Operasi Eliminasi Gauss jordan dan soal terapannya

Operasi Eliminasi Gauss
Eliminasi Gauss adalah suatu cara mengoperasikan nilai-nilai di dalam
matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana (ditemukan oleh Carl
Friedrich Gauss). Caranya adalah dengan melakukan operasi baris sehingga
matriks tersebut menjadi matriks yang Eselon-baris. Ini dapat digunakan sebagai
salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks.
Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks
teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris,
lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut.
Contoh: Diketahui persamaan linear
x + 2y + z = 6
x + 3y + 2z = 9
2x + y + 2z = 12
Tentukan Nilai x, y dan z
Jawab:
Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks:
Operasikan Matriks tersebut
Ributhermanto201043118
mekanika
untuk Universitas
B1 x 1 ,. Untuk merubah a11 menjadi 1
B2 - 1.B1 ,. Untuk merubah a21 menjadi 0
B3 - 2.B1 ,. Untuk merubah a31 menjadi 0
B2 x 1 ,. Untuk merubah a22 menjadi 1
B3 + 3.B2 ,. Untuk merubah a32 menjadi 0
B3 x 1/3 ,. Untuk merubah a33 menjadi 1 (Matriks menjadi
Eselon-baris)
Maka mendapatkan 3 persamaan linier baru yaitu
x + 2y + z = 6
y+z=3
Ributhermanto201043118
mekanika
untuk Universitas
z=3
Kemudian lakukan substitusi balik maka didapatkan:
y+z=3
y+3=3
y=0
x + 2y + z = 6
x+0+3=6
x=3
Jadi nilai dari x = 3 , y = 0 ,dan z = 3
Operasi Eliminasi Gauss-Jordan
Eliminasi Gauss-Jordan adalah pengembangan dari eliminasi Gauss yang hasilnya
lebih sederhana. Caranya adalah dengan meneruskan operasi baris dari eliminasi
Gauss sehingga menghasilkan matriks yang Eselon-baris tereduksi. Ini juga dapat
digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan
menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke
dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks
Eselon-baris tereduksi, maka langsung dapat ditentukan nilai dari variabelvariabelnya tanpa substitusi balik.
Contoh: Diketahui persamaan linear
x + 2y + 3z = 3
Ributhermanto201043118
mekanika
untuk Universitas
2x + 3y + 2z = 3
2x + y + 2z = 5
Tentukan Nilai x, y dan z
Jawab:
Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks:
Operasikan Matriks tersebut
Baris ke 2 dikurangi 2 kali baris ke 1
Baris ke 3 dikurangi 2 kali baris ke 1
Baris ke 3 dikurangi 3 kali baris ke 2
Baris ke 3 dibagi 8 dan baris ke 2 dibagi -1
Ributhermanto201043118
mekanika
untuk Universitas
Baris ke 2 dikurangi 4 kali baris ke 3
Baris ke 1 dikurangi 3 kali baris ke 3
Baris ke 1 dikurangi 2 kali baris ke 2 (Matriks menjadi Eselonbaris tereduksi)
Maka didapatkan nilai dari x = 2 , y = − 1 ,dan z = 1
Bentuk Newton
interpolasi polinominal p(x)=anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0 adalah bentuk standar.
Tetapi ada juga yang menggunakan bentuk lain . Contohnya , kita mencari
interpolasi titik dari data (x0,y0),(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3).
Jika kita tuliskan P(x)=a3x3+a2x2+a1x+a0
bentuk equivalentnya : p(x)=a3(x-x0)3+p(x)=a2(x-x0)2+p(x)=a1(x-x0)+a0
dari kondisi interpolasi p(x0)=yo maka didapatkan a0=yo , sehingga dapat kita
tuliskan menjadi
Ributhermanto201043118
mekanika
untuk Universitas
p(x)=b3(x-x0)(x-x1)(x-x2)+b2(x-x0)(x-x1)+b1(x-x0)+b0 inilah yang disebut newton
form dari interpolasi , sehingga kita dapatkan :
p(x0)=b0
p(x1)=b1h1+b0
p(x2)=b2(h1+h2)h2+b1(h1+h2)+b0
p(x3)=b3(h1+h2+h3)(h2+h3)h3+b2(h1+h2+h3)(h2+h3)+b1(h1+h2+h3)+b0
sehingga jika kita tuliskan dalam bentuk matrix:
Operator Refleksi
Berdasarkan operator T:R2 -> R2 yang memetakan tiap vektor dalam gambaran
simetris terhadap sumbu y, dimisalkan w=T(x), maka persamaan yang
berhubungan dengan x dan w adalah:
x1 = -x = -x + 0y
x2 = y = 0x + y
atau dalam bentuk matrik :
Secara umum, operator pada R2 dan R3 yang memetakan tiap vektor pada
gambaran simetrinya terhadap beberapa garis atau bidang datar dinamakan
operator refleksi. Operator ini bersifat linier.
