bab 7 fungsi trigonometri sudut ganda

TRIGONOMETRI
disusun untuk memenuhi salah satu tugas akhir Semester Pendek
mata kuliah Trigonometri
Dosen : Ferry Ferdianto, S.T., M.Pd.
Oleh
Nia Apriyanti (112070221)
1F
PRODI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI
CIREBON
2013
KATA PENGANTAR
Dengan memanjatkan puji dan syukur kehadirat Allah SWT, atas
nikmat dan karunia-Nya semata, akhirnya penulis dapat menyelesaikan makalah
yang berjudul “TRIGONOMETRI.”
Dalam penyusunan makalah ini, penulis banyak menemui
kesulitan-kesulitan dan hambatan-hambatan baik pada saat mencari sumber
maupun pada saat penulisannya, namun berkat bimbingan dan dorongan dari
semua pihak akhirnya makalah ini dapat terwujud.
Penulis menyadari bahwa masih ada kekurangan dan kejanggalan
hal itu disebabkan sangat terbatasnya kemampuan dan ilmu yang penulis miliki.
Oleh karena itu penulis mengharapkan kritik dan saran dari semua pihak yang
bersifat membangun selalu kami harapkan demi kesempurnaan makalah ini.
Saya ucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah
berperan serta dalam penyusunan makalah ini dari awal sampai akhir. Semoga
Allah SWT senantiasa meridhai segala usaha kita. Amin.
Cirebon, Agustus 2013
Penulis
DAFTAR ISI
Kata Pengantar ............................................................................................... i
Daftar Isi ......................................................................................................... ii
BAB 1 Sudut dan Ukuran Sudut .................................................................... 1
BAB 2 Fungsi Trigonometri .......................................................................... 6
BAB 3 Aplikasi Perbandingan Trigonometri pada Segitiga .......................... 10
BAB 4 Fungsi Trigonometri Sudut yang Berelasi ......................................... 12
BAB 5 Identitas Trigonometri ....................................................................... 16
BAB 6 Fungsi Trigonometri sudut ( dan )................................................... 20
BAB 7 Fungsi Trigonometri Sudut Ganda ..................................................... 24
BAB 8 Hubungan antara Sisi-Sisi dan Sudut-Sudut Segitiga ......................... 25
BAB 9 Grafik Fungsi Trigonometri ................................................................ 29
BAB 10 Persamaan Trigonometri ................................................................... 32
BAB 11 Pertidaksamaan Trigonometri .......................................................... 34
BAB 1
SUDUT DAN UKURAN SUDUT
A. Pengertian Sudut
Agar kalian dapat memahami pengertian sudut, coba amati ujung
sebuah meja, pojok sebuah pintu, atau jendela di kelasmu, berbentuk apakah
ujung tersebut? Ujung sebuah meja atau pojok pintu dan jendela adalah salah
satu contoh sudut.
Perhatikan Gambar 7.17.
Suatu sudut dapat dibentuk dari suatu sinar yang diputar pada pangkal
sinar. Sudut ABC pada gambar di samping adalah sudut yang dibentuk BC
yang diputar dengan pusat B sehingga BC berputar sampai BA.
Ruas garis BA dan BC disebut kaki sudut, sedangkan titik pertemuan
kaki-kaki sudut itu disebut titik sudut. Daerah yang dibatasi oleh kaki-kaki
sudut, yaitu daerah ABC disebut daerah sudut. Untuk selanjutnya, daerah
sudut ABC disebut besar sudut ABC.
Sudut dinotasikan dengan :
diberi nama
. Sudut pada Gambar 7.17 dapat
Dengan demikian, dapat dikatakan sebagai berikut. Sudut adalah daerah
yang dibentuk oleh pertemuan antara dua buah sinar atau dua buah garis
lurus.
B. Besar Sudut
Besar suatu sudut dapat dinyatakan dalam satuan derajat (o), menit (‘),
dan detik (“). Perhatikan jarum jam pada sebuah jam dinding. Untuk
menunjukkan waktu 1 jam, maka jarum menit harus berputar 1 putaran
penuh sebanyak 60 kali, atau dapat ditulis 1 jam = 60 menit. Adapun untuk
menunjukkan waktu 1 menit, jarum detik harus berputar 1 putaran penuh
sebanyak 60 kali, atau dapat ditulis 1 menit = 60 detik. Hal ini juga berlaku
untuk satuan sudut. Hubungan antara derajat (o), menit (‘), dan detik (“) dapat
dituliskan sebagai berikut.
Contoh soal :
1. Tentukan
a. 5o = …’
b. 8′ = …”
c. 45,6o = …̊ …’
d. 48o48′ = …o
kesamaan
besar
sudut
berikut.
C.
Penjumlahan dan Pengurangan dalam Satuan Sudut
Seperti halnya pada besaran-besaran lainnya, pada satuan sudut juga
dapat
dijumlahkan
atau
dikurangkan.
Caranya
hampir
sama seperti pada penjumlahan dan pengurangan bilangan desimal. Untuk
menjumlahkan atau mengurangkan satuan sudut, masingmasing satuan
