model matematika penyebaran penyakit demam chikungunya

SKRIPSI
MODEL MATEMATIKA PENYEBARAN PENYAKIT
DEMAM CHIKUNGUNYA DENGAN DUA JENIS NYAMUK
AEDES (AEDES AEGEPTY DAN AEDES ALBOPICTUS)
FARIDA AMANATI
12610050
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN KALIJAGA
YOGYAKARTA
2016
MODEL MATEMATIKA PENYEBARAN PENYAKIT
DEMAM CHIKUNGUNYA DENGAN DUA JENIS NYAMUK
AEDES (AEDES AEGEPTY DAN AEDES ALBOPICTUS)
Skripsi
Untuk memenuhi sebagian persyaratan guna
Memenuhi derajat Sarjana S-1
Program Studi Matematika
Diajukan oleh:
FARIDA AMANATI
12610050
Kepada
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN KALIJAGA
YOGYAKARTA
2016
SURAT PERNYATAAN KEASLIAN SKRIPSI
Yang bertanda tangan dibawah ini saya:
Nama
: Farida Amanati
NIM
: 12610050
Prodi / Smt
: Matematika / VIII
Fakultas
: Sains dan Teknologi
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi ini tidak terdapat karya serupa yang diajukan
untuk memperoleh gelar kesarjanaan di suatu perguruan tinggi lain, dan sepanjang
pengetahuan saya juga bel11m terdapat karya yang pemah ditulis atau diterbitkan orang lain,
kecuali yang secara tel1ulis diacu dalam naskah ini dan disebutkan dalam daftar pustaka.
Yogyakarta, 30 Mei 2016
Yang menyatakan
NIM. 12610050
Karya sederhana ini penulis persembahkan untuk:
Bapak dan Ibu tercinta (Bapak Abu Bakar dan Ibu Siti Masithoh) serta Saudaraku
tersayang (Nabila Naila Mufidah dan Lisa Zania Fathin). Terimalah persembahan
bakti dan cintaku untuk kalian.
Bapak/Ibu Dosen pembimbing, penguji dan pengajar. Jasa kalian akan selalu
terpatri di hati
Teman - teman Matematika angkatan 2012
Almamaterku UIN Sunan Kalijaga
v
Seseorang dikatakan berhasil bukan dilihat dari kesuksesannya,
melainkan dari bangkitnya seseorang tersebut dari setiap kegagalannya.
(Anis Baswedan)
”Memulai dengan penuh keyakinan, Menjalankan dengan penuh keikhlasan,
Menyelesaikan dengan penuh kebahagiaan.”
Sesungguhnya bersama kesulitan ada kemudahan. Maka apabila engkau telah
selesai (dari suatu urusan), tetaplah bekerja keras (untuk urusan yang lain). Dan
hanya kepada Tuhanmulah engkau berharap.
(QS. Al-insyirah : 6-8)
Siapa bersungguh sungguh pasti berhasil
Siapa yang sabar pasti beruntung
Siapa menapaki jalan-Nya akan sampai ke tujuan.
vi
KATA PENGANTAR
Assalamu’alaikum Wr. Wb.
Puji syukur kepada Allah SWT yang telah memberikan rahmat, hidayah,
dan karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan tugas akhir skripsi yang
berjudul ”Model Matematika Penyebaran Penyakit Demam Chikungunya dengan
Dua Jenis Nyamuk Aedes (Aedes Aegepty dan Aedes Albopictus)”. Penyusunan
skripsi ini ditujukan untuk memenuhi sebagai syarat kelulusan guna memperoleh
gelar Sarjanan Matematika Progam Studi Matematika di Fakultas Sains dan
Teknologi Universitas Negeri Islam Sunan Kalijaga Yogyakarta.
Shalawat
serta salam
semoga tetap tercurah kehadirat Rasulullah
Muhammad SAW, yang selalu menjadi suri tauladan yang mulia bagi semua umatnya, dan pembawa ajaran kepada kebenaran yang hakiki. Semoga kita termasuk
umat yang mendapatkan syafaat beliau di akhir zaman kelak. Amin ya rabbal’alamin.
