medan elektromagnetik ii

MEDAN ELEKTROMAGNETIK II
Disusun oleh :
Dr. Drs. Jaja Kustija, M.Sc.
JURUSAN TEKNIK ELEKTRO
UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA
2014
Modul Teori Medan II
Gelombang Elektromagnetik
BAB I
GELOMBANG ELEKTROMAGNETIK
PADA MEDIUM UDARA/RUANG BEBAS
A. Terjadinya Gelombang Elektromagnetik
Gelombang elektromagnetik adalah gelombang yang terjadi akibat perubahan
medan magnet dan perubahan medan listrik terhadap waktu yang menjalar kesegala
arah. Hal ini terjadi akibat adanya perubahan suatu medan baik listrik maupun magnet
terhadap waktu.
Untuk menjelaskan proses terjadinya kita amati hukukm-hukum Maxwel untuk E dan
H. misalnya pada medium hampa/vakum sebagai berikut :
Bentuk point
1.  E  0.....................................................................................................................(1.1)
2.  H  0....................................................................................................................(1.2)
3.  E   0
4.  H   0
H
.........................................................................................................(1.3)
t
E
.............................................................................................................(1.4)
t
Sekarang Marilah kita periksa apakah gerak gelombang dapat kita peroleh dari
keempat persmaan tersebut. Makna fisis dari persamaan tersebut dari persamaan
menyatakan bahwa jika E (medan listrik) berubah terhadap waktu pada suatu titik
maka H (medan magnet) mempunyai curl pada titik tersebut dan karenanya dapat
dianggap membentuk sosok kecil yang tertutup yang bertautan pada perubahan medan
E. Demikian pula jika E berubah terhadap waktu maka H juga terhadap waktu
walaupun cara berubahnya belum tentu sama.
Hal yang sama terjadi pada persamaan (1.3) jika H berubah terhadap waktu, E juga
berubah terhadap waktu.
2
Modul Teori Medan II
Gelombang Elektromagnetik
Kedua persamaan (1.3) dan (1.4) mempunyai konsekuensi jika salah satu peubahan
medan terhadap waktu baik E maupun H maka akan terjadi perambatan gelombang
EM.
Secara sistematis :
Gunakan identitas vektor
    A    A   2 A..........................................................................................(1.5)
Terapkan (1.5) pada persamaan Maxwell
    H    0

  E 
t
  H    2 H   0
0   2 H   0 0

H 
  0

t 
t 
2H
t 2
2H
 0.............................................................................................................(1.6)
t 2
Demikianjuga:
 2 H   0 0
    H   0

  H ..................................................................................................(1.7)
t
Jika kita bandingkan perbandingan gelombang secara umum :
1 2F
 F  2 2  0...............................................................................................................(1.8)
v t
2
menyatakan bahwa gelombang F menjalar dengan kecepatan V kesegala arah, dengan
d2 adalah operator Laplacian.
2 
2
2
2
Kartesian ......................................................................................1.9


x 2 y 2 z 2
2 
1 2    1 2 2
Silinder ........................................................................1.10

r  
r r 2  r  r 2  2 z 2
2 
1   2 
1
2 
 
1
2
Bola .................................1.11
r

sin






r 2 r 2  r  r 2 sin   
  r 2 sin 2   2
3
Modul Teori Medan II
Gelombang Elektromagnetik
Untuk kasus khusus misalnya gelombang menjalar kesatu arah misalnya pada sumbu
z, maka persamaan (1.7) menjadi :
2
2E
E



 0.........................................................................................................1.12 
0 0
z 2
t 2
yang analog dengan persamaan (1.8) yang menjalar kearah sumbu z, yaitu :
2
1 2E
E

 0..........................................................................................................1.13
z 2
v 2 t 2
Dengan v adalah kecepatan menjalar gelombang.
Jika gelombang merambat dalam vakum, dengan membandingkan persamaan (1.12)
dengan (1.13) diperoleh :
1
 0 0 .....................................................................................................................1.14
v2
1
v
 3  108 m ..............................................................................................1.15
s

