Dokumen Hafiludin

Dokumen Hafiludin
(Sabtu, 9-5-2015)
2015
9
PERSAMAAN KUADRAT DALAM GELANGGANG MATRIKS BUJUR
SANGKAR
1. Nilai Eigen dan Vector Eigen dari Sebuah Matriks
Definisi:
Misalkan A adalah matriks n n, maka vector tak nol v di dalam Rn disebut vector
eigen dari matriks A bilamana Av adalah kelipatan scalar dari v, yakni
Av = v
Skalar
disebut nilai eigen dari matriks A dan v disebut vector eigen yang
bersesuaian dengan nilai eigen .
Untuk mendapatkan nilai eigen dan vector eigen tersebut digunakan tahapantahapan
Av = v
Av = Iv
Av - Iv = 0
(A - I)v = 0
Agar diperoleh solusi tak trivial (bukan nol) maka haruslah
determinan matriks (A - I) = 0,
yakni
| A - I | = 0 ……….(**)
Persamaan (**) disebut persamaan karakteristik A. Untuk matriks n n akan
didapatkan polinom derajat n dan persamaan (**) memiliki n akar.
Setelah itu, nilai eigen yang sudah didapatkan disubtitusikan ke persamaan
(A - I)v = 0 untuk mendapatkan vector eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen
tersebut.
2. Menentukan Matriks An dengan A adalah Matriks Bujur Sangkar
Definisi:
Matriks bujur sangkar A dapat didiagonalisasi jika terdapat matriks diagonal
D dan matriks P yang dapat dibalik sedemikian sehingga A = PDP-1.
Teorema:
Matriks bujur sangkar n n, A dapat didiagonalisasi bila dan hanya bila A
memiliki n vector eigen yang berbeda.
Terkait dengan teorema ini terdapat matriks P dan matriks diagonal D
sehingga A = PDP-1 di mana vector kolom matriks P adalah vector-
1
Dokumen Hafiludin
2015
(Sabtu, 9-5-2015)
9
vector eigen dari A dan D adalah matriks daiagonal dengan entri-entri
diagonalnya adalah nilai eigen yang bersesuaian dengan vector eigen
dalam matriks P.
Di sini kita dengan mudah menentukan matriks An menggunakan hasil
diagonalisasi. Untuk menentukan An di mana n adalah bilangan asli, kita tinggal
melakukan pemangkatan pada matriks diagonal D.
Perhatikan bahwa
A2 = (PDP-1)(PDP-1)= PDIDP-1 = PDDP-1 = PD2P-1
A3 = (PDP-1)(PDP-1)(PDP-1) = (PD2P-1 )(PDDP-1) = PD2 IDP-1 = PD3P-1
Dengan demikian An = PDnP-1
Contoh:
Tentukan nilai eigen dan vector eigen dari matriks A =
Jawab:
A- I=
=
|A- I|=
= (1 - )2 – 4 =
2
-2 -3
Persamaan karakteristiknya merupakan fungsi kuadrat (polinom derajat dua)
dalam . Untuk mendapatkan pembuat nol kita gunakan persamaan
2 -2 - 3 = 0
( - 3) ( + 1) = 0
1 = 3 dan 2 = -1
Dengan demikian kita dapat mencari vector eigen dari nilai-nilai eigen tersebut.
Untuk
= 3, misalkan vector eigen adalah v1 =
(A - 3I)v = 0
, maka
=
=
Yakni -2a + 2b = 0 atau a = b.
Jadi v1 =
Untuk
=
=a
= -1, misalkan vector eigen adalah v2 =
, maka
[A +(1)I]v = 0
=
=
Yakni 2c + 2d = 0 atau d = c.
2
Dokumen Hafiludin
2015
(Sabtu, 9-5-2015)
9
Jadi v2 =
=
=d
Dengan demikian A = PDP-1 =
=
Jadi An = PDnP-1 =
3. Persamaan Kuadrat Dalam Gelanggang Matriks
Diberikan
=
koefisien dalam
dengan A, B, C
2 2 serta A 0.
. Peramaan kuadrat dalam X terkait koefisienberbentuk
AX2 + BX + C = 0 …….(*)
, X adalah matriks ukuran 2x2, 0 adalah matriks nol ukuran
Untuk kasus A = aI, B = bI, C = cI dengan a, b, c adalah konstanta real, I matriks
identitas 2 2 maka akan kita peroleh persamaan
aIX2 + bIX + cI = 0
yakni
aX2 + bX + cI = 0
Teorema Cayley-Hamilton:
Misalkan A adalah matriks n n. Jika c0 + c1 + c2 2 + ….+ cn-1
adalah persamaan karakteristik dari matriks A maka
c0 I+ c1A + c2A2 + ….+ cn-1An-1 + An = 0
n-1
+
n
=0
Catatan:
0 (Nol dicatak biasa) adalah bilangan real.
0 (dicetak tebal adalah simbol untuk matriks nol atau terkadang sebagai vector
nol). Kadang-kadang menggunakan huruf O untuk menotasikan matriks nol atau
vector nol.
Contoh:
Karena
2
- 2 - 3 = 0 adalah persamaan karakteristik dari matriks A =
maka
A2 – 2A – 3I = 0, yakni
-2
-3
=
3
Dokumen Hafiludin
2015
(Sabtu, 9-5-2015)
9
Cek kembali:
-2
-3
=
-
-
=
-
=
Contoh:
Carilah salah satu akar dari persamaan berikut
X2 – 4X + 4I = 0 dengan X adalah matriks 2
2, 0 =
dan I =
Jawab:
Misalkan adalah nilai eigen dari matriks X, maka dapat ditentukan nilai
2– 4 + 4 = 0
( - 2)( - 2) = 0
Jadi 1 = 2 = 2
Dapat kita misalkan salah satunya, X
I=
, dengan demikian X =
Periksa kembali (looking back):
4
+4
=
–
=
Secara umum bila X =
maka X
+
+
=
I =
memenuhi persamaan
karakteristik dari X adalah
2 – (a + d) – (bc – ad) = 0.
( – a)( – d) – bc = 0
Dalam soal di atas, persamaan di atas ekivalen dengan
2– 4 + 4 = 0
Jadi a + d = 4 dan bc – ad = –4.
Bilamana diambil a = 1 maka d = 3 dan bc = –1. Bilamana b = 1 maka c = –1.
Diperoleh X =
. Ingat, ini bukan solusi umum, tetapi hanya salah satu solusi
dari akar-akar yang ada. Masih banyak akar-akar yang lain.
Jadi, secara umum akar-akar X dari persamaan di X2 – 4X + 4I = 0 adalah
X=
dengan bc = –4 + a(4 – a) dengan a adalah bilangan real sebarang.
4
Dokumen Hafiludin
(Sabtu, 9-5-2015)
2015
9
Latihan
1. Periksa persamaan kuadrat untuk gelanggang matriks real ukuran 2 2 di
mana
aX2 + bX + cI = O
a, b, c R, X adalah matriks diagonal 2 2, I merupakan matriks identitas
2 2, dan O adalah matriks nol ukuran 2 2. Temukan kasus-kasus yang
terkait.
2. Buktikan Teorema Cayley-Hamilton
5