BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Ruang sampel dan Kejadian Definisi

BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1 Ruang sampel dan Kejadian
Definisi 1
Himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan disebut ruang sampel dan
dinyatakan dengan S (Montgomery, 2004: 17).
Tiap hasil dari ruang sampel disebut unsur atau anggota ruang sampel tersebut
atau dengan istilah titik sampel.
Contoh:
Suatu percobaan melantunkan sebuah dadu, bila yang diselidiki adalah kemungkinan
semua nomor yang muncul maka ruang sampelnya.
S = {1,2,3,4,5,6}
Definisi 2
Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel suatu percobaan.
Contoh:
Universitas Sumatera Utara
Misalkan ruang sampel dari pelantunan dua mata uang sebanyak satu kali adalah
S = {mm, mb, bm, bb} , m menyatakan muka dan b menyatakan belakang. Misalkan
himpunan bagian dari percobaan yang menghasilkan satu muka dan satu belakang
dinyatakan sebagai berikut E = {mb, bm}
2.2 Peluang Suatu Kejadian
Teori peluang mempelajari tentang peluang terjadinya suatu kejadian atau
peristiwa.Peluang dinyatakan antara 0 dan 1,
Teorema
Bila suatu percobaan dapat menghasilkan N macam hasil yang berkemungkinan sama
dan bila tepat sebanyak n dari hasil berkaitan dengan kejadian A, maka peluang
kejadian A:
P ( A) =
n( A)
N
2.3 Peubah Acak dan Distribusi Peluang
2.3.1 Peubah Acak
Peubah acak adalah fungsi yang dinyatakan dengan bilangan real untuk setiap
percobaan pada ruang sampel.
Universitas Sumatera Utara
Ada dua macam peubah acak, yaitu peubah acak diskrit dan peubah acak
kontinu. Dikatakan peubah acak diskrit adalah jika semua himpunan nilai yang
mungkin dari suatu peubah acak merupakan himpunan terbilang (countable set).
Dikatakan peubah acak kontinu adalah jika himpunan semua nilai yang mungkin dari
suatu peubah acak merupakan selang bilangan real.
2.3.2 Distribusi Peluang
Fungsi f (x) adalah suatu fungsi peluang atau distribusi peluang suatu peubah acak
diskrit X bila, untuk setiap hasil x yang mungkin.
1. f ( x) ≥ 0
n
2.
∑
i =1
f ( xi ) = 0
3. Pr( X = x) = f ( x)
Definisi 3
Distribusi kumulatif F (x) suatu peubah acak diskrit X dengan distribusi peluang
f (x) dinyatakan oleh
n
F ( x) = Pr( X = x) = ∑ f ( xi )
i =1
Definisi 4
Universitas Sumatera Utara
Fungsi f (x) adalah fungsi padat peluang peubah acak kontinu X , maka fungsi
densitas probabilitasnya f (x) adalah sebagai berikut:
1. f ( x) ≥ 0 untuk semua x ∈ R
∞
2.
∫
f ( x)dx = 1
−∞
t
3. P(a ≤ x ≤ b) = ∫ f (t )dt
0
Definisi 5
Distribusi kumulatif F(x) suatu peubah acak kontinu X dengan fungsi padat peluang
f(x) dinyatakan oleh
t
F ( x) = P( X ≥ x) = ∫ f ( x)dx
0
Definisi 6
Misalkan X 1 , X 2 ,..., X n peubah acak diskrit maupun kontinu dengan distribusi padat
peluangnya f ( x1 , x 2 ,..., x n ) dan distribusi marginal f1 ( x1 ), f 2 ( x 2 ),.., f n ( x n ) . Peubah
acak X 1 , X 2 ,..., X n ) dikatakan saling bebas jika dan hanya jika
Universitas Sumatera Utara
f ( x1 , x 2 ,..., x n ) = f 1 ( x1 ). f 2( x 2 ),... f n ( x n )
Jika sampel random yang berukuran n tersebut diurutkan dalam suatu urutan
naik maka disebut statistik terurut atau order statistik dari X 1 , X 2 ,..., X n dan
dinyatakan dengan X 1n , X 2 n ,.., X nn . Misalkan X 1 , X 2 ,..., X n adalah sampel random
yang berukuran n dan fungsi distribusi probabilitasnya
f (x)
kontinu dan
f ( x) > 0, a < x < b maka fungsi densitas probabilitas dari statistik terurut ke-k< X k
adalah:
gk (X k ) =
n!
[F ( xk )]k −1 [1 − F ( xk ]n−k f ( xk ) jika a < X k <b
(k − 1)!(n − k )!
2.4 Sejarah Teori Keandalan
Keandalan adalah keadaan terbaik suatu kerja pada periode yang ditentukan untuk
sebuah komponen atau sistem, keandalan didefinisikan sebagai peluang komponen
atau suatu sistem tidak akan gagal pada waktu t.
Ilmu keandalan itu sendiri dikembangkan oleh A.K. Erlan dan C. Palm yang
digunakan untuk mengatasi masalah yang sering terjadi pada jaringan telepon. Namun
perkembangan dunia elektronika yang mempunyai berbagai permasalahan yang rumit
memaksa konsep keandalan itu lebih dikembangkan untuk memecahkan masalahmasalah yang ada.
Universitas Sumatera Utara
Konsep keandalan pada umumnya digunakan pada waktu yang berisiko tinggi
dan membahayakan, contohnya pada industri penerbangan, kegagalan yang mendadak
dan kegagalan yang terlalu sering sangat membahayakan dan berisiko tinggi
terjadinya kecelakaan. Dari segi ekonomi dan manusiawi sangat merugikan, untuk itu
dituntut keandalan sistem yang terbaik.
2.5 Konsep Dasar Distribusi Tahan Hidup
Fungsi-fungsi pada distribusi tahan hidup merupakan suatu fungsi yang menggunakan
variabel tertentu. Waktu hidup adalah interval waktu yang diamati dari suatu individu
saat perama kali masuk dalam pengamatan hingga keluar dari pengamatan. Misalnya
pengamatan suatu mahluk hidup. Variabel random nonnegatif waktu hidup kontinu
dinotasikan T dan akan membentuk suatu distribusi. Distribusi dari waktu hidup dapat
disajikan sebagai fungsi berikut:
1. Fungsi Kepadatan Peluang
Fungsi kepadatan peluang suatu probabilitas kegagalan suatu sistem dalam interval
waktu dari t sampai t + ∆t , dengan waktu T merupakan variabel random. Fungsi
kepadatan peluang dinyatakan dengan.
 P(t ≤ T < (t + ∆t )) 
f ( x) = Lim 