Penulisan skripsi ini tidak lepas dari dukungan, motivasi, kerjasama maupun
bimbingan dari berbagai pihak baik secara langsung maupun tidak langsung. Oleh
karena itu, penulis mengucapkan terimakasih kepada:
1. Prof. Drs. Yudian Wahyudi, MA, Ph.D. selaku Rektor UIN Sunan
Kalijaga Yogyakarta.
2. Dr. Hj. Maizer Said Nahdi M.Si., selaku Dekan Fakultas Sains dan
Teknologi Universitas Islam Negeri Sunan Kalijaga.
3. Muchammad Abrori, M. Kom., selaku Dosen Penasihat Akademik
mahasiswa Program Studi Matematika angkatan 2012 atas segala pengarahan
vii
viii
dan semangat yang selalu bapak berikan selama penulis belajar di Fakultas
Sains dan Teknologi UIN Sunan Kalijaga Yogyakarta.
4. Dr. Muhammad Wakhid Musthofa, M.Si., selaku Ketua Progam Studi
Matematika yang telah memberikan pelayanan dan kelancaran akdemik
dan selaku pembimbing skripsi yang telah memberikan waktu, bimbingan
dan
pengarahan dalam penyusunan skripsi ini dari awal penyusunan sampai akhir
selesainya skripsi ini.
5. Bapak Ibu dosen yang dengan ikhlas telah memberikan ilmu pengetahuan dan
pengalaman yang berharga kepada penulis, sehingga ilmu yang telah didapat
memudahkan dalam penyusunan skripsi ini.
6. Kedua orang tua penulis (Bapak Abu Bakar dan Ibu Masithoh) yang telah
memberikan kasih sayang, perhatian, semangat mendoakan dan dukungan
tiada henti kepada penulis, yang selalu setia menjadi tempat curahan, dan
merestui setiap langkah penulis.
7. Kedua adik penulis (Nabila Naila Mufidah dan Lisa Zania Fathin) yang selalu
memberikan kasih sayang, perhatian dan semangat mendoakan.
8. Mas M. Al haris yang telah memberikan perhatian, kasih sayang, motivasi,
doa sehingga skripsi ini dapat terselesaikan. Serta yang selalu setia dan sabar
mendengarkan keluh kesah penulis.
9. Sanak saudara Karanganyar yang telah memberikan perhatian dan dorongan
semangat yang tak henti-hentinya agar penulisan tugas akhir ini dapat segera
terselesaikan.
ix
10. Sahabat 305 ( Zahro, Qurota, Cita, Yudha, Azizah, Astuti, Novi dan
Fadhilah) yang telah banyak membantu dan selalu memberikan semangat dan
setia mendengarkan curahan hati penulis. Terimakasih untuk persahabatan,
doa, motivasi dan dukungan kalian. Kalian bagaikan keluarga kecil di
Yogyakrata.
11. Liyas teman yang selalu membantu penulis dalam belajar software Latex
dan teman satu dosen pembimbing yang selalu memberikan dorongan untuk
bimbingan kepada dosen pembimbing.
12. Teman-teman prodi Matematika angkatan 2012 yang selalu menemani dan
memberikan dukungan dan pelajaran berharga selama ini.
13. Semua pihak yang memberikan dukungan dan do‘a kepada penulis, serta
pihak yang membantu penulis menyelesaikan skripsi ini yang tidak bisa penulis
sebutkan satu per satu.
Semoga Allah SWT menerima amal kebaikan beliau sekalian dan
memberikan balasan dan pahala yang berlipat-lipat atas kebaikan serta segala yang
telah beliau semua berikan kepada penulis dan semoga bermanfaat.
