pengantar analisis real - FMIPA Personal Blogs

Seri Analisis dan Geometri
No. 1 (2009), -15–158 (173 hlm.)
PENGANTAR ANALISIS REAL
Oleh
Hendra Gunawan
Edisi Pertama
Bandung, Januari 2009
2000 Dewey Classification: 515-xx.
Kata Kunci: Analisis matematika, fungsi real, peubah real
-15
-14
Hendra Gunawan
Pengantar Analisis Real
-13
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR
-9
-1. PROLOG: LOGIKA DAN HIMPUNAN
-1.1 Kalimat Matematika dan Logika
-1.2 Pernyataan Berkuantor
-1.3 Bukti dan Metode Pembuktian
-1.4 Himpunan dan Notasinya
-7
-7
-6
-5
-3
BAGIAN PERTAMA
1
0. BILANGAN REAL
0.1 Bilangan Real sebagai Bentuk Desimal
0.2 Sifat Aljabar
0.3 Sifat Urutan
0.4 Akar dan Persamaan Kuadrat
0.5 Nilai Mutlak
3
3
4
6
7
9
1. SIFAT KELENGKAPAN BILANGAN REAL
1.1 Paradoks Zeno
1.2 Himpunan Terbatas
1.3 Sifat Kelengkapan
1.4 Manipulasi dengan Supremum dan Infimum
11
11
12
13
15
2. LEBIH JAUH TENTANG BILANGAN REAL
2.1 Maksimum dan Minimum; Interval
2.2 N dan Q sebagai Himpunan Bagian dari R
2.3 Prinsip Induksi Matematika
17
17
18
21
3. BARISAN
3.1 Definisi Barisan
3.2 Kekonvergenan Barisan
3.3 Teorema Limit
3.4 Barisan Monoton
23
23
24
27
30
-12
Hendra Gunawan
4. SUB-BARISAN DAN BARISAN CAUCHY
4.1 Sub-barisan
4.2 Teorema Bolzano-Weierstrass
4.3 Barisan Cauchy
4.4 Barisan Divergen Sejati
32
32
34
37
39
5. DERET
5.1 Deret dan Kekonvergenannya
5.2 Deret dengan Suku-suku Positif
5.3 Sifat-sifat Dasar Deret
5.4 Kriteria Cauchy; Uji Kekonvergenan Deret
5.5 Kekonvergenan Mutlak dan Kekonvergenan Bersyarat
41
41
43
45
46
48
BAGIAN KEDUA
51
6. FUNGSI
6.1 Fungsi dan Grafiknya
6.2 Fungsi Polinom dan Fungsi Rasional
6.3 Operasi pada Fungsi; Fungsi Invers
6.4 Fungsi Terbatas
53
53
56
58
60
7. LIMIT DAN KEKONTINUAN
7.1 Limit Fungsi di Suatu Titik
7.2 Kekontinuan di Suatu Titik
7.3 Sifat-sifat Limit dan Kekontinuan
63
63
66
68
8. FUNGSI KONTINU PADA INTERVAL
8.1 Kekontinuan pada Interval
8.2 Sifat-sifat Fungsi Kontinu pada Interval
8.3 Lebih Jauh tentang Fungsi Kontinu pada Interval
8.4 Kekontinuan Seragam
70
70
72
73
75
9. TURUNAN
9.1 Turunan di Suatu Titik
9.2 Sifat-sifat Dasar Turunan
9.3 Turunan Tingkat Tinggi
78
78
81
83
10. TEOREMA NILAI RATA-RATA
10.1 Maksimum dan Minimum Lokal
10.2 Titik Stasioner
10.3 Teorema Nilai Rata-rata dan Teorema Taylor
85
85
87
88
11. FUNGSI MONOTON (DAN FUNGSI KONVEKS)
92
11.1
11.2
11.3
11.4
Pengantar Analisis Real
-11
Definisi dan Limit Fungsi Monoton
Fungsi Monoton yang Mempunyai Turunan
Invers Fungsi Monoton
Fungsi Konveks*
92
95
96
98
BAGIAN KETIGA
101
12. LUAS DAERAH DAN INTEGRAL
12.1 Luas Daerah di Bawah Kurva
12.2 Integral
