STATISTIKA UNIPA SBY

A
P
PENGANTAR PROBABILITAS
NI
U
GANGGA ANURAGA
A
K
I
T
S
I
S
T
A
T
Y
B
S
POKOK BAHASAN
Konsep dasar probabilitas
•
•
•
•
•
Teori himpunan
Permutasi
Kombinasi
Koefisien binomial
Koefisien multinomial
A
P
Probabilitas
•
•
•
•
Aksioma probabilitas
Probabilitas bersyarat
Teorema bayes
Kejadian-kejadian yang bebas
KA
Y
B
S
I
N
U
I
T
S
I
T
A
T
S
Variabel Random
• Variabel random diskrit dan fungsi distribusi variabel random diskrit
• Variabel random kontinu dan fungsi variabel random kontinu
UTS
POKOK BAHASAN
Distribusi bersama / joint probability
• Distribusi bersama variabel random diskrit
• Distribusi bersama variabel random kontinu
Ekspektasi
• Ekspektasi variabel random
• Varians, kovarian, korelasi,
T
S
I
A
K
I
Fungsi pembangkit moment
S
T
A
T
I
N
U
A
P
Y
B
S
UAS
REFERENSI
A First course in Probability: Sheldon Ross. 1997
Y
B
Hogg, R.V. dan Craig, A.T. 1995. Introduction to Mathematical
S
Statistics, 5th ed. Mac Millon. New York.
A
P
I
Rohatgi, W.K., 1976., An Introduction to Probability
Theory and
N
U New York.
Mathematical Statistics, John Wiley and Sons,
A
K
Bartoszynski, R. and Bugaj, M.N.,,
1996, Probability and Statistical
I
TNew York.
Inference, John Wiley & Sons,
S
I
T
A
T
S
KONSEP DASAR PROBABILITAS
Teori Himpunan (SET THEORY)
: Kumpulan obyek-obyek yang keanggotaanya terdefinisikan secara jelas.
Definisi I :
Himpunan yang memuat semua elemen yang dibicarakan secara lenkap
disebut sebagai himpunan semesta (space), yang biasanya dinotasikan
dengan huruf besar seperti S.
Definisi II :
Jika S merupakan himpunan semesta dan A adalah himpunan bagian dari S
A
P
A
K
I
Y
B
S
I
N
U
T
S
I
maka komplemen A ditulis A c adalah himpunan yang memuat anggota-anggota
T
A
T
dari S tetapi tidak termuat dalam A.
contoh :
S
S =  x ; x = 0, 1, 2, 3, 4 dan A =  x ; x = 0, 1
maka komplemen A atau A c = x ; x = 2, 3, 4
Definisi III :
A1 merupakan himpunan bagian dari A 2 (ditulis A1  A 2 ) jika
dan hanya jika untuk setiap x anggota A1 maka x juga merupakan anggota
dari A 2 ditulis :  A1  A 2   x  A1  x  A 2 
A
P
contoh :
I
N
U
Y
B
S
A1 = x ; 0  x  1 , A 2 = x ; 0  x  2 , maka A1  A 2
Gambarkan diagram Venn-nya ?
Definisi IV :
Himpunan A tidak mempunyai anggota, disebut himpunan kosong
A
K
I
A = 
contoh :
T
S
I
T
A
T
S
A = x ; 0 < x < 1 dan x bilangan bulat , maka A = 
Definisi V :
Gabungan dua himpunan A1 dan A 2  ditulis A 1  A 2  yaitu
suatu himpunan yang anggotanya adalah semua anggota A1 dan A 2 ,
ditulis A1  A 2 =  x | x  A1 atau x  A 2  .
Y
B
S
Gabungan dari himpunan-himpunan A1 , A 2 , A 3 ,.....adalah
A1  A 2  A 3 ......
contoh :
A1 =  x ; x = 0, 1, 2, 3, 4, 5
I
N
U
A
P
A
K
A =  x ; x = 2, 3, 4, 5 atau I
5 < x  10
T
S
Maka A  A =  x ;I
x = 0, 1, 2, 3, 4, 5 atau 5 < x  10
T
A
T
S
2
1
2
Definisi VI :
Irisan dari dua himpunan A1 dan A 2  ditulis A1  A 2  adalah
suatu himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota dari
A1 dan juga dari A 2 ditulis :  A1  A 2 = x | x  A1 dan x  A 2  
Irisan dari beberapa himpunan A1 , A 2 , A3 ......adalah
A1  A 2  A 3 .....
A
P
I
N
U
Contoh :
, 1,1
 x, y  ;  x, y  =  0,0  ,  0,1A
K
A =  x, y  ;  x, y  = 1,1 , I
1,2  ,  2,1
T
S
maka A  A   x,
TyI ;  x, y  = 1,1
A1 =
2
1
Contoh :
A1 =
A
T
S
2
 x,y  ; 0
 x+y  1 , A 2 =
maka A1  A 2  ....
 x,y  ; 1
 x+y
Y
B
S
Definisi VII :
Selisih dua himpunan A1 dan A 2 ditulis  A1 -A 2  adalah
Y
B
S
suatu himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota dari A1
tetapi bukan anggota dari A 2  A1 -A 2 = x | x  A1 dan x  A 2  
Contoh :
A1 = x | x  bilangan asli
I
N
U
A
P
A
K
A = x | x  bilangan bulat
I
T
S
I
A -A = 
T
A
A -A = x |S
xT
 bilangan bulat tidak positif 
2
1
2
2
1
Definisi VIII :
Jumlah dari dua himpunan A1 dan A 2  ditulis A1  A 2  adalah
suatu himpunan yang anggota-anggotanya adalah anggota A1 atau
anggota A 2 tetapi tidak termuat dalam A1  A 2 .
A
1
Y
B
S
+ A 2 = x | x  A1 atau x  A 2 dan x  A1  A 2   .
A
P
I
N
U
Khusus untuk A1 dan A 2 yang saling lepas, maka A1  A 2 = A1  A 2 .
A
K
I
Contoh :
A1 = x | x  bilangan cacah
T
S
I
A 2 = x | x  bilangan bulat negatif 
T
A
T
maka A1 + A 2 = x | x  bilangan bulat
S
A
P
A
K
I
T
S
I
S
T
A
T
I
N
U
Y
B
S
SOAL LATIHAN :
Suatu ruang sampel S = s1 ,s 2 ,s3 ,s 4 ,s5 ,s 6 ,s 7 , s8  dan himpunan
A1 , A 2 , dan A 3 adalah sebagai berikut : A1  s1 ,s 2 ,s3  ,
A 2  s 2 ,s3 ,s 4 ,s5  , A 3  s3 ,s 4 ,s5 ,s8  .
A
P
Y
B
S
I
N
U
 Tentukan A1c , A c2 , A 3c , A1  A 2 , A1  A 3 , A 2  A 3 ,
A1  A 2  A 3 , A1  A 2 , A1  A 3 , A1  A 2  A 3 ,
A
K
I
A - A , A - A , A - AS
, AT- A , A - A ,  A  .
I
T
A : A  A   A  A ,
 Berikan bukti T
bahwa
S
1
2
2
1
1
3
3
1
2
c
1
2
c c
1
3
c
1
c
2
 A1  A 2   A1c  A c2 ,
c
 A1 
A 2  A 3   A1c  A c2  A 3c
c
Aplikasi hukum De Morgan’s
A1c  A2c  s6 , s7 , s8 
 A1  A2   s6 , s7 , s8  ,
c
c
c
c
A