Penulis menyadari bahwa masih banyak kekurangan dan kesalahan dalam
skripsi ini. Penulis mengharapkan saran dan kritik yang membangun supaya penulis
dapat membuat karya dengan lebih baik. Semoga skripsi ini dapat memberikan
manfaat yang besar. Demikian skripsi ini penulis susun, semoga skripsi
ini dapat memberikan manfaat bagi penulis dan pembaca.
Wassalamu’alaikum Wr. Wb.
x
Yogyakarta, 30 April 2016
Farida Amanati
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
HALAMAN PENGESAHAN
i
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ii
HALAMAN PERSETUJUAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii
HALAMAN PERNYATAAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iv
HALAMAN PERSEMBAHAN
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
v
HALAMAN MOTTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vi
KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii
DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
xi
DAFTAR TABEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiv
DAFTAR GAMBAR
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xv
DAFTAR LAMBANG
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvi
INTISARI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvii
ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .xviii
I
PENDAHULUAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1. Latar Belakang Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2. Rumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.3. Batasan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.4. Tujuan Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.5. Manfaat Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.6. Tinjauan Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.7. Sistematika Penulisan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
II LANDASAN TEORI
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.1. Operasi Matriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.2. Transformasi Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
xi
xii
2.3. Nilai Eigen dan Vektor Eigen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4. Solusi Persamaan Kuadrat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.5. Persamaan Diferensial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.6. Integral Tak-tentu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.7. Sistem Dinamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.8. Titik Ekuilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.9. Matrik Jacobian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.10. Linearisasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.11. Kestabilan Titik Ekuilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.12. Kriteria Routh-Hurwitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.13. Basic Reproduction Ratio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
III MODEL MATEMATIKA PENYEBARAN PENYAKIT DEMAM CHIKUNGUNYA DENGAN DUA JENIS NYAMUK AEDES (AEDES AEGEPTY
DAN AEDES ALBOPICTUS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.1. Demam Chikungunya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2. Asumsi - asumsi Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3. Formulasi Model Matematika Penyebaran Chikungunya . . . . . . . 33
3.4. Menentukan Titik Ekuilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.4.1. Titik Ekuilibrium Bebas Penyakit . . . . . . . . . . . . . . 48
3.4.2. Titik Ekuilibrium Endemik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.5. Basic Reproduction Ratio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.5.1. Basic Reprodution Ratio E0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.5.2. Basic Reproduction Ratio E1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.6. Analisis Kesetabilan Lokal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.6.1. Kestabilan Titik Ekuilibrium (E0 ) . . . . . . . . . . . . . . 59
3.6.2. Kestabilan Titik Ekuilibrium (E1 ) . . . . . . . . . . . . . . 60
IV SIMULASI NUMERIK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