derajat, menit, dan detik harus diletakkan dalam satu lajur.
Contoh soal :
1.
Tentukan
hasil
24o46′ + 57o35′
penjumlahan
satuan
sudut
berikut
ini.
D. Menggambar dan Memberi Warna Sudut
Sediakanlah sebuah busur derajat agar kalian dapat memahami uraian
materi berikut dengan baik. Dalam mengukur besar suatu sudut, diperlukan
suatu alat yang dinamakan busur derajat.
Pada umumnya, busur derajat terbuat dari mika tembus pandang
berbentuk setengah lingkaran. Pada busur derajat terdapat dua skala, yaitu
skala atas dan skala bawah. Pada skala atas terdapat angka-angka 0, 10, 20,
…, 180 berturut-turut dari kiri ke kanan, sedangkan pada skala bawah
terdapat angka-angka berturut-turut dari kanan ke kiri 0, 10, 20, …, 180.
1. Mengukur Besar Suatu Sudut
Langkah-langkah dalam mengukur besar suatu sudut sebagai berikut.
Perhatikan Gambar 7.19 berikut.
a)
Letakkan busur derajat pada sudut AOB sehingga
1) titik pusat lingkaran busur derajat berimpit dengan titik O;
2) sisi horizontal busur derajat berimpit dengan sinar garis OA.
b) Perhatikan angka nol (0) pada busur derajat yang terletak pada garis
OA. Jika angka nol berada pada skala bawah, perhatikan angka pada
skala bawah yang terletak pada kaki sudut OB. Dari gambar tampak
bahwa garis OB terletak pada angka 75o. Jadi, besar sudut AOB =
75o.
2. Menggambar Besar Suatu Sudut
Setelah kita mengetahui cara mengukur besar sudut dengan busur
derajat, sekarang kita akan mempelajari cara menggambar sudut.
Perhatikan uraian berikut. Misalkan kita akan melukis sudut PQR yang
besarnya 6075o. Langkah-langkah untuk melukis sudut PQR yang
besarnya 6075o sebagai berikut.
a) Buatlah salah satu kaki sudutnya yang horizontal, yaitu kaki sudut
PQ.
b) Letakkan busur derajat sehingga
1) titik pusat lingkaran busur derajat berimpit dengan titik Q;
2) sisi lurus busur derajat berimpit dengan garis PQ.
3) Perhatikan angka nol (0) pada busur derajat yang terletak pada garis
PQ. Jika angka nol (0) terletak pada skala bawah maka angka 60
yang berada di bawah yang digunakan. Jika angka nol (0) terletak
pada skala atas maka angka 60 yang berada di atas yang digunakan.
Berilah tanda pada angka 60 dan namakan titik R.
4) Hubungkan titik Q dan R. Daerah yang dibentuk oleh garis PQ dan
QR adalah sudut PQR dengan besar sudut PQR = 60o.
BAB 2
FUNGSI TRIGONOMETRI
A. Pengertian Trigonometri
Istilah trigonometri berasal dari kata yunani “trigonos” yang berarti
segitiga dan “metron” yang berarti ukuran. Berdasarkan kata – kata
pembentuknya, trigonometri diartikan sebagai ukuran segitiga. Trigonometri
pada mulanya merupakan kajian tentang segitiga dan diterapkan sebagai
tambahan ke-praktisan pada astronomi, survei dan navigasi. Namun, pada
perkembangannya trigonometri tidak hanya dikaitkan dengan segitiga saja.
Seorang astronom yunani, Hipporchus (160 – 120 SM) berhasil
membuat daftar trigonometri. Kemudian, disusul oleh george Bachim
Rhaticus (1514 – 1576), seorang matematikawan Jerman, mempelajari
trigonometri menggunakan segitiga siku –siku. Lain halnya dengan
matematikawan Inggris, William Oughtred (1514 – 1660) yang berusaha
untuk mengubah pandangan trigonometri dari pandangan secara geometri
menjadi
pandangan
secara
aljabar.
Pandangan
William
Ougtred
dikembangkan lagi oleh seorang matematikawan yang sangat terkenal, yaitu
Leonar Euler (1707 – 1783), yang berasal dari Swiss, Euler mengembangkan
fungsi – fungsi trigonometri dari nisbah panjang suatu garis menjadi suatu
bilangan.
Sedangkan Hipporchus yang dikenal sebagai bapak Trigonometri, telah
menulis 12 buku tentang perhitungan dari tali busur yang berkaitan dengan
sudut pusat yang dipotong oleh tali busur itu. Sebagai fakta nyata ketika
mereka berkecimpung dengan masalah – masalah pada ruang dimensi tiga,
apa yang mereka bangun biasanya dirujuk sebagai trigonometri bola,
ketimbang sebagai trigonometri bidang.
B. Perkalian Fungsi Trigonometri
Dalam mempelajari rumus-rumus perkalian sinus dan kosinus kita perlu
mengingat kembali rumus-rumus jumlah dan selisih dua sudut yang telah kita
pelajari sebelumnya, antara lain sebagai berikut:
1. sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b
2. sin (a - b) = sin a cos b - cos a sin b
3. cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b
4. cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b
a) Rumus-rumus untuk 2 sin a cos b dan 2 cos a sin b
1) Rumus untuk 2 sin a cos b
Jika kita menjumlahkan rumus sin (a + b) dan sin (a - b), diperoleh
sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b
sin (a - b) = sin a cos b - cos a sin b +
sin (a + b) + sin (a - b) = 2 sin a cos b
Jadi, kita memperoleh rumus untuk 2 sin a cos b, yaitu
2sin a cos b = sin (a + b) + sin (a - b)
Perhatikan pembuktian rumus 2sin a cos b
2sin a cos b = sin (a + b) + sin (a - b)
= (sin a cos b + cos a sin b) + (sin a cos b - cos a sin b)
= sin a cos b + cos a sin b + sin a cos b - cos a sin b
= 2 sin a cos b
= ruas kiri
2) Rumus untuk 2cos a sin b
Jika kita mengurangkan rumus sin (a + b) dan sin (a - b), diperoleh
sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b
sin (a - b) = sin a cos b - cos a sin b –
sin (a + b) - sin (a - b) = 2 cos a sin b
Jadi, kita memperoleh rumus untuk 2 sin a cos b, yaitu
2sin a cos b = sin (a + b) - sin (a - b)
Perhatikan pembuktian rumus 2sin a cos b
2cos a sin b = sin (a + b) - sin (a - b)
= (sin a cos b + cos a sin b) - (sin a cos b - cos a sin b)
= sin a cos b + cos a sin b - sin a cos b - cos a sin b
= 2 cos a sin b
= ruas kiri
Catatan:
Rumus-rumus tersebut juga berlaku untuk sudut-sudut dalam satuan derajat
sehingga dapat dituliskan sebagai berikut :
2sin a cos b = sin (a + b) + sin (a - b)
2cos a sin b = sin (a + b) - sin (a - b)
b) Rumus-rumus untuk 2cos a cos b dan 2sin a sin b
1) Rumus untuk 2cos a cos b
Jika kita menjumlahkan rumus cos (a + b) cos (a - b), diperoleh
cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b
cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b +
cos (a + b) + cos (a - b)= 2 cos a cos b
Jadi kita memperoleh rumus untuk 2cos a cos b, yaitu
2 cos a cos b = cos (a + b) + cos (a - b)
Perhatikan pembuktian rumus 2 cos a cos b
2 cos a cos b = cos (a + b) + cos (a - b)
= (cos a cos b - sin a sin b) + (cos a cos b + sin a
sin b)
= cos a cos b - sin a sin b + cos a cos b + sin a sin b
= 2cos a cos b
= ruas kiri
2) Rumus untuk 2sin a sin b
Jika kita mengurangkan rumus cos (a + b) cos (a - b), diperoleh
cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b
cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b cos (a + b) - cos (a - b) = -2 sin a sin b
Jadi kita memperoleh rumus untuk 2sin a sin b, yaitu
-2 sin a sin b = cos (a + b) - cos (a - b)
Perhatikan pembuktian rumus 2 sin a sin b
-2 sin a sin b = cos (a + b) - cos (a - b)
= (cos a cos b - sin a sin b) - (cos a cos b + sin a sin
b)
= cos a cos b - sin a sin b - cos a cos b + sin a sin b
= -2sin a sin b
= ruas kiri
BAB 3
APLIKASI PERBANDINGAN TRIGONOMETRI PADA
SEGITIGA
Dua gambar tersebut adalah segitiga siku-siku. Dan salah satu sudutnya kita
namakan sudut a. segitiga siku-siku mempunyai tiga sisi. Dan kita akan
menamainya dengan sisi miring, depan dan samping.
Sisi miring yaitu sisi yang terletak di depan sudut 90 derajat. Sisi depan
adalah sisi di depan sudut (untuk gambar tersebut, terletak di depan sudut a). sisi
samping adalah sisi yang terletak di samping sudut a.
Pada segitiga siku-siku, berlaku perbandingan trigonometri sebagai berikut :
Artinya, nilai dari sin a sama dengan panjang sisi depan sudut a dibagi dengan
panjang sisi miring. Begitu juga untuk cos dan tan. Ingat, ini hanya berlaku pada
segitiga siku-siku.
Bagaimana kita menghafalnya. adakah cara mudah untuk menghafalkannya.
Cara mudah untuk menghafal ketiga perbandingan trigonometri tersebut adalah
sebagai berikut :
hafalkan dengan ingatan sindemir
hafalkan dengan ingatan cosamir
hafalkan dengan ingatan tandesam
Atau bisa juga secara langsung ketiga-tiganya.
sin cos tan adalah demi sami desa
Maksudnya yaitu sin demi, cos sami dan tan desa.
Untuk cosecan, secan dan cotangen. Yang kita lakukan hanyalah membalik
perbandingannya. Karena
maka
maka
maka
Tidak perlu untuk menghafal csc, sec dan cot.
Kita hanya perlu memahami konsep bahwa
Untuk selanjutnya, perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku ini akan
sangat berguna untuk mencari unsur-unsur yang belum diketahui pada segitiga
siku-siku.
BAB 4
FUNGSI TRIGONOMETRI SUDUT BERELASI
Sudut-sudut yang berelasi dengan sudut  adalah sudut (90  ), (180  ),
(360  ), dan -. Dua buah sudut yang berelasi ada yang diberi nama
khusus, misalnya penyiku (komplemen) yaitu untuk sudut  dengan (90 ) dan pelurus (suplemen) untuk sudut  dengan (180 - ). Contoh:
penyiku sudut 50 adalah 40, pelurus sudut 110 adalah 70.
1.
Perbandingan trigonometri untuk sudut  dengan (90 - )
Dari gambar 2.7 diketahui
Y
y=x
P1(x1,y1)
r1
y1
akibat pencerminan garis y  x, sehingga
P(x,y)
diperoleh:
r
O
a. XOP =  dan XOP1 = 90 - 
y
(90-)

