Perhitungan Harga Opsi Eropa Menggunakan Metode Gerak Brown

PENDAHULUAN
Saham merupakan surat berharga sebagai bukti tanda penyertaan atau kepemilikan
seseorang atau badan hukum dalam suatu perusahaan, khususnya perusahaan publik yang
memperdagangkannya. Investasi dalam bentuk saham banyak dipilih para investor karena
saham mampu memberikan keuntungan yang menarik. Selain itu,para investor juga dapat
berinvestasi dengan cara membeli turunan dari nilai saham (financial derivative). Salah satu
turunan yang telah banyak dikenal dan diperdagangkan oleh masyarakat adalah opsi. Opsi
memberikan hak kepada holder tetapi sebaliknya writer harus membeli atau menjual
sahamnya kepada holder. Hal ini menyebabkan resiko kerugian, karena itu writer harus
mengganti kerugian dengan cara memberi harga pada opsi. Masalah perhitungan harga opsi
(option pricing) adalah menghitung harga yang wajar (fair value) dimana opsi bisa dibeli atau
dijual.
Pada tahun 1900 Louis Bachelier memodelkan pergerakan harga saham mengikuti
gerak Brown dengan konstanta drift  = 0. Pada tahun 1973 Fischer Black dan Myron
Scholes mempublikasikan ”The Pricing of Options and Corporate Liabilities”, suatu paper
yang mengubah secara cepat teori dari perhitungan harga opsi. Pada paper tersebut Black –
Scholes membuat beberapa asumsi,salah satunya adalah nilai asset mengikuti Gerak Brown
Geometrik (GBG), dengan drift  (ekspektasi dari return) dan volatility  (standar deviasi
dari return) yang bersifat konstan. Menurut Brigo (2007) return dari harga saham
berdistribusi normal dan bersifat independent.
Data dari PT. HM. Sampoerna Tbk. tanggal 1 Maret 2010 sampai 29 Februari 2012
digunakan untuk mengilustrasikan penentuan harga Opsi Eropa menggunakan metode Gerak
Brown Geometrik dengan nilai volatility dicari menggunakan metode Maximum Likelihood
Estimation,serta menganggap kedua asumsi diatas telah dipenuhi.
Selanjutnya data PT. HM. Sampoerna Tbk. tanggal 29 Februari sampai 31 Mei 2012
digunakan untuk menguji kedua asumsi tersebut sehingga metode Gerak Brown Geometrik
dapat digunakan, baik untuk memprediksi pergerakan harga saham maupun untuk
menentukan Harga Opsi Eropa.
1
Perhitungan Harga Opsi Eropa Menggunakan Metode Gerak Brown Geometrik
Kristoforus Ardha Sandhy Pradhitya 1), Bambang Susanto2), dan Hanna Arini Parhusip3)
1)
Mahasiswa Program Studi Matematika
1)
email: [email protected] 2)[email protected] 3)[email protected]
2) 3)
Dosen Program Studi Matematika
Fakultas Sains dan Matematika
Universitas Kristen Satya Wacana
Jl. Diponegoro 52-60 Salatiga 50711
ABSTRAK
Pada dasarnya opsi didefinisikan sebagai kontrak antara dua pihak (writer dan holder) dimana writer
memberikan hak tetapi bukan kewajiban kepada holder untuk membeli (call option) atau menjual (put
option) suatu saham dengan harga yang telah disepakati di masa mendatang. Hal ini jelas akan
mengakibatkan kerugian bagi writer. Untuk menghindari hal tersebut, maka writer harus memberi
harga pada opsi. Pada umumnya perhitungan harga opsi dilakukan dengan menggunakan model Black
– Scholes (1973). Dalam penelitian ini akan dibahas cara menentukan harga Opsi Eropa
menggunakan metode Gerak Brown Geometri. Pergerakan harga saham dimasa mendatang
diasumsikan mengikuti model Gerak Brown Geometri, oleh karena itu dilakukan simulasi untuk
memprediksi pergerakan harga saham tersebut yang selanjutnya harga Opsi Eropa dihitung dengan
menggunakan fungsi payoff. Sebelum melakukan simulasi tersebut, nilai volatility dari harga saham
harus diketahui terlebih dahulu. Estimasi untuk volatility dilakukan menggunakan metode Maximum
Likelihood Estimation. Dalam penelitian ini digunakan data harga saham penutupan harian dari PT.
HM. Sampoerna Tbk. tanggal 1 Maret 2010 sampai 29 Februari 2012. Hasil yang didapatkan dari
penelitian ini adalah harga Opsi Eropa seandainya terjadi suatu kontrak opsi antara PT. HM.
Sampoerna Tbk. dengan pihak lain.
Kata Kunci: Opsi Eropa, Gerak Brown Geometri, Maximum Likelihood Estimation, payoff, volatility
PENDAHULUAN
Saham merupakan surat berharga sebagai bukti tanda penyertaan atau kepemilikan
seseorang atau badan hukum dalam suatu perusahaan, khususnya perusahaan publik yang
memperdagangkan sahamnya. Investasi dalam bentuk saham banyak dipilih para investor
karena saham mampu memberikan keuntungan yang menarik. Selain berinvestasi dengan
cara memiliki secara langsung saham yang diperdagangkan di pasar, investor juga dapat
berinvestasi dengan cara membeli turunan dari nilai saham (financial derivative). Salah satu
turunan yang telah banyak dikenal dan diperdagangkan oleh masyarakat adalah opsi. Opsi
memberikan hak kepada holder tetapi sebaliknya writer harus membeli atau menjual
sahamnya kepada holder. Hal ini menyebabkan resiko kerugian, karena itu writer harus
mengganti kerugian dengan cara memberi harga pada opsi. Masalah perhitungan harga opsi
1
(option pricing) adalah menghitung harga yang wajar (fair value) dimana opsi bisa dibeli atau
dijual.