∆t →0
∆t


Waktu hidup merupakan variabel random nonnegatif , sehingga waktu hidup
hanya diukur untuk nilai t yang positif, maka diperoleh
Universitas Sumatera Utara
∞
f (t ) = 0 untuk t<0 dan
∫
f (t )dt = 1
0
2. Fungsi Tahan Hidup
Fungsi Tahan hidup adalah peluang suatu sistem bertahan hidup lebih dari waktu t
dengan t > 0 fungsi tahan hidup dinyatakan S (t )
∞
S (t ) = P(T ≥ t ) = ∫ f ( x)dx = 1 − F (t )
0
Dalam beberapa hal khususnya yang mencakup tahan hidup dari komponenkomponen industri,. S (t ) dinyatakan sebagai fungsi reliabilitas.
Dalam hal ini fungsi tahan hidup S (t ) merupakan fungsi kontinu menurun
secara kontinu dengan S (0) = 1 , artinya peluang suatu sistem bertahan hidup lebih
lama dari waktu nol adalah 1 dan S (∞) = 0 , artinya peluang suatu sistem atau
komponen bertahan hidup pada waktu yang tak terhingga adalah 0.
3. Fungsi Kegagalan (Hazard Function)
Universitas Sumatera Utara
Fungsi hazard adalah probabilitas suatu sistem atau komponen gagal dalam interval
waktu dari t sampai t + ∆t , jika diketahui suatu sistem atau komponen tersebut masih
dapat bertahan hidup sampai dengan waktu t maka fungsi hazard secara matematika
dinyatakan sebagai:
 P(t ≤ T < (t + ∆t ) T ≥ t 
h(t ) = lim 