A

A

s
,
s
,
A

A

A
 1 2 3   6 7
1
2
3  s6 , s7 
c
Y
A1c  A2c  s1 , s4 , sB
 A1  A2   s1 , s4 , s5 , s6 , s7 , s8 
5 , s6 , s7 , s8 
S
c
 A1  A2  A3   s1 , s2 , s4 , s5 , s6 , s7 , s8  , PA
I
c
c
c
N
A1  A2  A3  s1 , s2 , s4 , s5 , s6 , s7 , s8  U
c
maka :
c
c
A

A

A

A
 1 2 1 2,
T
S
I A  A  A 
c
 A1  A2 
c
AT
 A A ,
T
S
c
1
c
2
A
K
I
1
2
c
3
 A1  A2  A3 
c
 A1c  A2c  A3c
 A1c  A2c  A3c
Hukum De
Morgan’s
SOAL LATIHAN
 Carilah himpunan gabungan dari A1  A 2 dan interseksi A1  A 2
dimana A1 dan A 2 adalah :
 a  A1   x; x  0,1, 2 , A 2   x; x  2,3, 4
A
 b  A1   x;0  x  2 , A 2   x;1  x  3 IP
Y
B
S
N
U
 Carilah A dari himpunan A dengan ruang sampel S sebagai berikut :
A
K
5

x;I x  1
 a  S   x;0  x  1 , A = T
 8

S
I
T
A
T
S
c
Barisan himpunan monoton :
Barisan himpunan A n  disebut himpunan monoton naik A n 
jika A i  A i+1 , i = 1,2,3,...
n
 Ai  A n berarti limit A n  A =  Ai
n 
i=1
A
P
i=1
Y
B
S
Barisan himpunan A n  disebut himpunan monoton turun A n 
jika A i  A i+1 , i = 1,2,3,...
A
K
I
n
A
i
T
S
I
I
N
U
 A n berarti limit A n  A =  A i
AT
i=1
T
S
n 
i=1
SOAL LATIHAN
 Jika A1 , A 2 , A 3 ,...adalah himpunan yang terdefinisikan bahwa A k  A k+1 ,
k = 1, 2, 3,..., dan lim A k didefinisikan sebagai himpunan gabungan
k 
A1  A 2  A 3 ....
Carilah lim A k jika :
k 
a) A k   x;1/ k  x  3  1/ k  , k  1, 2,3...;
A
P
Y
B
S
I
N
b) A   x, y  ;1/ k  x  y  4  1/U
k  , k  1, 2,3...;
A
K
 Jika A , A , A ,...adalah himpunan
yang terdefinisikan bahwa A  A
I
T
S
k = 1, 2, 3,..., dan lim
A didefinisikan sebagai himpunan interseksi
I
T
A
A  A  AT.....
S
2
2
k
1
2
3
k
k 
1
2
k
3
Carilah lim A k jika :
k 
a) A k   x; 2  1/ k  x  2 , k  1, 2,3...;
b) A k   x, y  ;0  x 2  y 2  1/ k  , k  1, 2,3...;
k+1
,
Permutasi dan Kombinasi
Permutasi pengaturan elemen-elemen dari sebuah himpunan dimana urutan dari
elemen elemen tersebut diperhatikan.
Contoh : dari himpunan huruf-huruf {a,b,c}, permutasi-permutasi dengan ukuran
2 (ambil 2 elemen dari himpunan tersebut) adalah {a,b}, {b,a}, {a,c}, {c,a},
{b,c}, dan {c,b}. Perhatikan bahwa urutan dari elemen-elemen itu adalah
penting, dengan kata lain {a,b} adalah berbeda dengan {b,a}.
Banyaknya permutasi adalah 6.
n!
Pnk 
 n  k !
A
P
0!  1
A
K
I
Y
B
S
I
N
U
T
S
k !  k x  k  1 x  k  2 I
x x1
T
3!  3 x 2!  3 x 2 xA
1 6
T
S kotak berisi 3 bola masing-masing berwarna merah, hijau
Contoh: Ada sebuah
dan biru. Jika seorang anak ditugaskan untuk mengambil 2 bola secara acak dan
urutan pengambilan diperhatikan, ada berapa permutasi yang terjadi?
Banyaknya permutasi adalah 6 yaitu; M-H, M-B, H-M, H-B, B-M, B-H.
Kombinasi adalah pengaturan elemen-elemen dari sebuah himpunan dimana
urutan dari elemen elemen tersebut tidak diperhatikan.
Contoh, dari himpunan huruf-huruf {a,b,c} kombinasi-kombinasi yang
berukuran 2 (ambil 2 elemen dari himpunan tersebut) adalah {a,b}, {a,c}, and
{b,c}. Perhatikan bahwa urutan dari elemen-elemen itu tidak penting,
dengan kata lain {b,a} adalah dianggap sama dengan {a,b}.
Banyaknya kombinasi adalah 3.
n!
C  P P 
k ! n  k  !
A
P
n
k
n
k
k
k
T
S
I
A
K
I
Y
B
S
I
N
U
Contoh: Seorang anak hanya diperbolehkan mengambil dua buah amplop dari
tiga buah amplop yang disediakan yaitu amplop A, amplop B dan amplop C.
Tentukan ada berapa banyak kombinasi untuk mengambil dua buah amplop dari
tiga buah amplop yang disediakan? Banyaknya kombinasi adalah 3
S
T
A
T
SOAL LATIHAN
 Tiga orang siswa bernama A, B, dan C hendak membentuk
kelompok belajar dan dua orang dipilih sebagai ketua dan bendahara.
Maka susunan ketua dan bendahara yang bisa terjadi adalah
Y
B
S