Data dari PT. HM. Sampoerna Tbk. tanggal 1 Maret 2010 sampai 29 Februari 2012
digunakan untuk mengilustrasikan penentuan harga opsi menggunakan model Gerak Brown
Geometrik dengan nilai volatility terbaik dicari menggunakan metode Maximum Likelihood
Estimation.
DASAR TEORI
Opsi
Opsi adalah suatu perjanjian atau kontrak dimana seorang writer memberikan
hak,bukan kewajiban bagi seorang holder untuk membeli atau menjual suatu saham dengan
harga dan waktu yang telah ditetapkan.
Dilihat dari hak yang dimiliki holder, opsi dibedakan menjadi dua,yaitu:
1. Opsi beli
Opsi beli yang lebih dikenal sebagai call option, adalah suatu hak untuk membeli
sebuah saham pada harga kesepakatan (strike price) dan dalam jangka waktu tertentu.
2. Opsi Jual
Opsi jual yang lebih dikenal sebagai put option, adalah suatu hak untuk menjual
sebuah saham pada harga kesepakatan (strike price) dan dalam jangka waktu tertentu.
Dilihat dari waktu pelaksanaan, opsi dibedakan menjadi dua, yaitu :
1. Opsi Eropa
Opsi Eropa yaitu suatu kontrak opsi yang hanya bisa di laksanakan pada hari terakhir
saat tanggal jatuh tempo masa berlakunya opsi tersebut.
2. Opsi Amerika
Opsi Amerika yaitu suatu kontrak opsi yang bisa dilaksanakan kapan saja di dalam
masa berlakunya kontrak opsi.
Fungsi Payoff
Sekarang diperhatikan Opsi Eropa. Pada saat 0
t < T sebelum expiry date dari opsi
akan ditemukan kesulitan untuk menghitung nilai opsi (V), tetapi pada saat expiry date T
akan mudah sekali untuk menghitung nilai tersebut. Untuk harga Opsi Call Eropa, terdapat
tiga kasus yang mungkin, yaitu
2
1. Harga saham lebih besar dari Strike Price (S > K)
Karena tidak ada biaya transaksi, maka nilai opsi adalah V = S – K > 0. Ini adalah
alasan bagi holder untuk membeli saham dengan strike price K tetapi sebaliknya
untuk Opsi Put Eropa.
2. Harga saham lebih kecil dari Strike Price (S < K)
Hal ini akan menyebabkan kerugian karena holder akan membeli saham tersebut
dengan harga di atas harga pasar tetapi sebaliknya untuk Opsi Put Eropa.
3. Harga Saham sama dengan Strike Price (S = K )
Dalam kasus ini tidak ada perbedaan apakah holder akan menggunakan haknya untuk
membeli(opsi call) atau menjual (opsi put) saham karena akan memberikan nilai V=0.
Dari ketiga kasus di atas, dapat disimpulkan bahwa nilai dari Opsi Eropa pada saat
expiry date T adalah
V(S, T) = maks{d(ST - K ), 0}
dengan d=
(1)
.
Gerak Brown
Suatu gerak Brown [
,t ≥ 0] adalah proses stokastik yang memiliki sifat – sifat
berikut :
1. B(0) = 0.
2. Untuk t > s :
3. Untuk 0 ≤ s ≤ t ≤ u :
4. Lintasan kontinu :
berdistribusi normal dengan mean 0 dan variansi t-s.
dan
saling bebas.
adalah fungsi kontinu dari t tetapi tidak terdeferensial
dimanapun.
Secara khusus gerak Brown dengan mean sama dengan 0 dan variansi sama dengan 1
dinamakan gerak Brown baku (Nugroho).
Model harga saham
Didalam pemodelan harga saham terdapat dua faktor yang sangat berpengaruh, yaitu
keadaan saham pada waktu lalu yang berpengaruh pada harga saham saat ini dan respon
saham terhadap informasi baru tentang saham. Berdasarkan kedua faktor ini dapat dikatakan
3
bahwa perubahan harga saham mengikuti proses rantai Markov. Proses rantai Markov
merupakan proses stokastik dimana harga saat ini berpengaruh untuk memprediksi harga
yang akan datang. Harga saham dilambangkan dengan S dan waktu dilambangkan dengan t.
Perubahan harga saham dikenal sebagai return. Model umum return dari saham terdiri atas
dua bagian, bagian pertama adalah bagian deterministik yang dilambangkan dengan µdt
Ukuran dari rata-rata pertumbuhan harga saham atau yang lebih dikenal dengan drift
ditunjukkan sebagai µ. Sedangkan bagian kedua merupakan model perubahan harga saham
secara random yang disebabkan oleh faktor eksternal. Faktor eksternal dilambangkan dengan
σdBt. Nilai σ didefinisikan sebagai volatility saham yang digunakan untuk mengukur standar
deviasi dari return dan dapat dinyatakan sebagai fungsi dari S dan t. Nilai µ dan σ dapat
diestimasi menggunakan harga saham pada hari sebelumnya. Model harga saham yang
dipengaruhi oleh nilai µ dan σ dengan masing-masing bergantung pada S dan t dirumuskan
sebagai berikut
dengan
µ
: nilai ekspektasi dari return ; σ : volatility saham (standar deviasi dari return)
Model dari harga saham diatas dapat dituliskan dalam bentuk
(2)
dengan
merupakan gerak Brown baku sehingga model (2) disebut juga Gerak Brown
Geometri untuk harga saham. Dengan mengaplikasikan Lemma Ito untuk f = ln(S(t)),
persamaan (2) dapat dituliskan menjadi (Hull,2009)
.