12.3 Turunan dari Integral; Teorema Dasar Kalkulus
103
103
105
107
13. INTEGRAL RIEMANN
13.1 Jumlah Riemann Atas dan Jumlah Riemann Bawah
13.2 Integral Riemann
13.3 Keterintegralan Fungsi Kontinu dan Fungsi Monoton
110
110
111
114
14. SIFAT-SIFAT INTEGRAL RIEMANN
14.1 Sifat-sifat Dasar Integral Riemann
14.2 Teorema Dasar Kalkulus untuk Integral Riemann
14.3 Teorema Nilai Rata-rata dan Teorema Taylor untuk Integral
116
116
119
121
15. INTEGRAL SEBAGAI LIMIT*
15.1 Jumlah Riemann
15.2 Integral sebagai Limit
15.3 Teorema Darboux
124
124
126
127
16. BARISAN FUNGSI
16.1 Barisan Fungsi dan Kekonvergenan Titik Demi Titik
16.2 Kekonvergenan Seragam
16.3 Kriteria Cauchy untuk Kekonvergenan Seragam
130
130
132
135
17. PERTUKARAN LIMIT
17.1 Pertukaran Limit dan Turunan
17.2 Fungsi Eksponensial
17.3 Pertukaran Limit dan Integral
137
137
139
141
18. DERET PANGKAT*
18.1 Deret Pangkat dan Interval Kekonvergenannya
18.2 Jari-jari Kekonvergenan
18.3 Kekonvergenan Seragam Deret Pangkat
144
144
145
147
DAFTAR PUSTAKA
150
INDEKS
151
-10
Hendra Gunawan
Pengantar Analisis Real
-9
KATA PENGANTAR
Buku ini disusun untuk mendukung pengajaran matakuliah Analisis Real di
perguruan tinggi, khususnya pada program studi matematika tahap sarjana. Sebagian besar materi dan gaya penyajian buku ini merupakan adaptasi dari buku K.G.
Binmore “Mathematical Analysis” (Cambridge University Press, 1982). Sebagian
materi lainnya dan sejumlah soal latihan diambil pula dari buku R.G. Bartle & D.S.
Sherbert “Introduction to Real Analysis” (John Wiley & Sons, 1982).
Untuk kemudahan pembaca, materi dalam buku ini dibagi atas tiga bagian.
Bagian pertama adalah tentang bilangan real, barisan, dan deret. Bagian kedua
adalah tentang fungsi, limit dan kekontinuan, dan turunan. Bagian ketiga adalah
tentang integral, barisan fungsi, dan pertukaran limit dan integral. Setiap bab terdiri
dari beberapa sub-bab, masing-masing disertai dengan sejumlah soal latihan.
Bagi dosen yang menggunakan buku ini sebagai pegangan, setiap sub-bab diperkirakan dapat disampaikan dalam satu jam tatap muka (setara 50 menit). Tentu
ada bagian yang dapat disampaikan lebih cepat, dan ada pula yang lebih lambat.
‘Kecepatan’ pembahasan juga harus disesuaikan dengan kondisi mahasiswa yang dihadapi. Selain itu, bobot kredit untuk matakuliah ini mungkin berbeda di tiap perguruan tinggi. Bila waktu terbatas, tidak semua bab harus dibahas. Sebagai contoh,
Bab 15 dan Bab 18 (keduanya diberi tanda *) dapat dilewatkan.
Hendra Gunawan
Department of Mathematics, Institut Teknologi Bandung
Jl. Ganesa 10 Bandung 40132, Indonesia.
E-mail: [email protected].