A
PBerapa
Tiga orang bernama A, B, dan C berjabat tangan.
I
N
kemungkinan jabat tangan yang mungkin
Uterjadi?
A
K
I
T
S
I
T
A
T
S
A
P
I
N
U
TERIMA
KASIH
A
K
I
T
S
T
S
I
T
A
Y
B
S
A
P
EKSPEKTASI MATEMATIK
NI
A
K
I
GANGGA ANURAGA
T
S
I
S
T
A
T
U
Y
B
S
Definisi :
Variabel random X dengan f.d.p f  x  dan u  x  adalah
Y
B
S
suatu fungsi dari variabel random X, sedemikian hingga :
A
P
I
N
U

untuk variabel random kontinu
  u  x  f  x  dx
E  u  x     
 u  x  f  x 
untuk variabel random diskrit
 x
Jika integral atau deret tersebut konvergen mutlak maka E  u  x  
A
K
I
T
S
I
T
A
T
S
disebut ekspektasi dari u  x  .
Sifat - sifat dari ekspektasi matematik :
1. E (k) = k, k = konstanta
A
P
2. E [k u(x)] = k E[u(x)]
I
N
U
Y
B
S
 n
 n
3. E   k i u i (x)    k i E[u i (x)] , n hingga ekspektasi bersifat linier
 i=1
 i1
A
K
I
T
S
I
S
T
A
T
Ekspektasi Fungsi U(x)
1. U(x) = X, maka mean dari variabel random X :
A
P
Y
B
S

untuk variabel random kontinu
  x f  x  dx
E  u  x     
 x f  x 
untuk variabel random diskrit
 x
2. Var  u  x    Var(x) = E(x - E(x)) 2
A
K
I
I
N
U
T
S
I
T
A
T

2
(x
E(x))
f  x  dx
 
 2 =  
 (x - E(x)) 2 f  x 
 x
S
untuk variabel random kontinu
untuk variabel random diskrit
Misal X dengan f.d.p
2 1  x  , 0  x  1
f  x  
, untuk x yang lainnya
0
maka E  6x + 3x 2   ....?
A
K
I
I
N
U
T
S
I
Contoh 2.
Misal X dengan f.d.p
S
T
A
T
A
P
, x  1, 2,3
x / 6
f  x  
, untuk x yang lainnya
0
maka E (x 3 )  ...?
Y
B
S
Misalkan X merupakan variabel random dengan f.d.p
2
f(x) = 3x , 0 < x < 1
maka :
A
P
2
I
N
U
1. E (x), E(x ), dan Var (x)...?
2. Jika variabel random y dengan y = 3x - 2
tentukan E (y) dan Var (y) ?
A
K
I
T
S
I
S
T
A
T
Y
B
S
Y
B
S
Fungsi Pembangkit Momen
A
P
I
(Moment Generating
Function)
N
U
A
K
I
T
S
I
T
A
T
S
Gangga Anuraga
M  t   E etx 
  tx
  e f  x 
M  t   E etx    
 etx f  x 
 x
Fungsi pembangkit momen secara lengkap menentukan
A
P
Y
B
S
I
N
U
distribusi sampling dari suatu variabel random.
 Karakteristik Fungsi Pembangkit Momen
M cx
A
K
t I
 E e   E e   M  ct 
 t   M  ct   M T
S
I
  E e .e   e M
t   e M T
 ct   M  t   E e



A
T
S
M cx  d
t  cx 
x
 ct  x
cx
dt
x
x
cx  d
t  cx  d 
dt
 ct  x
d
dn
E  x   M x  t  t 0 dan n M x  t  t  0 , n  2,3, 
dt
dt
dt
x
 ct 
Sifat sifat MGF
a. jika a  R maka M x  t   M x  at 
b. jika variabel random X1 , X 2 ,..., X n saling independen
maka,
n
M
n
 Xi
M x t 
t   
i 1
A
P
i
i 1
c. jika a, b  R maka :
A
K
I
M ax b  t   etb M x  at 
T
S
I
T
A
T
Y
B
S
I
N
U
d. jika variabel random X1 , X 2 ,..., X n independen identik maka :
M
n
 Xi
i 1
 tS   M
xi
 t 
n
A
P
A
K
I
T
S
I
S
T
A
T
I
N
U
Y
B
S
Misalkan X merupakan variabel random dengan f.d.p
f  x   e  x , x  0.
a) Tentukan Fungsi Pembangkit Momen M x  t 
b) Tentukan E(x), E(x ) dan Var  x 
2
A
P
Y
B
S
c) jika variabel random y didefinisikan y = 2-3x,
M y t  ?
A
K
I
T
S
I
S
T
A
T
I
N
U
contoh :
Jika X variabel random berdistribusi normal dengan mean 
dan varians  2 , maka MGF dari X addalah M x  t  Y
e
Tentukan :
A
P
a. MGF variabel random Y = X -  .NI
U
X
A
b. MGF variabel random WK=
I 
T
S X-
I
T Z=
c. MGF variabelArandom
T

S
SB
1
t   t 2 2
2
.
A
P
A
K
I
Y
B
S
I
N
U
Moment
STGenerating Function
T
S
I
T
A
GANGGA ANURAGA
Moment :
a) U  x   x n
Y
B
S
mn  E  x n  disebut sebagai moment
ke
n
A
P
I
N
U  E  x  
maka jika n = 1 didapatkan m
A
K
b) U  x    x    TI
S
I
m  E  x AT jika n = 2 maka m  E  x   
T

S
1
n
n
n
m2   2
2
2



Pandang
variabel random x dengan f.p.m M  t  :

Mt 
tx
e
 f  x  dx,  h  t  h

t=0
M ' t  


x etx f  x  dx
S
I
x  dx
t    x e f  T
A
T
S


M"
2
tx
I
N
U
 M ' t  
 M " t  

M k t  



x k etx f  x  dx

x f  x  dx  
A

K
TI

A
P
Y
B
S
1



x 2 f  x  dx   2


 M k t  



x k f  x  dx   k
Contoh
:
Jika M  t   1  t  , t  1 maka M '  t  dan M ''  t Y
2
adalah...
A
P
 M  t   2 1  t  dan M  t  U
N
6 I
1 t 
A
 =M  0   2
K
I
T
  M  0   IS
 64  2
T
A
T
   x f S
x  dx dan    x f  x  dx  
3
'
SB
4
''
'
2
''
2