Untuk
(3)
= 0, maka persamaan (3) dapat dituliskan kembali menjadi
atau
dengan B(t)=
; Z~N(0,1) dan
(4)
return.
Karena saham merupakan suatu asset yang berisiko (pergerakannya tidak dapat
diprediksi), maka diperlukan suatu model agar pergerakan harga saham menjadi tidak
berisiko sehingga dapat diprediksi pergerakanya. Selanjutnya dijelaskan pemodelan harga
saham yang bebas risiko atau Risk Neutral Pricing.
4
Risk Neutral Pricing
Hubungan antara suku bunga dan harga saham juga merupakan perhatian dalam
finansial. Misalnya hal ini ditunjukan Alam dan Uddin (2009) yang membahas tentang suku
bunga dan harga saham diantara negara berkembang. Pada makalah tersebut digunakan
analisa runtun waktu dan regresi. Pada makalah ini kita akan membahas suku bunga dalam
fungsi diskrit dan fungsi kontinu sebagaimana dibahas pada paragraf berikut.
Dimisalkan besarnya tabungan awal F = 1. Besarnya tabungan setelah t periode
dinotasikan dengan
. Bunga yang dibayarkan untuk periode t sama dengan
Jika bunga sebanding dengan besarnya
maka dinamakan bunga berganda. Artinya
(5)
dimana r > 0 dinamakan suku bunga (interest rate). Persamaan (5) dapat dituliskan kembali
menjadi
(6)
dan diambil
= F = 1, maka diperoleh
dengan
adalah
besarnya tabungan.
Sekarang diandaikan bahwa r suku bunga tahunan yang dibayarkan n kali setiap
tahunnya. Kita membagi satu tahun menjadi n subperiode dengan lebar sama, sehingga suku
bunga untuk setiap periode , maka besarnya tabungan setelah m periode dirumuskan oleh
.
Dimisalkan
(7)
untuk bilangan – bilangan asli m dan n , maka besarnya deposito
saat t untuk bunga berganda dengan suku bunga r mempunyai rumus
.
Untuk n mendekati tak hingga maka dipunyai
(8)
=
= F = 1,maka secara umum dipunyai bentuk
. Karena
atau dapat pula dituliskan dalam
bentuk
5
(9)
dengan
disebut sebagai faktor terdiskon.
Selanjutnya dimisalkan harga saham pada saat expiry date T dinyatakan dengan S (T) dan
diasumsikan bahwa:
1. X = ln
2. S (0) =
~ N(µT,σ2T)
E(S (T)).
Dari asumsi pertama, pdf untuk X dapat dituliskan dengan
(10)
Sehingga pdf untuk S(T) dapat diperoleh dengan menggunakan teknik transformasi peubah
acak melalui persamaan (10)
.
(11)
Expected asset dapat diturunkan dengan memanfaatkan asumsi pertama,yaitu
E[S(T) / S0] = E[
] = E[
Sehingga
]=
.
(12)
Dari asumsi kedua dan persamaan (12),dapat diperoleh
S0 =
=
S0
sehingga
Jadi
.
(13)
Sehingga pdf untuk persamaan (11) dapat dituliskan menjadi
;
sehingga
(14)
Maximum Likelihood Estimation untuk Data Berdistribusi Normal
Misalkan
sampel acak dengan pdf f(xi,θ) ,i = 1, 2, ... ,n dengan θ ϵ Θ.
Apabila L yaitu fungsi peluang bersama dari X1,X2,...,Xn dipandang sebagai fungsi dari θ dan
X1, X2, ... , Xn konstan, maka L(θ) =
disebut sebagai fungsi likelihood.
Misalkan X1,X2,...,Xn sampel acak dengan pdf f(xi,θ) dan fungsi likelihood L(θ). Nilai
= θ(X1,X2,...,Xn) yang memaksimumkan L(θ) yakni L( ) ≥ L(θ) untuk semua θ ϵ Θ
6
dinamakan Maximum Likelihood Estimation (MLE) untuk θ. Selanjutnya dibentuk fungsi
Likelihood
Diambil l adalah nilai logaritma dari fungsi Likelihood diatas sehingga diperoleh bentuk
.
Nilai optimal µ diperoleh dengan kondisi
yaitu
.
Demikian pula nilai optimal
diperoleh dengan memenuhi kondisi
. Diperoleh
(15)
, yaitu
(16)
Untuk mempelajari sifat optimal
karena
selanjutnya dibentuk matrik Hessian dr l
dan det( ) > 0, maka
dan
memaksimumkan
negatife definite (Peressini,1988) yang berarti
.
ANALISIS DAN PEMBAHASAN
Estimasi Parameter
Volatility saham merupakan nilai standar deviasi dari return. Perhitungan
menggunakan rumus harga saham yang ditunjukan oleh persamaan (4) berdasarkan data
7
saham penutupan harian PT. H.M. Sampoerna Tbk. yang diambil pada tanggal 1 Maret 2010
sampai 29 Februari 2012. Data ditunjukkan oleh Gambar 1. Return dari harga saham
penutupan harian PT. HM Sampoerna Tbk. ditunjukkan Gambar 2 yang merupakan selisih
dari nilai logaritma harga saham saat t dengan harga saham saat t-1.
4
5.5
Harga Saham Penutupan Harian PT. HM Sampoerna
x 10
Nilai Return dari Harga Saham
0.2
5
0.15
4.5
0.1
Return Harga Saham
Harga Saham
4
3.5
3
2.5
0.05
0
-0.05
2
-0.1
1.5
1
0
50
100
150
200
250
300
waktu (t)
350
400
450
-0.15
500
0
Gambar 1. Harga saham PT. HM. Sampoerna
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
Gambar 2 return dari harga saham
Dengan menggunakan persamaan (15) dan (16), maka diperoleh
= 0,00281 ,
=
0,000402 dan volatility = 0,02004.
