MAKALAH TENTANG LIMIT MATA KULIAH : KALKULUS DAN

MAKALAH TENTANG LIMIT
MATA KULIAH : KALKULUS DAN MATEMATIKA BISNIS
DI
S
U
S
U
N
OLEH :
KATA PENGANTAR
Assalamualaikum Wr. Wb.
Dengan mengucap Syukur Alhamdulillah.
Bahwasanya kami telah dapat membuat makalah kalkulus dan matematika bisnis (LIMIT) walaupun tidak
sedikit hambatan dan kesulitan yang kami hadapi, tiada daya dan upaya kecuali dengan pertolongan Allah
SWT.
Walaupun demikian, sudah barang tentu makalah ini masih terdapat kekurangan dan belum dikatakan
sempurna karena keterbatasan kemampuan dan upaya kami.
Oleh karena itu saran dan kritik yang bersifat membangun dari semua pihak kami harapkan agar dalam
pembuatan makalah di waktu yang akan datang bisa lebih baik lagi.Harapan kami semoga makalah ini
berguna bagi siapa saja yang membacanya.
Wabilahi Taufik walhidayah Wasalamualaikum wr.wb.
i
DAFTAR ISI
Kata Penghatar ....................................................................................i
Daftar isi...............................................................................................ii
Prinsip-Prisip dasar.............................................................................iii
Turunan..............................................................................................iv
Notasi Pendifirensialan.......................................................................v
Notasi Lagrange Dan Notasi Newton..................................................vi
Intergral............................................................................................1-3
Contoh Intergral....................................................................4-5
Teori dasar .......................................................................................5-7
Limit .................................................................................................6-7
Pengertianya.............................................................................7-8
Defenisi formal...................................................................................8
Limit sebuah fungsi pada titik tak terhingga......................................9
Limit barisan.
Contoh soal …………………………………………………………………………10-12
ilustrasi limit……………………………………………………………………………………..13
Definisi limit secara Intuitif
Contoh ………………………………………………………………............……………16-24
Penggunaan Limit……………………………………………………………………………24
Contoh ……………………………………………………………………………………25
Daftar pustaka…………………………………………………………………………………26
Prinsip-prinsip dasar
Limit dan kecil tak terhingga
Definisi limit: kita katakan bahwa limit f(x) ketika x mendekati titik p adalah L apabila untuk setiap
bilangan ε > 0 apapun, terdapat bilangan δ > 0, sedemikian rupanya:
Kalkulus pada umumnya dikembangkan dengan memanipulasi sejumlah kuantitas yang
sangat kecil. Objek ini, yang dapat diperlakukan sebagai angka, adalah sangat kecil. Sebuah
bilangan dx yang kecilnya tak terhingga dapat lebih besar daripada 0, namun lebih kecil
daripada bilangan apapun pada deret 1, ½, ⅓, ... dan bilangan real positif apapun. Setiap
perkalian dengan kecil tak terhingga (infinitesimal) tetaplah kecil tak terhingga, dengan kata
lain kecil tak terhingga tidak memenuhi
properti Archimedes. Dari sudut pandang ini, kalkulus adalah sekumpulan teknik untuk
memanipulasi kecil tak terhingga.
Pada abad ke-19, konsep kecil tak terhingga ini ditinggalkan karena tidak cukup cermat,
sebaliknya ia digantikan oleh konsep limit. Limit menjelaskan nilai suatu fungsi pada nilai
input tertentu dengan hasil dari nilai input terdekat. Dari sudut pandang ini, kalkulus adalah
sekumpulan teknik memanipulasi limit-limit tertentu. Secara cermat, definisi limit suatu
fungsi adalah:
iii
Diberikan fungsi f(x) yang terdefinisikan pada interval di sekitar p, terkecuali mungkin pada p
itu sendiri. Kita mengatakan bahwa limit f(x) ketika x mendekati p adalah L, dan
menuliskan:
jika, untuk setiap bilangan ε > 0, terdapat bilangan δ > 0 yang berkoresponden dengannya
sedemikian rupanya untuk setiap x:
Turunan
Artikel utama untuk bagian ini adalah: Turunan
Grafik fungsi turunan.
Turunan dari suatu fungsi mewakili perubahan yang sangat kecil dari fungsi tersebut terhadap
variabelnya. Proses menemukan turunan dari suatu fungsi disebut sebagai pendiferensialan
ataupun diferensiasi.