Website: http://personal.fmipa.itb.ac.id/hgunawan
-8
Hendra Gunawan
Pengantar Analisis Real
-7
-1. PROLOG: LOGIKA DAN HIMPUNAN
-1.1 Kalimat Matematika dan Logika
Di sekolah menengah telah dipelajari apa yang dimaksud dengan pernyataan
atau kalimat matematika. Setiap pernyataan dapat bernilai “benar” atau “salah”,
tetapi tidak mungkin benar dan salah sekaligus. Sebagai contoh, “1 + 1 = 2” merupakan sebuah pernyataan yang benar, sementara “1 + 3 = 5” merupakan sebuah
pernyataan yang salah. Kedua pernyataan tadi merupakan contoh kalimat tertutup.
Pernyataan seperti “n + 1 = 2” merupakan sebuah kalimat terbuka, yang kebenarannya bergantung pada nilai n. Bila n = 1, maka pernyataan tersebut benar; tetapi
bila n 6= 1, maka pernyataan tersebut salah.
Matematika sarat dengan pernyataan atau kalimat majemuk, yang terdiri dari
beberapa pernyataan. Sebagai contoh, pernyataan “jika . . . , maka . . . ” sering muncul.
Ada kalanya suatu pernyataan merupakan negasi dari suatu pernyataan lainnya: jika
P adalah suatu pernyataan, maka negasinya adalah “tidak P”. Jika diketahui P benar,
maka negasinya salah; dan jika diketahui P salah, maka negasinya benar.
Berikut adalah beberapa kalimat majemuk dasar yang nilai kebenarannya telah
menjadi konsensus. Misalkan P dan Q adalah pernyataan. Kalimat “P dan Q”, yang
disebut konjungsi dari P dan Q, bernilai benar jika P dan Q keduanya benar, dan
bernilai salah selain itu. Sementara itu, kalimat “P atau Q”, yang disebut disjungsi
dari P dan Q, bernilai benar jika setidaknya satu di antara P dan Q benar.
Selain konjungsi dan disjungsi, kita sering pula menjumpai implikasi “jika P,
maka Q”, yang biasanya dilambangkan sebagai “P ⇒ Q”. Dalam implikasi ini, P
merupakan syarat cukup bagi Q, sementara Q merupakan syarat perlu bagi P. Sebagian
orang juga menyebut P sebagai hipotesis dan Q sebagai kesimpulan. Berdasarkan
konsensus, pernyataan “jika P, maka Q” bernilai salah jika P benar dan Q salah, dan
bernilai benar selain itu.
-6
Hendra Gunawan
Tabel kebenaran untuk konjungsi “P dan Q”, disjungsi “P atau Q”, serta implikasi “jika P, maka Q”, diberikan di bawah ini.
P Q
B B
B S
S B
S S
P dan Q
B
S
S
S
P atau Q P ⇒ Q
B
B
B
S
B
B
S
B
Dua pernyataan P dan Q dikatakan setara, dinotasikan dengan “P ⇔ Q”, apabila keduanya mempunyai nilai kebenaran yang sama (yakni, jika P benar, maka Q
benar; dan sebaliknya, jika Q benar, maka P juga benar). Dalam hal P dan Q setara,
kita sering menulis “P jika dan hanya jika Q” (yang sesungguhnya terdiri dari dua
pernyataan, yaitu “P jika Q” dan “P hanya jika Q”).
Catat bahwa “P hanya jika Q” setara dengan “jika tidak Q, maka tidak P”,
yang setara dengan “jika P, maka Q” (lihat Soal Latihan No. 2).
Contoh 1. Implikasi “jika n = 1, maka n2 = n” bernilai benar, karena ketika P
benar, Q juga benar. (Dalam hal n = 0, kita dapatkan P salah dan Q benar; namun
ini tidak menjadikan implikasi di atas salah.)
Contoh 2. Pernyataan “n + 1 = 2” setara dengan “n = 1”. Jadi, “n + 1 = 2 jika
dan hanya jika n = 1.”
Soal Latihan
1. Mungkinkah “P dan tidak P” benar? Bagaimana dengan “P atau tidak P”?
2. Implikasi “jika tidak Q, maka tidak P” merupakan kontraposisi dari “jika P,
maka Q”. Periksa kesetaraan kedua implikasi ini dengan menggunakan tabel
kebenaran.