Simulasi Harga Saham
Setelah didapatkan estimasi volatility, maka selanjutnya dilakukan 100 simulasi harga saham
dengan expiry date T = 1 tahun menggunakan model harga saham Risk Neutral. Nilai r yang
digunakan adalah suku bunga acuan yang dikeluarkan oleh Bank Indonesia atau yang lebih
dikenal sebagai BI rate sebesar 5,75% per tahunnya. Hasil dari simulasi pergerakan harga
saham selama satu tahun mendatang ditunjukkan oleh Gambar 3 dan untuk hasil simulasi
harga saham satu tahun kedepan ditunjukkan oleh Gambar 4.
4
5.9
4
Simulasi Pergerakan Harga Saham
x 10
5.9
5.8
Simulasi Harga Saham Saat Satu Tahun Kedepan
x 10
5.8
5.7
Harga Saham
Harga Saham
5.7
5.6
5.5
5.6
5.5
5.4
5.4
5.3
5.2
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
waktu
0.6
0.7
0.8
0.9
5.3
1
Gambar 3. S0 = 53.000 , T = 1 Tahun , σ =
0,02004 dan r = 5,75%.
0
10
20
30
40
50
simulasi
60
70
80
90
100
Gambar 4. Hasil simulasi harga saham saat satu
tahun kedepan.
Perhitungan Nilai Opsi Eropa
Selanjutnya dihitung harga Opsi Eropa saat ini menggunakan persamaan (1) dan (9)
dapat diperoleh persamaan
8
dengan
M : Banyaknya simulasi,K : Harga pelaksanaan (Strike Price ) dan d=
Karena terdapat tiga nilai K yang mugkin yaitu K<
, K=
, dan K>
maka
diambil K dengan nilai 50.000, 53.000,dan 56.000 dan diperoleh hasil yang ditunjukan oleh
Tabel 1.
Tabel 1. Harga opsi Call dan Put Eropa dengan S0 = 53.000 , T = 1 Tahun , σ = 0,02004, r = 5,75%
dan K yang berbeda.
Strike Price (K)
Harga Call Option
Harga Put Option
50.000
5.777
0
53.000
2.944
0
56.000
470
358
Tabel diatas menunjukan harga Opsi Eropa baik Call Option maupun Put Option dari data
harga saham penutupan harian PT. H.M. Sampoerna Tbk. Dari tabel diatas dapat disimpulkan
bahwa harga Put Option bernilai nol jika Strike Price berada dibawah atau sama dengan
harga pasar. Sehingga PT. H.M. Sampoerna Tbk. tidak akan menjual sahamnya karena tidak
akan menghasilkan keuntungan.
KESIMPULAN
Pada makalah ini telah dijelaskan bagaimana melakukan perhitungan harga Opsi
Eropa dengan menggunakan data harga saham penutupan harian dari PT. H.M. Sampoerna
Tbk. pada tanggal 1 maret 2010 sampai 29 februari 2012. Metode yang digunakan adalah Gerak
Brown Geometri dan diperoleh hasil berbagai harga Opsi Eropa baik Call Option maupun
Put Option untuk harga kesepakatan yang berbeda. Jadi jika terjadi kontrak opsi antara PT
Sampoerna terhadap pihak lain baik sebagai holder dan sebagai writer maka PT. H.M.
Sampoerna Tbk. dapat menentukan harga opsi sehingga tidak terjadi kerugian saat kontrak
opsi dilaksanakan.
9
DAFTAR PUSTAKA
Alam,M.M dan Uddin , G.S. 2009. Relationship between Interest Rate and Stock Price:
Empirical Evidence from Developed and Developing Countries, Journal of Business and
Management, Vol 4. No. 3, http://ccsenet.org/journal/index.php/ijbm/article/view/217,
(diakses pada 24 April 2012).
BI Rate, http://www.bi.go.id/web/id/Moneter/BI+Rate/Penjelasan+BI+Rate, (diakses pada 6
Maret 2012).
Black, F. Scholes, M. 1973. The Pricing of Options and Corporate Liabilities, The Journal of
Political Economy, Vol 81. No. 3
Brigo, D. D’alessandro, A. Neugebauer, M. and Triki, F. 2007. A Stochastic Processes
Toolkit for Risk Management, http://ssrn.com/abstract=1109160, (diakses pada 25 Februari
2012).
Higham, Desmond J., 2004. An Introduction to Financial Option Valuation. United
Kingdom: Cambridge University Press.
HMSP.JK Historical Prices, http://finance.yahoo.com, (diakses pada 1 Maret 2012).
Hull, John C. 2009. Options,Futures, And Other Derivatives, 7th Edition. New Jersey:
Pearson Education
Nugroho, D. B. 2008. Aplikasi Metode Elemen Hingga Dalam Perhitungan Harga Opsi Asia
Pada Traded Account, Thesis, Bandung: Institut Teknologi Bandung.
Peressini, A. L. Sullivan, F.E. and Uhl, J.J. 1988. The Mathematics of Nonlinear
Programming. New York : Springer-Verlag.
Rahman, A. 2010. Model Black-Scholes Put-Call Parity Harga Opsi Tipe Eropa Dengan
Pembagian Dividen, Skripsi. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas
Sebelas Maret.
Wikipedia, http://id.wikipedia.org/wiki/Opsi_%28keuangan%29, (diakses pada 3 Januari
2012).