∆t →0
∆t


(2.1)
Misalkan f(t) adalah fungsi densitas probabilitas pada waktu t, maka dari
persamaan (2.1) diperoleh
 P(t ≤ T < (t + ∆t ) T ≥ t ) 
h(t ) = lim 

∆t →0
∆t


 P(t ≤ T < (t + ∆t ) ∩ (T ≥ t )) 
= lim 

∆t →0
P(T ≥ t )∆t


 P(t ≤ T < (t + ∆t )) 
= lim 

∆t →0
P(T ≥ t )∆t


 F (t + ∆t ) − F (t ) 
= lim 

∆t →0
 ∆t (1 − F (t )) 
 F (t + ∆t ) − F (t ) 
= lim 

∆t →0
∆t ( S (t ))


,
F (t )
=
S (t )
Universitas Sumatera Utara
f (t )
S (t )
h(t ) =
Fungsi kegagalan dapat juga diturunkan dengan memisalkan sebuah populasi
yang mempunyai item sebesar N dengan distribusi kegagalan F (t ) . Misal N(t)
sebuah variabel acak maka nilai dari
peluang sukses item pada waktu t akan
membentuk distribusi binomial sebagai berikut:
P[N (t ) = n] =
[
N!
R (t )
n!( N − n)!
] [1 − R(t )]
n
N −n
n = 0,1,2,..., N
Nilai harapan dari N(t) adalah E [N (t )] = NR (t ) = N (t ) , sehingga
__
R(t ) =
[ ]
E N (t ) N (t )
=
N
N
(2.2)
Maka fungsi distribusi kumulatif dapat dinyatakan dengan mengunakan persamaan
(2.2) diperoleh:
F (t ) = 1 − R(t )
= 1−
=
N (t )
N
N − N (t )
N
Universitas Sumatera Utara
Dan
f (t ) =
dF (t )
dt
=−
1 d N (t )
N dt
3. Fungsi Kegagalan
Fungsi hazard adalah probabilitas suatu sistem atau komponen gagal pada waktu t
sampai t + ∆t , jika diketahui sistem atau komponen tersebut masih dapat bertahan
hidup sampai dengan waktu t, maka fungsi hazard dapat dinyatakan sebagai berikut
N (t ) − N (t + ∆t )
∆t →0
N (t )∆t
N
= lim
f (t )
∆t →0 N (t )
h(t ) = lim
h(t ) =
f (t )
R (t )
(2.3)
\
Dari persamaan 2.3 didapat hubungan fungsi kegagalan dan tahan hidup sebagai
berikut
Universitas Sumatera Utara
d N (t ) 1
dt N (t )
d
= − ln N (t )
dt
h(t ) = −
[
]
Atau
t
ln N (t ) = − ∫ h( x)dx + c
(2.4)
0
Karena N (0) = N = 1 , maka diperoleh
t
− ∫ h( x)dx = ln N (t )
0
 t

N = exp − ∫ h( x)dx 
 0

Sehingga
 t

N (t )
R(t ) =
= exp − ∫ h( x)dx 
N
 0

(2.5)
Dari uraian diatas diperoleh hubungan antara f (t ), h(t ), R(t ) sebagai berikut:
i. f (t ) = 1 − R (t )
Universitas Sumatera Utara
ii. h(t ) =
f (t )
R (t )
 t

