lecture 7: the cuantor set

Dynamical Systems
Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc
Departement of Mathematics FMIPA UNS
LECTURE 7: THE CUANTOR SET
A.
The Cantor Middle-Thirds Set
Pada bagian ini, kita akan mendiskusikan konstruksi himpunan Cantor
Middle-Thirds atau cukup disebut himpaunan Cantor. Kita akan
melihat bagaimana himpunan seperti ini selalu muncul dalam dinamik.
Selain itu, himpunan Cantor merupakan jenis fractal paling dasar.
Konstruksi Himpunan Cantor. Untuk mengkonstruksi himpunan
cantor dimulai dari interval
= [0,1]
Selanjutnya, kita membuang the middle third dari interval di atas, yaitu
interval terbuka
= 0,
∪
,
, sehingga tersisa sepasang interval tertutup:
,1 Sekarang proses di atas diulang untuk setiap interval tersisa, sehingga
diperoleh interval
= 0,
∪
,
∪
,
∪
,1 Pada setiap stage, kita membuang the midde third dari setiap interval
tersisa dari stage sebelumnya. Limit dari proses di atas akan membentuk
himpunan Cantor (the middle third cantor set), yang dinotasikan dengan
, yaitu
= lim → ⋂
Konstruksi himpunan Cantor hampir sama dengan konstruksi himpunan ∧
pada bagian sebelumnya. Dapat ditunjukkan dan ∧ mempunyai banyak
kesamaan sifat. Dengan argumen yang sama, dapat ditunjukan bahwa
tertutup (closed) dan totally disconnected. Selain itu, terdapat banyak titik
di ; diantaranya yaitu setiap endpoint dari the middle third yang dibuang
tetap berada di .
0
1
1/3
1/9
2/9
2/3
7/9
Konstruksi Himpunan Cantor
8/9
Dynamical Systems
Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc
Departement of Mathematics FMIPA UNS
Sifat-sifat Himpunan Cantor
(1)
merupakan himpunan bagian tertutup dari [0,1], karena merupakan komplemen dari gabungan himpunan-himpunan terbuka.
(2)
totally disconnected, sama dengan ∧, dapat ditunjukkan
tidak
memuat suatu interval.
(3)
∈ jika dan hanya jika terdapat ternary expansion sedemikian sehingga
= 0.
…., dengan = 0 atau 2,
yaitu ≠ 1.
(4)
merupakan himpunan uncountable, yaitu tidak ada korespondensi
1-1 antara ℕ dan .
Contoh. Didefinisikan Tent map:
: [0,1] → [0,1], dengan
⎧ 3 jika ∈ 0,
⎪
= 3 − 3 jika ∈ , 1
⎨
⎪unde inedjika ∈ ,
⎩
= [0,1] dan didefinisikan fungsi rekursif
(
).
=
Inverse image dapat ditulis sebagai berikut:
Misal
: [0,1] → 0, ( )=
: [0,1] →
( )=
,1 ( ) = dan
( ) = , sehingga diperoleh
Dapat dicek bahwa
(
)= (
)∪ (
).
=
Berikut merupakan ilustrasi beberapa iterasi:
Limit dari proses tersebut merupakan himpunan Cantor
= lim → ⋂
Dynamical Systems
Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc
Departement of Mathematics FMIPA UNS
Ternary Expansions. Untuk mempelajari himpunan Cantor lebih lanjut,
perlu dikenalkan terlebih dahulu mengenai ternary expansions dari
bilangan real. Diberikan deret geometri
∑
=1+ + + +⋯
Deret tersebut konvergen absolut jika | | < 1, dan diperoleh
∑
=
.
Secara umum
∑
=
.
Sebagai contoh,
∑
=
= 3 dan ∑
=
= 2.
Sekarang untuk setiap bilangan bulat positif ,
atau 2. Maka, deret
∑
mempunyai nilai 0, 1,
didominasi oleh barisan geometri konvergen
∑
=2
karena 0 ≤
= 1,
≤
untuk setiap . Oleh karena itu, dengan Tes Banding
(comparison test), deret ∑
0≤
konvergen dan
≤ 1.
Definition. Barisan bilangan bulat 0.
0, 1, atau 2 disebut ternary expansion dari
=∑
… dengan
jika
mempunyai nilai
.
Contoh. Barisan 0.020202... merupakan ternary expansion dari 1/4 karena
+
+
+
+⋯=2 ∑
= .
Cara mencari ternary expansion dari
1
3
9
3
1/4
0
2
0
= .
9-2.4 = 1
berulang
Sehingga = 0. 02 = 0.020202 …
Catatan bahwa nilai
pada interval [0,1] dapat mempunyai ternary
expansion berbeda. Sebagai contoh:
Dynamical Systems
Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc
Departement of Mathematics FMIPA UNS
= mempunyai ekspansi 0.10000... dan 0.02222...karena
Contoh 1.
∑
= ∑
= .
Cara mencari ternary expansion dari
1/3
2
0
0
1
3
0
0
= .
1/3
0
2
2
1
3
9
9
3 − 1.3 = 0
berulang
9 − 2.3 = 3
berulang
Jadi, = 0.10 = 0.10000 … atau = 0.02 = 0.02222 ….
= memiliki ekspansi 0.220000 … dan 0.21222 …, karena
Contoh 2.
+ +∑
= +
∑
= .
Cara mencari ternary expansion dari
8/9
2
2
0
0
8
24
18
0
0
= .
24 − 2.9 = 6
18 − 2 .9 = 0
Berulang
Jadi, = 0.220 = 0.220000 … atau
8/9
2
1
2
2
8
24
18
27
27
24 − 2.9 = 6
18 − 1.9 = 9
27 − 2.9 = 9
berulang
= 0.212 = 0.212222 ….x
Dari kedua contoh di atas, dapat dicek bahwa barisan dengan bentuk
0.
0.
…
…
10000 …, dan
02222 …
mempunyai nilai sama. Demikian juga dengan barisan
0.
0.
Jika
letak
…
…
20000 …, dan
12222 …
mempunyai ternary expansion 0.
dari interval [0,1], yaitu
…, maka digit