2

2

2
Variabel random x
merupakan variabel random diskrit
dengan fungsi probabilitas
1
 3 , x  1
f  x  
2 , x  2
 3
Tentukan MGF dari variabel random x ?
A
K
I
T
S
I
S
T
A
T
I
N
U
A
P
Y
B
S
Variabel random x~bin  m,p  dan y~bin  n,p  , dan z=x+y

A
P
I
N
U
.
i
X 1
n
=
= i
Y
n
a
d
T
S
I
e
2 X
t
2i
1σ2
+i
μ
t
=
t ?
i
M
Y
i
h r
a a
i d
l
a
d F
a G
X M
i n
r
a
a
k
d u
t
F n
G e
M T
A
K
I 

T
A
T
S random x dengan MGF, M
 Sebuah variabel
y  x1  x2 , tentukan MGF dari y ?
Y
B
S
n
e
d
n
e
p
d
e

n
i
)
2i
m
o σi
d ,
n μ
a (
r
N
l
e
i
b s
u
a b
i
r
i
a
r
t
v s
ni
d
X r
, e
.
2b
.
.
,
g
n
X i
s
, 1a
X m
n a g
k n
l
i
a
s
s a
i
M m
Tentukan MGF dari z ?
x
 t   1  2t 
n / 2
.
A
P
A
K
I
Y
B
S
I
N
U
T
RUANG SAMPEL
(SAMPLE SPACE)
S
I DAN KEJADIAN (EVENT)
T
A
T
S
GANGGA ANURAGA
EVENT DAN PROBABILITAS

PERCOBAAN RANDOM

biasanya tidak dapat diramalkan sebelumnya.

Y
B
S
Setiap percobaan selalu diakhiri dengan sebuah Hasil yang
A
P
I
N
diramalkan dengan pasti dan dapatUdiulang dibawah kondisi yang
A
K
sama dan hasil yang mungkin
dapat diketahui dari percobaan
I
T
S
tersebut.
I
T
A
T
S
Percobaan adalah suatu percoban yang hasilnya tidak dapat

Ruang Sampel

Ruang sampel adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari
Y
B
S
suatu percobaan random. Ruang sampel biasa dinotasikan dengan
A
P
huruf S.

Contoh :


I
N
U
A
K
akan terjadi adalah tampak
di atas mata 1, mata 2, mata 3, mata 4,
I
Tdituliskan dalam bentuk himpunan, ruang
mata 5 atau mata 6. Bila
S
I
T
sampel dari percobaan
ini adalah : S = {1,2,3,4,5,6}
A
T
Sebuah S
mata uang dilemparkan satu kali, maka kemungkinan akan
Jika sebuah dadu dilempar satu kali, maka semua kemungkinan yang
tampak di atas adalah gambar (G) atau angka (A), Ruang sampel
dapat ditulis menjadi : S = {G,A}

Kejadian (event)


Contoh :

Y
B
S
Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel
I
N
U
A
P
Ada 4 orang mahasiswa yang diambil secara random dari jurusan
A
K
I Statistika. Jika mereka suka diberi
apakah suka mendapat kuliah
T
S
simbol Y dan jika I
tidak diberi simbol T, maka ruang sampelnya
T
A
adalah : T
S
Teknologi Pembelajaran, kemudian ditanyakan kepada mereka

Anggota kejadian A dimana A menyatakan sekurang-kurangnya 3
orang suka diadakannya kuliah statistik adalah :

A
P
I
N
U
Y
B
S
Ukuran Probabilitas adalah suatu bilangan atau fungsi yang
memetakan dari events pada sample space ke bilangan real antara
A
K
I
0 dan 1
T
S
I
S
T
A
T
MODEL PROBABILITAS

Sample Space: S ={1,2,3,4,5,6}

Event:

A = {muncul angka genap},
B = {muncul angka ganjil},
D= {muncul angka 2}
I
N
U
Ukuran Probabilitas:
P(A) = 0,5; P(B) = 0,5; P(D) = 1/6
A
K
I
T
S
I
S
T
A
T
A
P
Y
B
S
Aturan-Aturan Probabilitas

Probabilitas dari sembarang event P(A) harus memenuhi
0 < P(A) < 1

Complement Rule = complement dari sembarang event A adalah
event A tidak terjadi
 P(Ac) = 1 - P(A)
A
P
Y
B
S
I
N
U
Contoh: Lempar suatu dadu: S = {1,2,3,4,5,6};
mis A = {2,4}, Ac = {1,3,5,6}; P(A) = 1/3; P(Ac) = 1-1/3 = 2/3

A
K
I A dan B yang terpisah/disjoint (no
Addition Rule = untuk dua events
T
common outcomes) S
I + P (B)
P (A or B) = T
P(A)
A
T
Contoh: Lempar
S suatu dadu: S = {1,2,3,4,5,6};
mis A = {2}, B = {1,3,5}; P(A or B) = P(A) + P(B) = 1/6 + 1/2 = 2/3

Multiplication Rule = dua events A dan B adalah independent, jika diketahui
bahwa salah satu terjadi/muncul tidak mengubah probabilitas yang lain muncul
P (A and B) = P(A)*P(B)
A
P
S = {(1,1),(1,2),….(6,6)}  36 kemungkinan outcomes
I
N
U
mis A ={dadu pertama 6} = {(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}
A
mis B = {dadu kedua 1} = {(1,1),(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1)}
K
I
T
Maka P(A) = 6/36 = 1/6; S
I
T
P(B) = 6/36 = 1/6 dan
A
T
P(dadu
S pertama 6, dadu kedua 1) = P(A and B)
Contoh: Lempar sepasang dadu
Y
B
S
= 1/36 = P(A) P(B)
 menunjukan independence

Contoh: suatu web site mempenyai tiga server A, B, dan C, yang dipilih
secara independent dengan probabilitas:
P(A) = ¼, P(B) = ½, P(C)= ¼.
(a) Cari probabilitas A atau B dipilih
P(A or B) = ¼ + ½ = 3/4
A
K
I
A
P
Y
B
S
I
N
U
(b) Cari probabilitas A tidak dipilih
T
S
I A dipilih dua kali
(c) Cari probabilitas
server
T
A
T
P(AA)
S= P(A)P(A) = 1/16
P(Ac) = 1 – P(A) = ¾
(d) Cari probabilitas urutan seleksi server ABCA
P(ABCA) = P(A)P(B)P(C)P(A) = (1/4)(1/2)(1/4)(1/4) = 1/128
A
P
A
K
I
Y
B
S
I
N
U
T
S
T
KOEFISIEN
BINOMIAL DAN
S
I
T
MULTINOMIAL
A
GANGGA ANURAGA
KOEFISIEN BINOMIAL