iii. R(t ) = exp − ∫ h( x)dx  .
 0

Dengan demikian dapat dilihat bahwa ketiga fungsi pada distribusi waktu hidup yaitu
f (t ), h(t ) , dan R (t ) saling berhubungan satu dengan yang lainnya.
2.6 Sistem Keandalan
Dalam konsep keandalan juga terdapat beberapa sistem yang dinyatakan untuk
membantu menentukan apakah suatu sistem gagal secara total atau tidak.
Dalam suatu proses tidak mudah menentukan kriteria-kriteria kegagalan dalam
sistem tersebut. Sebagai contoh perhatikan sistem kegagalan dalam sistem sebuah
mobil. Jika tidak dapat berjalan, maka mobil tersebut dinyatakan telah rusak atau
gagal sistemnya. Namun haruskah rusaknya lampu depan sebuah mobil dikatakan
kegagalan sistem secara total, walaupun mobil dapat digunakan pada cuaca cerah
tetapi tidak dapat digunakan secara total pada waktu gelap atau pada malam hari. Oleh
karena itu kerusakan sistem sering dikatakan oleh kegagalan atau kerusakan dari
komponen-komponennya.
Untuk itu diberikan tiga sistem yang dapat dikatakan sebagai sistem dasar dari
keandalan sistem, yaitu sistem seri, sistem paralel, dan sistem gabungan.
Universitas Sumatera Utara
2.6.1. Sistem Keandalan Seri
Suatu sistem dapat dibedakan dengan susunan seri jika komonen-komponen yang ada
dalam sistem itu harus bekerja dan berfungsi seluruhnya agar sistem tersebut sukses
dalam menjalankan fungsinya. Atau dengan kata lain jika ada satu komponen saja
yang tidak bekerja, maka akan mengakibatkan sistem tersebut gagal dalam
menjalankan fungsinya.
Secara diagram, sistem keandalan seri dapat dilihat pada gambar 2.1
1
2
n
Gambar 2.1 Reliability Block Diagram
Diagram pada gambar 2.1 sering disebut Diagram Blok Keandalan/ Reliability
Block Diagram (RDB). Perlu diperhatikan bahwa diagram itu tidak mewakili setiap
komponen yang dihubungkan secara seri, tetapi menunjukkan bagaimana komponenkomponen itu diperlakukan dari sudut pandang keandalan.
Universitas Sumatera Utara
Jika ada n buah komponen dalam susunan seri dan masing-masing memiliki
indeks keandalan R1 R2 ,...., R n , seperti terlihat pada gambar 2.1, maka secara umum
sistem keandalan seri dinyatakan sebagai berikut:
n
RS = R1 ⋅ R2 ⋅,... ⋅ Rn = ∏ Ri
i =1
Sedangkan ekspresi ketakandalan dari sistem dengan susunan seri dari n buah
komponen adalah.:
n
Q = 1 − RS = 1 − ∏ Ri
i =1
2.6.2. Sistem Keandalan Paralel
Pada sistem keandalan paralel, kerusakan pada setiap komponen dalam suatu sistem
tidak akan menyebabkan kerusakan sistem secara total, atau sering disebut failure
tolerant (kerusakan yang dapat ditolerir).
Ada dua jenis dari sistem keandalan paralel, yaitu sistem kelebihan redundant
aktif dan kelebihan redundant pasif.
Universitas Sumatera Utara
Pada kelebihan aktif, dua atau lebih unit diletakkan dalam sistem keandalan
paralel dimana secara normal pembagian fungsi dilakukan tetapi unit-unit tersebut
diatur sedemikian hingga jika satu unit atau mungkin lebih mengalami kerusakan,
maka sisanya dapat mengantikan posisinya. Sebagai contoh adalah dua mesin pesawat
terbang yang diaktifkan tetapi tidak menutup kemungkinan pesawat untuk terbang
dengan satu mesin, apabila mesin yang satunya mengalami kerusakan.
Pada kelebihan pasif, satu unit secara normal memegang fungsi secara penuh
tetapi jika unit tersebut mengalami kerusakan, maka unit yang lain akan diaktifkan
untuk mengambil alih posisinya.
2.6.2.1. Sistem Keandalan Paralel Kelebihan Aktif
