ANALISIS STABILITAS DAN KENDALI OPTIMAL PADA

ANALISIS STABILITAS DAN KENDALI OPTIMAL
PADA MODEL PENANGKAPAN IKAN YANG
BERINTERAKSI SECARA KANIBAL
Oleh:
Iksa Rahayu
1206 100 012
Dosen Pembimbing:
Drs. M. Setijo Winarko, M.Si
Drs. Kamiran, M.Si
Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut Teknologi Sepuluh Nopember
Surabaya
Pendahuluan
Ikan
memenuhi
kebutuhan
pangan
masyarakat
Ikan bersifat
kanibal
Penangkapan secara
besar-besaran
Kelestarian populasi
ikan terganggu
Perlu adanya suatu
kebijakan
Analisis stabilitas
Kendali optimal
Tinjauan Pustaka
Model Bioekonomi Perikanan
Pada model bioekonomi dicari kesetimbangan biologi dan
kesetimbangan ekonomi yang masing-masing diselesaikan
sebagai berikut
Kriteria Kestabilan Routh-Hurwitz
Kriteria kestabilan Routh-Hurwitz adalah suatu
metode untuk menunjukkan kestabilan sistem
dengan memperhatikan koefisien dari persamaan
karakteristik
tanpa
menghitung
akar-akar
karakteristik secara langsung.
Descartes’ Rule of Signs
Descartes’ rule of signs ini merupakan cara untuk
mengetahui jumlah positive and negative zeroes. Untuk
mengaplikasikan aturan ini terlebih dahulu harus
memahami variation in sign. Variation in sign terjadi jika
tanda dari suatu koefisien berbeda dengan tanda dari
koefisien sebelumnya (Stan Brown, 2009). Sebagai contoh,
diberikan polynomial
Maka mempunyai empat variation in sign.
Setelah mengetahui variation in sign selanjutnya
menggunakan Descartes’ rule of signs sebagai berikut:
 Jumlah akar-akar positif dari sama dengan atau kurang
dari jumlah variation in sign .
 Jumlah akar-akar negative dari sama dengan atau kurang
dari jumlah variation in sign .
Prinsip Maksimum Pontryagin
Pontryagin’s Maximum Principle adalah metode
mendapatkan bentuk optimal control dengan
memaksimalkan fungsi tujuan. Misalkan
diberikan:
.
max  f ( x, t , u ) dt dengan konstrain: x  g (t , x, u,) a  u  b
didapatkan persamaan Langrangian
L  f (t , x, u)  g (t , x, u)  w1 (b  u)  w2 (u  a)
, dengan w1  0, w2  0 yang memenuhi persamaan
keadaan . L '
L
t1
t2
x

,  
dan kondisi stasioner
x
L
0
u
METODE PENELITIAN
1. Studi literatur
2. Analisis kestabilan lokal
3. Penyelesaian model dengan teori kendali optimal
4. Simulasi model menggunakan Miser
5. Penarikan kesimpulan dan saran
Analisis dan Pembahasan
Model Penangkapan Ikan
Diberikan model penangkapan ikan
adalah banyaknya ikan kecil pada waktu
adalah banyaknya ikan besar pada waktu
adalah konstanta positif
adalah koefisien penangakapan ikan kecil.
adalah koefisien penangkapan ikan besar.
adalah biaya usaha bagi ikan kecil
adalah biaya usaha bagi ikan besar.
adalah harga kostan per satuan biomassa dari ikan kecil.
adalah harga konstan per satuan biomassa dari ikan besar.
adalah usaha penangkapan ikan kecil dengan
adalah usaha penangkapan ikan besar dengan
menunjukkan adanya interaksi kanibal
Kestabilan Lokal Titik Setimbang
Dari model penangkapan ikan, dengan menyelesaikan
dan
Didapatkan titik setimbang
Selanjutnya menentukan kestabilan lokal dari titik setimbang
mencari mtriks Jacobian terlebih dahulu . Didapatkan
dengan
Matriks Jacobian
dengan
dan
stabil
Kesetimbangan Bionomik
Kesetimbangan biologi
Kesetimbangan bioekonomik
Kesetimbangan ekonomi
didapatkan
dengan
Penyelesaian dengan Optimal control
Model penangkapan Ikan dapat ditulis sebagai berikut:c
Memaksimumkan performansi index:
Fungsi Hamiltonian:
Berdasarkan prinsip Pontraygin Maksimum, maka harus memenuhi:
• Kondisi stasioner
• Persamaan Keadaan
• Persamaan Co-State
Dari pembahasan di atas dapat diperoleh kendali optimal sebagai berikut
Simulasi Dengan Kontrol
ikan
Simulasi diselesaikan menggunakan Miser3 yang dapat
langsung untuk memecahkan masalah kendali optimal
dengan mendefinisikan masalah kendali optimal tersebut
pada M-file, disesuaikan dengan parameter dan nilainilai yang diketahui.
hari
Gambar a. Stok ikan kecil (state 1)
ikan
hari
Gambar b. Stok ikan besar (state 2)
Kesimpulan
Pada analisis stabilitas lokal dapat diketahui bahwa model
penangkapan populasi ikan yang berinteraksi secara kanibal
memiliki titik kesetimbangan yang stabil.
 Pada optimal control dapat diketahui bahwa optimal control
yang diperoleh pada model penangkapan populasi ikan yang
berinteraksi secara kanibal (Kar, T.K. dan Chattopadhyay,
2009) mempunyai bentuk yang tidak tunggal . Kendalinya
berupa Bang-bang control dan singular control yang
bergantung pada nilai fungsi switching.
 Didapatkan pula
yang menunjukkan adanya usaha
penangkapan ikan yang menghasilkan profit maksimal
sebesar 6596.5600. Ini menunjukkan usaha penangkapan
yang optimal untuk mencapai fungsi objektif yang
maksimal.