Koefisien binomial merupakan bilangan-bilangan yang muncul dari
hasil penjabaran penjumlahan dua peubah yang dipangkatkan (a+b)n

Y
B
Terlihat bahwa ekspresi (a+b) tidak ada hubungannyaS
dengan kombinasi,
A
P
tetapi kenyataannya (a+b) dapat dicari denganImenggunakan rumus
N
U
kombinasi-r dari n unsur
A
K
Dalam aljabar diketahui bahwa
I :
T
S
I
a+b

a
+
3a
b
+
3ab + b
 
T
A :
Teorema Binomial
T
S
n
n
3
 a+b 
n
3
n
2
2
  C  n, k  a n  k b k
k 0
3
Contoh :
 Sederhanakan  a+b   C  4, 0  a 40b 0    C  4, 4  a 4 4b 4
4
Y
B
= a  4a b  6a b  4abS b
A
P
 Tentukan koefisien dari a b dalam  a+b
I
N
U
11!
C 11, 6  

A
K
5!6!
I
T
S  
 Sederhanakan  2x-3y
I
T
A
T
 Tentukan koefisien
dari x y z dalam  x + y + z  = 
S
4
3
5 6
2 2
3
4
11
5
2

3 5
10
Persoalan diatas dapat juga diselsaikan dengan aturan segitiga
pascal

Aturan segitiga pascal
A
P
A
K
I
T
S
I
S
T
A
T
I
N
U
Y
B
S
KOEFISIEN MULTINOMIAL

Multinomial merupakan perluasan dari binomial
 x1  x2    xk 
n
n

 n1 n2
nk

x
x

x


 1 2
k
n
,
n
,

,
n
n1  n2  nk  n  1
2
k 
n


n!
dengan 
 =
 n1 , n2 , , nk  n1 !n2 ! nk !
A
K
I
T
S
I
S
T
A
T
I
N
U
A
P
Y
B
S

Contoh :
A
P
A
K
I
T
S
I
S
T
A
T
I
N
U
Y
B
S

Contoh :
Tentukan Koefisien dari :
x x x x dalam  x1  x2  x3  x4  x5  A
10
2
3 4
1 3 4 5
10!


2!0!1!3!4!
A
K
Tentukan Koefisien dari
TI :
3
3 2
x y z

S
I
T 2x  3 y  5z 
dalam
A
T
S
8
U
P
I
N
Y
B
S
A
P
AKSIOMA PROBABILITAS
NI
A
K
I
GANGGA ANURAGA
T
S
I
S
T
A
T
U
Y
B
S
Notasi :
S
: ruang sampel
A
: kejadian/event dalam ruang sampel S
P  A  : probablitas event A
Aksioma 1
A
P
P  A  0
Aksioma 2
PS  1
Aksioma 3
T
S
I
A
K
I
Y
B
S
I
N
U
T
A
mutually exclusive
: dua kejadian yang saling tidak
T
S
berhubungan dan tidak mungkin terjadi secara bersamaan
N
 N
P   An    P  An 
 n 1  n 1
A
K
S
I
O
M
A
P
R
O
B
A
B
I
L
I
T
A
S
probabilitas joint A dan B
Y
B
P  A  B   P  A  SP  B   P  A  B 
A A dan B
probabilitasP
union
I
N
P  AU
 B   P  A  P  B   P  A  B 
A
K
• Definisikan ruang sampel dari
Idiagram venn diatas ?
T
S dari A ?
• Definisikan kejadian/event
I
T dari B ?
• Definisikan kejadian/event
A
T
• DefinisikanS
joint kejadian A dan B ?
• Definisikan union kejadian A dan B ?
Lokasi
produksi mobil
Perlu perbaikan dalam 90 hari
pertama pemakaian
Ya
Tidak
US
7
293
Non US
13
187
20
480
Jumlah
300
A
P
Y
B
S 200
500
I
N
• Berapa probabilitas mobil perlu perbaikan pada 90 hari pertama
U
pemakaian ?
A
K
• Berapa probabilitas mobil yang
diproduksi di USA perlu perbaikan
I
T ?
pada 90 hari pertama pemakaian
S
I
• Berapa probabilitas
mobil memerlukan perbaikan dan yang tidak
T
A
memerlukan perbaikan?
T
S
• Probabilitas mobil memerlukan perbaikan dan mobil yang diproduksi
di USA
PROBABILITAS BERSYARAT
Y
B
S
Probabilitas Bersyarat P  A|B , menyatakan probabilitas A
A
P
bila diketahui B, A dan B adalah kejadian acak.
P  A  B
P  A | B 
P  B
I
N
U
A
K
I , menyatakan probabilitas B
Probabilitas Bersyarat P  B|A
T
S
I
bila diketahui A, ATdan B adalah kejadian acak.
A
T
P  B  A
S
P  B | A 
P  A
Contoh :
1, 2, 3, 4, 5, 6
A  1, 2, 3, 4, 5  P  A   
B   2, 4, 6  P  B   
P A B  
A
P
I
maka P  A | B   
UN
A
 C  1, 2, 3, 4  P  C  K
I
T
P C  B    S
I
T
maka P  C |A
B  
T
S4  P  D   
 D   2, 3,
PD  B  
maka P  D | B   
 Ruang sampel S 
Y
B
S
Merokok
Paru-Paru
P(B)
ya
tidak
ya
0,3
0,1
0,4
tidak
0,25
0,35
0,6
p(A)
0,55
0,45
1
I
N
U
P(A) = probabilitas menderita penyakit paru-paru
P(B) = probabilitas seseorang merokok
A
K
P(A = ya |B = ya) = 0,3/0,4 = 0,75I
T
S
P(B = ya|A = ya) = 0,3/0,55 = 0,55
I
T
A
T
S
A
P
Y
B
S
VARIABEL RANDOM
A
K
I
GANGGA ANURAGA
T
S
I
S
T
A
T
I
N
U
A
P
Y
B
S
VARIABEL RANDOM
- variabel random : fungsi yang memetakan setiap anggota ruang
sampel ke bilangan real.
* variabel random diskrit : variabel random yang menjalani bilangan
bulat
* variabel random kontinu : variabel random yang menjalani
bilangan real
A
P
Y
B
S
I
N
DISTRIBUSI PELUANG DARI VARIABEL
RANDOM
U
 Variabel Random DiskritKA
I
T
 f  x  0
S
I
 f  x   1 AT
T
S
x A
 P( x  A)   f  x 
x A
Y
B
S
DISTRIBUSI PELUANG DARI VARIABEL RANDOM
 Variabel Random Diskrit
A
Pdengan ruang sampel
X adalah variabel random yang bertipe diskrit
I
N
S = x ; x = 0, 1, 2, 3, 4 .P( A)   fU
x
  dimana
A
K
I
4!
1
T
  S
f ( x) 
 I, x  S.
x !(4  x)!  2T
A
T
Jika A = x ;Sx = 0,1 maka P(x  A) ?
A
4
 Variabel random kontinu
Jika S adalah ruang sampel dari variabel random X
dan fungsi himpunan peluang P(A) didefinisikan
Y
B
S
sebagai :
P(A) = P(X  A) =
 f  x
A
P
A
Contoh 1:
A
K
I
I
N
U
X adalah variabel random dengan fungsi himpunan
Sf Tx dx dimana f  x   3x
TI
peluang P(A), P(A) =
TA
A
S
x  A   x;0  x  2 .Tentukan peluang A
8
2
dx.
1