Secara matematis, turunan fungsi ƒ(x) terhadap variabel x adalah ƒ′ yang nilainya pada titik x
adalah:
,
iv
dengan syarat limit tersebut eksis. Jika ƒ′ eksis pada titik x tertentu, kita katakan bahwa ƒ
terdiferensialkan (memiliki turunan) pada x, dan jika ƒ′ eksis di setiap titik pada domain ƒ,
kita sebut ƒ terdiferensialkan.
Apabila z = x + h, h = z - x, dan h mendekati 0 jika dan hanya jika z mendekati x, maka
definisi turunan di atas dapat pula kita tulis sebagai:
Garis singgung pada (x, f(x)). Turunan f'(x) sebuah kurva pada sebuah titik adalah kemiringan dari
garis singgung yang menyinggung kurva pada titik tersebut.
Perhatikan bahwa ekspresi
pada definisi turunan di atas merupakan
gradien dari garis sekan yang melewati titik (x,ƒ(x)) dan (x+h,ƒ(x)) pada kurva ƒ(x). Apabila
kita mengambil limit h mendekati 0, maka kita akan mendapatkan kemiringan dari garis
singgung yang menyinggung kurva ƒ(x) pada titik x. Hal ini berarti pula garis singgung suatu
kurva merupakan limit dari garis sekan, demikian pulanya turunan dari suatu fungsi ƒ(x)
merupakan gradien dari fungsi tersebut.
iiv
Sebagai contoh, untuk menemukan gradien dari fungsi
pada titik (3,9):
Ilmu yang mempelajari definisi, properti, dan aplikasi dari turunan atau kemiringan dari
sebuah grafik disebut kalkulus diferensial
Garis singgung sebagai limit dari garis sekan. Turunan dari kurva f(x) di suatu titik adalah kemiringan
dari garis singgung yang menyinggung kurva pada titik tersebut. Kemiringan ini ditentukan dengan
memakai nilai limit dari kemiringan garis sekan.
Notasi pendiferensialan
Terdapat berbagai macam notasi matematika yang dapat digunakan digunakan untuk
menyatakan turunan, meliputi notasi Leibniz, notasi Lagrange, notasi Newton, dan notasi
Euler.
Notasi Leibniz diperkenalkan oleh Gottfried Leibniz dan merupakan salah satu notasi yang
paling awal digunakan. Ia sering digunakan terutama ketika hubungan antar y = ƒ(x)
dipandang sebagai hubungan fungsional antara variabel bebas dengan variabel terikat.
Turunan dari fungsi tersebut terhadap x ditulis sebagai:
v
ataupun
Notasi Lagrange diperkenalkan oleh Joseph Louis Lagrange dan merupakan notasi yang
paling sering digunakan. Dalam notasi ini, turunan fungsi ƒ(x) ditulis sebagai ƒ′(x) ataupun
hanya ƒ′.
Notasi Newton, juga disebut sebagai notasi titik, menempatkan titik di atas fungsi untuk
menandakan turunan. Apabila y = ƒ(t), maka mewakili turunan y terhadap t. Notasi ini
hampir secara eksklusif digunakan untuk melambangkan turunan terhadap waktu. Notasi ini
sering terlihat dalam bidang fisika dan bidang matematika yang berhubungan dengan fisika.
Notasi Euler menggunakan operator diferensial D yang diterapkan pada fungsi ƒ untuk
memberikan turunan pertamanya Df. Apabila y = ƒ(x) adalah variabel terikat, maka sering
kali x dilekatkan pada D untuk mengklarifikasikan keterbebasan variabel x. Notasi Euler
kemudian ditulis sebagai:
atau
.
Notasi Euler ini sering digunakan dalam menyelesaikan persamaan diferensial linear.
Notasi Leibniz Notasi Lagrange Notasi Newton Notasi Euler
Turunan ƒ(x) terhadap x
ƒ′(x)
vi
dengan y = ƒ(x)
Integral
Integral dapat dianggap sebagai perhitungan luas daerah di bawah kurva ƒ(x), antara dua titik
a dan b.
Integral merupakan suatu objek matematika yang dapat diinterpretasikan sebagai luas
wilayah ataupun generalisasi suatu wilayah. Proses menemukan integral suatu fungsi disebut
sebagai pengintegralan ataupun integrasi. Integral dibagi menjadi dua, yaitu: integral tertentu
dan integral tak tentu. Notasi matematika yang digunakan untuk menyatakan integral adalah
, seperti huruf S yang memanjang (S singkatan dari "Sum" yang berarti penjumlahan).
Integral tertentu
Diberikan suatu fungsi ƒ bervariabel real x dan interval antara [a, b] pada garis real, integral
tertentu:
secara informal didefinisikan sebagai luas wilayah pada bidang xy yang dibatasi oleh kurva
grafik ƒ, sumbu-x, dan garis vertikal x = a dan x = b.
Pada notasi integral di atas: a adalah batas bawah dan b adalah batas atas yang menentukan
domain pengintegralan, ƒ adalah integran yang akan dievaluasi terhadap x pada interval [a,b],
dan dx adalah variabel pengintegralan.
1
Seiring dengan semakin banyaknya subinterval dan semakin sempitnya lebar subinterval yang
diambil, luas keseluruhan batangan akan semakin mendekati luas daerah di bawah kurva.