x1
Titik P1(x1,y1) bayangan dari P(x,y)
X
b. x1 = x, y1 = y dan r1 = r
x
Dengan
hubungan di atas dapat diperoleh:
Gb. 2.7.menggunakan
sudut yang berelasi
a.
y
x
sin 90     1   cos 
r1 r
b.
x
y
cos 90     1   sin 
r1 r
c.
y
x
tan 90     1   cot 
x1 y
Dari perhitungan tersebut maka rumus perbandingan trigonometri sudut  dengan
(90 - ) dapat dituliskan sebagai berikut:
a. sin 90    cos 
b. cos 90    sin 
d. csc 90    sec 
e. sec 90    cos ec 
Perbandingan trigonometri untuk sudut  dengan (180 - )
c. tan 90    cot 
f. cot 90    tan 
2.
Titik P1(x1,y1) adalah bayangan dari titik P(x,y)
Y
akibat pencerminan terhadap sumbu y,
P1(x1,y1)
sehingga
a. XOP =  dan XOP1 = 180 - 
P(x,y)
r
r1
(180-)
y1
b. x1 = x, y1 = y dan r1 = r
y

x1
maka diperoleh hubungan:
a.
y
y
sin 180     1   sin 
r1 r
b.
x
x
cos 180     1 
  cos 
r1
r
c.
y
y
tan 180     1 
  tan 
x1  x
x
O
X
Gb. 2.8. sudut yang berelasi
Dari hubungan di atas diperoleh rumus:
a. sin 180    sin 
d. csc 180    csc 
b. cos 180     cos 
e. sec 180    sec 
Perbandingan trigonometri untuk sudut  dengan (180 + )
f. cot 180    cot 
Dari gambar 2.9 titik P1(x1,y1) adalah bayangan
Y
3.
c. tan 180    tan 
dari
titik
P(x,y)
akibat
P(x,y)
pencerminan
r
terhadap garis y  x, sehingga
(180+)
a. XOP =  dan XOP1 = 180 + 
x1
b. x1 = x, y1 = y dan r1 = r
O
x
y1
r1
maka diperoleh hubungan:
a.
y
y
sin 180     1 
  sin 
r1
r
b.
x
x
cos 180     1 
  cos 
r1
r
c.
y
y y
tan 180     1 
  tan 
x1  x x
P1(x1,y1)
Gb. 2.9. sudut yang berelasi
Dari hubungan di atas diperoleh rumus:
a. sin 180     sin 
d. csc 180    csc 
b. cos 180     cos 
e. sec 180    sec 
c. tan 180    tan 
y