Misalkan ada dua unit (1) dan (2) dihubungkan dalam sistem paralel seperti terlihat
pada gambar 2.2
1
2
Gambar 2.2 Sistem Keandalan Paralel Kelebihan Aktif
Sistem akan rusak apabila 1 dan 2 kedua-duanya mengalami kerusakan.
Keandalan sistem didefenisikan sebagai berikut, jika didefinisikan Q (ketakandalan
sistem)
Universitas Sumatera Utara
Maka
Q = P( E1 ∩ E 2 )
Dimana E adalah kejadian independen bebas sehingga diperoleh:
n
Q = ∏ (1 − R i )
i =1
Jika peluang kegagalan adalah independen, maka fungsi sistem keandalannya
adalah:
R p = 1 − ∏ (1 − Ri )
i =1n
2.6.2.2. Sistem Keandalan Paralel Kelebihan Pasif
Pada sistem keandalan pasif, unit utama (1) secara normal membawa fungsi secara
penuh dan unit siaga (2) dibawa untuk digunakan ketika unit utama mengalami
kerusakan.
Secara sederhana sistem keandalan pasif dapat ditunjukan dalam gambar 2.3
Universitas Sumatera Utara
1
2
Gambar 2.3 Sistem Keandalan Paralel Kelebihan Pasif
Cara untuk menganalisis sistem ini adalah harus mempertimbangkan bahwa
sistem kegagalan waktu adalah variabel acak yang mengandung jumlah dua variabel
acak, yaitu kegagalan waktu (1) dan (2).
Jika R1 (t ) + R2 (t ) = exp(−λt )
2.6.3. Kombinasi Sistem Seri dan Paralel
Kombinasi dari sistem seri dan paralel dapat diselesaikan dengan menggabungkan
masing-masing subsistem ke dalam komponen seri maupun paralel terlebih dahulu.
Untuk lebih memahami sistem kombinasi seri-paralel, akan diberikan contoh
gambar 2.4 dan 2.5.
Universitas Sumatera Utara
A
C
B
D
Gambar 2.4 sistem seri-paralel
A
C
B
D
Gambar 2.5 sistem seri-paralel
Universitas Sumatera Utara
Dari kedua gambar, gambar (2.4) menunjukkan sistem keandalan seri paralel.
Untuk menyelesaikan sistem gabungan ini pertama-tama gabungkan subsistem paralel
kedalam bentuk yang sama dengan komponen seri.
Misalkan: R A = 0,9, RB = 0,8, RC = 0,7, RD = 0,8
Maka penyelesaian untuk gambar 2.4 dapat dituliskan:
R AB = 1 − (0,1)(0,2)
= 1 − 0,02
= 0,98
Dan
RCD = 1 − (0,3)90,4)
= 1 − 0,12
= 0,88
Maka keandalan sistem secara keseluruhan adalah
RS = (0,98)(0,88) = 0,8624
Untuk
ganbar
(2.5)
merupakan
sistem
keandalan
paralel-seri.
Untuk
menyelesaikannya pertama-tama kita gabungkan subsistem seri kedalam bentuk yang
sama dengan komponen paralel. Dengan nilai keandalan yang sama dengan gambar
(2.4), maka diperoleh penyelesaian sebagai berikut:
Universitas Sumatera Utara
R AC = (0,9)(0,7)
= 0,63
Dan
RBd = (0,8)(0,6)
= 0,48
Sehingga keandalan sistem secara keseluruhan adalah:
RS = 1 − (1 − Rac )(1 − RBd )
= 1 − (1 − 0,63)(1 − 0,48)
= 1 − (0,37)(0,52)
= 1 − 0,1924
= 0,8076
2.7 Data Tersensor
Dalam penyensoran sering terjadi pengamatan yang diteliti tersensor. Masalah
penyensoran ini merupakan suatu hal yang membedakan antara uji hidup dengan
bidang ilmu statistik yang lain. Data tersensor adalah data yang diperoleh sebelum
hasil yang diinginkan dari pengamatan terjadi, sedangkan waktu pengamatan telah
berakhir atau oleh sebab lain.
Universitas Sumatera Utara
Ada tiga macam metode yang sering digunakan dalam percobaan uji hidup,
yaitu sebagai berikut:
1. Sampel lengkap, dalam uji sampel lengkap percobaan akan dihentikan jika
semua komponen yang diuji telah mati atau gagal. Cara seperti ini mempunyai
keuntungan yaitu dapat dihasilkan observasi terurut dari semua komponen
yang diuji.
2. Sensor tipe I, semua objek yang diteliti (n) masuk pengujian dalam waktu yang