Terdapat berbagai jenis pendefinisian formal integral tertentu, namun yang paling umumnya
digunakan adalah definisi integral Riemann. Integral Rieman didefinisikan sebagai limit dari
penjumlahan Riemann. Misalkanlah kita hendak mencari luas daerah yang dibatasi oleh
fungsi ƒ pada interval tertutup [a,b]. Dalam mencari luas daerah tersebut, interval [a,b] dapat
kita bagi menjadi banyak subinterval yang lebarnya tidak perlu sama, dan kita memilih
sejumlah n-1 titik {x1, x2, x3,..., xn - 1} antara a dengan b sehingga memenuhi hubungan:
Himpunan
tersebut kita sebut sebagai partisi [a,b],
yang membagi [a,b] menjadi sejumlah n subinterval
.
Lebar subinterval pertama [x0,x1] kita nyatakan sebagai Δx1, demikian pula lebar subinterval
ke-i kita nyatakan sebagai Δxi = xi - xi - 1. Pada tiap-tiap subinterval inilah kita pilih suatu titik
sembarang dan pada subinterval ke-i tersebut kita memilih titik sembarang ti. Maka pada tiaptiap subinterval akan terdapat batangan persegi panjang yang lebarnya sebesar Δx dan
tingginya berawal dari sumbu x sampai menyentuh titik (ti, ƒ(ti)) pada kurva. Apabila kita
menghitung luas tiap-tiap batangan tersebut dengan mengalikan ƒ(ti)· Δxi dan menjumlahkan
keseluruhan luas daerah batangan tersebut, kita akan dapatkan:
Penjumlahan Sp disebut sebagai penjumlahan Riemann untuk ƒ pada interval [a,b].
Perhatikan bahwa semakin kecil subinterval partisi yang kita ambil, hasil penjumlahan
Riemann ini akan semakin mendekati nilai luas daerah yang kita inginkan. Apabila kita
mengambil limit dari norma partisi
mendekati nol, maka kita akan mendapatkan luas
daerah tersebut.
2
Secara cermat, definisi integral tertentu sebagai limit dari penjumlahan Riemann adalah:
Diberikan ƒ(x) sebagai fungsi yang terdefinisikan pada interval tertutup [a,b]. Kita katakan
bahwa bilangan I adalah integral tertentu ƒ di sepanjang [a,b] dan bahwa I adalah limit dari
penjumlahan Riemann
apabila kondisi berikut dipenuhi: Untuk setiap
bilangan ε > 0 apapun terdapat sebuah bilangan δ > 0 yang berkorespondensi dengannya
sedemikian rupanya untuk setiap partisi
di sepanjang [a,b] dengan
dan pilihan ti apapun pada [xk - 1, ti], kita dapatkan
Secara matematis dapat kita tuliskan:
Apabila tiap-tiap partisi mempunyai sejumlah n subinterval yang sama, maka lebar Δx = (ba)/n, sehingga persamaan di atas dapat pula kita tulis sebagai:
Limit ini selalu diambil ketika norma partisi mendekati nol dan jumlah subinterval yang ada
mendekati tak terhingga banyaknya.
3
Contoh
Sebagai contohnya, apabila kita hendak menghitung integral tertentu
, yakni
mencari luas daerah A dibawah kurva y=x pada interval [0,b], b>0, maka perhitungan integral
tertentu
sebagai limit dari penjumlahan Riemannnya adalah
Pemilihan partisi ataupun titik ti secara sembarang akan menghasilkan nilai yang sama
sepanjang norma partisi tersebut mendekati nol. Apabila kita memilih partisi P membagi-bagi
interval [0,b] menjadi n subinterval yang berlebar sama Δx = (b - 0)/n = b/n dan titik t'i yang
dipilih adalah titik akhir kiri setiap subinterval, partisi yang kita dapatkan adalah:
dan
, sehingga:
4
Seiring dengan n mendekati tak terhingga dan norma partisi
didapatkan:
mendekati 0, maka
Dalam prakteknya, penerapan definisi integral tertentu dalam mencari nilai integral tertentu
tersebut jarang sekali digunakan karena tidak praktis. Teorema dasar kalkulus (lihat bagian
bawah) memberikan cara yang lebih praktis dalam mencari nilai integral tertentu.
Integral tak tentu
Manakala integral tertentu adalah sebuah bilangan yang besarnya ditentukan dengan
mengambil limit penjumlahan Riemann, yang diasosiasikan dengan partisi interval tertutup
yang norma partisinya mendekati nol, teorema dasar kalkulus (lihat bagian bawah)
menyatakan bahwa integral tertentu sebuah fungsi kontinu dapat dihitung dengan mudah
apabila kita dapat mencari antiturunan/antiderivatif fungsi tersebut.
Apabila
Keseluruhan himpunan antiturunan/antiderivatif sebuah fungsi ƒ adalah integral tak tentu ataupun
primitif dari ƒ terhadap x dan dituliskan secara matematis sebagai:
Ekspresi F(x) + C adalah antiderivatif umum ƒ dan C adalah konstanta sembarang.
Misalkan terdapat sebuah fungsi
dari fungsi tersebut adalah:
, maka integral tak tentu ataupun antiturunan
Perhatikan bahwa integral tertentu berbeda dengan integral tak tentu. Integral tertentu dalam
