Permukaan - Wono Setya Budhi | Mathematics

Permukaan
Parameterisasi dan Bentuk Dasar Pertama
Wono Setya Budhi
Januari, 2014
KK Analisis Geometri, FMIPA-ITB
Permukaan
N
1 / 31
Parameterisasi Permukaan: Selinder
1
Kita dapat memandang selinder sebagai susunan lengkungan
lingkaran,
x (u, v0 ) = (cos u, sin u, v0 )
lingkaran pada tinggi z = v0
Permukaan
N
2 / 31
Parameterisasi Permukaan: Selinder
1
Kita dapat memandang selinder sebagai susunan lengkungan
lingkaran,
x (u, v0 ) = (cos u, sin u, v0 )
lingkaran pada tinggi z = v0
2
1.0
1.0
0.5
0.5
0.0
0.0
-1.0
-0.5
-0.5
0.0
0.5
1.0
-1.0
Permukaan
N
2 / 31
Parameterisasi Permukaan: Selinder
1
Kita dapat memandang selinder sebagai susunan lengkungan
lingkaran x (u, v ) = (cos u, sin u, v )
Permukaan
N
3 / 31
Parameterisasi Permukaan: Selinder
1
Kita dapat memandang selinder sebagai susunan lengkungan
lingkaran x (u, v ) = (cos u, sin u, v )
2
1.0
1.0
0.5
0.5
0.0
0.0
-1.0
-0.5
-0.5
0.0
0.5
1.0
-1.0
Permukaan
N
3 / 31
Parameterisasi Permukaan: Selinder
1
Kita dapat memandang selinder sebagai susunan garis-garis tegak
x (u0 , v ) = (cos u0 , sin u0 , v )
Permukaan
N
4 / 31
Parameterisasi Permukaan: Selinder
1
Kita dapat memandang selinder sebagai susunan garis-garis tegak
x (u0 , v ) = (cos u0 , sin u0 , v )
2
1.0
1.0
1.0
1.0 0.5
0.5
0.5
0.5
0.0
0.0
0.0
-1.0
0.0
-1.0
-0.5
-0.5
-0.5
0.0
-0.5
0.0
0.5
0.5
1.0
-1.0
1.0
-1.0
Permukaan
N
4 / 31
Parameterisasi Permukaan: Bola
1
Koordinat bola
Permukaan
N
5 / 31
Parameterisasi Permukaan: Bola
1
Koordinat bola
2
x = r cos θ sin ϕ, y = r sin θ sin ϕ, z = r cos ϕ
Permukaan
N
5 / 31
Parameterisasi Permukaan: Bola
1
Koordinat bola x = r cos θ sin ϕ, y = r sin θ sin ϕ, z = r cos ϕ
Permukaan
N
6 / 31
Parameterisasi Permukaan: Bola
1
Koordinat bola x = r cos θ sin ϕ, y = r sin θ sin ϕ, z = r cos ϕ
2
x (θ, ϕ0 ) = (r cos θ sin ϕ0 , r sin θ sin ϕ0 , z = r cos ϕ0 )
Permukaan
N
6 / 31
Parameterisasi Permukaan: Bola
1
Koordinat bola x = r cos θ sin ϕ, y = r sin θ sin ϕ, z = r cos ϕ
dengan 0 ≤ θ ≤ 2π dan 0 ≤ ϕ ≤ π
Permukaan
N
7 / 31
Parameterisasi Permukaan: Bola
1
Koordinat bola x = r cos θ sin ϕ, y = r sin θ sin ϕ, z = r cos ϕ
dengan 0 ≤ θ ≤ 2π dan 0 ≤ ϕ ≤ π
Permukaan
N
8 / 31
Parameterisasi Permukaan: Bola
1
Koordinat bola x = r cos θ sin ϕ, y = r sin θ sin ϕ, z = r cos ϕ
dengan 0 ≤ θ ≤ 2π dan 0 ≤ ϕ ≤ π
2
x (θ0 , ϕ) = (r cos θ0 sin ϕ, r sin θ0 sin ϕ, r cos ϕ)
Permukaan
N
8 / 31
Parameterisasi Permukaan
Definition
Misalkan diketahui pemetaan regular
x : U ⊂ R2 → M ⊂ R3
satu satu dan C 3 dengan xu × xv 6= 0 di himpunan buka U.
Permukaan
N
9 / 31
Parameterisasi Permukaan
Definition
Misalkan diketahui pemetaan regular
x : U ⊂ R2 → M ⊂ R3
satu satu dan C 3 dengan xu × xv 6= 0 di himpunan buka U.