3. Implikasi “jika Q, maka P” merupakan konvers dari “jika P, maka Q”. Berikan
sebuah contoh implikasi yang benar tetapi konversnya salah.
4. Buatlah tabel kebenaran untuk “P dan tidak Q” dan bandingkan dengan tabel
kebenaran untuk “jika P, maka Q”. Apa kesimpulan anda?
Pengantar Analisis Real
-5
-1.2 Pernyataan Berkuantor
Dalam matematika sering kali kita berurusan dengan pernyataan yang mengandung frase “untuk setiap”, “untuk semua”, “untuk suatu”, “terdapat”, dan sejenisnya. “Untuk setiap”, “untuk semua”, atau frase yang setara dengannya, merupakan
kuantor universal; sedangkan “untuk suatu”, “terdapat”, atau yang setara dengannya, merupakan kuantor eksistensial. Catat bahwa dalam matematika, “untuk suatu”
berarti “terdapat setidaknya satu” (bisa satu saja, bisa juga lebih). Berikut adalah
beberapa contoh pernyataan berkuantor.
Contoh 3. (i) Setiap bilangan asli n memenuhi pertaksamaan n2 > n.
(ii) Setiap bilangan asli dapat dinyatakan sebagai jumlah dari beberapa bilangan
kuadrat. (Bilangan kuadrat adalah 12 = 1, 22 = 4, 32 = 9, dan seterusnya.)
(iii) Terdapat bilangan asli yang genap dan ganjil sekaligus.
Negasi dari pernyataan “untuk setiap n berlaku P” adalah “terdapat n yang
tidak memenuhi P”. Sebagai contoh, negasi dari “setiap bilangan asli n memenuhi
n2 > n” adalah “terdapat bilangan asli n yang tidak memenuhi n2 > n”. Tentu
dalam hal ini negasinyalah yang benar. Cukup sering kita menyimpulkan bahwa
suatu pernyataan salah setelah memeriksa bahwa negasinya benar.
Perhatikan bahwa pernyataan “setiap bilangan asli n memenuhi n2 > n” dapat
ditulis ulang sebagai implikasi “jika n adalah bilangan asli, maka n2 > n.” Jadi,
selain melalui negasinya, kita dapat pula memeriksa kebenaran suatu pernyataan
berkuantor universal sebagai sebuah implikasi.
Soal Latihan
1. Tentukan negasi dari pernyataan pada Contoh 3(ii) dan (iii).
2. Tulis ulang pernyataan pada Contoh 3(ii) sebagai sebuah implikasi.
-1.3 Bukti dan Metode Pembuktian
Bukti (Ing. ‘proof’) merupakan sesuatu yang membedakan matematika dari ilmu lainnya seperti fisika atau kimia yang berpijak pada eksperimen. Dalam matematika, eksperimen juga penting tetapi bukti lebih esensial. Pernyataan seperti “setiap
-4
Hendra Gunawan
bilangan kuadrat mempunyai sisa 0 atau 1 ketika dibagi dengan 4” tidak dapat disimpulkan benar melalui eksperimen dengan bilangan-bilangan kuadrat, karena terdapat
tak terhingga banyaknya bilangan kuadrat (kita takkan pernah selesai dengan
mereka). Eksperimen dapat menghasilkan suatu dugaan, namun kita perlu bukti
untuk meyakinkan bahwa pernyataan itu memang benar adanya.
Untuk dapat membuktikan pernyataan seperti di atas perlu banyak latihan.
Dihadapkan pada sebuah pernyataan, langkah pertama yang perlu dilakukan adalah
memahami maksud pernyataan tersebut: apa yang diketahui dan apa yang harus
dibuktikan. Kadang kita harus mengetahui konteks yang terkait dengan pernyataan tersebut. Dalam pernyataan “setiap bilangan kuadrat mempunyai sisa 0 atau 1
ketika dibagi dengan 4”, kita berurusan dengan bilangan asli (1, 2, 3, . . . ). Selain itu,
pernyataan di atas juga mengandung kuantor ‘setiap’, yang memerlukan aksi tertentu
dalam pembuktiannya kelak.