xiii
V PENUTUP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.1. Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.2. Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
DAFTAR PUSTAKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
A M-FILE SOFTWARE MATLAB VERSI 7.1
. . . . . . . . . . . . . . 77
1.1. M-file Laju Penyebaran Pada Manusia . . . . . . . . . . . . . . . . 77
1.2. M-file Laju Penyebaran Penyakit Terhadap Kompartemen Terinfeksi 78
Daftar Riwayat Hidup
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
DAFTAR TABEL
Tabel 1.1
Kajian Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Tabel 1.2
Kajian Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
Tabel 2.1
Tabel Routh-Hurwitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Tabel 4.1
Nilai Parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Tabel 4.2
Nilai Parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
xiv
DAFTAR GAMBAR
Gambar 3.1
Dinamika penyebaran virus Chikungunya yang dibawa nyamuk Aedes Aegepty dan Aedes Albopictus . . . . . . . . . . 35
Gambar 3.2
Dinamika penyebaran virus Chikungunya yang dibawa nyamuk Aedes Aegepty dan Aedes Albopictus . . . . . . . . . . 36
Gambar 3.3
Dinamika penyebaran virus Chikungunya yang dibawa nyamuk Aedes Aegepty dan Aedes Albopictus . . . . . . . . . . 37
Gambar 3.4
Dinamika penyebaran virus Chikungunya yang dibawa nyamuk Aedes Aegepty dan Aedes Albopictus . . . . . . . . . . 38
Gambar 3.5
Dinamika penyebaran virus Chikungunya yang dibawa nyamuk Aedes Aegepty dan Aedes Albopictus . . . . . . . . . . 39
Gambar 3.6
Dinamika penyebaran virus Chikungunya yang dibawa nyamuk Aedes Aegepty dan Aedes Albopictus . . . . . . . . . . 40
Gambar 3.7
Dinamika penyebaran virus Chikungunya yang dibawa nyamuk Aedes Aegepty dan Aedes Albopictus . . . . . . . . . . 41
Gambar 3.8
Dinamika penyebaran virus Chikungunya yang dibawa nyamuk Aedes Aegepty dan Aedes Albopictus . . . . . . . . . . 42
Gambar 4.1
Grafik Populasi Individu Kelas Rentan dan Terinfeksi . . . 69
Gambar 4.2
Laju Vektor Penyebaran Infeksi kelas nyamuk Aedes Aegepty dan Aedes Albopictus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Gambar 4.3
Jumlah Individu Kelas Terinfeksi . . . . . . . . . . . . . . 70
Gambar 4.4
Jumlah Individu Kelas Terinfeksi . . . . . . . . . . . . . . 71
xv
DAFTAR LAMBANG
Parameter Keterangan
µh
Laju kematian pada populasi manusia
λh
Laju kelahiran pada populasi manusia
µm1
Laju kematian pada populasi Aedes Aegepty
λm1
Laju kelahiran pada populasi Aedes Aegepty
µm2
Laju kematian pada populasi Aedes Albopictus
λm2
Laju kelahiran pada populasi Aedes Albopictus
Nh
Jumlah Populasi manusia
A1
Laju Perekrutan nyamuk Aedes Aegepty
A2
Laju Perekrutan nyamuk Aedes Albopictus
γm1→h
Laju transmisi virus Chikungunya dari nyamuk Aedes Aegepty pada manusia
γm2→h
Laju transmisi virus Chikungunya dari nyamuk Aedes Albopictus pada manusia
γh
Laju transmisi virus Chikungunya dari manusia pada nyamuk Aedes
rh
Laju penyembuhan manusia
µm1
Laju kematian Aedes Aegepty
µm2
Laju kematian Aedes Albopictus
b
Laju ketajaman nyamuk
xvi
INTISARI
MODEL MATEMATIKA PENYEBARAN PENYAKIT DEMAM
CHIKUNGUNYA DENGAN DUA JENIS NYAMUK AEDES (Aedes Aegepty
dan Aedes Albopictus)
Oleh
Farida Amanati
12610050
Demam Chikungunya adalah penyakit yang disebabkan oleh nyamuk Aedes
Aegepty dan Aedes Albopictus. Pengobatan untuk demam Chikungunya hanya
dengan pengobatan secara simptomatik yaitu hanya mengurangi gejalanya saja seperti penurunan panas dan gejala nyeri sendi. Skripsi ini mempelajari tentang model
matematika penyebaran virus Chikungunya dengan dua jenis nyamuk Aedes pembawa virus Chikungunya berdasarkan asumsi - asumsi yang telah dibuat. Dalam
model ini dihasilkan titik ekuilibrium bebas penyakit dan endemik, basic reproduction ratio, dan analisis kestabilan model di sekitar titik ekuilibrium. Kestabilan
titik ekuilibrium dijelaskan secara analisis dengan menggunakan kriteria Routh Hurwitz dan secara numerik. Simulasi diberikan sebagai bentuk pendekatan model
terhadap nilai - nilai parameter yang diberikan.