10
Uji Normalitas dan Uji Independensi Dalam Model Gerak Brown Geometrik Untuk
Harga Saham Penutupan Harian PT. HM Sampoerna Tbk.
Kristoforus Ardha Sandhy Pradhitya 1), Bambang Susanto2), dan Hanna Arini Parhusip3)
1)
Mahasiswa Program Studi Matematika
1)
email: [email protected] 2)[email protected] 3)[email protected]
2) 3)
Dosen Program Studi Matematika
Fakultas Sains dan Matematika
Universitas Kristen Satya Wacana
Jl. Diponegoro 52-60 Salatiga 50711
ABSTRAK
Pergerakan harga saham tidak dapat ditentukan dengan pasti tetapi dapat diprediksi
melalui suatu simulasi. Pergerakannya dimodelkan mengikuti Gerak Brown
Geometrik. Terdapat dua asumsi yang ada pada Gerak Brown Geometrik, yaitu
return dari harga saham berdistribusi normal dan bersifat independent. Pada
penelitian ini akan dibahas mengenai cara menguji kedua asumsi tersebut serta
simulasi pergerakan harga saham. Sebelum melakukan simulasi tersebut, nilai
volatility dan µ dari harga saham harus diestimasi terlebih dahulu. Estimasi untuk
volatility dan µ dilakukan menggunakan metode Maximum Likelihood Estimation.
Dalam penelitian ini digunakan data harga saham penutupan harian dari PT. HM.
Sampoerna Tbk. tanggal 1 Maret 2010 sampai 31 Mei 2012. Hasil yang didapatkan
dari penelitian ini adalah harga saham penutupan harian dari PT. HM Sampoerna
mengikuti Gerak Brown Geometrik dan hasil simulasi Gerak Brown Geometrik
untuk harga saham PT. HM Sampoerna juga disertakan.
Kata Kunci: Gerak Brown Geometrik, return, distribusi normal, independent, volatility, Maximum
Likelihood Estimation
PENDAHULUAN
Saham merupakan surat berharga sebagai bukti tanda penyertaan atau kepemilikan
seseorang atau badan hukum dalam suatu perusahaan, khususnya perusahaan publik yang
memperdagangkannya. Investasi dalam bentuk saham banyak dipilih para investor karena
saham mampu memberikan keuntungan yang menarik. Pada tahun 1900 Louis Bachelier
memodelkan pergerakan harga saham mengikuti gerak Brown dengan konstanta drift  = 0.
Pada tahun 1973 Fischer Black dan Myron Scholes mempublikasikan ”The Pricing of
Options and Corporate Liabilities”, suatu paper yang mengubah secara cepat teori dari
perhitungan harga opsi. Pada paper tersebut Black – Scholes membuat beberapa asumsi,salah
1
satunya adalah nilai asset mengikuti Gerak Brown Geometrik (GBG), dengan drift 
(ekspektasi dari return) dan volatility  (standar deviasi dari return) yang bersifat konstan.
Menurut Brigo (2007) return dari harga saham berdistribusi normal dan bersifat independent.
Pada penelitian sebelumnya (Pradhitya dkk, 2012) telah dibahas mengenai Gerak
Brown Geometrik yang digunakan untuk menyelesaikan masalah perhitungan harga Opsi
Eropa dengan memanfaatkan kedua asumsi dari Gerak Brown Geometrik tersebut.
Sedangkan pada penelitian kali ini akan dibahas mengenai pengujian asumsi tersebut
sehingga metode ini dapat digunakan.
Data dari PT. HM. Sampoerna Tbk. tanggal 1 Maret 2010 sampai 31 Mei 2012
digunakan untuk menguji asumsi tersebut sehingga dapat dilakukan simulasi pergerakan
harga sahamnya.
PEMBAHASAN
Model Harga Saham
Dalam pemodelan harga saham terdapat dua faktor yang sangat berpengaruh, yaitu
keadaan saham pada waktu lalu yang berpengaruh pada harga saham saat ini dan respon
saham terhadap informasi baru tentang saham. Berdasarkan kedua faktor ini dapat
diasumsikan bahwa perubahan harga saham mengikuti proses rantai Markov. Proses rantai
Markov merupakan proses stokastik dimana harga saat ini berpengaruh untuk memprediksi
harga yang akan datang. Harga saham dilambangkan dengan S dan waktu dilambangkan
dengan t. Perubahan harga saham dikenal sebagai return. Model umum return dari saham
terdiri atas dua bagian, bagian pertama adalah bagian deterministik yang dilambangkan
dengan µdt Ukuran dari rata-rata pertumbuhan harga saham atau yang lebih dikenal dengan
drift ditunjukkan sebagai µ. Sedangkan bagian kedua merupakan model perubahan harga
saham secara random yang disebabkan oleh faktor eksternal. Faktor eksternal dilambangkan
dengan σdBt. Nilai σ adalah volatility saham yang digunakan untuk mengukur standar deviasi
dari return dan dapat dinyatakan sebagai fungsi dari S dan t. Nilai µ dan σ dapat diestimasi
menggunakan harga saham pada hari sebelumnya. Dengan demikian model harga saham
yang dipengaruhi oleh nilai µ dan σ dengan masing-masing bergantung pada S dan t
dirumuskan sebagai berikut
dengan
µ
: nilai ekspektasi dari return ; σ : volatility saham (standar deviasi dari return)
2
Model dari harga saham diatas dapat dituliskan dalam bentuk
(1)
dengan
merupakan gerak Brown baku sehingga model (1) disebut juga Gerak Brown
Geometrik untuk harga saham.
Adapun [
,t ≥ 0] disebut sebagai Gerak Brown jika memiliki sifat – sifat berikut :
1. B(0) = 0.
2. Untuk t > s :
berdistribusi normal dengan mean 0 dan variansi t-s.
