SI217-051038-792-16 1423KB Sep 07 2011 01:58:59 PM

BAB V
DIFFERENSIASI
5.1 Garis singgung
Garis singgung adalah garis yang menyinggung suatu titik
tertentu pada suatu kurva.
Pengertian garis singgung tersebut dapat dilihat pada
Gambar 5.1
l
A
Gambar 5.1
Akan tetapi jika terdapat dua buah titik pada suatu kurva
maka berkemungkinan garis singgung yang menyinggung
salah satu titik akan memotong kurva pada titik lainnya.
Perhatikan Gambar 5.2
A
B
l
Gambar 5.2
Untuk mendapatkan pengertian yang lebih jelas mengenai garis
singgung kita perlu mendefinisikan kemiringan garis singgung l
pada titik A(x1,f(x1)) yang terletak pada grafik fungsi.
Selanjutnya pada grafik fungsi tersebut kita pilih suatu titik
B(x,f(x)). Jika kita hubungkan titik A dan B maka akan
terbentuk garis l1 yang mempunyai kemiringan ,
y
l1
A
l
B
Kemiringan garis l1 = m1
Kemiringan garis l = m
0
x
h
x1
Gambar 5.3
x
Jika f(x) kontinu pada selang [A,B] maka kita dapat mendekatkan
titik B ke titik A dengan jalan memperkecil jarak antara x dan x1 .
Dalam bentuk limit hal tersebut dapat ditulis dalam menjadi,
(5.2)
Persaman (5.2) adalah kemiringan garis l1 jika x mendekati x1.
Jika kita perhatikan Gambar 5.3 maka kita dapat melihat bahwa
kemiringan garis l1 jika x mendekati x1 adalah mendekati
kemiringan garis l . Dalam bentuk limit dapat ditulis menjadi
(5.3)
Persamaan 5.3 s.d. 5.5 adalah kemiringan garis l
pada titik (x, f(x))
Contoh 5.1
Diketahui f(x) = 3x2 + 5
Tentukan kemiringan dan persamaan garis singgung yang
melalui titik (a,a2)
Penyelesaian
Jadi m = 6x (*)
Persamaan garis singgung : y = mx + n
(**)
Karena garis singgung melalui titik (a,a2 ) ,
maka persamaan (*) menjadi m = 6a
persamaan (**) menjadi a2 = 6a2 + n.
Sehingga n = – 5a2
Persamaan garis singgung menjadi : y = 6ax – 5a2
5.2 Turunan
Turunan adalah hasil dari proses differensiasi suatu fungsi.
Untuk mendapatkan pengertian yang jelas dari turunan dan
differensiasi perhatikan Gambar 5.4 berikut. Differensiasi
dapat dimisalkan sebagai suatu mesin yang memproses
masukan f(x) menjadi turunan f(x) atau f’(x).
f(x)
Differensiasi
f’(x)
Gambar 5.4
Selanjutnya turunan didefinisikan sebagai kemiringan garis
yang menyinggung kurva f(x) di titik (x,f(x)). Berdasarkan
persamaan 5.3 dan Gambar 5.3 maka definisi turunan dapat
ditulis dalam bentuk,
(5.6)
Jika persamaan 5.6 dapat dipenuhi berarti f(x) dapat
didifferensiasikan (differensiable) pada x.
Maka dikatakan f(x) mempunyai turunan pada x.
Contoh 4.2
Jika f(x) = 2x2 + 5x – 7, tentukan f’(x), f’(c) dan f’(3)
Penyelesaian
f(x) = 2x2 + 5x – 7
f(x+x) = 2(x+x)2 + 5(x+x) – 7
= 2x2 + 4xx +2(x)2 + 5x + 5x – 7
f(x+x) – f(x) = 4xx + 2(x)2 + 5x
5.3 Notasi turunan
Pada pasal terdahulu kita telah menggunakan notasi turunan
dengan lambang f’ yaitu lambang turunan dari suatu fungsi f
yang diperkenalkan pertama kali oleh matematikawan
Perancis Louis Lagrange (1646 – 1716).
Selain notasi tersebut masih terdapat notasi lain yang sering
digunakan yaitu notasi double “d”. Jadi kita juga dapat
menulis lambang turunan sebagai dy/dx, dy/dz, … dimana
x dan z adalah peubah-peubah bebas dan y sebagai peubah
tak bebas.
Hubungan antara notasi-notasi turunan yang disebut diatas
adalah sebagai berikut,
Jika terdapat suatu persamaan y = f(x), maka dy/dx = f’(x).
5.4 Differensiabilitas dan kontinuitas
Jika f adalah fungsi yang differensiabel pada x maka f dikatakan
kontinu pada x.
Bukti
Pada uraian terdahulu telah dijelaskan bahwa suatu fungsi f
dikatakan differensiable jika memenuhi persamaan 5.6 yaitu,
Sebaliknya jika f adalah fungsi yang kontinu pada x,
maka tidak secara otomatis f differensiable pada x.