Himpunan terhubung M disebut permukaan jika setiap titiknya
mempunyai lingkungan yang diparameterkan secara regular.
Permukaan
N
9 / 31
Parameterisasi Permukaan
Definition
Misalkan diketahui pemetaan regular
x : U ⊂ R2 → M ⊂ R3
satu satu dan C 3 dengan xu × xv 6= 0 di himpunan buka U.
Himpunan terhubung M disebut permukaan jika setiap titiknya
mempunyai lingkungan yang diparameterkan secara regular.
1
Perhatikan bahwa x (u, v ) ∈ R3 dan xu turunan x terhadap u dan
xv turunan . . .
Permukaan
N
9 / 31
Parameterisasi Permukaan
Definition
Misalkan diketahui pemetaan regular
x : U ⊂ R2 → M ⊂ R3
satu satu dan C 3 dengan xu × xv 6= 0 di himpunan buka U.
Himpunan terhubung M disebut permukaan jika setiap titiknya
mempunyai lingkungan yang diparameterkan secara regular.
1
2
Perhatikan bahwa x (u, v ) ∈ R3 dan xu turunan x terhadap u dan
xv turunan . . .
Jika v = v0 konstan, maka x (u, v0 ) disebut lengkungan u.
Permukaan
N
9 / 31
Parameterisasi Permukaan
Definition
Misalkan diketahui pemetaan regular
x : U ⊂ R2 → M ⊂ R3
satu satu dan C 3 dengan xu × xv 6= 0 di himpunan buka U.
Himpunan terhubung M disebut permukaan jika setiap titiknya
mempunyai lingkungan yang diparameterkan secara regular.
1
Perhatikan bahwa x (u, v ) ∈ R3 dan xu turunan x terhadap u dan
xv turunan . . .
2
Jika v = v0 konstan, maka x (u, v0 ) disebut lengkungan u.
3
Jika u = u0 konstan, maka . . .
N
Permukaan
9 / 31
Parameterisasi Permukaan
1
Perhatikan bahwa x (u, v ) ∈ R3 dan xu turunan x terhadap u dan
xv turunan . . .
Permukaan
N
10 / 31
Parameterisasi Permukaan
1
2
Perhatikan bahwa x (u, v ) ∈ R3 dan xu turunan x terhadap u dan
xv turunan . . .
Dalam hal ini xu adalah vektor singgung terhadap lengkungan v
Permukaan
N
10 / 31
Parameterisasi Permukaan
1
Perhatikan bahwa x (u, v ) ∈ R3 dan xu turunan x terhadap u dan
xv turunan . . .
2
Dalam hal ini xu adalah vektor singgung terhadap lengkungan v
3
Sedangkan xv adalah . . .
Permukaan
N
10 / 31
Parameterisasi Permukaan
1
Perhatikan bahwa x (u, v ) ∈ R3 dan xu turunan x terhadap u dan
xv turunan . . .
2
Dalam hal ini xu adalah vektor singgung terhadap lengkungan v
3
Sedangkan xv adalah . . .
4
Permukaan
N
10 / 31
Parameterisasi Permukaan : Helix
1
Kita sudah mengenal helix α (t ) = (cos t, sin t, bt ) sedangkan
helicoid mempunyai persamaan
x (u, v ) = (u cos v , u sin v , bv )
Permukaan
N
11 / 31
Parameterisasi Permukaan : Helix
1
Kita sudah mengenal helix α (t ) = (cos t, sin t, bt ) sedangkan
helicoid mempunyai persamaan
x (u, v ) = (u cos v , u sin v , bv )
2
Lengkungan v yaitu x (u0 , v )
Permukaan
N
11 / 31
Parameterisasi Permukaan : Helix
1
Kita sudah mengenal helix α (t ) = (cos t, sin t, bt ) sedangkan
helicoid mempunyai persamaan
x (u, v ) = (u cos v , u sin v , bv )
Permukaan
N
12 / 31
Parameterisasi Permukaan : Helix
1
Kita sudah mengenal helix α (t ) = (cos t, sin t, bt ) sedangkan
helicoid mempunyai persamaan
x (u, v ) = (u cos v , u sin v , bv )
2
Lengkungan u yaitu x (u, v0 )
Permukaan
N
12 / 31
Parameterisasi Permukaan : Helix
1
Kita sudah mengenal helix α (t ) = (cos t, sin t, bt ) sedangkan
helicoid mempunyai persamaan
x (u, v ) = (u cos v , u sin v , bv )
2
Lengkungan u yaitu x (u, v0 )
3
Ujilah bahwa xu × xv 6= 0.