3. Untuk 0 ≤ s ≤ t ≤ u :
4. Lintasan kontinu :
dan
saling bebas
adalah fungsi kontinu dari t tetapi tidak terdeferensial
dimanapun.
Secara khusus gerak Brown dengan mean sama dengan 0 dan variansi sama dengan 1
dinamakan gerak Brown baku.
Dengan mengaplikasikan Lemma Ito, persamaan (1) dapat dituliskan menjadi (Hull,2009)
.
(2)
Persamaan (2) dapat dituliskan menjadi
Untuk
dan
= 0, maka persamaan (2) dapat dituliskan kembali menjadi
(3)
dengan
= harga saham saat T;
= harga saham saat ini; T = waktu (dalam tahun).
Persamaan (3) menunjukan Gerak Brown Geometrik untuk harga saham berdistribusi
log-normal dengan return ln
berdistribusi normal dan bersifat independent (Brigo).
Data harga saham penutupan harian dari PT. HM Sampoerna yang diambil pada
tanggal 1 Maret 2010 sampai 29 Februari 2012 ditunjukkan oleh Gambar 1. Return dari
harga saham penutupan harian PT. HM Sampoerna Tbk. ditunjukkan Gambar 2.
3
4
5.5
Nilai Return dari Harga Saham
Harga Saham Penutupan Harian PT. HM Sampoerna
x 10
0.2
5
0.15
4.5
0.1
Return Harga Saham
Harga Saham
4
3.5
3
2.5
0.05
0
-0.05
2
-0.1
1.5
1
0
50
100
150
200
250
300
waktu (t)
350
400
450
-0.15
500
Gambar 1. Harga saham PT. HM. Sampoerna.
0
50
100
150
200
250
300
waktu (t)
350
400
450
500
Gambar 2 return dari harga saham.
(finance.yahoo.com)
Uji Normalitas
Terdapat dua metode dalam uji normalitas data, yaitu menggunakan statistik uji dan
dengan metode grafis. Berikut ini akan dibahas mengenai uji normalitas data menggunakan
metode grafis.
Dalam metode grafis terdapat beberapa alat yang dapat digunakan untuk memeriksa
apakah data berdistribusi normal atau tidak, misalnya:
1. Histogram
Apabila data berdistribusi normal atau mendekati normal maka bentuk
histogram akan simetris atau mendekati simetris (seimbang). Hal ini ditunjukkan
dengan nilai - nilai frekuensi yang besar berada di tengah – tengah histogram.
Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, model return dari Gerak Brown
Geometrik diasumsikan berdistribusi normal. Maka selanjutnya diuji apakah return
dari harga saham penutupan harian PT. HM Sampoerna Tbk. memiliki distribusi
normal. Histogram dari return ditunjukkan oleh Gambar 3 berikut ini.
160
140
120
Frekuensi
100
80
60
40
20
0
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
Return
Gambar 3. Histogram dari return
4
0.1
0.15
0.2
Dari histogram yang tersebut,dapat dilihat bahwa return harga saham
penutupan harian PT. HM Sampoerna Tbk. terpusat ditengah – tengah histogram
tepatnya berada disekitar nilai nol. Hal ini menunjukan bahwa return memiliki mean
sama dengan nol. Selain itu dapat dilihat pula bahwa bentuk histogram mendekati
simetris sehingga dapat disimpulkan bahwa return harga saham penutupan harian PT.
HM Sampoerna Tbk. berdistribusi normal.
2. QQ-Plot (Quantile – Quantile Plot)
QQ plot akan membentuk plot antara nilai – nilai quantil teoritis (sumbu x)
melawan nilai - nilai quantil dari data (sumbu y). Apabila plot berbentuk linier (garis
lurus), maka hal ini merupakan indikasi bahwa data berdistribusi normal.
QQ-Plot untuk return dari harga saham penutupan harian PT. HM Sampoerna
Tbk. ditunjukkan oleh Gambar 4 berikut.
QQ Plot of Sample Data versus Standard Normal
0.2
Quantiles of Input Sample
0.15
0.1
0.05
0
-0.05
-0.1
-0.15
-4
-3
-2
-1
0
1
Standard Normal Quantiles
2
3
4
Gambar 4. QQ-Plot dari return
Dari QQ-Plot tersebut dapat dilihat bahwa return harga saham penutupan harian
PT. HM Sampoerna Tbk. mendekati garis lurus sehingga dapat disimpulkan bahwa
return harga saham penutupan harian PT. HM Sampoerna Tbk. berdistribusi normal
walaupun ujung – ujung dari QQ-Plot menyimpang dari garis lurus (Kurniawan).
Uji Independensi
Sifat penting lainnya dari Gerak Brown Geometrik adalah return bersifat independent.
Untuk menjamin Gerak Brown Geometrik sesuai untuk memodelkan harga saham, harus diuji
bahwa return dari data yang diamati bersifat independent.
5
Data dapat dikatakan independent jika nilai suatu data tidak dipengaruhi oleh nilai
dari data yang sebelumnya atau tidak terdapat autokorelasi. Dalam makalah ini metode yang
digunakan adalah dengan pengamatan terhadap nilai autokorelasi (ACF). Fungsi autokorelasi
untuk lag k didefinisikan oleh:
(4)
dengan
n = banyak data; k = panjang lag; x = return;
= variansi dari return;
µ = ekspektasi dari return.
ACF(k) dapat dikatakan memberikan perkiraan korelasi antara
dan
.
Independensi dapat pula diamati dari fungsi autokorelasi parsial (PACF). PACF(k)
memberikan informasi tentang korelasi antara
dan
dan dapat dedfinisikan
dengan
dengan
dan
diberikan
adalah estimasi terbaik dari
dan
jika
(Brigo).