Ributhermanto201043118
mekanika
untuk Universitas
Operator Proyeksi
Berdasarkan operator T:R2 -> R2 yang memetakan tiap vektor dalam proyeksi
tegak lurus terhadap sumbu x, dimisalkan w=T(x), maka persamaan yang
berhubungan dengan x dan w adalah:
x1 = x = x + 0y
x2 = 0 = 0x + y
atau dalam bentuk matrik :
Persamaan tersebut bersifat linier, maka T merupakan operator linier dan matrikx
T adalah:
Secara umum, sebuah operator proyeksi pada R2 dan R3 merupakan operator yang
memetakan tiap vektor dalam proyeksi ortogonal pada sebuah garis atau bidang
melalui asalnya.
Ributhermanto201043118
mekanika
untuk Universitas
Operator Rotasi
Sebuah operator yang merotasi tiap vektor dalam R2 melalui sudut ɵ disebut
operator rotasi pada R2. Untuk melihat bagaimana asalnya adalah dengan melihat
operator rotasi yang memutar tiap vektor searah jarum jam melalui sudut ɵ positif
yang tetap. Unutk menemukan persamaan hubungan x dan w=T(x), dimisalkan ɵ
adalah sudut dari sumbu x positif ke x dan r adalah jarak x dan w. Lalu, dari
rumus trigonometri dasar x = r cos Θ ; y = r cos Θ dan w1 = r cos (ɵ + ɸ) ; w2= r
sin (ɵ + ɸ)
Menggunakan identitas trigonometri didapat:
w1 = r cos ɵ cos ɸ - r sin ɵ sin ɸ
w2 = r sin ɵ cos ɸ + r cos ɵ sin ɸ
kemudian disubtitusi sehingga:
w1 = x cos Θ - y sin Θ
w2 = x sin Θ + y cos Θ
Persamaan diatas merupakan persamaan linier, maka T merupakan operator linier
sehingga
bentuk
Ributhermanto201043118
matrik
dari
mekanika
persamaan
diatas
adalah:
untuk Universitas
Interpolasi Polinomial
Dengan menganggap masalah pada interpolasi polinomial untuk deret n + 1 di
titik (x0,y0)...., (xn,yn). Maka, kita diminta untuk menemukan kurva p(x) = amxm +
am-1xm − 1 + ... + a1x + a0 dari sudut minimum yang melewati setiap dari titik data.
Kurva ini harus memenuhi
karena xi diketahui, ini akan menuju pada sistem matrik di bawah ini
=
Ingat bahwa ini merupakan sistem persegi dimana n = m. Dengan menganggap n
= m memberikan sistem di bawah ini untuk koefisien interpolasi polinomial p(x):
Ributhermanto201043118
mekanika
untuk Universitas
=
(1)
Matrix di atas diketahui sebagai Matrix Vandermonde; kolom j merupakan
elemen pangkat j-1. Sistem linier pada (1) disebut menjadi
Sistem
Vandermonde.
Contoh soal:
Cari interpolasi polinomial pada data (-1,0),(0,0),(1,0),(2,6) menggunakan Sistem
Vandermonde.
Jawab:
Bentuk Sistem Vandermonde(1):
=
Ributhermanto201043118
mekanika
untuk Universitas
Untuk data di atas, kita mempunyai
=
Untuk mendapatkan solusinya, digunakan Gaussian Elimination
Baris ke-2, ke-3, dan ke-4 dikurangi baris pertama
Baris ke-3 dibagi dengan 2, sedangkan baris ke-4 dibagi
dengan 3
Ributhermanto201043118
mekanika
untuk Universitas
Baris ke-3 dikurangi baris ke-2
Baris ke-4 dikurangi baris ke-2
Baris ke-4 dibagi dengan 2
Baris ke-4 dikurangi baris ke-3
Didapatkan persamaan linier dari persamaan matrix di atas
Ributhermanto201043118
mekanika
untuk Universitas
Jadi, interpolasinya adalah
Eliminasi Gauss-Jordan
Thomas (1984:93-94) mengatakan bahwa setiap matriks memiliki bentuk eselon
baris tereduksi yang unik, artinya kita akan memperoleh bentuk eselon baris
tereduksi yang sama untuk matriks tertentu bagaimanapun variasi operasi baris
yang dilakukan.
Langkah-langkah operasi baris yang dikemukakan oleh Gauss dan disempurnakan
oleh Jordan sehingga dikenal dengan Eliminasi Gauss-Jordan, sebagai berikut:
1. Jika suatu baris tidak seluruhnya dari nol, maka bilangan tak nol pertama
pada baris itu adalah 1. Bilangan ini disebut 1 utama (leading 1).
2. Jika terdapat baris yang seluruhnya terdiri dari nol, maka baris-baris ini akan
dikelompokkan bersama pada bagian paling bawah dari matriks.