 
0 0
Nampak bahwa gelombang EM divakum mempunyai kecepatan v = 3 x 108 ms-1.
yang mana sama dengan kecepatan cahaya. Kita tahu cahaya adalah salah satu contoh
gelombang.
4
Modul Teori Medan II
Gelombang Elektromagnetik
B. Solousi Persamaan Gelombang Datar Serba Pada Medium Udara
Tinjau kembali persamaan (1.12) yaitu gelombang EM yang menjalar pada
arah sumbu-z.
2
1 2 E
E

 0.........................................................................................................1.16
z 2
v2 t 2
Medan E harganya berubah terhadap posisi (dalam hal ini z) dan terhadap
waktu t. Atau dikatakan bahwa E adalah fungsi 2 (dua) variabel : E (z,t). Dengan
menggunakan pemisahan variabel, maka dapat dituliskan :
E  z, t   Z  z T t ............................................................................................................1.17 
Artinya E merupakan perkalian antara 2 (dua) fungsi yaitu fungsi posisi dan fungsi
waktu. Dengan demikian persamaan (1.16) dapat dituliskan sebagai berikut :
2
1 2E
E  z , t   2 2  z , t   0...........................................................................................1.18
z 2
v t
2

1 2






Z z T t   0.............................................................................1.19
Z
z
T
t

z 2
v 2 t 2
2
1 2
T t  2 Z  z   Z  z  2 2 T t   0.................................................................................1.20 
z
v t
Kalikan persamaan (1.20) dengan
1
, sehingga :
Z  z T t 
1  2 Z z 
1 1  2T t 

 0...................................................................................1.21
Z  z  z 2
T t  v 2 t 2
Persamaan (1.21) Mengandung 2 (dua) suku yang masing-masing mengandung satu
variabel misalnya suku pertama adalah :
1  2 Z z 
 k 2 .........................................................................................................1.22
2
Z  z  z
5
Modul Teori Medan II
Gelombang Elektromagnetik
dan suku keduanya adalah :
1 1  2T t 
  k 2 ......................................................................................................1.23
T t  v 2 t 2
Dari persamaan (1.22) dapat dituliskan sebagai :
Z  z 
  k 2 Z  z ............................................................................................................1.24
2
z
Salah satu solusi persamaan diferensial orde-2 pada (1.24) adalah :
Z  z   Ae  jkz ..................................................................................................................1.25
Dan dengan memisalkan kv  .........................................................................1.26 
Maka persamaan (1.23) dapat ditulis sebagai :
 2T t 
 k 2v 2T t 
t 2
 2T t 
  2T t .........................................................................................................1.27 
2
t
Salah satu solusi persamaan differensial orde-2 pada (1.27) adalah :
T t   Be  jwt ................................................................................................................1.28
Dengan memasukkan persamaan (1.25) dan (1.28) kepersamaan (1.17) maka :
E  zt   ABe j t  kz .......................................................................................................(1.29)
Karena A dan B adalah suatu konstanta, maka persamaan (1.29) dapat ditulis sbb :
E  zt   E0e j t  kz .........................................................................................................130 
Dimana :
E0 = Amplitudo gelombang datar pada t = 0 dan z = 0
k = Bilangan gelombang
k
2

