Pertemuan 5

PERTEMUAN 5
Teori Himpunan
Teori Himpunan
Definisi 7:
Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang
terdfinisi dengan jelas
Penyajian Himpunan
1. Enumerasi
Enumerasi artinya menuliskan semua elemen (anggota) himpunan
yang bersangkutan di antara dua buah tanda kurung kurawal.
Contoh:
Himpunan A yang berisi empat buah anggota 1, 2, 3, dan 4 dapat
ditulis sebagai A = {1, 2, 3, 4}
Himpunan B yang berisikan nama-nama hari dapat ditulis sebagai B
={senin, selasa, rabu, kamis, jum’at, sabtu, minggu}
2. Simbol-Simbol Baku
Beberapa himpunan yang khusus dituliskan dengan symbol-simbol
yang sudah baku. Terdapat sejumlah symbol baku yang berbentuk
huruf tebal yang biasa digunakan untuk mendefinisikan himpunan
yang sering digunakan, antara lain:
P = himpunan bilangan bulat positif = {1, 2, 3, 4, …}
N = himpunan bilangan asli = {1, 2, 3, 4, …}
Z = himpunan bilangan bulat = { …, -2, -1, 0, 1, 2, … }
Q = himpunan bilangan rasional
R = himpunan bilangan riil
C = himpunan bilangan kompleks
3. Notasi Pembentuk Himpunan
Notasi pembentuk himpunan, yakni himpunan dinyatakan dengan menulis syarat-syarat keanggotaan yang harus dipenuhi oleh
anggotanya
Notasi : { x | syarat yang harus dipenuhi oleh x }
Aturan yang digunakan dalam penulisan syarat keanggotaan:
a. Bagian di kiri tanda “ | “ melambangkan elemen himpunan
b. Tanda “ | “ dibaca dimana atau sedemikian sehingga
c. Bagian di kanan tanda “ | “ menunjukkan syarat keanggotaan himpunan
d. Setiap tanda “ , “ di dalam syarat keanggotaan dibaca sebagai dan
Contoh:
1. A adalah himpunan bilangan bulat positif yang kecil dari 5, dinyatakan sebagai
A = { x | x adalah himpunan bilangan bulat positif lebih kecil dari 5 }
atau
𝐴 = 𝑥|𝑥 ∈ 𝑷, 𝑥 < 5
yang sama dengan A = { 1, 2, 3, 4 }
2. B adalah himpunan bilangan genap positif yang lebih kecil atau sama dengan 8, dinyatakan sebagai
B = { x | x adalah himpunan bilangan bulat positif lebih kecil atau sama dengan 8 }
atau
𝐵 = 𝑥 | 𝑥 2 ∈ 𝑷, 2 ≤ 𝑥 ≤ 8
yang sama dengan B ={ 2, 4, 6, 8 }
2. B adalah himpunan bilangan genap positif yang lebih kecil atau sama dengan 8, dinyatakan sebagai
B = { x | x adalah himpunan bilangan bulat positif lebih kecil atau sama dengan 8 }
atau
𝐵 = 𝑥 | 𝑥 2 ∈ 𝑷, 2 ≤ 𝑥 ≤ 8
yang sama dengan B ={ 2, 4, 6, 8 }
4. Diagram Venn
Diagram venn menyajikan himpunan secara grafis
Contoh:
Misalkan S = {1, 2, … , 7, 8} , A = { 1, 2, 3, 4 } dan B = { 2, 5, 6, 8 }. Ketiga himpunan tersebut
digambarkan dengan diagram venn sebagai berikut
A
S
1
3
4
B
2
5
8
6
7
Kardinalitas
Definisi 7:
Sebuah himpunan dikatakan berhingga (finite set) jika terdapat n elemen
berbeda yang dalam hal ini n adalah bilangan bu;at tak negative. Sebaliknya,
himpunan tersebut dinamakan tak berhingga (infinite set)
Misalkan A merupakan himpunan berhingga, maka jumlah elemen berbeda di
dalam A disebut kardinal dari himpunan A
Notasi: n(A) atau |A|
Contoh:
A = { kucing, a, Amir, 10, paku } maka |A| = 5
B = { x | x merupakan bilangan prima yang lebih kecil dari 20 }, maka |B| = 8
C = { x | x adalah bilangan bulat positif kurang dari 1 }, maka |C| = 0
Macam-Macam Himpunan
Himpunan Kosong
Definisi 8:
Himpunan yang tidak memiliki satupun anggota atau himpunan
dengan kardinal = 0 disebut himpunan kosong
Notasi : ∅ atau { }
Contoh:
A = { orang Indonesia yang pernah pergi ke bulan }, maka |A| = 0
P = { x| x adalah akar-akar persamaan kuadrat 𝑥 2 + 5𝑥 + 10 = 0, |P|
=0
Himpunan Bagian
Definisi:
Himpunan A dikatakan himpunan bagian (subset) dari himpunan B jika
hanya jika setiap elemen A merupakan elemen dari B. dalam hal ini B
adalah superset dari A
Notasi: 𝐴 ⊆ 𝐵
Dengan diagram venn berikut
S
B
A
Contoh:
i) 1,2,3 ⊆ 1,2,3,4,5
ii) 1,2,3 ⊆ 1,2,3
Himpunan yang Sama
Definisi 9:
Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B jika dan hanya jika keduanya
mempunyai elemen yang sama. Dengan kata lain, A sama dengan B jika A adalah
himpunan bagian dari B dan B adlah himpunan bagian dari A. Jika tidak demikian,
maka A tidak sama dengan B.