ACF dan PACF dari return harga saham penutupan harian PT. HM Sampoerna Tbk.
yang ditunjukkan oleh Gambar 5 dan Gambar 6 berikut.
Sample Autocorrelation Function (ACF)
Sample Autocorrelation
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
0
5
10
Lag
15
Gambar 5. ACF dari return
6
20
Sample Partial Autocorrelation Function
Sample Partial Autocorrelations
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
0
5
10
Lag
15
20
Gambar 6. PACF dari return
Dari Gambar 5 dan Gambar 6 dapat dilihat bahwa nilai ACF dan PACF dari return harga
saham penutupan harian PT. HM Sampoerna Tbk. mendekati nol. Sehingga dapat
disimpulkan bahwa return tidak berkorelasi yang berarti return harga saham penutupan
harian PT. HM Sampoerna Tbk. bersifat independent (Brigo).
Maximum Likelihood Estimation untuk Data Berdistribusi Normal
Setelah asumsi normal dan independent dari return dipenuhi, selanjutnya model
Gerak Brown Geometri dapat digunakan untuk mensimulasi pergerakan harga saham PT. HM
Sampoerna Tbk. dimasa mendatang. Sebelumnya nilai volatility dan µ harus diketahui.
Untuk mengetahui nilai volatility dan µ digunakan metode Maximum Likelihood Estimation.
Misalkan
sampel acak dengan pdf f(xi,θ) ,i = 1, 2, ... ,n dengan θ ϵ Θ.
Apabila L yaitu fungsi peluang bersama dari X1,X2,...,Xn dipandang sebagai fungsi dari θ dan
X1, X2, ... , Xn konstan, maka L(θ) =
disebut sebagai fungsi likelihood.
Misalkan X1,X2,...,Xn sampel acak dengan pdf f(xi,θ) dan fungsi likelihood L(θ). Nilai
= θ(X1,X2,...,Xn) yang memaksimumkan L(θ) yakni L( ) ≥ L(θ) untuk semua θ ϵ Θ
dinamakan Maximum Likelihood Estimation (MLE) untuk θ. Selanjutnya dibentuk fungsi
Likelihood
Diambil l adalah nilai logaritma dari fungsi Likelihood diatas sehingga diperoleh bentuk
7
.
Nilai optimal µ diperoleh dengan kondisi
, sehingga didapatkan
.
Demikian pula nilai optimal
(5)
diperoleh dengan memenuhi kondisi
, sehingga
didapatkan
(6)
dengan x = return;
= variansi dari return; µ = ekspektasi dari return.
Dengan menggunakan persamaan (5) dan (6) maka diperoleh
= 0,00281 ,
= 0,000402 dan volatility = 0,02004.
Simulasi Gerak Brown Geometrik
Setelah didapatkan estimasi volatility dan µ, maka selanjutnya dilakukan 100 simulasi
harga saham tiga bulan mendatang (T = 1/4) dengan
sama dengan 53000 yang dilihat dari
data harga saham penutupan PT. HM Sampoerna tanggal 29 Februari 2012.
Untuk simulasi Gerak Brown Geometrik, persamaan (3) dituliskan dalam bentuk :
dengan Z adalah bilangan acak berdistribusi normal baku (Brigo,2007) dan dt = T/n.
Hasil dari simulasi pergerakan harga saham selama satu tahun mendatang ditunjukkan
oleh Gambar 7.
8
4
5.45
Simulasi Pergerakan Harga Saham
x 10
5.4
Harga Saham(Rupiah)
5.35
5.3
5.25
5.2
5.15
5.1
0
0.05
0.1
0.15
waktu(Tahun)
0.2
0.25
Gambar 7. simulasi pergerakan harga saham PT. HM Sampoerna Tbk.
selama tiga bulan mendatang.
Dari Gambar 7 dapat dilihat adanya variasi perubahan harga saham saat tiga bulan
kedepan. Seperti yang sudah dijelaskan sebelumnya, hal ini disebabkan oleh adanya faktor
dari luar yaitu informasi baru tentang saham PT. HM Sampoerna Tbk.
Studi Error
Karena
, artinya nilai saham t menentukan nilai saham pada
waktu selanjutnya (t + 1), sehingga nilai
juga berpengaruh terhadap kesalahan simulasi
pada waktu (terjadi perambatan error).
Data harga saham penutupan harian PT. HM Sampoerna Tbk. tanggal 29 Februari
sampai 31 Mei 2012 yang ditunjukan oleh Gambar 8 digunakan untuk mendapatkan nilai
error dari simulasi yang ditunjukkan oleh Gambar 7. Prosentase Nilai error didapatkan
dengan menggunakan rumus
dengan
merupakan rata – rata dari simulasi ke i dan ditunjukan oleh Gambar 9.
9
4
5.6
x 10
Studi Error
Harga Saham PT. HM Sampoerna Tbk. tanggal 29 Februari sampai 31 Mei 2012
5
4.5
Error Dari Simulasi (dalam persen)
5.55
Harga Saham
5.5
5.45
5.4
5.35
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
5.3
0.5
5.25
0
10
20
30
40
50
60
0
70
waktu(Hari)
Gambar 8. Harga Saham Penutupan Harian PT.
0
10
20
30
40
waktu(Hari)
50
60
70
Gambar 9. Nilai Error Dari Simulasi
HM Sampoerna Tbk. Tanggal 29 Februari Sampai
31 Mei 2012
Prosentase nilai error terbesar dari simulasi adalah sebesar 4.95 %.