bentuk
adalah sebuah bilangan, manakala integral tak tentu :
adalah sebuah fungsi yang memiliki tambahan konstanta sembarang C.
5
Teorema dasar
Teorema dasar kalkulus menyatakan bahwa turunan dan integral adalah dua operasi yang
saling berlawanan. Lebih tepatnya, teorema ini menghubungkan nilai dari anti derivatif
dengan integral tertentu. Karena lebih mudah menghitung sebuah anti derivatif daripada
menerapkan definisi integral tertentu, teorema dasar kalkulus memberikan cara yang praktis
dalam menghitung integral tertentu.
Teorema dasar kalkulus menyatakan:
Jika sebuah fungsi f adalah kontinu pada interval [a,b] dan jika F adalah fungsi yang mana
turunannya adalah f pada interval (a,b), maka
Lebih lanjut, untuk setiap x di interval (a,b),
Sebagai contohnya apabila kita hendak menghitung nilai integral
, daripada
menggunakan definisi integral tertentu sebagai limit dari penjumlahan Riemann (lihat bagian
atas), kita dapat menggunakan teorema dasar kalkulus dalam menghitung nilai integral
tersebut. Anti derivatif dari fungsi
adalah
sesuai dengan teorema dasar kalkulus, nilai dari integral tertentu
. Oleh sebab itu,
adalah:
Apabila kita hendak mencari luas daerah A dibawah kurva y=x pada interval [0,b], b>0, maka
kita akan dapatkan:
6
Perhatikan bahwa hasil yang kita dapatkan dengan menggunakan teorema dasar kalkulus ini
adalah sama dengan hasil yang kita dapatkan dengan menerapkan definisi integral tertentu
(lihat bagian atas). Oleh karena lebih praktis, teorema dasar kalkulus sering digunakan untuk
mencari nilai integral tertentu.
LIMIT
Pengertian limit
Dalam matematika, konsep limit digunakan untuk menjelaskan sifat dari suatu fungsi,
saat argumen mendekati ke suatu titik, atau tak hingga; atau sifat dari suatu barisan saat
indeks mendekati tak hingga. Limit dipakai dalam kalkulus (dan cabang lainnya dari analisis
matematika) untuk mencari turunan dan kekontinyuan.
Dalam pelajaran matematika, limit biasanya mulai dipelajari saat pengenalan terhadap
kalkulus, dan untuk memahami konsep limit secara menyeluruh bukan sesuatu yang mudah.
Limit sebuah fungsi
Jika f(x) adalah fungsi real dan c adalah bilangan real, maka:
berarti f(x) dapat dibuat agar mempunyai nilai sedekat mungkin dengan L dengan cara
membuat nilai x dekat dengan c. Dalam contoh ini, "limit dari f(x), bila x mendekati c, adalah
L". Perlu diingat bahwa kalimat sebelumnya berlaku, meskipun f(c) L. Bahkan, fungsi f(x)
tidak perlu terdefinisikan pada titik c. Kedua contoh dibawah ini menggambarkan sifat ini.
Sebagai contoh,
pada saat x mendekati 2. Dalam contoh ini, f(x) mempunyai definisi yang jelas pada titik 2
dan nilainya sama dengan limitnya, yaitu 0.4:
f(1.9) f(1.99) f(1.999) f(2)
0.4121 0.4012 0.4001
0.4
f(2.001) f(2.01) f(2.1)
0.3998 0.3988 0.3882
7
Semakin x mendekati 2, nilai f(x) mendekati 0.4, dan karena itu
kasus dimana
selalu berlaku. Sebagai contoh,
. Dalam
, f disebut kontinyu pada x = c. Namun, kasus ini tidak
Limit g(x) pada saat x mendekat 2 adalah 0.4 (sama seperti f(x)), namun
; g tidak kontinyu pada titik x = 2.
Atau, bisa diambil contoh dimana f(x) tidak terdefinisikan pada titik x = c.
Dalam contoh ini, pada saat x mendekati 1, f(x) tidak terdefinisikan pada titik x = 1 namun
limitnya samadengan 2, karena makin x mendekati 1, f(x) makin mendekati 2:
f(0.9) f(0.99) f(0.999) f(1.0)
1.95 1.99 1.999
undef
f(1.001) f(1.01) f(1.1)
2.001 2.010 2.10
Jadi, x dapat dibuat sedekat mungkin dengan 1, asal bukan persis sama dengan 1, jadi limit
dari
adalah 2.
Definisi formal
Sebuah limit didefinisikan secara formal sebagai berikut: Bila adalah fungsi yang
terdefinisikan pada sebuah interval terbuka yang mengandung titik (dengan kemungkinan
pengecualian pada titik ) dan adalah bilangan real, maka
berarti bahwa untuk setiap
terdapat
yang untuk semua
, berlaku
.
8
dimana
Limit sebuah fungsi pada titik tak terhingga
Konsep yang berkaitan dengan limit saat x mendekati sebuah angka adalah konsep limit saat
x mendekati tak terhingga, baik positif atau negatif. Ini bukan berarti selisih antara x dan tak
terhingga menjadi kecil, karena tak terhingga bukanlah sebuah bilangan. Namun, artinya
adalah x menjadi sangat besar (untuk tak terhingga) atau sangat kecil (untuk tak terhingga
negatif).
Sebagai contoh, lihat