Notasi: 𝐴 = 𝐵 ↔ 𝐴 ⊆ 𝐵 𝑑𝑎𝑛 𝐵 ⊆ 𝐴
Contoh:
i) Jika A = {0,1} dan B = { x | x (x-1) = 0 }, maka A = B
ii) Jika A = {3, 5, 8, 5} dan B = {5, 3, 8}, maka A =B
iii) Jika A = {3, 5, 8, 5} dan B = {3, 8}, maka 𝐴 ≠ 𝐵
Tiga hal yang perlu diingat dalam memeriksa kesamaan dua buah himpunan:
1. Urutan elemen di dalam himpunan tidak penting
2. Pengulangan elemen tidak mempengaruhi kesamaan dua buah himpunan
3. Untuk tiga buah himpunan A, B dan C berlaku aksioma berikut:
a. A =A, B = B dan C =C
b. Jika A = B maka B = A
c. Jika A =B dan B = C maka A = C
Himpunan yang Sama
Definisi 9:
Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B jika dan hanya jika keduanya
mempunyai elemen yang sama. Dengan kata lain, A sama dengan B jika A adalah
himpunan bagian dari B dan B adlah himpunan bagian dari A. Jika tidak demikian,
maka A tidak sama dengan B.
Notasi: 𝐴 = 𝐵 ↔ 𝐴 ⊆ 𝐵 𝑑𝑎𝑛 𝐵 ⊆ 𝐴
Contoh:
i) Jika A = {0,1} dan B = { x | x (x-1) = 0 }, maka A = B
ii) Jika A = {3, 5, 8, 5} dan B = {5, 3, 8}, maka A =B
iii) Jika A = {3, 5, 8, 5} dan B = {3, 8}, maka 𝐴 ≠ 𝐵
Tiga hal yang perlu diingat dalam memeriksa kesamaan dua buah himpunan:
1. Urutan elemen di dalam himpunan tidak penting
2. Pengulangan elemen tidak mempengaruhi kesamaan dua buah himpunan
3. Untuk tiga buah himpunan A, B dan C berlaku aksioma berikut:
a. A =A, B = B dan C =C
b. Jika A = B maka B = A
c. Jika A =B dan B = C maka A = C
Himpunan yang Ekuivalen
Definisi 10:
Himpunan A dikatakan ekuivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika cardinal
dari kedua himpunan tersebut sama.
Notasi: 𝐴 ∼ 𝐵 ↔ 𝐴 = |𝐵|
Contoh:
Jika A = {1, 3, 5, 7} dan B = {a, b, c, d}, maka 𝐴 ∼ 𝐵 sebab 𝐴 = 𝐵 = 4
Himpunan yang Saling Lepas
Definisi 11:
Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas jika keduanya tidak memiliki elemen
yang sama
Notasi: 𝐴 // 𝐵
Berikut diagram venn dua himpunan saling lepas
S
B
A
Contoh:
Jika 𝐴 = 𝑥|𝑥 ∈ 𝑷, 𝑥 < 8 dan 𝐵 = 10,20,30, … , maka 𝐴 // 𝐵
Himpunan Kuasa
Definisi 12:
Himpunan kuasa dari himpunan A adalah suatu himpunan yang elemennya
merupakan semua himpunan bagian dari A, termasuk himpunan kosong dan
himpunan A itu sendiri.
Notasi: 𝑃 𝐴 𝑎𝑡𝑎𝑢 2𝐴
Contoh:
Jika 𝐴 = 1,2 maka 𝑃 𝐴 = ∅, 1 , 2 , {1,2}