5.5 Teorema-teorema
5.5.1 Turunan bilangan konstan
Jika c suatu bilangan konstan dan y didefinisikan
sebagai,
(5.7)
Bukti
f(x) = c ; f(x+x) = c
5.5.2 Jika n adalah sembarang bilangan bulat, k adalah sembarang
bilangan ril dan jika y didefinisikan sebagai,
(5.8)
Bukti
Dengan mengunakan teorema binomial didapat,
Contoh 5.3
Tentukan turunan pertama dari f(x) = 5x7
Penyelesaian,
5.5.3 Aturan penjumlahan
Jika f dan g adalah dua buah fungsi dan h adalah fungsi
yang didefinisikan sebagai,
(5.9)
h(x) = f(x) + g(x)
h(x+x) = f(x+x) + g(x+x)
=
Contoh 5.4
5.5.4 Aturan perkalian
Jika f dan g adalah dua buah fungsi dan h adalah fungsi
yang didefinisikan sebagai,
(5.10)
Bukti
h’(x)
= f(x).g’(x) + g(x).f’(x) (terbukti)
Contoh 5.5
Penyelesaian
5.5.5 Aturan pembagian
Jika f dan g adalah dua buah fungsi dan h adalah
fungsi yang didefinisikan sebagai,
(5.11)
Bukti
Contoh 5.6
Penyelesaian
f(x) = 2x4 – 3x2
f’(x) = 8x3 – 6x
g(x) = 4x3
g’(x) = 12x2
5.5.6 Turunan fungsi komposisi
(5.12)
Bukti
Jika y = f(u) dan u = g(x) maka y = f(g(x)).
Fungsi tersebut mempunyai bentuk komposisi dan dapat
ditulis sebagai (fog)(x).
u = g(x)
u= g(x+x) – g(x)  g(x+x) = g(x) + u = u + u
Jika u  0 maka x  0
y = f(g(x))
y = f(g(x+x)) – f(g(x))
Persamaan 5.12 disebut aturan rantai
Contoh 5.7
Tentukan
jika y = (4x3 + 5x2 – x + 4)3
Penyelesaian
Misal u = 4x3 + 5x2 – x + 4 ;
y = u3
= 3(12x2 + 10x – 1)(4x3 + 5x2 – x + 4)2
5.6 Turunan fungsi-fungsi trigonometri
(5.13)
Bukti
= (sinx)(0) + (cosx)(1) = cos x (terbukti)
(5.14)
Bukti
(5.15)
Bukti
=
= (cosx)(0) – (sinx)(1) = – sinx (terbukti)
(5.16)
Bukti
Contoh 5.8
Penyelesaian
Misa u = –2x ;
Contoh 5.9
Penyelesaian
y = sin u
Contoh 5.10
Penyelesaian
Misa u = sin2x
v=cos3x
Contoh 5.11
Penyelesaian
Misal u = sin 3x
v = cos 4x
(5.17)
Bukti
u = sin x
v = cos x
(5.18)
Bukti
Contoh 5.12
Penyelesaian
Misal u = 3x
y = 5 tan u
(5.19)
Bukti
u = cos x
v = sin x
(5.20)
Bukti
Contoh 5.13
Penyelesaian
(5.21)
Bukti
(5.22)
Bukti
(5.23)
Bukti
(5.24)
Bukti
Contoh 5.15
Penyelesaian
5.7 Turunan fungsi-fungsi trigonometri invers
(5.25)
Bukti
Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini!
sin y = x
1
y
x
(5.26)
Bukti
Contoh 5.16
Penyelesaian
(5.27)
Bukti
Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini!
cos y = x
1
y
x
(5.28)
Bukti
Contoh 5.17
Penyelesaian
(5.29)
Bukti
Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini!
tan y = x
x
y
1
(5.30)
Bukti
Contoh 5.18
Penyelesaian
(5.31)
Bukti
Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini!
cot y = x
1
y
x
(5.32)
Bukti
Contoh 5.19
Penyelesaian
(5.33)
Bukti
Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini!
sec y = x
x
y
1
(5.34)
Bukti
Contoh 5.20
Penyelesaian
(5.35)
Bukti
Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini!
csc y = x
x
y
1
(5.36)
Bukti
Contoh 5.21
Penyelesaian
5.8 Turunan fungsi eksponen
(5.37)
Bukti
Dengan menggunakan teorema binomial didapat,
(5.38)
(5.39)
Jika y = f(x) = ex
Sehingga
Bukti
(5.40)
Contoh 5.22
Penyelesaian
Misal u = a – bx
5.9 Turunan fungsi logaritma
(5.41)
(5.42)
Bukti
Contoh 5.23
Penyelesaian
(5.43)
Bukti
(5.44)
Bukti
Contoh 5.24
Penyelesaian
Diketahui a = 7