Kata kunci : demam Chikungunya, model matematika, basic reproduction ratio,
titik ekuilibrium, kriteria Rout-Hurwitz
xvii
ABSTRACT
Transmission Mathematical Model of Chikungunya Fever in The Presence of
Ttwo Species of Aedes Mosquitoes (Aedes Aegepty dan Aedes Albopictus)
By
Farida Amanati
12610050
Chikungunya fever is a febrile disease transmitted the mosquito of infected
Aedes aegypti and Aedes Albopictus. Treatment for chikungunya virus with only
symptomatic treatment alone is only reducing symptoms such as fever given medicine
for fever, joint pain symptoms. In this study, we study a mathematical model for
Chikungunya fever in the presence of two species of mosquitoes Aedes based upon
assumptions that have been made. In this model the resulting point of disease-free
equilibrium and endemic, Basic reproduction ratio, the analysis of the stability of
the model around the equilibrium point. The stability of the equilibrium point is
explained in the analysis using Rout-Hurwitz criteria and numerically. Simulation
can be given as a from of a model approach to to the parameter values are given as
a form of checks.
Keywords: Chikungunya fever, mathematical model, basic reproduction ratio,
equilibrium point, Rout-Hurwitz criterion
xviii
BAB I
PENDAHULUAN
Pada bab pendahuluan dijelaskan mengenai latar belakang yang mendasari penelitian ini, kemudian dirumuskan dalam suatu rumusan masalah.
Berdasarkan latar belakang, batasan masalah dan rumusan masalah yang telah disusun, kemudian ditentukan tujuan penelitian agar penelitian ini memiliki arahan
yang jelas mengenai apa saja yang ingin dicapai. Selanjutnya pada bab ini juga
dijelaskan manfaat penelitian, tinjauan pustaka, dan sistematika penulisan skripsi
ini.
1.1. Latar Belakang Masalah
Banyak penyakit menular yang cukup membahayakan. Penyebab dari
penyakit menular biasanya disebabkan oleh faktor lingkungan yang cukup
baik untuk perkembangbiakan virus. Penyakit ini akan mewabah melalui kontak
langsung dengan individu yang telah terinfeksi virus melalui udara, minum, makan,
batuk - batuk dan lain - lain. Salah satu contoh penyakit menular tersebut yaitu
penyakit demam Chikungunya, demam Dengue, dan lainnya.
Demam Chikungunya adalah suatu jenis penyakit menular yang disebabkan
oleh virus Chikungunya (CHIK) yang termasuk dalam famili Togaviridae, genus
Alphavirus. Penyebaran virus ini dapat ditularkan melalui gigitan nyamuk Aedes
yaitu Aedes Aegepty dan Aedes Albopictus (Depkes RI,2003).
Penyakit demam Chikungunya cenderung menimbulkan kejadian luar biasa
pada sebuah wilayah. Umumnya nyamuk − nyamuk ini
1
menyerang di siang
2
hari. Namun gigitan dapat juga terjadi saat dini hari dan menjelang petang.
Nyamuk − nyamuk ini menyerang di luar rumah, meski nyamuk Aedes Aegepty
juga dapat menyerang di dalam ruangan. Aedes Aegepty tidak bergantung pada
hujan, berkembang pada tandon air buatan tanpa terpengaruh musim. sedangkan
Aedes Albopictus secara luas tersebar di Asia, khususnya daerah hutan tropis dan
subtropis.
Penyakit demam Chikungunya menyerang semua usia, baik usia anak
dewasa maupun lanjut usia. Virus CHIK menyerang manusia dan hewan, namun
nyamuk Aedes ini lebih menyukai darah manusia dari pada binatang. Gejala umumnya yaitu panas dan nyeri sendi. Belum ada vaksin maupun obat khusus untuk
penyakit demam Chikungunya ini. Pengobatan yang diberikan hanya menghilangkan
segala gejala klinisnya yaitu menggunakan obat turun panas dan obat penghilang
ngilu. Gejala umumnya mirip dengan DBD, namun pada Chikungunya tidak
terjadi pendarahan hebat, maupun kematian. Nyamuk yang menyebabkan Demam
Berdarah Dengue yaitu nyamuk Aedes Aegepty wilayah - wilayah perkotaan.
