bab i pendahuluan

BAB I
PENDAHULUAN
1.1.
Latar Belakang Masalah
Dalam kehidupan sehari-hari banyak permasalahan yang muncul di ling-
kungan sekitar. Hal tersebut yang memicu kreatifitas berpikir manusia untuk menyelesaikan permasalahan yang muncul sehingga dapat memberikan kontribusi pada perkembangan ilmu pengetahuan sampai saat ini. Salah satu bentuk kreatifitas
berpikir manusia adalah pemodelan matematika. Permasalahan-permasalahan sains
dan teknik banyak ditransformasi ke dalam persamaan matematika melalui proses
pemodelan matematika. Sehingga dengan adanya pemodelan matematika permasalahan yang ada menjadi lebih sederhana dan lebih mudah untuk diselesaikan. OLeh
sebab itu, matematika banyak diterapkan di berbagai disiplin ilmu termasuk pada
bidang fisika.
Salah satu pemodean yang diterapkan pada bidang fisika adalah ppersamaan diferensial parsial. Persamaan diferensial parsial memegang peranan penting di
dalam penggambaran keadaan fisis, dimana besaran-besaran yang terlibat di dalamnya berubah terhadap ruang dan waktu. Dengan kata lain, persamaan diferensial
parsial adalah persamaan diferensial yang mengandung satu atau lebih turunan parsial. Persamaan ini haruslah melibatkan paling sedikit dua variabel bebas. Salah
satu model matematika yang sering ditemui dalam bidang fisika adalah Persamaan
Laplace dan Persamaan Poisson.
Persamaan Laplace dan Persamaan Poisson merupakan salah satu bentuk
dari persamaan diferensial parsial eliptik yang merupakan salah satu tipe dari persamaan diferensial parsial. Persamaan ini tidak ada nilai awal sebagaimana persamaan diferensial parsial yang berhubungan dengan waktu. Hanya saja persamaan ini diikuti dengan kondisi batas tertentu. Dalam bukunya ,(Vichnevetsky,
1981) memberikan bentuk umum Persamaan Laplace dua dimensi, sebagai berikut:
1
2
∂2u
∂x2
+
∂2u
∂y 2
= 0. Persamaan tersebut sering digunakan untuk menggambarkan feno-
mena gravitasi, Potensial elektrostatis, dan distribusi suhu. Seperti persamaan diferensal lainnya, kerumitan penyelesaian persamaan diferensial parsial dua dimensi
terletak pada bentuk syarat batas yang menyertai persamaan diferensial tersebut.
Dalam matematika modern terdapat berbagai aplikasi persamaan diferensial yang
dilengkapi dengan syarat awal dan syarat batas atau lebih dikenal sebagai masalah
syarat awal dan syarat batas (MSAB).
Oleh karena itu, untuk mendapatkan solusi dari persamaan diferensial parsial dua dimensi para ilmuan telah mengembangkan berbagai metode baik secara
analitik maupun numerik. Karena tidak semua masalah persamaan diferensial dapat diselesaikan menggunakan metode analitik, maka digunakan metode numerik
untuk memperoleh solusi pendekatannya.
Salah satu metode numerik yang digunakan penulis untuk menyelesaikan
permasalaham persamaan parsial dua dimensi adalah metode elemen hingga. Metode ini dipakai sebagai metode alternatif dalam penyelesaian masalah syarat batas
persamaan diferensial parsial dua dimensi.
1.2.
Tujuan Penulisan
Tujuan akhir penulisan tugas akhir ini adalah:
1. Mendeskripsikan bentuk persamaan diferensial parsial eliptik dimensi dua.
2. Membentuk persamaan diferensial parsial eliptik dimensi dua menjadi bentuk
matriks.
3. Mempelajari contoh aplikasi metode elemen hingga dalam masalah perpindahan panas.
4. Mendeskripsikan perbandingan metode elemen hingga dalam menyelesaikan
persamaan diferensial parsial eliptik dengan menggunakan metode separasi
variabel dan metode beda hingga.
3
5. Mengetahui kelebihan dan kelemahan dari metode elemen hingga dibandingkan dengan metode numerik yang lain, misalnya metode beda hingga.
1.3.
Pembatasan Masalah
Masalah yang dibahas pada tulisan ini dibatasi pada penyelesaian persamaan
diferensial parsial linear orde dua dimensi dua tipe eliptik dalam keadaan stasioner
dengan syarat batas Dirichlet, Neumann dan Robin. Pada tugas akhir ini diberikan beberapa contoh yang hasilnya akan dibandingkan dengan hasil yang diperoleh dengan menggunakan metode separasi variabel dan menggunakan metode beda
hingga.
1.4.