f. cot 180    cot 
X
Perbandingan trigonometri untuk sudut  dengan (- )
4.
Dari gambar 2.10 diketahui
titik
Y
P1(x1,y1)
P(x,y)
bayangan dari P(x,y)
r
akibat pencerminan terhadap sumbu x,
(360-1)

sehingga
O
a. XOP =  dan XOP1 = - 
-
y
x
x1
r1
X
y1
b. x1 = x, y1 = y dan r1 = r
P1(x1,y1)
maka diperoleh hubungan
a.
y
y
sin     1 
  sin 
r1
r
b.
x
x
cos     1   cos 
r1 r
c.
y
y
tan     1 
 tan 
x1
x
Gb. 2.10. sudut yang berelasi
Dari hubungan di atas diperoleh rumus:
a. sin     sin 
d. csc    csc 
b. cos    cos 
e. sec    sec 
Untukc.relasi
dengan
dengan
relasi
f. cot 
  tan(- ) tersebut identik
tan 
  cot
  dengan 360  ,
misalnya sin (360  )   sin .
BAB 5
IDENTITAS TRIGONOMETRI
1. Rumus – rumus yang perlu dipahami:
a.
Rumus Dasar yang merupakan Kebalikan
1
sin 
1
 sec  
cos 
1
 cot  
tan 
 cos ec 
b.
Rumus Dasar yang merupakan hubungan perbandingan
sin 
cos 
cos 
 cot  
sin 
 tan  
c.
Rumus Dasar yang diturunkan dari teorema phytagoras
 Cos 2  Sin 2  1
 1  tan 2   sec 2 
 1  Cot 2  Co sec 2 
Contoh 1
1. Buktikan identitas berikut:
a. Sin α . Cos α . Tan α = (1 – Cos α) (1 + Cos α)
Jawab:
Ruas kiri
= Sin α . Cos α . Tan α
= Sin α . Cos α .
= Sin2 α
Sin 
Cos
= 1 – Cos2 α
= (1 – Cos α) (1 + Cos α) = Ruas Kanan Terbukti!
b. Sin β . Tan β + Cos β = Sec β
Jawab:
= Sin β . Tan β + Cos β
Ruas Kiri
= Sin β .
Sin 
+ Cos β
Cos
=
Sin 2  Cos 2 

Cos
Cos
=
1
 Sec β = Ruas Kanan Terbukti
Cos
2. Persamaan Trigonometri
a. Persamaan Trigonometri Sederhana
 Jika Sin x = Sin α
X1 = α + k . 360o
X2 = (180o – α) + k . 360o
 Jika Cos x = Cos α
X1 = α + k . 360o
X2 = - α + k . 360o
 Jika Tan x = Tan α
X = α + k . 180o
Contoh 2
1.
K Є bilangan bulat
Tentukan himpunan Penyelesaian dari Persamaan Sin x =
x ≤ 360o
Jawab:
1
2
Sin x
=
Sin x
= Sin 30o
x= 30o + k . 360o
untuk k= 1 ↔ x
= 30o
1 o
,0 ≤
2
untuk k = 2 ↔ x
= (180o – 30o) + k . 360o
= 150o
HP:{30o, 150o}
b.
Persamaan Trigonometri dalam bentuk a cos x + b sin x = c
Cara penyelesaian persamaan tersebut di atas sebagai berikut:
k Cos x (x - α) = c
dengan
a2  b2
k=
α = arc tan
b
a
dan syarat supaya penylesaian ada yaitu c2 ≤ a2 + b2
Contoh 3
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan:
Cos y – Sin y = 1, jika 0o ≤ y ≤ 360o
Jawab:
Cos y – Sin y = 1 ↔
Sehingga diperoleh k =
Tan α =
a = 1; b = - 1 ;
c=1
a 2  b 2  12   1  2
2
a
1

= - 1 ↔ α dikuadran IV
b 1
α = 315o
jadi Cos y – Sin y = 1
↔
2 Cos (x – 315o) = 1
↔
Cos (x – 315o) =
↔
Cos (x – 315o) = Cos 45o
↔
(x – 315o)
1
2
2
= 45o + k . 360o
↔
x = 360o + k . 360o
↔
x = 360o
Atau
(x – 315o)
= - 45o + 360o
x = 270o + k . 360o
x = 270o
HP:{270o, 360o}
BAB 6
FUNGSI TRIGONOMETRI SUDUT ( dan )
A. Rumus-rumus Trigonometri untuk Jumlah dan Selisih Dua Sudut
1.
Rumus cos ( + ) dan cos (  )
Pada gambar di samping diketahui garis CD dan AF keduanya adalah garis tinggi
cos ( + ).
dari segitiga ABC. Akan dicari rumus
cos    
AD
AC