1   x;0  x 
2


dan A 2   x;1  x  2 yang merupakan himpunan bagian dari A.
Latihan Soal
1. Fungsi himpunan dari dua variabel random X dan Y
1
P  A    A f  x, y  dimana f ( x, y )  ,
52
 x, y   S   x, y  ;  x, y    0,1 ,  0, 2  ,...,  0,13 , 1,1 ,..., 1,13 ,...,  3,13
Hitunglah P  A   P  X , Y   A
A
P
Y
B
S
I
N
U
 ,  2, 2 
 x,y  ;  x, y    0, 4  , 1,3
A
K
I
b). A =  x,y  ; x  y  4, T
x,y   S 
S
a). A =
I
T
A
2. X adalah variabel random dengan ruang sampel S =  x;0  x  1
T
S
1

 1

jika A1   x;0  x   dan A 2   x;  x  1 , A1 dan A 2 himpunan
2

 2

1
bagian dari S. Hitunglah P(A 2 ) jika P(A1 )  .
4
Y
B
S
A
PDISKRIT
VARIABEL RANDOM
I
UN
A
K
I
T
S
I
T
A
T
S
GANGGA ANURAGA
• Variabel random diskrit  variabel random yang dapat
memiliki nilai bilangan bulat.
• Distribusi probabilitas variabel random diskrit adalah suatu
Y
B
S
variabel random yang mencantumkan semua kemungkinan
A
P dan berpasangan
nilai dari variabel random diskrit tersebut
I
N
U
dengan nilai probabilitasnya.A
K
I
T
S
I
T
A
T
S
Contoh :
Dari 10 orang mahasiswa diketahui ada 4 yang suka matakuliah
strategi kognitif. Seorang dosen akan menguji 3 orang mahasiswa
Y
B
S
yang dipilih secara random. Tentukan distribusi probabilitas
dari
A
P suka matakuliah
X, dimana X adalah banyak mahasiswa yang
I
N
U
strategi kognitif. Carilah distribusi
probabilitas dari mahasiswa
A
K
I
T kognitif.
yang suka matakuliah strategi
S
I
T
A
T
S
• Penyelesaian :
C04C36
f ( x1 )  10
C3
4!
6!
0!4! 3!3!

10 !
3!7 !
C14C26
f  x2   10
C3
C34C06
f ( x4 )  10
C3
A
P
A
K
I
I
N
U
 4 x3x 2 x1  6 x5 x 4 x3x 2 x1 



1(4 x3x 2 x1)  (3x 2 x1)(3x 2 x1) 


10 x9 x8 x7 x6 x5 x 4 x3x 2 x1
(3x 2 x1)(7 x6 x5 x 4 x3x 2 x1)
20

120
T
S
I
S
T
A
T
;
C24C16
f  x3   10
C3
Y
B
S
Distribusi Probabilitas Mahasiswa
A
P
I
N
U
Y
B
S
Distribusi Probabilitas khusus diskrit antara lain :
– Distribusi Bernoulli
– Distribusi Binomial
– Distribusi Poisson
A
K
I
T
S
I
S
T
A
T
Distribusi Bernoulli
• Variabel random X berdistribusi Bernoulli dengan parameter
θ, berikut fungsi probabilitas bernoulli :
1 x
f ( x; )   (1   )
x
; 0    1 ; x  0,1
A
P
Y
B
S
dimana
x : variabel random memperoleh sukses
θ : probabilitas sukses
Distribusi Bernoulli mempunyai mean    dan varians
A
K
I