.
f(100) = 1.9802
f(1000) = 1.9980
f(10000) = 1.9998
Semakin x membesar, nilai f(x) mendekati 2. Dalam contoh ini, dapat dikatakan bahwa
Limit barisan
Perhatikan barisan berikut: 1.79, 1.799, 1.7999 ... Kita dapat mengamati bahwa angka-angka
tersebut "mendekati" 1.8, limit dari barisan tersebut.
Secara formal, misalkan x1, x2, ... adalah barisan bilangan riil. Kita menyebut bilangan riil L
sebagai limit barisan ini dan menuliskannya sebagai
yang artinya
Untuk setiap bilangan riil ε > 0, terdapat sebuah bilangan asli n0 sehingga untuk
semua n > n0, |xn − L| < ε.
Secara intuitif ini berarti bahwa pada akhirnya semua elemen barisan tersebut akan mendekat
sebagaimana yang kita kehendaki terhadap limit, karena nilai absolut |xn − L| adalah jarak
antara x dan L. Tidak semua barisan memiliki limit. Bila ada, kita menyebutnya sebagai
konvergen, bila tidak, disebut divergen. Dapat ditunjukkan bahwa barisan konvergen hanya
memiliki satu limit.
Limit barisan dan limit fungsi berkaitan erat. Pada satu sisi, limit barisan hanyalah limit pada
tak terhingga dari suatu fungsi yang didefinisikan pada bilangan asli. Di sisi lain, limit sebuah
fungsi f pada x, bila ada, sama dengan limit barisan xn = f(x + 1/n).
9
CONTOH SOAL LIMIT FUNGSI
Di bawah ini diberikan beberapa contoh soal limit fungsi
1. Limit Fungsi Aljabar Untuk
Hitung nilai limit fungsi berikut:
Jawab:
2. Limit Fungsi Aljabar Untuk
Hitung nilai limit fungsi berikut:
Jawab:
(Ingat bahwa, pada limit fungsi aljabar untuk
, jika pangkat tertinggi pembilang lebih kecil
dari pangkat tertinggi penyebut, maka hasilnya selalu sama dengan nol (0))
3. Limit Fungsi Trigonometri
Hitung nilai limit fungsi berikut:
Jawab:
Mungkin, jika anda hanya membaca contoh soal di atas, semua terasa sulit dan membingungkan.
Tapi tidak perlu khawatir, kalau kita mau menekuni Matematika, Insya Allah, Matematika akan
terasa indah dan menyenangkan.
10
CONTOH SOAL LIMIT FUNGSI
Di bawah ini diberikan beberapa contoh soal limit fungsi
1. Limit Fungsi Aljabar Untuk
Hitung nilai limit fungsi berikut:
Jawab:
2. Limit Fungsi Aljabar Untuk
Hitung nilai limit fungsi berikut:
Jawab:
(Ingat bahwa, pada limit fungsi aljabar untuk
, jika pangkat tertinggi pembilang lebih kecil
dari pangkat tertinggi penyebut, maka hasilnya selalu sama dengan nol (0))
3. Limit Fungsi Trigonometri
Hitung nilai limit fungsi berikut:
Jawab:
Mungkin, jika anda hanya membaca contoh soal di atas, semua terasa sulit dan membingungkan.
Tapi tidak perlu khawatir, kalau kita mau menekuni Matematika, Insya Allah, Matematika akan
terasa indah dan menyenangkan.
11
CONTOH SOAL LIMIT FUNGSI
Di bawah ini diberikan beberapa contoh soal limit fungsi
1. Limit Fungsi Aljabar Untuk
Hitung nilai limit fungsi berikut:
Jawab:
2. Limit Fungsi Aljabar Untuk
Hitung nilai limit fungsi berikut:
Jawab:
(Ingat bahwa, pada limit fungsi aljabar untuk
, jika pangkat tertinggi pembilang lebih kecil
dari pangkat tertinggi penyebut, maka hasilnya selalu sama dengan nol (0))
3. Limit Fungsi Trigonometri
Hitung nilai limit fungsi berikut:
Jawab:
Mungkin, jika anda hanya membaca contoh soal di atas, semua terasa sulit dan membingungkan.
Tapi tidak perlu khawatir, kalau kita mau menekuni Matematika, Insya Allah, Matematika akan
terasa indah dan menyenangkan.
12
Limit dalam kata-kata sehari-hari:
Mendekati hampir, sedikit lagi, atau harga batas, sesuatu yang dekat tetapi tidak dapat
dicapai.
Ilustrasi limit
–
Contoh: ( )
(
)(
)
Fungsi ini tak mempunyai nilai, bila x = 1 (mengapa??)
Tapi jika x hanya mendekati 1 , f(x) mendekati nilai berapa……..?
(
( )
)(
)
Perhatikan tabel berikut ini :
X
…
0,9
0,99 0,999 0,9999
1
1,0001 1,001
1,01
1,1 …
f(x)
…
2,8
2,98 2,998 2,9998
?
3,0002 3,002
3,02
3,2 …
Tabel di atas menunjukkan:
1. Nilai f(x) untuk x mendekati 1 dari kiri (dari bilangan yang lebih kecil) maka f(x)
2x 2  x 1
 3.
x 1
x 1
2. Nilai f(x) untuk x mendekati 1 dari kanan ( dari bilangan yang lebih besar ) maka f(x)
mendekati 3, dapat ditulis: lim
mendekati 3, dapat ditulis: lim
x 1
Jadi, lim
x 1
2x 2  x 1
 3.
x 1
2x2  x 1
 3.
x 1
13
Definisi Limit secara intuitif
lim f ( x)  L , artinya jika x mendekati c dari kiri dan kanan sehingga nilai f(x) mendekati
xc
dari kedua arah maka nilai f(x) mendekati L.
1. Limit- limit fungsi berbentuk lim f ( x)
xc
Cara-cara untuk menentukan nilai limit, antara lain:
a. Substitusi
b. Faktorisasi
c. Perkalian sekawan
Contoh:
a. Menentukan nilai limit dengan substitusi
Jika diketahui lim f ( x) maka nilai f(x) dapat dicari dengan mensubtitusikan nilai x=c
xc
pada f(x). Cara ini dapat digunakan pada bentuk terdefinisi (tertentu) : yaitu bentuk yang
nilainya ada dan tertentu, misalnya : 63 , 40 .
Contoh:
Tentukan nilai dari:
 x3 1 