3. Jika terdapat dua baris berurutan yang tidak seluruhnya dari nol, maka 1
utama pada baris yang lebih rendah terdapat pada kolom yang lebih kanan
dari 1 utama pada baris yang lebih tinggi.
4. Setiap kolom memiliki 1 utama memiliki nol pada tempat lain.
Misal kita punya matriks berikut:
Ributhermanto201043118
mekanika
untuk Universitas
Langkah 1. Perhatikan kolom paling kiri yang tidak seluruhnya nol.
Langkah 2. Jika perlu, pertukarkan baris paling atas dengan baris lain untuk
menempatkan entri taknol pada puncak kolom yang kita peroleh pada langkah 1.
Baris pertama dipertukarkan dengan baris ke dua (H21)
Langkah 3. Jika entri yang kini berada pada kolom yang kita peroleh pada langkah
1 adalah a, kalikan dengan baris pertama dengan 1/a sehingga membentuk 1
utama.
Baris pertama dari matriks sebelumnya dikalikan dengan 1/2 disingkat H2(1/2)
Langkah 4. Tambahkan kelipatan yang sesuai dari baris paling atas ke baris-baris
di bawahnya sehingga semua entri di bawah 1 utama menjadi nol.
Ributhermanto201043118
mekanika
untuk Universitas
-2 kali baris pertama sebelumnya ditambahkan ke baris ketiga (H21(-2))
Langkah 5. Sekarang tutuplah baris paling atas dari matriks dan mulailah lagi
dengan langkah 1 pada submatriks yang tersisa. Lanjutkan langkah ini hingga
seluruhnya matriks berada dalam bentuk eselon baris.
lihat kolom ketiga dari kiri tidak semuanya nol
baris kedua dari matriks dikalikan dengan dengan -1/2 untuk memperoleh 1 utama
-5 kali baris kedua ditambahkan pada baris ketiga untuk memperoleh nol di bawah
1 utama.
Ributhermanto201043118
mekanika
untuk Universitas
baris paling atas submatriks ditutup kita kembali ke langkah 1
baris ketiga dikalikan dengan 2 untuk mendapatkan 1 utama berikutnya.
Langkah 6. Mulailah dengan baris tak nol terakhir dan bergerak ke atas,
tambahkan kelipatan yang sesuai dari tiap-tiap baris ke baris di atasnya untuk
memperoleh nol di atas 1 utama.
kali baris ketiga dari matriks sebelumnya ditambahkan ke baris kedua.
Ributhermanto201043118
mekanika
untuk Universitas
-6 kali baris ketiga ditambahkan ke baris pertama
5 kali baris kedua ditambahkan ke baris pertama
Langkah 1 – 5 dinamakan Eliminasi Gauss, jika prosedurnya sampai pada langkah
6 dinamakan Eliminasi Gauss-Jordan.
Dari langkah tersebut kita peroleh persamaan
x1 + 2×2 +3 x4 = 2
x3 = 1
x5=2
Dari persamaan tersebut kita dapat memisalkan nilai x1=s dan x2 = t untuk
memperoleh nilai x1 = 2s-3t (s dan t adalah parameter dari SPL tersebut).
dapat dilihat di sini Eliminasi gauss-jordan
Soal terapan eliminasi gauss jordan
1.pabila diketahui suatu rangkaian listrik seperti Gambar 5, maka besar arus untuk
masing-masing hambatan dapat dicari menggunakan metoda numerik.
Ributhermanto201043118
mekanika
untuk Universitas
Gambar 5. Rangkaian Listrik untuk Tiga Resistor dan Dua Tegangan
Untuk memperoleh tiga buah persamaan tersebut, kita gunakan hukum tegangan
Kirchoff pada tiap lup arus.
Persamaannya adalah :
Apabila kita susun kembali, maka :
Ributhermanto201043118
mekanika
untuk Universitas
Dari tiga persamaan di atas dapat kita buat ke dalam bentuk operator matrik
menjadi :
Berdasarkan data soal yang ada, maka dapat kita inputkan nilai resistor dan
tegangan masing-masing, sehingga :
Dari persamaan matrik ini, maka dapat diselesaikan persoalan tersebut dengan
menggunakan beberapa metoda numerik. Diantaranya :
Ributhermanto201043118
mekanika
untuk Universitas
1. Metode Eliminasi Gauss
Karena diagonal A baris pertama 0, maka ditukar letaknya dengan baris lain.
Maka :
Matrik augmentasinya menjadi :
Langkah selanjutnya menjadikan matrik triangularisasi dengan cara menjadikan
baris ketiga kolom kedua bernilai 0.
Matrik triangularisasinya menjadi :
Ributhermanto201043118
mekanika
untuk Universitas
Maka arus masing-masing hambatan :
2. Metode Cramer
Matrik yang digunakan :
Determinan matrik A adalah :
Solusi numeriknya adalah :
Ributhermanto201043118
mekanika
untuk Universitas
Ributhermanto201043118
mekanika
untuk Universitas