T
S
I
2
T
A
  (1  T)
S
I
N
U
• Suatu soal ujian pilihan ganda yang terdiri dari 10 soal dan
tiap soal mempunyai pilihan jawaban 4. Dari setiap item soal
ada satu pilihan jawaban yang benar. Jika setiap jawaban
Y
B
yang benar tadi diberi nilai 1, maka berapakahS
probabilitasnya
A lebih, jika siswa
seorang siswa akan mendapatkan nilai 5Patau
I
N
tersebut tidak belajar (menjawabU
dengan coba-coba).
A
K
P ( x  5)   C (0,25) T
(1 I
 0,25)
S
I
T
A
T
S
10
i 5
10
x
x
10  x
Distribusi Binomial
• Variabel random X berdistribusi Binomial dengan parameter n
dan p, ditulis X ~ B (n, p )
jika X mempunyai fungsi distribusi probabilitas :
n x
f ( x; n, p)    p (1  p) n  x
 x
A
P
Y
B
S
I
N
U
; 0  p  1 ; x  0,1,2,..., n
A
K
I
Distribusi binomial mempunyai mean   np dan varians
 2  np(1  p )
T
S
I
T
A
T
dimana :
x : variabel random yang menyatakan banyaknya sukses
p : probabilitas sukses
n : banyak percobaan
S
• Contoh :
Y
B
Suatu pemilihan umum / pemilu yang diikuti oleh
S partai
A
P dalam 3
demokrat dan golkar, yang mana dilaksanakan
I
N
U
putaran. Misalkan peluang partai demokrat memenangkan
A
K
I probabilitas partai demokrat
pemilu adalah 0,5. Berapa
T
S
I
memenangkan T
pemilu sebanyak 3 kali.
A
T
S
Probabilitas kiriman paket dari suatu biro perjalanan akan
sampai tepat waktu adalah 0,8. jika kita mengirim lewat biro
tersebut 10 kali,
Y
B
S
• Berapa probabilitas bahwa 6 diantaranya akan sampai tepat
A
P
waktu ?
A
K
I
I
N
U
• Berapa rata-rata dan varians bahwa 6 diantaranya akan
T
S
I
sampai tepat waktu ?
S
T
A
T
Misalkan diketahui bahwa pengobatan baru berhasil dalam
menyembuhkan otot nyeri pada 50% kasus. Jika diuji coba pada
15 pasien, Tentukan probabilitas bahwa:
Y
B
S
• Paling banyak 6 pasien akan sembuh. 0,304
A
P 6 dan tidak lebih
I
• Jumlah sembuh akan ada lebih
dari
UN
dari 10. 0,79
A
K
I
T
S
I
T
A
T
S
Distribusi Poisson
• Percobaan yang menghasilkan variabel random X yang bernilai
numerik, yaitu banyaknya sukses waktu terentu atau dalam
daerah tertentu.
• Variabel random X berdistribusi Poisson dengan parameter λ
A
P
X ~ P ( )
Y
B
S
I
N
U
jika X mempunyai fungsi distribusi probabilitas :
A
K
I
e x x
T 0
f ( x;  ) 
;
S
xT
!I
A
T
S
Distribusi poisson mempunyai mean    dan varians
2  
• Perusahaan telepon memberikan 1000 pilihan pesawat
telepon (sebagai kombinasi warna, type, fungsi, dll). Sebuah
perusahaan membuka cabang baru dan tersedia 200
Y
B
S memilih
sambungan telpon dimana setiap karyawan boleh
A
P bahwa ke-1000
pesawat telepon sesuka hatinya. Asumsikan
I
N
U
pilihan tersebut adalah equally
likely. Berapa probabilitas
A
K
I
bahwa sebuah pilihan T
tidak dipilih, dipilih oleh seorang, dua
S
I
Torang karyawan?
orang atau tiga
A
T
S
Y
B
S
A
PKONTINU
VARIABEL RANDOM
I
UN
A
K
I
T
S
I
T
A
T
S
GANGGA ANURAGA
• Variabel random kontinu : variabel random yang menjalani bilangan
real.
• Distribusi probabilitas variabel random kontinu : berupa sembarang
nilai pada suatu interval yang diamati.
A
P
Y
B
S
• Distribusi probabilitas f(x) atau P(a x b) adalah sama dengan luas
di bawah kurva antara a dan b.
A
K
I
I
N
U
• Distribusi Probabilitas khusus kontinyu antara lain :
T
S
– Distribusi UniformI
T
A
– Distribusi T
Normal
S
– Distribusi Eksponensial
– Distribusi Chi-Square
– Distribusi Gamma
A
P
A
K
I
T
S
I
S
T
A
T
I
N
U
Y
B
S
DISTRIBUSI UNIFORM
Fungsi Probabilitas :
 1
;a  x  b

f  x  b  a
0
; x yang lain
A
P
I b
N
a
Mean dari distribusi uniform adalah U
2
A
K
I
b  a T

S
dan varians  
I
T12
A
T
S
2
2
Y
B
S
• Contoh :
A
P
A
K
I
T
S
I
Y
B
S
I
N
U
Jika diketahui x variabel random dengan distribusi uniform (1,6), maka
T
A
T
p(2< x < 4) = ….
S
• Jika x variabel random dengan distribusi uniform (0,10). Tentukan
nilai
– P(x < 3) = …
– P(x > 6) = …
A
P
– P( 3 < x < 8) = …
A
K
I
T
S
I
S
T
A
T
I
N
U
Y
B
S
DISTRIBUSI NORMAL
• Variabel random X berdistribusi normal dengan mean dan varians ,
jika X mempunyai fungsi probabilitas :
1
f ( x;  , ) 
e
 2
2
1  x 
 

2  
2
A
P
Y
B
S
;      ;0   
I
N
U
• Merupakan salah satu distribusi probabilitas variabel random
A
K
I
T
S
I
kontinu yang terpenting dalam statistika adalah distribusi normal
T
A
T
(Gauss), yaitu variabel random yang berasal dari proses random
S
dengan satu titik pemusatan dan menyebar disekitar titik
pemusatan tersebut secara simetris.
• Distribusi normal dengan rata-rata (μ)=0 dan standart deviasi
(σ)=1.
x
Z

•
Y
B
S
A
P suatu nilai variabel
Nilai Z adalah angka yang penyimpangan
I
N
U
x dari rata-rata (μ) yang dihitung dalam satuan σ.
A
K
I
T
S
I
T
A
T
S
KURVA DISTRIBUSI NORMAL
A
P
A
K
I
AT
T
S
I  1
  3   2
T
S

Y
B
S
I
N
U
  1
  2
  3
KURVA NORMAL STANDAR
A
P
A
K
I
3
T
A
T
T
S
I
2
S
1

Y
B
S
I
N
U
1
2
3
Jika diketahui sekumpulan data nilai mata kuliah “Pengantar Probabilitas”
berdistribusi normal dan rata-rata nilai 56 dan simpangan baku 6, maka
carilah :
Y
B
S
a. Probabilitasnya mahasiswa akan mendapatkan nilai kurang dari 60.
A
P
b. Probabilitasnya mahasiswa akan mendapatkan nilai lebih dari 60.
c.
I
N
U
Probabilitasnya mahasiswa akan mendapatkan
nilai antara 65 sampai
A
K
dengan 76.
I
T
S
I
T
A
T
S
A
P
A
K
I
T
S
I
S
T
A
T
I
N
U
Y
B
S
A
P
A
K
I
T
S
I
S
T
A
T
I
N
U
Y
B
S
DISTRIBUSI EKSPONENSIAL
• Digunakan untuk melakukan perkiraan atau prediksi dengan hanya
membutuhkan perkiraan rata-rata populasi
Distribusi ekponensial dengan parameter  ,
dengan fungsi probabilitas
A
P
 e   x
f  x  
0
a
jika x  0
jika x  0
A
K
I
T
S
I
T
A
T
P  x  a     e   x dx
S
0
 e
 x a
0
 1  e a
a0
I
N
U
Y
B
S
• Jika x suatu variabel random berdistribusi ekponensial dengan
parameter λ = 1/10. Tentukan
– P(x > 10) = …
– P( 10 < x < 20) = …
A
P
Y
B
S
• Diketahui kedatangan pengunjung di minimarket “A” berdistribusi
I
N
U
eksponensial dengan rata-rata meningkat dari biasanya menjadi 8,4
A
K
I
menit dalam 35 menit. Berapa probabilitas kedatangan pengunjung
T
S
I
dalam selang waktu 8 menit atau lebih?
T
A
T
• Diketahui kedatangan pengunjung di minimarket “A” berdistribusi
S
eksponensial dengan rata-rata meningkat dari biasanya menjadi 5,8
menit dalam 50 menit. Berapa probabilitas kedatangan pengunjung
dalam selang waktu 15 menit atau kurang?
A
P
A
K
I
Y
B
S
I
N
U
T
DistribusiSBersama
/ Joint Probability dan
I
Distribusi
Marginal
Variabel Random Diskrit
T
A
T
S
Gangga Anuraga
DEFINISI

