Diapositiva 1

INTEGRASI NUMERIK
Metode Empat Persegi Panjang,
Trapesium, Titik Tengah
Teorema Dasar Kalkulus
b
• Integral Tentu I   f ( x)dx
a
• Teorema Dasar Kalkulus
b
 f ( x)dx  F ( x)
b
a
 F (b)  F (a )
a
F ( x)  f ( x)
F(x) fungsi kontinu
Kebutuhan Integrasi Numerik
• Menghitung fungsi-fungsi berikut:
1
x
e
 dx
2
0
1
x
2
e
(1

cos
x)dx

0
2  cos(1  x 3/2 )
0 1  sin x dx
2
• Fungsi f(x) ditabulasikan dalam sejumlah
titik sbb:
x
f(x)
0
1.0000
0.25
0.9394
0.50
0.7788
0.75
0.5698
1.00
0.3679
Kaidah Pias/Setrip/Kuadratur
• Nilai integral suatu fungsi [a,b] luas daerah
dibawah fungsi dari x =a sampai x = b
• Menghitung luas dengan membagi daerah
menjadi banyak pias/setrip
• 3 metode : Kaidah Segiempat, Kaidah
Trapesium, Kaidah Titik Tengah
Kaidah Segiempat
b
 f ( x)dx  h. f ( x )  h. f ( x )  ...  h. f ( x
0
1
n 1
)
a
b
 f ( x)dx  h. f ( x )  h. f ( x )  ...  h. f ( x )
1
2
n
a
b
2  f ( x)dx  h. f ( x0 )  2h. f ( x1 )  ...  2h. f ( xn 1 )  h. f ( xn )
a
b

a
b

a
h
h
f ( x)dx  . f ( x0 )  h. f ( x1 )  ...  h. f ( xn 1 )  . f ( xn )
2
2
h
h
f ( x)dx  . f 0  h. f1  ...  h. f n 1  . f n
2
2
b

a
n 1
h
h
f ( x)  . f 0   h. f i  . f n
2
2
i 1
Kaidah Trapesium
x1
b
 f ( x)dx  
a  x0
a
b

a
x2
f ( x)dx   f ( x)dx  ... 
x1
xn

f ( x)dx
xn1
h
h
h
f ( x)dx  [ f ( x0 )  f ( x1 )]  [ f ( x1 )  f ( x2 )]  ...  [ f ( xn 1 )  f ( xn )]
2
2
2
b

a
h
h
h
f ( x)dx  . f ( x0 )  h. f ( x1 )  ...  h. f ( xn 1 )  . f ( xn )
2
2
b

a
h
h
f ( x)dx  . f 0  h. f1  ...  h. f n 1  . f n
2
2
b

a
n 1
h
h
f ( x)  . f 0   h. f i  . f n
2
2
i 1
Kaidah Titik Tengah
• Misalkan titik tengah x = x0+h/2
x1
b
 f ( x)dx  
a  x0
a
x2
f ( x)dx   f ( x)dx  ... 
x1
b  xn

f ( x)dx
xn1
b
 f ( x)dx  h. f ( x
1/2
)  h. f ( x3/2 )  ...  h. f ( xn 1/2 )
a
b
 f ( x)dx  h.[ f ( x
1/2
)  f ( x3/2 )  ...  f ( xn 1/2 )]
a
b
n 1
 f ( x)dx  h. f ( x
a
i 1
i 1/2
)
Latihan
• Gunakan Kaidah Trapesium dan Kaidah
Titik Tengah untuk menghitung integral
f ( x)  0.2  25x  200 x 2  675x3  900 x 4  400 x5
• Untuk a = 0 dan b = 0.8 dengan n = 4
x
0
0.2
0.4
0.6
0.8
f(x)
....
...
....
...
....
Hasil eksak = 1,640533.
Hitunglah galat eksaknya
Galat Kaidah Trapesium
h
• Untuk satu buah strip trapesium
• Aproksimasi f(x) disekitar x = 0 dengan
deret Taylor. E   121 h f (t ) 0  t  h
• Galat total =
h
E   f ( x)dx  ( f 0  f1 )
2
0
3
ba 2
E
h f (t )
12
at b
Galat Kaidah Titik Tengah
h
• Untuk satu buah strip E   f ( x)dx hf ( x1/2 )
0
h

E

f
(
t
)
0

t

h
• Diperoleh
24
• Galat total untuk kaidah titik tengah pada
interval a dan b adalah
3
h2
E  (b  a) f (t )
24
at b