Permukaan
N
12 / 31
Parameterisasi Permukaan : Torus
1
Permukaan
N
13 / 31
Parameterisasi Permukaan : Torus
1
2
x (u, v ) = ((a + b cos u ) cos v , (a + b cos u ) sin v , b sin u )
dengan 0 ≤ u, v ≤ 2π.
Permukaan
N
13 / 31
Parameterisasi Permukaan : Torus
1
x (u, v ) = ((a + b cos u ) cos v , (a + b cos u ) sin v , b sin u )
dengan 0 ≤ u, v ≤ 2π.
Permukaan
N
14 / 31
Parameterisasi Permukaan : Torus
1
x (u, v ) = ((a + b cos u ) cos v , (a + b cos u ) sin v , b sin u )
dengan 0 ≤ u, v ≤ 2π.
2
Lengkungan v
Permukaan
N
14 / 31
Parameterisasi Permukaan : Torus
1
x (u, v ) = ((a + b cos u ) cos v , (a + b cos u ) sin v , b sin u ) dengan
0 ≤ u, v ≤ 2π.
Permukaan
N
15 / 31
Parameterisasi Permukaan : Torus
1
x (u, v ) = ((a + b cos u ) cos v , (a + b cos u ) sin v , b sin u ) dengan
0 ≤ u, v ≤ 2π.
2
Lengkungan u
Permukaan
N
15 / 31
Parameterisasi Permukaan :
Putar
1
Benda
Misalkan α (u ) = (0, f (u ) , g (u )) , u ∈ I , lengkungan di bidang yz
dengan f (u ) > 0, diputar terhadap sumbu z
Permukaan
N
16 / 31
Parameterisasi Permukaan :
Putar
1
2
Benda
Misalkan α (u ) = (0, f (u ) , g (u )) , u ∈ I , lengkungan di bidang yz
dengan f (u ) > 0, diputar terhadap sumbu z
Parameternya
x (u, v ) = (f (u ) cos v , f (u ) sin v , g (u ))
dengan 0 ≤ v ≤ 2π, u ∈ I .
Permukaan
N
16 / 31
Parameterisasi Permukaan :
Putar
1
2
Benda
Misalkan α (u ) = (0, f (u ) , g (u )) , u ∈ I , lengkungan di bidang yz
dengan f (u ) > 0, diputar terhadap sumbu z
Parameternya
x (u, v ) = (f (u ) cos v , f (u ) sin v , g (u ))
dengan 0 ≤ v ≤ 2π, u ∈ I .
3
Permukaan
N
16 / 31
Parameterisasi Permukaan :
Putar
1
Benda
Misalkan α (u ) = 0, sin u, cos u + ln tan u2 , u ∈ I , lengkungan di
bidang yz dengan π2 ≤ u < π
Permukaan
N
17 / 31
Parameterisasi Permukaan :
Putar
1
Benda
Misalkan α (u ) = 0, sin u, cos u + ln tan u2 , u ∈ I , lengkungan di
bidang yz dengan π2 ≤ u < π
2
Permukaan
N
17 / 31
Parameterisasi Permukaan :
Putar
1
Benda
Misalkan α (u ) = 0, sin u, cos u + ln tan u2 , u ∈ I , lengkungan di
bidang yz dengan π2 ≤ u < π
Permukaan
N
18 / 31
Parameterisasi Permukaan :
Putar
1
2
Benda
Misalkan α (u ) = 0, sin u, cos u + ln tan u2 , u ∈ I , lengkungan di
bidang yz dengan π2 ≤ u < π
x (u, v ) = sin u cos v , sin sin v , cos u + ln tan u2
Permukaan
N
18 / 31
Parameterisasi Permukaan : Torus sebagai benda putar
1
Permukaan
N
19 / 31
Parameterisasi Permukaan
Stereoprojection
:
Bola,
Permukaan
N
20 / 31
Parameterisasi
Fungsi
1
Permukaan
:
Hasil
Misalkan kita mempunyai fungsi dua variabel f (x, y ) dengan
(x, y ) ∈ Df dan permukaan
{(x, y , f (x, y )) : (x, y ) ∈ Df }
Permukaan
N
21 / 31
Parameterisasi Permukaan : Ruled Surface
1
Misalkan α, β dua lengkungan dengan β0 (u ) 6= 0. Permukaan
x (u, v ) = α (u ) + v β (u )
Permukaan
N
22 / 31
Parameterisasi Permukaan : Ruled Surface
1
Misalkan α, β dua lengkungan dengan β0 (u ) 6= 0. Permukaan
x (u, v ) = α (u ) + v β (u )
2
Jika β (u ) konstan, maka hasilnya adalah selinder.