,   panjang gelombang (m)
 = frekuensi sudut anguler ( rad/s)
= 2f
6
Modul Teori Medan II
Gelombang Elektromagnetik
Persamaan (1.30) adalah solusi untuk gelombang EM datar serba sama
(monokromatik) yang menjalar pada salah satu arah (dalam hal ini arah sumbu-z)
dalam medium udara atau vakum. Persamaan (1.30) memiliki 2 (dua) kemungkinan,
yaitu :
E  z , t   E0e j t  kz ..........................................................................................................1.31
Artinya gelombang monkromatik merambat kearah sumbu –z negatif.
E  z , t   E0e j t  kz ...........................................................................................................1.32
Artinya gelombang monokromatik merambat kearah sumbu-z positif.
Ciri-ciri gelombang datar monokromatik :
1. Muka gelombang berupa bidang datar.
2. Tranveralitas : E  H  k
3. E dan H sefasa.
Persamaan (1.30) dapat diuraikan menjadi :
E  z , t   E0 cost  kz   j sin t  kz ........................................................................1.33
bentuk lain dari pers. (1.30) adalah :
E  z , t   E0 cost  kz ..................................................................................................1.34 
Dan
E  z , t   E0 sin t  kz ..................................................................................................1.35
Arah getar dari medan magnet untuk gelombang yang menjalar pada sumbu z kita plih
misalnya kearah sumbu x. Maka penulisan solusi gelombang (1.30) menjadi

E  z , t   ABe j t  kz  a  ..................................................................................................1.36 
Sedang persamaan (1.34) menjadi :

E  z , t   E0 cost  kz  a  ............................................................................................1.37 
Contoh
1. Intensitas medan listrik suatu gelombang datar serba sama (monokromatik)

diudara adalah 200 V/m dalam arah a y . Gelombang tersebut merambat dalam

arah a z dengan frekuensi anguler 2x109 rad/s
a. Tuliskan bentuk persamaan gelombang dalam bentuk sinus
b. Tentukan panjang gelombang 
c. Tentukan frekuensi f
d. Tentukan periode T
7
Modul Teori Medan II
Gelombang Elektromagnetik
Penyelesaian :
 m
 200 V 
m

a.. E0 sin t  kz  a y V
dim ana E 0
dan k 

v

2 x10 9
 6,67 rad
8
m
3x10



  m

E  z , t   200 sin 2 x10 9 t  6,67 z a y V
2 2  3,14

 0,914m
k
6,67
  2 f
b.  
c.
2  10 9  2  3,14  f
2  10 9
 318,47 MHz
6,28
1
1
d. T  
f 318,47  10 6
f 
T  3,14  10 9 s
Impedansi Instrinsic Dalam Udara / Vakum
Impedensi instrinsic gelombang EM didefinisikan sebagai perbandingan antara
intensitas medan listrik E terhadap intensitas medan magnet H. Impedensi intrinsic
untuk medium udara ditulis sebagai :
0 
E
..........................................................................................................................1.38
H

Misal gelombang medan listrik yang merambat dalam arah z dengan arah getar a y

E  z , t   E0 t  kz  a y ..................................................................................................1.39 
Sedang H(z,t) diperoleh melalui persamaan Maxwell (1.3) yaitu :
  E   0
H
............................................................................................................140
t
8
Modul Teori Medan II
Gelombang Elektromagnetik
Atau dalam bentuk matrik :


 

ay
az 
 a




 
...................................................................................................1.41
 
y
z 


 0 E0 sin t  kz  0 


sehingga :

E0 sin t  kz    0 H
z
t


H
a  k E0 cost  kz    0
z
t

H
a  k E0 cost  kz    0
t

H
  a  k E0 cost  kz 0
t

 a

H  z , t    a   k E0 cost  kz dt
H z, t  
k E0 sin t  kz  a
0

.........................................................................................1.42 
Dengan demikian :
 0
E
E sin t  kz 

 0
 0 ...................................................................................1.43
H
 k sin t  kz 
k
0   0  v   0
Jika 0 = 4x10-7
1
0 0
.......................................................................................................1.44
(MKS)
0 = (1/36)x10-9 (MKS)
maka,
0 
0

0
4  107
1
 10  9
36
 144 2  10 2
 120 ..........................................................................................................................145
 377  (untuk udara / vakum)
9
Modul Teori Medan II
Gelombang Elektromagnetik
IKTHISAR
Gelombang EM datar monokromatis satu dimensi di dalam mediuam udara/vakum.
1. Persamaan gelombang Elektro Magnetik datar monokromatik yang menjalar
sepanjang arah-z didalam medium udara/vakum :
2E
2E