Jika terdapat dua variabel random X dan Y, maka distribusi peluang
terjadinya X dan Y secara serentak dinyatakan dengan fungsi (X, Y).
Y
B
Fungsi (X, Y) disebut dengan Distribusi Bersama / S
Distribusi
A
Peluang Gabungan / Joint Distribution Function
X dan Y.
P
I
N
U
A
K
I
T
S
I
T
A
T
S
DISTRIBUSI GABUNGAN VARIABEL
RANDOM DISKRIT

Variabel random X dan Y dikatakan variabel random diskrit
berdimensi dua jika nilai-nilai dari X dan Y merupakan nilai-nilai yang
berhingga.
A
P
A
K
I
T
S
I
S
T
A
T
I
N
U
Y
B
S
A
P
A
K
I
T
S
I
S
T
A
T
I
N
U
Y
B
S

Contoh :
Y
B
S jumlah bola
bewarna putih, 5 bewarna biru. Dan diketahui X adalah
A
Pterpililh. Fungsi
merah yang terpilih, Y jumlah bola putih yang
I
N
U
peluang gabungan dari X dan Y, didefinisikan sebagai berikut p(i,j) =
A
K
P(X=I, Y=j). Hitung nilai peluang,
P(X=I, Y=j) ?
I
T
S
I
T
A
T
S
Jika 3 bola akan dipilih secara acak dari 3 bola bewarna merah, 4
A
P
A
K
I
T
S
I
S
T
A
T
I
N
U
Y
B
S

Contoh 1
A
P
A
K
I
T
S
I
S
T
A
T
I
N
U
Y
B
S
Distribusi Marginal Variabel Random Diskrit

Bila distribusi peluang f(X, Y) dari variabel random diskrit maka
Y
B
S
distribusi peluang marginal X adalah g (X) dan Y adalah h (Y).
A
P
A
K
I
T
S
I
S
T
A
T
I
N
U

Berdasarkan contoh 1
A
P
A
K
I
T
S
I
S
T
A
T
I
N
U
Y
B
S
DISTRIBUSI GABUNGAN VARIABEL RANDOM
KONTINYU BERDIMENSI DUA

Variabel random X dan Y dikatakan variabel random kontinyu
berdimensi dua jika nilai-nilai dari X dan Y merupakan nilai-nilai yang
berupa interval.
A
P
A
K
I
T
S
I
S
T
A
T
I
N
U
Y
B
S
Sifat - sifat Fungsi Peluang Gabungan Variabel Random Kontinnu :
1. f  x, y   0, untuk semua  x, y 
 
2.

f  x, y  dx dy  1
 
3. P  x, y   A    f  x, y  dx dy
A
P
Y
B
S
I
N
U
untuk setiap daerah A di bidang xy. A merupakan
A
himpunan bagian dari daerah asal XKdan Y.
I
T
Contoh 5.2 :
S
I
Jika diketahui fungsi padat
gabungan / fungsi densitas gabungan
T
A
variabel random XTdan Y adalah :
S
1
A
f  x, y  
 x  y
8
Hitunglah peluang P  0  x  1,1  y  2  ?
DISTRIBUSI MARGINAL VARIABEL RANDOM KONTINU
Bila distribusi peluang f  x, y  dari variabel random kontinu X dan Y,
Y
B
S
maka distribusi marginal X adalah g  x  dan Y adalah h  y  .
g  x    f  x, y  dy
A
P
y
h  y    f  x, y  dx
x
T
S
I
A
K
I
I
N
U
Berdasarkan contoh 5.2, tentukan distribusi peluang marginal X
dan distribusi peluang marginal Y?
S
T
A
T
A
P
I
N
U
A
K
I
T
DISTRIBUSI
BERSYARAT
S
I
T
GANGGA ANURAGA
A
T
S
Y
B
S
DISTRIBUSI PELUANG BERSYARAT
DEFINISI :
Y
B
S
f  x1 , x2 
f  x2 | x1  
, f1  x1   0 disebut f.d.p bersyarat
f1  x1 
A
P
f x ,x 
I
dari x bila diketahui X  x , sejalan f  x | xN 
U f x  , f x   0
A X x.
K
disebut f.d.p bersyarat dari x bila diketahui
I
T
S
I
T
A
T
S
1
2
1
1
1
2
2
2
1
2
2
2
2
2
Contoh :
Jika diketahui fungsi peluang gabungan
dari variabel random x1 dan x 2 dengan f.d.p
A
P
Y
B
S
I
N
U
sebagai berikut :
x1  x2
f  x1 , x2  
, x1  1, 2,3 ; x2  1, 2
21
0
, untuk x1 , x2 yang lain
A
K
I
T
S
I
T
A
T
S
 cari terlebih dahulu f.d.p marginal untuk x1 dan x2
 kemudian tentukan f  x1 | x2  dan f  x2 | x1 
DISTRIBUSI PELUANG BERSYARAT UNTUK
VARIABEL RANDOM KONTINU
Contoh :
Misalkan x1 dan x 2 mempunyai f.d.p :
f  x1 , x 2   2 , 0  x1  x 2  1
0
, untuk yang lain
A
P
I
N
U
A
K
cari terlebih dahulu f.d.pImarginalnya
T
S
kemudian tentukan
I f  x | x  dan f  x
T
A
T
S
1
2
2
| x1 
Y
B
S