Tinjauan Pustaka
Penyelesaian persamaan diferensial parsial eliptik dimensi dua menggunak-
an metode elemen hingga dalam tugas akhir ini merujuk pada buku karangan Reddy (2006). Pada buku karangan Reddy (2006) tersebut diberikan persamaan diferensial parsial eliptik dimensi dua secara umum, kemudian persamaan tersebut dikembangkan dengan menggunakan metode elemen hingga sehingga diperoleh suatu
persamaan matriks. Selanjutnya diberikan beberapa contoh masalah persamaan diferensial parsial eliptik dimensi dua yang diselesaikan menggunakan penyelesaian
analitik, yaitu metode separasi variabel yang mengacu pada buku karangan Asmar
(2000) dan hasilnya dibandingkan dengan hasil yang diperoleh menggunakan metode elemen hingga.
Pada pembentukan model elemen hingga dalam buku karangan Reddy (2006),
digunakan beberapa daftar pustaka. Untuk penjelasan mengenai persamaan diferensial parsial mengacu pada karangan Ross (1984). Konsep mengenai metode separasi
variabel, deret Fourier, dan beberapa jenis syarat batas, mengacu pada buku karangan Humi dan Miller (1992). Konsep mengenai Teorema Green Gauss mengacu pada
buku karangan Katsikalidis (2002).
4
1.5.
Metodologi Penelitian
Metode yang digunakan dalam pembuatan skripsi ini adalah dengan terlebih
dahulu mempelajari materi mengenai integral, persamaan diferensial parsial, matriks, eliminasi Gauss, vektor, teorema Green Gauss, masalah syarat batas, Deret
Fourier, dan metode separasi variabel.
Pembahasan diawali dengan pembentukan model persamaan diferensial parsial parsial eliptik dimensi dua secara umum, mendiskritkan domain menjadi elemenelemen hingga, menentukan bentuk lemah dari persamaan diferensial parsial eliptik
dimensi dua, menentukan model elemen hingga dengan menggunakan bentuk lemah, menentukan fungsi interpolasi pada setiap titik dari elemen hingga, selanjutnya mengumpulkan persamaan elemen-elemen hingga.
Diberikan contoh aplikasi metode elemen hingga yaitu pada masalah perpindahan panas. Untuk masalah perpindahan panas yang terjadi konveksi, model elemen hingga yang telah diperoleh dimodifikasi pada integral batasnya. Selanjutnya
diberikan beberapa contoh yang hasilnya dibandingkan dengan solusi analitiknya
sehingga diperoleh galatnya.
1.6.
Sistematika Penulisan
Sistematika penulisan yang digunakan dalam penulisan tugas akhir ini ada-
lah:
BAB I:PENDAHULUAN
Bab ini berisi tentang latar belakang permasalahan, tujuan penulisan, pembatasan masalah, tinjauan pustaka, metode penelitian yang digunakan untuk
penulisan tugas akhir ini, serta sistematika penulisan.
BAB II:DASAR TEORI
Bab ini berisi tentang kajian beberapa definisi dan teori yang ada kaitannya
dengan hal-hal penyelesaian masalah syarat batas pada persamaan diferensial
parsial orde dua domensi dua tipe eliptik.
5
BAB III:METODE ELEMEN HINGGA UNTUK PERSAMAAN DIFERENSIAL
PARSIAL ORDE DUA DIMENSI DUA TIPE ELIPTIK
Bab ini menjelaskan langkah-langkah untuk mendapatkan formulasi elemen
hingga yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial
parsial orde dua dalam dimensi dua tipe eliptik dengan syarat batas Dirichlet,
Neumann, dan Robin.
BAB 1V:APLIKASI METODE ELEMEN HINGGA DALAM PERPINDAHAN
PANAS DIMENSI DUA DALAM KEADAAN STASIONER
Bab ini berisi penjelasan tentang aplikasi metode elemen hingga yaitu dalam
masalah perpindahan panas beserta contoh-contoh penyelesaian numerik dari
masalah Persamaan Laplace dan Persamaan Poisson dengan dengan berbagai
syarat batas (yaitu syarat batas dirichlet, neuman dan robin) menggunakan
metode elemen hingga yang hasilnya dapat dibandingkan dengan metode lain
yaitu separasi variabel dan metode beda hingga.
BAB V:KESIMPULAN
Bab ini berisi penarikan kesimpulan dari keseluruhan pembahasan mengenai
penyelesaian numerik persamaan diferensial parsial orde dua dalam dimensi
dua dengan menggunakan metode elemen hingga, menggunakan metode beda hingga dan pembahasan mengenai penyelesaian analitik persamaan diferensial parsial menggunakan metode separasi variabel serta pemberian saran
dalam melakukan penulisan karya ilmiah.