bersamaan, dan pengujian dihentikan setelah batas waktu t yang ditentukan.
Kelemahan dari sensor tipe I ini bila terjadi sampai batas waktu t 0 yang
ditentukan semua objek masih hidup sehingga tidak diperoleh data tahan hidup
dari objek yang diteliti
3. Sensor tipe II, semua objek yang diteliti (n) masuk pengamatan dalam waktu
yang bersamaan, dan pengujian dihentikan setelah mendapatkan r objek gagal
atau mati, dengan 1 ≤ r  n . Kelemahan dari sensor tipe II ini adalah waktu
yang diperlukan untuk mendapatkan r objek yang matibisa terjadi sangat
panjang, tetapi pasti diperoleh data tahan hidup dari r objek tersebut.
2.8 Distribusi
Untuk konsep kemungkinan suatu sistem atau komponen mengalami kerusakan (p)
setelah bekerja selama waktu t. Kemungkinan bahwa peralatan tersebut akan tetap
bekerja setelah bekerja pada waktu t adalah q = 1 − p . Bila ada n alat, kemungkunan
bahwa ada x alat gagal untuk kejadian mutually exclusive dinyatakan dengan fungsi
Bernouli yaitu:
Universitas Sumatera Utara
f ( x) =
n!
p x q n− x
x!(n − x)!
Jika x adalah variabel acak binaomial dengan parameter p (peluang suatu sistem atau
komponen mengalami kerusakan) dan n (banyaknya observasi) maka mean dan
varians distribusi binomial dinyatakan sebagai berikut:
µ = np dan σ 2 = np (1 − p ) = npq
Misalkan x adalah variabel acak yang mempunyai distribusi binomial, dimana p
adalah peluang kegagalan suatu sistem atau komponen. Misalkan λ = pn , maka dapat
dinyatakan sebagai berikut
 n  λ   λ 
P( X = x) =    1 − 
 x  n   n 
x
n− x
Andaikan nilai n semakin besar dan nilai p sangat kecil, maka dapat ditunjukan
sebagai berikut
lim P( X = x) =
n →α
e λ λx
x!
Persamaan ini disebut persamaan distribusi poison
Universitas Sumatera Utara
Andaikan p besar dan n juga besar distribusi binomial akan membentuk distribusi
normal yang dinyatakan sebagai berikut:
f ( x) =
1
2 nτ
−( x−µ )2
e
2σ 2
2.9 Distribusi Kerusakan
Didalam menentukan distribusi kerusakan tidak ada aturan-aturan yang mutlak untuk
memakai hubungan matematik tertentu pada distribusi tersebut. Ini harus didasarkan
pada konsep yang paling cocok. Beberapa distribusi kerusakan antara lain:
1. Distribusi Eksponensial
f (t ) = λe λt
Dimana, λ = laju kegagalan
2. Distribusi Weibull
χ
f (t ) =
β β −1
1
t exp −   , t > 0
β
α
α 
Dimana:
t = waktu
Universitas Sumatera Utara
β = parameter bentuk
α = parameter skala
3. Distribusi Gamma
f (t ) =
λr
Γ(r )
t r −1e −λt
Dimana:
λ = Parameter skala
η =Parameter bentuk
t =Waktu
Dengan mean dan varians
µ = E ( X ) = η λ dan σ 2 = V ( X ) = η
λ2
Fungsi reliabilitas
n −1
R(t ) = ∑
k =0
( λ t ) k e − λt
k!
Fungsi laju kegagalan
Universitas Sumatera Utara
h(t ) =
f (t )
R (t )
2.10 Prinsip Dasar Metode Maximum Likelihood
Metode maximum likelihood pertama dibahas oleh R.A Fisher pada tahun 1920,
misalkan x1 , x 2, ...x n , menyatakan peubah acak yang saling bebas dengan fungsi padat
peluangnya dinyatakan dengan f ( x, θ ) dengan θ parameter yang akan ditaksir
dengan metode maximum likelihood, maka fungsi padat peluangnya adalah:
f ( x1 , x , ,..x n ,θ ) = f ( x1 ,θ ). f ( x 2 , θ ).... f ( x nθ )
n
= ∏ f ( xi , θ )
i =1
= L(θ x1 , x 2 ,....x n )
= L(θ )
Dengan:
x1 , x 2 ,...x n = variabel random
θ = parameter yang ditaksir
L(θ ) = fungsi likelihood
Penduga maximum likelihood dari θ
persamaan
didapat dengan menyelesaikan
∂ ln(θ )
=0
∂θ
Universitas Sumatera Utara