2. lim  2
x 2
 x  3x  2 
3
2
1. lim ( x  2 x  3x  1)
x 2
Jawab:
1. f(x) = x  2 x  3x  1 , f (2) = 2  2(2)  3(2)  1 =7
3
2
3
2
lim ( x 3  2 x 2  3x  1) = 23  2(2) 2  3(2)  1 = 7
x 2
2. f(x) =
23  1
8 1
7
x3  1


,
f(2)
=
(terdefinisi)
2
2
4
2  3(2)  2 4  6  2
x  3x  2
 x3 1 
23  1
8 1
7
 = 2


lim 
x 2  x 2  3 x  2 

 2  3(2)  2 4  6  2 4
14
Ketika nilai x =c sudah
disubstitusikan ke f(x), maka
lim tidak ditulis.
xc
b. Menentukan nilai limit dengan memfaktorkan
Adakalanya nilai limit lim
xc
f ( x)
untuk x c tidak dapat diperoleh dengan subtitusi
g ( x)
langsung. Jika nilai x =c disubtitusi langsung ke
tak tentu, yaitu
f ( x)
f ( x)
pada lim
, diperoleh bentuk
x
c
g ( x)
g ( x)
f ( x)
0
maka
perlu diubah bentuknya. Dengan perubahan tersebut dapat
g ( x)
0
0
. Limit ini dapat diselesaikan dengan
0
memfaktorkan pembilang dan penyebutnya, kemudian membagi faktor yang sama, lalu
substitusikan nilai x = c.
dihilangkan bentuk yang menyebabkan
Contoh:
Tentukan nilai dari:
x2  1
x 1 x 2  3 x  2
2
lim x 5 x6
x3 x2 9
1. lim
2. lim
x 0
x 3  2 x 2  3x
x 4  3x 2  x
Jawab:
1. f(x) =
x2 1
, coba substitusi x = 1 maka diperoleh :
x 2  3x  2
12  1
0
x2 1
 (bentuk tak tentu)
lim 2
= 2
x 1 x  3 x  2
1  3(1)  2 0
Menggunakan pemfaktoran:
lim
x 1
x2 1
( x  1)( x  1)
( x  1) (1  1)
 lim

 2
= lim
2
x  3 x  2 x1 ( x  2)( x  1) x1 ( x  2) (1  2)
2. f(x) =
lim
x 0
x 3  2 x 2  3x
, coba substitusi x = 0 maka diperoleh :
x 4  3x 2  x
x 3  2 x 2  3 x 0 3  2(0) 2  3(0) 0
 (bentuk tak tentu)
=
(0) 4  3(0) 2  0 0
x 4  3x 2  x
15
Menggunakan pemfaktoran:
lim
x 0
x( x 2  2 x  3)
( x 2  2 x  3) 0 2  2(0)  3
x 3  2 x 2  3x
lim

lim

 3
=
x 4  3 x 2  x x0 x( x 3  3 x  1) x0 ( x 3  3 x  1) 0 3  3(0)  1
c. Menentukan limit fungsi dengan perkalian sekawan
f ( x)
untuk x c
g ( x)
tidak dapat diperoleh dengan subtitusi langsung. Jika nilai x =c disubtitusi langsung ke
f ( x)
f ( x)
f ( x)
0
pada lim
, diperoleh bentuk tak tentu, yaitu
maka
perlu diubah
xc g ( x )
g ( x)
g ( x)
0
Adakalanya juga f(x) atau g(x) memuat bentuk akar dan nilai limit lim
xc
0
.
0
Jika pembilang atau penyebutnya memuat bentuk akar, maka sebelum difaktorkan
dikalikan dulu dengan bentuk sekawannya.
bentuknya. Dengan perubahan tersebut dapat dihilangkan bentuk yang menyebabkan
Contoh:
Tentukan nilai limit dari:
lim
x1
x2 3

5 x1
2
x 1
x23

5 x1
, coba x =1 diperoleh:
2
x 1
Jawab:
f ( x)

g ( x)
lim
x1
x2 3
123 
5(1)1 4  4 0

5 x1

 (bentuk tak tentu)
=
2
2
x x
0
0
1 1
16
Menggunakan perkalian sekawan
lim
x1
x2 3
 2