C
AD  AC cos   
Gb. 2.14

G

Pada segitiga sikusiku CGF
GF
CF
sin  

GF  CF sin 
A
…………..(1)
Pada segitiga sikusiku AFC,
sin  
CF
 CF  AC sin 
AC
cos β 
AF
 AF  AC cos 
AC
…………..(2)
…………..(3)
Pada segitiga sikusiku AEF,
cos  
AE
 AE  AF cos  …………..(4)
AF
Dari (1) dan (2) diperoleh
GF  AC sin  sin 
Karena DE  GF maka DE  AC sin  sin 
Dari (3) dan (4) diperoleh
AE  AC cos  cos 
Sehingga
AD  AE  DE
AC cos ( + )  AC cos  cos   AC sin  sin 
cos ( + )  cos  cos   sin  sin 

D E B
F
Jadi
Untuk menentukan cos (  ) gantilah  dengan  lalu disubstitusikan ke rumus
cos ( + ).
cos (  )  cos ( + ())
 cos  cos ()  sin  sin ()
 cos  cos   sin  (sin )
 cos  cos  + sin  sin 
cos (  )  cos  cos  + sin  sin 
Jadi
2.
Rumus sin ( + ) dan sin (  )
Untuk menentukan rumus sin ( + ) dan sin (  ) perlu diingat rumus
sebelumnya, yaitu:
sin (90  )  cos  dan
cos (90  )  sin 
sin ( + )  cos (90  ( + ))
 cos ((90  )  )
 cos (90  ) cos  + sin (90  ) sin 
 sin  cos  + cos  sin 
Jadi
sin ( + )  sin  cos  + cos  sin 
Untuk menentukan sin (  ), seperti rumus kosinus selisih dua sudut gantilah 
dengan  lalu disubstitusikan ke sin ( + ).
sin (  )  sin ( + ( ))
 sin  cos () + cos  sin ()
 sin  cos  + cos  (sin )
 sin  cos   cos  sin 
Jadi
3.
sin (  )  sin  cos   cos  sin 
Rumus tan ( + ) dan tan (  )
Dengan mengingat tan  
tan (  ) 
sin 
, maka
cos 
sin (  ) sin  cos   cos  sin 

cos (  ) cos  cos   sin  sin 
sin  cos   cos  sin 
sin 
sin 

cos  cos 
cos  cos 
tan (  ) 

cos  cos   sin  sin 
sin  sin 
1

cos  cos 
cos  cos 
tan   tan 

1  tan  tan 
Jadi
tan (  ) 
tan   tan 
1  tan  tan 
Untuk menentukan tan (  ), gantilah  dengan  lalu disubstitusikan ke tan ( +
).
tan (  )  tan ( + ( ))
Jadi

tan   tan (-)
1  tan  tan (-)

tan   tan ()
1  tan  ( tan )

tan   tan 
1  tan  tan 
tan (  ) 
tan   tan 
1  tan  tan 
BAB 7
FUNGSI TRIGONOMETRI SUDUT GANDA
Dari rumusrumus trigonometri untuk jumlah dua sudut, dapat dikembangkan menjadi
rumus trigonometri untuk sudut rangkap.
2.
Jadi
3.
sin 2  sin ( + )  sin  cos  + cos  sin   2 sin cos
sin 2  2 sin cos
cos 2  cos ( + )  cos  cos   sin  sin   cos2  sin2
cos 2  cos2  sin2
Jadi
Rumusrumus variasi bentuk lain yang memuat cos 2 dapat diturunkan dengan
mengingat rumus dasar cos2 + sin2  1.
cos 2  cos2  sin2
cos 2  cos2  sin2
 cos2  (1  cos2)
 (1  sin2)  sin2
 2cos2  1
Sehingga
4.
 1  2 sin2
1)
cos 2  cos2  sin2
2)
cos 2  2cos2  1
3)
cos 2  1  2 sin2
tan 2  tan (   ) 
Jadi
tan 2 
tan   tan 
2 tan 