Sebelum kita membahas bagaimana membuktikan suatu pernyataan berkuantor seperti di atas, marilah kita pelajari bagaimana membuktikan pernyataan tanpa
kuantor yang berbentuk konjungsi, disjungsi, atau implikasi. Untuk membuktikan
bahwa “P dan Q” benar, tentunya kita harus membuktikan bahwa P benar dan juga
Q benar. Sementara itu, untuk membuktikan bahwa “P atau Q” benar, kita dapat memulainya dengan memisalkan P salah dan kemudian berusaha menunjukkan
bahwa Q benar. (Jika P benar, maka “P atau Q” benar, sehingga tidak ada yang
harus dilakukan.)
Untuk membuktikan bahwa implikasi “jika P, maka Q” benar, kita mulai dengan
memisalkan bahwa P benar dan kemudian berusaha menunjukkan bahwa Q juga
benar. (Jika P salah, maka “P ⇒ Q” otomatis benar, sehingga tidak ada yang harus
dilakukan.) Implikasi ini dapat pula dibuktikan melalui kontraposisinya, yaitu “jika
tidak Q, maka tidak P”. Cara lainnya adalah dengan metode pembuktian tak langsung,
yaitu dengan memisalkan P benar dan Q salah, dan kemudian berusaha mendapatkan
suatu kontradiksi, sesuatu yang senantiasa salah. Yang dimaksud dengan kontradiksi
adalah konjungsi “R dan tidak R”, untuk suatu pernyataan R. Sebagai contoh, n
genap dan ganjil (tidak genap) sekaligus merupakan suatu kontradiksi.
Contoh 4. Buktikan jika n memenuhi n2 = n, maka n = 0 atau n = 1. (Di sini
kita berhadapan dengan sebuah implikasi dengan hipotesis n memenuhi n2 = n dan
kesimpulan berupa suatu disjungsi n = 0 atau n = 1.)
Pengantar Analisis Real
-3
Bukti. Misalkan n memenuhi n2 = n (yaitu, hipotesis benar). Akan ditunjukkan
bahwa n = 0 atau n = 1 (yaitu, kesimpulan benar). Untuk itu, misalkan n = 0 salah,
yakni n 6= 0. Tugas kita sekarang adalah menunjukkan bahwa n = 1. Untuk itu,
perhatikan bahwa n2 = n setara dengan n(n − 1) = 0. Karena n 6= 0, maka mestilah
n − 1 = 0. Jadi mestilah n = 1.
Sekarang kita akan membahas bagaimana membuktikan suatu pernyataan berkuantor. Secara umum, untuk membuktikan pernyataan “terdapat n sehingga P”,
kita harus mendapatkan n (entah bagaimana caranya) yang membuat P benar. Sebagai contoh, pernyataan “terdapat bilangan asli n sehingga n2 ≤ n” terbukti benar
setelah kita menemukan bilangan n = 1 yang memenuhi n2 ≤ n.
Sementara itu, untuk membuktikan pernyataan “untuk setiap n berlaku P”,
kita harus memulainya dengan mengambil n sembarang (tentunya dalam konteks yang
sesuai), dan kemudian berusaha menunjukkan bahwa P berlaku untuk n. Cara lainnya
adalah dengan menuliskan pernyataan berkuantor ini sebagai sebuah implikasi, baru
kemudian kita membuktikannya.
Contoh 5. Buktikan bahwa setiap bilangan kuadrat mempunyai sisa 0 atau 1 ketika
dibagi dengan 4.
