Persamaan Differensial Biasa

Persamaan Differensial Biasa (PDB)
Ordinary Differential Equation (ODE)
Metode Numerik
Teknik Sipil
Definisi Persamaan Differensial Biasa
• Sebuah persamaan differensial biasa adalah
sebuah persamaan yang menyatakan hubungan
antara sebuah fungsi dengan sebuah variabel
independen tunggal dan turunan total dari fungsi
ini terhadap variabel independen tersebut.
• Variabel dependen (y) tergantung kepada
masalah fisik yang dimodelkan. Variabel
independen biasanya salah satu dari variabel
waktu (t) atau ruang (x).
Orde Persamaan Differensial Biasa
• Orde PDB adalah turunan orde tertinggi dalam persamaan
differensial.
• Bentuk umum PDB orde satu adalah
di mana f(t,y) disebut fungsi turunan. Untuk penyederhanaan notasi,
turunan biasanya dinyatakan dengan tanda petik tunggal
sehingga
PDB mempunyai bentuk umum
dimana superscript (n), (n-1), dst. menyatakan turunan orde ke n,
n-1, dst.
Persamaan Differensial Biasa Linear
dan Non-linear
• PDB linear adalah PDB yang semua turunannya muncul dalam
bentuk linear dan tidak ada koefisien yang tergantung kepada
variabel dependen.
• Koefisien bisa merupakan fungsi dari variabel independen, yang
mana PDB disebut PDB linear dengan koefisien berubah.
(linear, koef. konstan, PDB orde-satu)
(linear, koef. berubah, PDB orde-satu)
(bentuk umum PDB linear)
• Jika koefisien tergantung kepada variabel dependen, atau turunan
muncul dalam bentuk nonlinear, PDB-nya adalah nonlinear. Contoh:
(bentuk umum PDB non-linear)
Persamaan Differensial Homogen dan
Non-homogen
• Persamaan differensial homogen adalah persamaan
differensial di mana tiap suku melibatkan variabel dependen
atau satu dari turunannya.
• Persamaan differensial non-homogen mengandung suku
tambahan, yg disebut suku non-homogen, suku-suku sumber
(source terms), atau fungsi penggerak (forcing function), yang
tidak melibatkan variabel dependen. Contoh:
(linear, orde-satu, PDB homogen)
(linear, orde-satu, PDB nonhomogen)
Sistem PDB
• Banyak masalah praktis melibatkan beberapa variable dependen,
yang masing-masing adalah sebuah fungsi dari variabel
independen yang sama dan satu atau lebih variabel dependen,
yang masing-masing dibangun oleh persamaan differensial biasa.
Sekumpulan PDB ini disebut sistem PDB. Contoh:
adalah sebuah sistem dari dua PDB orde satu
Klasifikasi PDB
• Jika kondisi tambahan ditentukan pada nilai yang
sama dari variable independen dan solusi
digerakkan maju dari dari titik awal, persamaan
differensial disebut sebagai PDB nilai awal.
• Jika kondisi tambahan ditentukan pada dua nilai
yang berbeda dari variabel independen, titik-titik
akhir atau batas-batas dari daerah yang
diperhatikan, persamaan differensial disebut PDB
nilai batas.
Ilustrasi PDB nilai awal dan PDB nilai batas
PDB nilai awal.
Daerah solusi terbuka.
PDB nilai awal diselesaikan dengan
marching numerical methods
PDB nilai batas.
Daerah solusi tertutup.
PDB nilai batas diselesaikan dengan
marching numerical methods atau
equilibrium numerical methods
Contoh PDB nilai awal
 = konstanta Stefan-Boltzmann (5,67 x 10-8 J/m2-K4 –s)
= emissivitas benda
A = luasan benda
m = massa benda
T = suhu
t = waktu
Ta = suhu ambien lingkungan
C = panas spesific dari material
qr = transfer panas dari massa ke lingkungan
Contoh PDB nilai batas
E = modulus elastisitas material balok
I(x) = momen inersia penampang lintang balok
q(x) = beban terdistribusi