1  tan  tan  1  tan 2 
2 tan 
1  tan 2 
BAB 8
HUBUNGAN ANTARA SISI-SISI DAN SUDUT-SUDUT
SEGITIGA
A. Ketidaksamaan Segitiga
Agar kalian memahami mengenai ketidaksamaan segitiga lakukan
kegiatan berikut.
1.
Buatlah sebarang segitiga dari kertas karton. Namailah dengan
segitiga ABC. Sisi di hadapansudut A, berilah nama sisi a. Sisi di
hadapansudut B, berilah nama sisi b. Demikian pula dengan sisi sudut C.
2.
Ukurlah panjang masing-masing sisinya.
3.
Jumlahkan panjang sisi a dan b. Kemudian, bandingkan dengan
panjang sisi c. Manakah yang lebih besar? Bandingkan pula panjang sisi a
+ c dengan panjang sisi b. Demikian pula, bandingkan panjang sisi b + c
dengan panjang sisi a.
Manakah yang lebih besar? Apa yang dapat kalian simpulkan dari kegiatan
tersebut?
Jika kalian melakukan kegiatan tersebut dengan tepat, kalian akan
memperoleh kesimpulan seperti berikut. Pada setiap segitiga selalu berlaku
bahwa jumlah dua buah sisinya selalu lebih panjang daripada sisi ketiga. Jika
suatu segitiga memiliki sisi a, b, dan c maka berlaku salah satu dari
ketidaksamaan berikut.
(i) a + b > c
(ii) a + c > b
(iii) b + c > a
Ketidaksamaan tersebut disebut ketidaksamaan segitiga.
B. Hubungan Besar Sudut dan Panjang Sisi Suatu Segitiga
Agar kalian mengetahui hubungan antara besar sudut dengan panjang
sisi pada suatu segitiga, lakukan kegiatan berikut ini. Buatlah sebarang
segitiga, misalnya segitiga ABC seperti gambar berikut ini.
Bagaimana hubungan antara sudut A dengan sisi BC,sudut B dengan sisi AC,
dan sudut C dengan sisi AB? Dengan menggunakan busur derajat, ukurlah
panjang setiap sudutnya, yaitu sudut A, sudut B, dan sudut C. Kemudian
dengan menggunakan penggaris, ukurlah masing-masing panjang sisinya,
yaitu AB, BC, dan AC. Amatilah besar sudut dan panjang sisi dari segitiga
tersebut. Jika kalian melakukannya dengan tepat, kalian akan memperoleh
bahwa
1.
sudut B merupakan sudut terbesar dan sisi di hadapannya, yaitu sisi
AC merupakan sisi terpanjang;
2.
sudut C merupakan sudut terkecil dan sisi di hadapannya, yaitu sisi
AB merupakan sisi terpendek.
Apa yang dapat kalian simpulkan dari kegiatan di atas?
Jika kalian melakukannya dengan tepat, kalian akan menyimpulkan
seperti berikut. Pada setiap segitiga berlaku sudut terbesar terletak
berhadapan dengan sisi terpanjang, sedangkan sudut terkecil terletak
berhadapan dengan sisi terpendek.
C. Hubungan Sudut Dalam dan Sudut Luar Segitiga
Kalian telah mengetahui bahwa jumlah sudut dalam segitiga adalah
180°. Selanjutnya, untuk memahami pengertian sudut luar segitiga, pelajari
uraian berikut.
Perhatikan Gambar di atas. Pada gambar Δ ABC di samping, sisi AB
diperpanjang sehingga membentuk garis lurus ABD. Pada segitiga ABC
berlaku
sudut BAC + sudut ABC + sudut ACB = 180° (sudut dalam Δ ABC)
sudut BAC + sudut ACB = 180° – sudut ABC ................. (i)
Padahal sudut ABC + sudut CBD = 180° (berpelurus)
sudut CBD = 180° – sudut ABC ........................................ (ii)
Selanjutnya sudut CBD disebut sudut luar segitiga ABC. Berdasarkan persamaan
(i) dan (ii) diperolehsudut CBD = sudut BAC + sudut ACB. Dari uraian di
atas dapat disimpulkan sebagai berikut. Besar sudut luar suatu segitiga sama
dengan jumlah dua sudut dalam yang tidak berpelurus dengan sudut luar
tersebut.
Berdasarkan gambar berikut, tentukan nilai x° dan y°.
Penyelesaian:
80° + 60° + x° = 180° (sudut dalam segitiga)
140° + x° = 180°
x° = 180° – 140°
x° = 40°
x° + y° = 180° (berpelurus)
40° + y° = 180°
y° = 180° – 40°
y° = 140°
Jadi, nilai x° = 40° dan y° = 140°.
BAB 9
GRAFIK TRIGONOMETRI
Grafik dari fungsi trigonometri berbentuk kurva periodik. Hal ini dapat
dibuktikan dengan bantuan turunan (tidak dibuktikan di sini). Untuk fungsi sinus
dan cosinus, grafiknya memiliki nilai maksimum dan minimum. Hal ini
dikarenakan nilai dari y = sin A dan y = cos B memiliki nilai maksimum 1, dan
nilai minimum – 1. Berikut ini ditunjukkan langkah-langkah untuk menggambar
grafik y = sin x.
1. Tentu saja lukislah diagram Cartesius pada kertas berpetak. Kemudian
daftarlah sudut-sudut istimewa untuk dijadikan nilai x, seperti terlihat pada
gambar
di
bawah
ini.
2. Lukislah titik-titik pasangan berurutan (x, y) di atas pada koordinat
Cartesius.
3. Hubungkan
titik-titik
tersebut
dengan
kurva
halus
(kontinu).
Langkah-langkah di atas merupakan cara untuk melukis grafik
fungsi y = sin x. Untuk membuat grafik fungsi trigonometri yang lain,
lakukan langkah-langkah yang serupa. Bagaimana melukis grafik fungsi sinus
yang “dimodifikasi”? Misalnya, y = sin x + 1, y = 3 sin x, y = sin 2x, dan y = 3
sin 2x. Perhatikan “Tips dan Trik” berikut.
BAB 10
PERSAMAAN TRIGONOMETRI
Persamaan trigonometri adalah suatu persamaan yang mengandung satu
atau lebih fungsi trigonometri.
Contoh :
Teknik
dasar
untuk
menyelesaikan
persamaan
trigonometri
adalah
menggunakan identitas trigonometri dan teknik aljabar untuk mengubah suatu
persamaan trigonometri menjadi bentuk yang lebih sederhana.
Contoh 1 :
( membagi kedua ruas dengan 2)
(ingat identitas :
karena
, maka solusinya adalah
. dimana k adalah
bilangan bulat.
Contoh 2 :
Tentukan
interval
himpunan
penyelesaian
.
Jawab :
.(
).
dari
persamaan
,
pada
, (ingat
)
atau
untuk
untuk
, penyelesaiannya
.
, penyelesaiannya
Jadi Himpunan penyelesaiannya adalah
Contoh 3 :
1. Tentukan penyelesaian dari
, untuk
Jawab :
atau
BAB 11
PERTIDAKSAMAAN TRIGONOMETRI
A. Cara menggunakan pertidaksamaan trigonometri
→
mencari harga nol sama dengan cara menyelesaikan persamaan
trigonometri
→ diselesaikan dengan menggunakan garis bilangan
Contoh:
1. Selesaikan sin 2x < cos x untuk 0 ≤ x ≤ 360°
Cara:
sin 2x – cos x < 0
2 sin x.cos x – cos x < 0
cos x.(2 sin x – 1) < 0
harga nol:

cos x = 0
cos x = cos 90°
x = 90° + k.360°
atau
k = 0 → x = 90°

2 sin x – 1 = 0
2 sin x = 1
x = –90° + k.360°
k = 1 → x = 270°
sin x = ½
sin x = sin 30°
x = 30° + k.360°
atau
k = 0 → x = 30°
x = (180 – 30)° + k.360°
x = 150° + k.360°
k = 0 → x = 150°
Memberi tanda (+) dan (-) pada garis bilangan:
Jika x = 180° maka sin 2.180° – cos 180° = sin 360° – cos 180° = 0 – (–1) = 1 (+)
Jadi garis bilangannya:
karena yang diminta kurang dari (<) 0, maka yang diarsir adalah bagian-bagian
yang bertanda (-)
Sehingga HP-nya: {0° ≤ x < 30° atau 90° < x < 150° atau 270° < x ≤ 360°}
Ini adalah salah satu contoh penyelesaian dari pertidaksamaan.
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut, dengan 00 ≤ x ≤ 3600
sin x + 1 ≥ cos x
Penyelesaian :
sin x + 1 – cos x ≥ 0
sin x – cos x + 1 = 0
sin x + 1 = cos x
sin2 x + 2 sin x + 1 = cos2 x
sin2 x + 2 sin x + 1 = 1 – sin2 x
2 sin2 x + 2 sin x = 0
2 sin x ( sin x + 1 ) = 0
2 sin x = 0
V
sin x = -1
x = 2700 + k . 3600
sin x = 0
kuadran I
sin x = sin ( 00 + k . 3600 )
x = 00 + k . 3600
kuadran II
sin x = sin ( 1800 + k . 3600 )
x = 1800 + k . 3600
0
+
00
+
900
+
0
-
1800
0
2700
x = 00, sin 00 + 1 – cos 00 hasilnya nol
x = 900 , sin 900 + 1 – cos 900 hasilnya positif
x = 1800 , sin 1800 + 1 – cos 1800 hasilnya positif
x = 2700 , sin 2700 + 1 – cos 2700 hasilnya nol
x = 3000 , sin 3000 + 1 – cos 3000 hasilnya negatif
x = 3600 , sin 3600 + 1 – cos 3600 hasilnya nol
Jadi, Hp = { x│00 < x < 2700 }
3600
+
+