 0.......................................................................................................1.46
0 0
z 2
t 2
atau
2H
2H
  0 0 2  0.....................................................................................................1.47 
z 2
t
analog dengan
2F 1 2F

 0.........................................................................................................1.48
z 2 v 2 t 2
solusi persamaan
E  z , t   E0 sin t  kz .................................................................................................1.49 
dimana :
E0 = amplitudo gelombang datar pada t = 0 dan z = 0
k =
2

= bilangan gelombang
 = panjang gelombang (m)
 = 2 f = frekuensi sudut anguler (rad/s)
 = kv
v

k

2 f
  f ....................................................................................................1.50 
2

0 
E
H
H z, t  
E0 sin t  kz 
0
................................................................................................1.51
10
Modul Teori Medan II
Gelombang Elektromagnetik
Contoh :

1. Dalam ruang bebas E(z,t) = 103 sin(t-kz) a y V/m, tentukan H(z,t) d5an E(z,t) ?
Jawab :
H z, t   E z, t  
103 sin t  kz  
ay
0
Untuk gelombang EM yang menjalar pada satu dimensi dari Hukum Maxwell,
diperoleh bahwa :
E(z,t)  H(z,t)
Maka :
103 sin t  kz   V
H z, t   E z, t  
ay
m
377
 
2. Tunjukan bagi gelombang datar (faktor waktunya dihilangkan)
H  H 0e   z aH
Dimana aH adalah vektor satuan yang tetap, aH . aH = 0
Dalam vektor-vektor satuan kartesian :
aH  aH  a a  aH  a y a y  aH  az az
Sehingga :
H  H 0e  z aH  a a  H 0e   z aH  a y a y  H 0e   z aH  az az
Persamaan Maxwell  . H = 0

H 0e   z aH  a   0 atau   H 0 aH  a   0
z


yang benar jika aH  az  0
3. Dalam ruangan bebeas,E(z,t) = 103 sin (t-kz)aY (V/m). Carilah H (z,t) ?
Pemeriksaan fasanya, t – kz, menunjukan arah perambatan adalah +z, karena E x H
juga harus dalam arah +z, H mesti dalam arah –ax. Maka :
Ey
 H
 0  120 
H z, t  
103 sin t  kz   A
a
m
120
 
Pada gambar a dan b intensitas medan listrik dapat diperlihatkan untuk T = 0, dan
harga medan sesaatnya digambarkan pada tiga garis yaitu sumbu z, dan sembarang
garis yang sejajar sumbu z pada x = 0 dan y = 0.
11
Modul Teori Medan II
Gelombang Elektromagnetik
Secara fisis, gelombang serba sama tidak terdapat, karena gelombang ini meluas ke
tak terhingga sekurang-kurangnya dalam dua dimensi dan menyatakan energinya tak
berhingga. Namun demikian, medan yang jauh dari suatu negara untuk pemancar pada
pokok merupakan gelombang datar jika ditinjau untuk suatu daerah terbatas.
Gelombang yang sampai ke antena penerima di Clevand dari Chicago dapat dianalisis
sebagai gelombang datar serba sama dalam daerah dekat antena.
Walaupun yang telah kita tinjau ialah gelombang yang berubah terhadap ruang dan
waktu secara sinusoida, suatu kombinasi yang cocok dari pemecahan persamaan
gelombang dapat kita bentuk untuk menyatakan bentuk gelombang yang dikehendaki.
Penjumlahan harmonik yang banyak dan tak tetrhingga melalui deret fourier dapat
menyatakan gelombang periodik berbentuk persegi atau segi tiga terhadap ruang dan
waktu.
12
Modul Teori Medan II
Gelombang Elektromagnetik
13
Modul Teori Medan II
Gelombang Elektromagnetik
14
Modul Teori Medan II
Gelombang Elektromagnetik
15
Modul Teori Medan II
Gelombang Elektromagnetik
16