KESIMPULAN
Pada makalah ini telah dijelaskan mengenai bagaimana menguji asumsi yang terdapat
pada Gerak Brown Geometri serta simulasi Gerak Brown Geometrik. Data yang digunakan
data harga saham penutupan harian dari PT. H.M. Sampoerna Tbk. pada tanggal 1 Maret
2010 sampai 29 Februari 2012. Hasil yang didapatkan adalah return dari harga saham
penutupan harian dari PT. H.M. Sampoerna Tbk. pada tanggal 1 Maret 2010 sampai 29
Februari 2012 berdistribusi normal dan independent sehingga harga saham penutupan harian
dari PT. H.M. Sampoerna Tbk. pada tanggal 1 Maret 2010 sampai 29 Februari 2012
mengikuti Gerak Brown Geometrik. Data harga saham penutupan harian PT. HM Sampoerna
Tbk. tanggal 29 Februari sampai 31 Mei 2012 digunakan untuk mengamati nilai error dari
simulasi. Dengan mengamati nilai error tersebut dapat disimpulkan bahwa Gerak Brown
Geometrik dapat digunakan untuk memprediksi pergerakan dari harga saham penutupan
harian dari PT. H.M. Sampoerna Tbk.
10
DAFTAR PUSTAKA
Black, F. Scholes, M. 1973. The Pricing of Options and Corporate Liabilities, The Journal of
Political Economy, Vol 81. No. 3.
Brigo, D. D’alessandro, A. Neugebauer, M. and Triki, F. 2007. A Stochastic Processes
Toolkit for Risk Management, http://ssrn.com/abstract=1109160, (diakses pada 25 Februari
2012).
Higham, Desmond J., 2004. An Introduction to Financial Option Valuation. United
Kingdom: Cambridge University Press.
HMSP.JK Historical Prices, http://finance.yahoo.com, (diakses pada 1 Maret 2012).
Hull, John C. 2009. Options,Futures, and Other Derivatives, 7th Edition. New Jersey: Pearson
Education.
Kurniawan, D. 2008. Regresi Linier, http://ineddeni.wordpress.com,(diunduh pada 10 Mei
2012).
Nugroho, D. B. 2008. Aplikasi Metode Elemen Hingga Dalam Perhitungan Harga Opsi Asia
Pada Traded Account, Thesis, Bandung: Institut Teknologi Bandung.
Pradhitya, K.A.S., Susanto, B., dan Parhusip,H.A.,2012. Perhitungan Harga Opsi Eropa
Menggunakan Metode Gerak Brown Geometri. Prosiding Seminar Nasional Penelitian,
Pendidikan dan Penerapan MIPA,Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta.
Rahman, A. 2010. Model Black-Scholes Put-Call Parity Harga Opsi Tipe Eropa Dengan
Pembagian Dividen, Skripsi. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas
Sebelas Maret, Surakarta.
11
PENUTUP
Hasil analisa dan pembahasan yang didapatkan adalah return dari harga saham
penutupan harian dari PT. H.M. Sampoerna Tbk. pada tanggal 1 Maret 2010 sampai 29
Februari 2012 berdistribusi normal dan independent sehingga harga saham penutupan harian
dari PT. H.M. Sampoerna Tbk. pada tanggal 1 Maret 2010 sampai 29 Februari 2012
mengikuti Gerak Brown Geometri. Data harga saham penutupan harian PT. HM Sampoerna
Tbk. tanggal 29 Februari sampai 31 Mei 2012 digunakan untuk mengamati nilai error dari
simulasi. Dengan mengamati nilai error tersebut dapat disimpulkan bahwa Gerak Brown
Geometri dapat digunakan untuk memprediksi pergerakan harga saham ataupun menentukan
harga Opsi Eropa PT. H.M. Sampoerna Tbk.
2
DAFTAR PUSTAKA
Alam,M.M dan Uddin , G.S. 2009. Relationship between Interest Rate and Stock Price:
Empirical Evidence from Developed and Developing Countries, Journal of Business and
Management, Vol 4. No. 3, http://ccsenet.org/journal/index.php/ijbm/article/view/217,
(diakses pada 24 April 2012).
BI Rate, http://www.bi.go.id/web/id/Moneter/BI+Rate/Penjelasan+BI+Rate, (diakses pada 6
Maret 2012).
Black, F. Scholes, M. 1973. The Pricing of Options and Corporate Liabilities, The Journal of
Political Economy, Vol 81. No. 3
Brigo, D. D’alessandro, A. Neugebauer, M. and Triki, F. 2007. A Stochastic Processes
Toolkit for Risk Management, http://ssrn.com/abstract=1109160, (diakses pada 25 Februari
2012).
Higham, Desmond J., 2004. An Introduction to Financial Option Valuation. United
Kingdom: Cambridge University Press.
HMSP.JK Historical Prices, http://finance.yahoo.com, (diakses pada 1 Maret 2012).
Hull, John C. 2009. Options,Futures, And Other Derivatives, 7th Edition. New Jersey:
Pearson Education.
Kurniawan, D. 2008. Regresi Linier, http://ineddeni.wordpress.com,(diunduh pada 10 Mei
2012).
Nugroho, D. B. 2008. Aplikasi Metode Elemen Hingga Dalam Perhitungan Harga Opsi Asia
Pada Traded Account, Thesis, Bandung: Institut Teknologi Bandung.
Peressini, A. L. Sullivan, F.E. and Uhl, J.J. 1988. The Mathematics of Nonlinear
Programming. New York : Springer-Verlag.
Rahman, A. 2010. Model Black-Scholes Put-Call Parity Harga Opsi Tipe Eropa Dengan
Pembagian Dividen, Skripsi. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas
Sebelas Maret.
Wikipedia, http://id.wikipedia.org/wiki/Opsi_%28keuangan%29, (diakses pada 3 Januari
2012).