jika
= 0, maka
∈ 0, , subinterval kiri,

jika
= 1, maka
∈
, , subinterval tengah,

jika
= 2, maka
∈
, 1 , subinterval kanan.
menentukan
Dynamical Systems
Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc
Departement of Mathematics FMIPA UNS
merupakan himpunan uncountable.
Suatu himpunan dikatakan countable jika dapat dibentuk korespondensi satu-satu dari himpunan bilangan bulat positif ke himpunan
tersebut. Suatu himpunan termasuk uncountable jika bukan himpunan berhingga maupun countable.
Contoh. Himpunan bilangan rasional adalah countable, sedangkan
himpunan semua bilangan real, himpunan semua bilangan irasional,
dan sebarang interval ( , ) dengan ≠ adalah uncountable.
Proposisi 1. Jika ∈ , maka
hanya memuat 0 dan 2.
mempunyai ternary expansion yang
Proposisi 2. Himpunan Cantor merupakan himpunan uncountable.
Bukti:
Misal terdapat suatu fungsi bijeksi
:ℕ →
dengan suatu himpunan countable. Sehingga kita dapat menyebutkan elemen-elemen dari = { , , … }. Berdasarkan Proposisi 1,
mempunyai ternary expansion. Misal
menyatakan bilangan kepada ternary expansion dari . Didefinisikan bilangan ternary baru
dengan
≡2−
, sehingga = 0.
…. Maka ternary expansion
dari
berbeda dengan ternary expansion dari setiap ∈ paling
sedikit di satu tempat. Selanjutnya, mempunyai ternary expansion
yang hanya memuat 0 dan 2, sehingga, ∈ . Terjadi kontradiksi
terhadap asumsi bahwa bijeksi.