Permukaan
N
22 / 31
Parameterisasi Permukaan : Ruled Surface
1
Misalkan α, β dua lengkungan dengan β0 (u ) 6= 0. Permukaan
x (u, v ) = α (u ) + v β (u )
2
Jika β (u ) konstan, maka hasilnya adalah selinder.
3
Misalkan α (u ) = (2 cos u, sin u, 0) dan β (u ) = (0, 1, 1)
Permukaan
N
22 / 31
Parameterisasi Permukaan : Ruled Surface
1
Misalkan α, β dua lengkungan dengan β0 (u ) 6= 0. Permukaan
x (u, v ) = α (u ) + v β (u )
Permukaan
N
23 / 31
Parameterisasi Permukaan : Ruled Surface
1
Misalkan α, β dua lengkungan dengan β0 (u ) 6= 0. Permukaan
x (u, v ) = α (u ) + v β (u )
2
Jika β (u ) konstan, maka hasilnya adalah selinder.
Permukaan
N
23 / 31
Parameterisasi Permukaan : Ruled Surface
1
Misalkan α, β dua lengkungan dengan β0 (u ) 6= 0. Permukaan
x (u, v ) = α (u ) + v β (u )
2
Jika β (u ) konstan, maka hasilnya adalah selinder.
3
Misalkan α (u ) = (2 cos u, sin u, u ) dan β (u ) = (0, 1, 1)
Permukaan
N
23 / 31
Vektor Normal Permukaan
1
Misalkan x (u, v ) suatu permukaan
Permukaan
N
24 / 31
Vektor Normal Permukaan
1
Misalkan x (u, v ) suatu permukaan
2
Selanjutnya, vektor
n=
xu × xv
kxu × xv k
merupakan vektor normal yang tegak lurus terhadap bidang
singgung.
Permukaan
N
24 / 31
Hasil Kali Dalam pada Permukaan
1
Misalkan α (t ) = (u (t ) , v (t )) lengkungan di bidang uv , maka
β (t ) = x (u (t ) , v (t )) lengkungan pada permukaan.
Permukaan
N
25 / 31
Hasil Kali Dalam pada Permukaan
1
Misalkan α (t ) = (u (t ) , v (t )) lengkungan di bidang uv , maka
β (t ) = x (u (t ) , v (t )) lengkungan pada permukaan.
2
Panjang lengkungan di permukaan dapat dihitung sebagai
Rb 0
a k β (t )k dt dengan aturan rantai diperoleh
β0 (t ) = xu (u, v ) u 0 (t ) + xv (u, v ) v 0 (t ) = u 0 (t ) xu + v 0 (t ) xv
dan
Permukaan
N
25 / 31
Hasil Kali Dalam pada Permukaan
1
Misalkan α (t ) = (u (t ) , v (t )) lengkungan di bidang uv , maka
β (t ) = x (u (t ) , v (t )) lengkungan pada permukaan.
2
Panjang lengkungan di permukaan dapat dihitung sebagai
Rb 0
a k β (t )k dt dengan aturan rantai diperoleh
β0 (t ) = xu (u, v ) u 0 (t ) + xv (u, v ) v 0 (t ) = u 0 (t ) xu + v 0 (t ) xv
dan
3
0
β (t ) 2 = β 0 (t ) · β 0 (t )
= u 0 (t ) xu + v 0 (t ) xv · u 0 (t ) xu + v 0 (t ) xv
= u 0 (t )2 xu · xu + 2u 0 (t ) v 0 (t ) xu · xv + v 0 (t )2 xv · xv
Permukaan
N
25 / 31
Hasil Kali Dalam pada Permukaan
1
0
β (t ) 2 = β 0 (t ) · β 0 (t )
= u 0 (t )2 xu · xu + 2u 0 (t ) v 0 (t ) xu · xv + v 0 (t )2 xv · xv
Permukaan
N
26 / 31
Hasil Kali Dalam pada Permukaan
1
0
β (t ) 2 = β 0 (t ) · β 0 (t )
= u 0 (t )2 xu · xu + 2u 0 (t ) v 0 (t ) xu · xv + v 0 (t )2 xv · xv
2
dan ditulis sebagai
0
β (t )2 = u 0 (t )2 E + 2u 0 (t ) v 0 (t ) F + v 0 (t )2 G
dengan
E = xu · xu ,
F = xu · xv ,
G = xv · xv
Permukaan
N
26 / 31
Hasil Kali Dalam pada Permukaan
1
0
β (t ) 2 = β 0 (t ) · β 0 (t )
= u 0 (t )2 xu · xu + 2u 0 (t ) v 0 (t ) xu · xv + v 0 (t )2 xv · xv
2
dan ditulis sebagai
0
β (t )2 = u 0 (t )2 E + 2u 0 (t ) v 0 (t ) F + v 0 (t )2 G
dengan
E = xu · xu ,
3
F = xu · xv ,
G = xv · xv
Bentuk ini yang menghasilkan elemen panjang lengkungan pada
permukaan.