Bukti. Ambil sebarang bilangan kuadrat, sebutlah n2 . Ada dua kemungkinan tentang
n, yaitu n genap atau n ganjil. Jika n genap, sebutlah n = 2k, maka n2 = 4k 2 . Dalam
hal ini n2 mempunyai sisa 0 ketika dibagi dengan 4. Sementara itu, jika n ganjil,
sebutlah n = 2k + 1, maka n2 = 4k 2 + 4k + 1. Dalam hal ini n2 akan mempunyai
sisa 1 ketika dibagi dengan 4. Jadi, berapa pun n, n2 akan mempunyai sisa 0 atau 1
ketika dibagi dengan 4.
Contoh-contoh pembuktian lainnya akan anda jumpai pada bab-bab selanjutnya, yang berkenaan dengan materi pokok Analisis Real.
Soal Latihan
1. Buktikan jika n2 ganjil, maka n ganjil.
2. Buktikan jika m2 + n2 = 0, maka m = 0 dan n = 0.
-2
Hendra Gunawan
-1.4 Himpunan dan Notasinya
Himpunan adalah suatu koleksi objek, dan objek dalam suatu himpunan disebut
sebagai anggota himpunan itu. Jika x merupakan anggota himpunan H, maka kita
katakan x di H dan kita tuliskan
x ∈ H.
Jika y bukan anggota H, maka kita tuliskan y ∈
/ H.
Cara yang paling sederhana untuk menyatakan sebuah himpunan adalah dengan
mendaftarkan anggotanya. Sebagai contoh, kita menuliskan
√
A = {0, 1, 2, e, π}
√
untuk menyatakan himpunan yang anggotanya adalah bilangan 0, 1, 2, e, π. Serupa
dengan itu,
B = {Bagong, Gareng, Petruk, Semar}
menyatakan himpunan dengan anggota Bagong, Gareng, Petruk, dan Semar.
Cara penulisan di atas tentunya tidak cocok digunakan untuk menyatakan himpunan yang mempunyai tak hingga banyaknya anggota. Himpunan demikian biasanya
dinyatakan dengan menyebutkan sifat yang dimiliki secara khusus oleh anggotanya.
Sebagai contoh,
C = {x : x real, x > 0}
menyatakan himpunan semua bilangan real positif. Serupa dengan itu,
D = {y : y menghormati Semar}
menyatakan himpunan semua orang yang menghormati Semar.
Selanjutnya kita gunakan notasi ∅ untuk menyatakan himpunan kosong, yakni
himpunan yang tidak mempunyai anggota. Sebagai contoh, himpunan bilangan asli
n yang genap dan ganjil sekaligus merupakan himpunan kosong; yakni
{n : n bilangan asli yang genap dan ganjil sekaligus} = ∅.
Misalkan H dan G adalah dua buah himpunan. Kita sebut G himpunan bagian
dari H dan kita tuliskan
G⊆H
Pengantar Analisis Real
-1
apabila setiap anggota G merupakan anggota H. (Jadi, bila diberikan dua buah
himpunan H dan G, dan kita diminta untuk membuktikan bahwa G ⊆ H, maka
yang harus kita lakukan adalah mengambil x ∈ G sembarang dan kemudian berusaha
menunjukkan bahwa x ∈ H.)
Catat bahwa G = H jika dan hanya jika G ⊆ H dan H ⊆ G. Jika G ⊆ H
dan G 6= H, maka G disebut sebagai himpunan bagian sejati dari H, ditulis G ⊂ H.
Sebagai contoh, jika A adalah himpunan semua bilangan bulat yang habis dibagi 10
dan B adalah himpunan semua bilangan yang habis dibagi 2, maka A ⊂ B.
Soal Latihan
1. Diberikan dua buah himpunan A dan B, kita dapat mendefinisikan irisan dari
A dan B, yaitu
A ∩ B = {x : x ∈ A dan x ∈ B}.
Buktikan bahwa A ∩ B = A jika dan hanya jika A ⊆ B.
2. Diberikan dua buah himpunan A dan B, kita dapat mendefinisikan gabungan
dari A dan B, yaitu
A ∪ B = {x : x ∈ A atau x ∈ B}.
Buktikan bahwa untuk tiga himpunan A, B, dan C sembarang berlaku
(a) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).
(b) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).
0
Hendra Gunawan