Medan Vektor: gradient, divergensi dan curl Tujuan: Memahami dan

F -X C h a n ge
F -X C h a n ge
c u -tr a c k
N
y
bu
to
k
lic
.d o
o
.c
m
C
m
w
o
.d o
w
w
w
w
w
C
lic
k
to
bu
y
N
O
W
!
PD
O
W
!
PD
c u -tr a c k
Medan Vektor: gradient, divergensi dan curl
Tujuan:
Memahami dan menghitung Kalkulus vektor yang penting:
gradient, divergensi dan curl
Medan skalar mendefinisikan medan vektor melalui gradien.
Sedangkan medan vektor mendefinisikan medan skalar melalui
divergensi dan medan vektor melalui curl (rotasi).
Fungsi skalar / potensial: f(P)
Fungsi vektor v(P) = grad f(P) dimana grad f
f ˆ
i
x
f ˆ
j
y
f ˆ
k
z
Divergensi dari medan vector
Arti fisis dari divergensi: menghitung berapa perubahan/laju
suatu vector dalam arah x, y dan z. (outflow dikurangi inflow)
Divergensi < 0
Divergensi > 0
Misal v (v1 , v2 , v3 ) adalah fungsi vektor terdiferensialkan, dimana
x, y dan z adalah koordinat Kartesius, maka
v1
v2
v3
div v
x
y
z
disebut divergensi dari v atau divergensi dari medan vektor yang
didefinisikan oleh v .
Notasi yang lain dari divergensi: v
.c
F -X C h a n ge
F -X C h a n ge
c u -tr a c k
N
y
bu
to
k
lic
div v
v
x
i
y
j
z
k (v1 i, v2 j , v3 k )
Contoh: Hitunglah divergensi dari v 3 xziˆ 2 xyjˆ
v1
x
v2
y
yx 2 kˆ
Contoh fisis: medan gravitasi
Gaya tarik menarik antara 2 partikel:
c
x x0
y y0
p
r
c
i
j
r3
r3
r3
dengan
r jarak antara
z z0
k
r3
P0 ( x0 , y0 ) dan P ( x, y ) .
Fungsi p adalah gradient dari fungsi scalar f ( x, y , z )
c
r
v3
z
.d o
o
.c
m
C
m
w
o
.d o
w
w
w
w
w
C
lic
k
to
bu
y
N
O
W
!
PD
O
W
!
PD
c u -tr a c k
.c
F -X C h a n ge
F -X C h a n ge
c u -tr a c k
N
y
bu
to
k
lic
Fungsi f ini memenuhi persamaan paling penting dalam Fisika,
yaitu Persamaan Laplace:
2
2
f
x2
f
y2
2
f
z2
0
Misal gerakan compressible fluid.
Curl (Rotasi) dari medan vector
Misalkan x, y dan z adalah koordinat Kartesius (arah tangan
kanan) dan v ( x, y , z ) v1 i v2 j v3 k fungsi yang
terdideferensialkan. Fungsi curl atau rotasi adalah fungsi
curl v
v3
y
rot v
v2
i
z
v
v1
z
i
j
k
x
v1
y
v2
z
v3
v3
j
x
v2
x
v1
k
y
Contoh:
a. Hitung curl dan divergensi dari f ( x, y )
b. Hitung curl dan divergensi dari f ( x, y )
Gambar dari f ( x, y )
yi
xj
yi
yi
xj.
xj.
.d o
o
.c
m
C
m
w
o
.d o
w
w
w
w
w
C
lic
k
to
bu
y
N
O
W
!
PD
O
W
!
PD
c u -tr a c k
.c
F -X C h a n ge
F -X C h a n ge
c u -tr a c k
N
y
bu
to
k
lic
Gambar dari f ( x, y )
yi
xj
Contoh:
Rotasi benda pejal.
rot (grad f) = 0
.d o
o
.c
m
C
m
w
o
.d o
w
w
w
w
w
C
lic
k
to
bu
y
N
O
W
!
PD
O
W
!
PD
c u -tr a c k
.c
F -X C h a n ge
F -X C h a n ge
c u -tr a c k
N
y
bu
to
k
lic
Jadi jika suatu fungsi vektor adalah gradient dari fungsi scalar,
rotasinya adalah nol. Medan gradientnya irrotational /
konservatif.
div (rot v ) = 0
PR: Kreyzig Edisi 9
9.10 no. 6, 10, 16
9 Review: no. 32, 36
.d o
m
w
o
.c
C
m
o
.d o
w
w
w
w
w
C
lic
k
to
bu
y
N
O
W
!
PD
O
W
!
PD
c u -tr a c k
.c