Permukaan
N
26 / 31
Hasil Kali Dalam pada Permukaan
1
Permukaan
N
27 / 31
Hasil Kali Dalam pada Permukaan
1
Misalkan M suatu permukaan dan misalkan U = axu + bxv dan
V = cxu + dxv adalah dua vektor di bidang singgung permukaan
TP (M ) di titik P.
Permukaan
N
28 / 31
Hasil Kali Dalam pada Permukaan
1
Misalkan M suatu permukaan dan misalkan U = axu + bxv dan
V = cxu + dxv adalah dua vektor di bidang singgung permukaan
TP (M ) di titik P.
2
Bentuk dasar pertama
IP (U, V) = U · V
= (axu + bxv ) · (cxu + dxv )
= acE + (ad + bc ) F + bdG
Permukaan
N
28 / 31
Hasil Kali Dalam pada Permukaan
1
Misalkan M suatu permukaan dan misalkan U = axu + bxv dan
V = cxu + dxv adalah dua vektor di bidang singgung permukaan
TP (M ) di titik P.
2
Bentuk dasar pertama
IP (U, V) = U · V
= (axu + bxv ) · (cxu + dxv )
= acE + (ad + bc ) F + bdG
3
Dengan notasi aljabar linear
IP (U, V ) = a
b
E
F
F
G
c
d
akan menjadi hasil kali dalam di TP (M ) jika matriks
E
F
F
G
...
Permukaan
N
28 / 31
Lokal Isometri
1
Misalkan M dan M ∗ dua permukaan. Disebut isometri lokal jika
untuk setiap P ∈ M jika ada parameterisasi x : U → M dengan
x (u0 , v0 ) = P dan parameterisasi x∗ : U → M ∗ dengan sifat
IP = IP∗ .
Permukaan
N
29 / 31
Lokal Isometri
1
2
Misalkan M dan M ∗ dua permukaan. Disebut isometri lokal jika
untuk setiap P ∈ M jika ada parameterisasi x : U → M dengan
x (u0 , v0 ) = P dan parameterisasi x∗ : U → M ∗ dengan sifat
IP = IP∗ .
Isometri lokal maka mengawetkan jarak.
Permukaan
N
29 / 31
Lokal Isometri
1
Misalkan M bagian dari kertas x (u, v ) = (u, v , 0) dan bagian dari
x∗ (u, v ) = (cos, sin u, v )
Permukaan
N
30 / 31
Lokal Isometri
1
2
Misalkan M bagian dari kertas x (u, v ) = (u, v , 0) dan bagian dari
x∗ (u, v ) = (cos, sin u, v )
Mudah dihitung bahwa E = E ∗ , F = F ∗ dan G = G ∗ , maka
IP = IP ∗
Permukaan
N
30 / 31
Lokal Isometri
1
2
3
Misalkan M bagian dari kertas x (u, v ) = (u, v , 0) dan bagian dari
x∗ (u, v ) = (cos, sin u, v )
Mudah dihitung bahwa E = E ∗ , F = F ∗ dan G = G ∗ , maka
IP = IP ∗
Lokal Isometri, tetapi bukan global
Permukaan
N
30 / 31
Luas di Permukaan
1
Perhatikan bahwa matriks
E
F
F
G
dengan determinan
EG − F 2 = kxu × xv k2 > 0
Permukaan
N
31 / 31
Luas di Permukaan
1
Perhatikan bahwa matriks
E
F
F
G
dengan determinan
EG − F 2 = kxu × xv k2 > 0
2
Dengan demikian luas
Z
U
kxu × xv k dudv =
Z p
EG − F 2 dudv
U
Permukaan
N
31 / 31