5 x1
 x  3  5 x  1  x2 3
 lim 
 2
2 1
x1
x2 1
x 3
x




( x2 3)  (5 x1)
 lim

x1 ( x2 1) x2 3 
5 x1 





x2 5 x4
= lim

x1 ( x2 1) x2 3 


5 x1 




( x1)(x4)
 lim

x1 ( x1)(x1) x2 3 



( x4)
 lim

x1 ( x1) x2 3 





5 x1 



5 x1 


14
 3  3   3
8
(11) 4  4  2(22) 8


Teorema Limit Fungsi:
1.
2.
lim c  c, c  konstanta
xa
Contoh:
a. lim 6  6
x2
c. lim 6  6
x 0
b. lim 6  6
x  2
d . lim 6  6
x 
lim x  a
xa
Contoh:
a. lim x  2
x2
c. lim x  0
x 0
b. lim x  2
x  2
d . lim x  
x 
17
5 x1 
5 x1 
3. lim c . f ( x)  c. lim f ( x) , c = konstanta
x a
4.
x a
Contoh:
a. lim 3x  3 lim x  3  2  6
x2
x2
c. lim 3x  3 lim x  3  0  0
x0
x0
b. lim 3x  3 lim x  3  (2)  6
x2
x2
d . lim 3x  3 lim x  3    
x
x
lim  f ( x)  g ( x)  lim f ( x)  lim g ( x)
xa
xa
xa
Contoh:
a. lim (3x  6)  lim 3x  lim 6  3 lim x  lim 6  3  2  6  12
x2
x2
x2
x2
x2
b lim (3x  6)  lim 3x  lim 6  3 lim x  lim 6  3    6    6  
x
x
x
x
x
5.
lim  f ( x)  g ( x)  lim f ( x)  lim g ( x)
xa
xa
xa
Contoh:
a. lim (3x  6)  lim 3x  lim 6  3 lim x  lim 6  3  2  6  0
x2
x2
x2
x2
x2
b lim (6  3x)  lim 6  lim 3x  lim 6  3 lim x  6  3    6    
x
x
x
x
x
6.
lim  f ( x).g ( x)  lim f ( x). lim g ( x)
xa
xa
xa
Contoh:
lim x 2  lim x.x  lim x  lim x  2  2  4
x2
x2
x2 x2
f ( x)
f ( x)  xlim
lim 
 a
dg lim g ( x)  0
lim g ( x)
xa  g ( x) 
x a
xa
Contoh:
lim x1 4  1 3
lim x1  x4

 3
lim x3 4  3 1
x4 x3
x4
7.
 

lim  f ( x)  lim f ( x)
n
8.
xa
xa



n
lim 2 x  1  lim 2 x  1  2  3  1  53  125
3
x3
x3
3
3
18
k
lim
  (tak
9. x0 x n
hingga)
k
lim
 0, n  1 dan k  R
x


10.
xn
lim kxn  , n  1 dan k  R
x
11. 
1
lim
0
12. x x
2. Limit Fungsi di tak Hingga
a. Limit Bentuk   
Limit ini dapat diselesaikan dengan membagi pembilang dan penyebut dengan variabel
pangkat tertinggi, kemudian digunakan rumus : lim ax  0 .
x 
Contoh:
6 x3 3  2 x3 2  5 x3
6  2x  x52
6 x3  2 x 2  5x
600
6 1
x
x
x
 lim
 lim



1. lim
3
2
7
x
8
x
7
8
x 12 x 3  7 x 2  8 x
x 12 x
x
12  x  x2 12  0  0 12 2
x 3  x3  x 3
6 x3  7 x2  3x
6 7  3
x x2 x3 0  0  0 0
4
4
4
6 x 3  7 x 2  3x
x
x
x
2. lim 4
 lim 4

lim

 0
3
2
x 2 x  x  4 x
x 2 x
x3  4 x2 x 2  1x  4
200 2

2
x
x4 x4 x4
5 x4  3 x2  2
5  32  24 5  0  0 5
4
4
4
x
x
x
x
x 
3. lim
 lim
 lim
 
x 2 x3  4 x 2  7 x 2 x3  4 x2  7 x 2  4  7
0

0

0
0
x x2 x4
x4
x4 x4
5 x 4  3x 2  2
Kesimpulan:
Jika f ( x )  a0 x n  a1 x n 1  .....  an dan g ( x )  b0 x m  b1 x m1  .....  bm , maka:
1. lim
x 
f (x)
g(x)

a0
b0
untuk n = m
5 4
3
Contoh: lim 2 x5 x 37 x 2  2  1
6 3
x 6 x 2 x 8x
2. lim
x 
f (x)
g(x)
 0 untuk n < m
10
8
7
Contoh: lim x122 x 53x2  0
x x 12 x  x
19
3. lim
x 
f (x)
g(x)
  atau - untuk n > m
7
4
Contoh: lim 3x  6 x  2  
x
2 x 6  7 x 4  x3
b. Limit Bentuk    
lim f(x)  g(x)
x 
Caranya:
Kalikan dengan bentuk sekawannya !

