
I = mR 2
2
2
1
I = m( a 2 + b 2 )
12
ℓ
a
b
2
I = mR 2
5
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
Bab 6-28
Dinamika Benda Tegar
DEPARTMEN
IKA ITB
ƒ Mengikuti analog dari gerak translasi, maka kerja
oleh momen gaya didefenisikan sbb:
θ2
ω2
1
θ1
ω1
2
W = ∫ τdθ = ∫ Iωdω = Iω − Iω
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
2
2
1
2
2
1
Bab 6-29
DEPARTMEN
IKA ITB
Energi
g Kinetik Rotasi
ƒ Suatu benda yang bergerak rotasi, maka energi
kinetik akibat rotasi adalah
1
1
2
K = ∑ mi (ωri ) =
2
2
1 2
K = Iω
2
(∑ m r )ω
ƒ Dimana I adalah momen inersia,
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
2
2
i i
I = ∑ mi ri
2
Bab 6-30
DEPARTMEN
IKA ITB
Energi Kinetik Rotasi
ƒ Linear
ƒ Rotasi
1
2
K = Mv
2
Massa
Kecepatan
Linear
1 2
K = Iω
2
Momen
Inersia
Kecepatan
Sudut
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
Bab 6-31
Prinsip Kerja-Energi
DEPARTMEN
IKA ITB
ƒ Sehingga, teorema Kerja-Energi untuk gerak
rotasi menjadi:
θ2
ω2
1
θ1
ω1
2
W = ∫ τdθ = ∫ Iωdω = Iω − Iω
2
2
1
2
2
1
1 2
= Iω
2
K
W = ΔK rotasi
rotasi
dimana
r
Bila τ = 0 ,maka W = 0 sehingga
ΔK rot = 0 Hukum Kekekalan En. Kinetik Rotasi
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
Bab 6-32
DEPARTMEN
IKA ITB
Menggelinding
ƒ Menggelinding adalah peristiwa translasi dan
sekaligus rotasi
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
Bab 6-33
DEPARTMEN
IKA ITB
Gerak Menggelinding: rotasi dan
translasi
s =θ R
B
Ban
b
bergerak
k d
dengan llaju
j ds/dt
⇒ vcom
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
dθ
=
= ωR
dt
Bab 6-34
DEPARTMEN
IKA ITB
Gerak Menggelinding: rotasi dan
translasi
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
Bab 6-35
DEPARTMEN
IKA ITB
Gerak Menggelinding: rotasi dan
translasi
The kinetic energy of rolling
K = 12 I Pω 2
I P = I com + MR 2
K = I comω + MR ω
1
2
2
1
2
2
2
2
K = 12 I comω 2 + 12 Mv
M com
= K r + Kt
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
Bab 6-36
DEPARTMEN
IKA ITB
Gerak Menggelinding Di Bidang Miring
Gunakan:
r
N
R × Fg sin θ = I Pα
R
Fg sinθ
r
fs
x
θ
r
Fg
acom = −α R
Maka:
MR 2 g sin θ = − I P acom
P
θ
torsi = I α
Fg cosθ
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
I P = I com + MR 2
acom
g sin θ
=−
1 + I com / MR 2
Bab 6-37
DEPARTMEN
IKA ITB
Menggelinding
ƒ Total energi kinetik benda yang menggelinding
sama dengan jumlah energi kinetik translasi
dan energi kinetik rotasi
rotasi.
1
1
K = mv + I 0ω
2
2
0
2
2
V0
ω
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
Bab 6-38
DEPARTMEN
IKA ITB
Hukum Kekekalan Energi Mekanik
Total Dengan Gerak Rotasi
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
Bab 6-39
DEPARTMEN
IKA ITB
Kesetimbangan
g Benda Tegar
g
ƒ Suatu benda tegar dikatakan setimbang
apabila memiliki percepatan translasi sama
dengan nol dan percepatan sudut sama
d
dengan
nol.
l
ƒ Dalam keadaan setimbang, seluruh resultan
gaya yang bekerja harus sama dengan nol
nol,
dan resultan torsi yang bekerja juga harus
sama dengan nol:
ΣFx = 0 dan ΣFy = 0
Στ = 0
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
Bab 6-40
DEPARTMEN
IKA ITB
Hubungan Besaran
Gerak Linear - Rotasi
Linear
x ((m))
Rotasi
θ ((rad))
v (m/s)
ω (rad/s)
a (m/s2)
α (rad/s2)
m (kg)
F (N)
I (kg
(kg·m
m 2)
τ (N·m)
p (N·s)
(N )
L (N·m·s)
(N
)
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
Bab 6-41
Hubungan Besaran
Gerak Linear - Rotasi
DEPARTMEN
IKA ITB
linear
perpindahan
kecepatan
percepatan
massa
gaya
angular
Δx
v = dx / dt
a = dv / dt
ω = dθ / dt
m
I = ∑ mi ri 2
r
F
Hk. Newton’s
F = ma
energi kinetik
K = (1 / 2)mv 2
Kerja
Δθ
W = ∫ Fdx
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
α = dω / dt
r r
τ = r ×F
r
τ = Iα
K = (1 / 2) Iω 2
W = ∫ τdθ
Bab 6-42