lim f ( x)  g ( x) 
x

f ( x)  g ( x) 
  lim
f ( x)  g ( x)  x
Contoh:
Tentukan nilai limit dari:
1. lim x 2  6 x  2
x

x2  4x  1
2.
lim 2 x 2  x  x 2  3x
x
3.
lim 4 x 2  2 x  3  5 x 2  4 x  7
x
20
f ( x) g ( x)
f ( x)  g ( x)
Jawab:
1. lim x 2  6 x  2

x2  4x  1
 lim x 2  6 x  2

 x2 6 x2
x 2  4 x  1
2
 x 6 x2
x
x


x2 4 x1 
x2 4 x1 
pangkat tertinggi pembilang 1,
pangkat tertinggi penyebut 1,
sebab
( x2 6 x2)  ( x2 4 x1)
 lim
x x2 6 x2 
x2 4 x1
10x1
 lim
x x26 x2 
x24 x1
10 x

x
 lim
x x2 6 x2

x2
 lim
x
10
1
6 2

x x2
1
x
x2 4 x1
x2


1
x
1
4 1

x x2

10  0
 10  10  5
100  100
1 1 2
2
x2  x
2.
lim 2 x 2  x  x 2  3x
x
 2 x2  x
 lim 2 x 2  x  x 2  3x 2 
 2 x2  x
x

x2 3 x 
x2 3x 


(2 x2x)  ( x23x)
 lim
x 2 x2x 
x23x
x2  4 x
 lim
x 2 x2  x 
x2 3 x
x2
 lim
x
x2
2x2  x
 lim
x
1
2x2
x4
 lim
x

x
x2
x 2  3x
x2
4
x
x 2 3x

x4 x4

x4
1
2 1

2
x x3
4x


x2

pangkat tertinggi pembilang 2,
pangkat tertinggi penyebut 1.
4
x
1
x
2

3
x3

1 0
00 
22
00
1 
0
3.
lim 4 x 2  2 x  3  5 x 2  4 x  7
 lim
 4x
x 
x
 lim
x
 lim
x 
 lim
x 
 lim
x
2
 2x  3

5x 2  4 x  7

4x2  2x  3

5x 2  4 x  7
4x2  2x  3

5x 2  4 x  7
4 x 2  2 x  3  (5 x 2  4 x  7)
4x2  2x  3

5x 2  4 x  7
 x 2  6 x  10
x2
4x2  2x  3
5x 2  4 x  7

x2
x2
1
4x2  2x  3
x4
1
4
2
3
 3 4
2
x
x
x
pangkat tertinggi pembilang 2,
pangkat tertinggi penyebut 1.
6 10

x x2
5x 2  4 x  7

x4
6 10

x x2

5
4
7



x 2 x3 x 4
1 0  0
1


0
000 
000
Secara umum:
lim ax 2  bx  c 
x
px 2  qx  r 
1)
b q
2 a , jika
a=p
2)
+  , jika
a>p
3)
-  , jika
a<p
23
lim ax  b  px  q 
x
1)
0, jika a = p
2)
+  , jika
a>p
3)
-  , jika
a<p
Penggunaan Limit
Misal pada grafik y = f(x), kita akan menghitung gradien garis singgung.
Gradien tali busur AB: mAB 
y f (c  h)  f (c) f (c  h)  f (c)


x
chc
h
Bila h  0, maka A dan B berhimpit di x = c sehingga gradien garis singgung di A:
mA  lim
h0
f (c  h )  f (c )
h
Untuk rumus lebih umum, gradien garis singgung di setiap x:
m  lim
h0
f ( x  h)  f ( x )
 f ' ( x) .
h
Contoh:
1. Misalkan f(x) = x2 – 5x + 4. Tentukan f  (2), f  (0), f  (-1)!
2. Jumlah penduduk suatu daerah pada saat tertentu (per minggu) memenuhi persamaan f(t)
= t2 + 2t, t ≥ 0. Hitung laju pertumbuhan penduduk pada saat t = 2 dan t =5!
Jawab:
24
1. f(x) = x2 – 5x + 4
f ( x  h)  f ( x )
f ' ( x)  lim
h0
h
(( x  h) 2  5( x  h)  4)  ( x 2  5 x  4))
 lim
h0
h
( x 2  2 xh  h 2  5 x  5h  4  x 2  5 x  4)
h0
h
 lim
2 xh  h 2  5h
h0
h
h(2 x  h  5)
 lim
 lim (2 x  h  5) = 2x – 5
h0
h0
h
 lim
Sehingga,
f  (2) = 2x – 5 = 2(2) – 5= -1
f  (0) = 2x – 5=2(0) – 5 = 5
f  (-1)= 2x – 5=2(-1) – 5 = -2 -5 = -7
2.
f ' ( x)  lim
h0
f ( x  h)  f ( x )
h
(t  h) 2  2(t  h)  (t 2  2t )
h0
h
 lim
t 2  2ht  h 2  2t  2h  t 2  2t
h0
h
 lim
2ht  h 2  2h
h(2t  h  2)
 lim (2t  h  2)  2t  2
 lim
h0
h

0
h0
h
h
 lim
Sehingga,
f  (2) = 2t + 2 = 2(2) + 2 = 6
f  (5) = 2t + 2 = 2(5) + 2 = 12
Latihan:
Tentukan nilai f’ (x), f ‘ (0) dan f (-1) dari f(x) berikut:
1. f (x) = 2x + 5
2. f (x) = x2 - 3x + 4
25
Daftar pustaka
www.wikipedia.com/limit,kalkulus dan matematika bisnis.
26