Seiring dengan perkembangan ilmu pengetahuan, bidang matematika
memberikan peran atau penalaran matematika pada suatu permasalahan sebagai
alat untuk menyelesaikan permasalahan yang dihadapi. Widowati dan Sutimin (2007:
1) menjelaskan model matematika adalah representasi bidang ilmu tertentu ke dalam
pernyataan matematika yang diperoleh dari salah satu bidang matematika yaitu
pemodelan matematika. Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang
merepresentasikan dan menjelaskan sistem fisik atau problem pada dunia nyata
dalam pernyataan matematika, sehingga diperoleh pemahaman dari dunia nyata
yang lebih tepat. Sementara itu proses dalam memperoleh model matematika
dapat dijelaskan sebagai berikut, Langkah pertama menyatakan masalah dunia
nyata ke dalam pengertian matematika, meliputi identifikasi variabel - variabel
3
pada masalah tersebut dan membentuk beberapa hubungan antara variabel variabel masalah tersebut. Langkah kedua mengkontruksi kerangka dasar
model yaitu membuat asumsi tentang model. Langkah ketiga memformulasikan
persamaan atau sekumpulan persamaan untuk menyatakan hubungan antara
variabel - variabel. Langkah keempat menyelesaikan persamaan untuk mencari
solusi. Selanjutnya menginterpretasi hasil atau solusi. Interpretasi hasil dan solusi
adalah salah satu langkah terakhir yang akan menghubungkan formulasi
matematika kembali ke problem dunia nyata, ini dapat dikerjakan dengan
menyajikan grafik solusi dan membandingkan solusi dengan beberapa data yang
diketahui dan dihubungkan ke masalah nyata.
Penulisan skripsi ini akan membahas pemodelan matematika penyebaran
penyakit demam Chikungunya dengan membagi populasi manusia ke dalam tiga
kelompok yaitu Susceptible, Infected, Recovered. Langkah selanjutnya adalah
mencari titik ekuilibrium (bebas penyakit dan endemik), dari model matematika
yang didapat kemudian mencari nilai Basic Reproduction Ratio (R0 ) dengan
merujuk pada paper Driessche dan Watmough (2002) dan dilakukan analisis kestabilan titik ekuilibrium, sehingga dapat mengetahui kestabilan penyebaran
demam Chikungunya di suatu wilayah.
1.2. Rumusan Masalah
Secara terperinci dari latar belakang diatas, dapat dirumuskan beberapa masalah
yang akan dibahas yaitu mencakup hal - hal sebagai berikut :
1. Bagaimana
model
matematika
pada
penyebaran
penyakit
Chikungunya ?
2. Bagaimana cara melakukan analisis kestabilan titik ekuilibrium?
demam
4
3. Bagaimana cara melakukan simulasi model?
1.3. Batasan Masalah
Batasan masalah pada penulisan karya tulis ini meliputi :
1. Penggunaan model matematika dengan pembagian tiga kelas Susceptible,
Infected, Recovered.
2. Virus Chikungunya hanya ditularkan kepada manusia.
1.4. Tujuan Penelitian
Berdasarkan rumusan masalah di atas, maka tujuan dari penelitian ini adalah
sebagai berikut:
1. Membentuk kerangka model matematika dan memformulasikan ke dalam
persamaan matematika setiap vektor penyebaran demam Chikungunya.
2. Menentukan titik ekuilibrium bebas penyakit, titik ekulibrium endemik, dan
Basic Reproduction Ratio pada titik akuilibrium yang didapat.
3. Melakukan simulasi dengan menggunakan software MATLAB dan menyajikan hasilnya dalam bentuk grafik untuk memberikan gambaran interpretasi
model.
1.5. Manfaat Penelitian
Mengacu pada tujuan penelitian di atas, maka manfaat penelitian yang diperoleh dalam penulisan skripsi ini adalah:
1. Memberikan pengetahuan tentang Chikungunya dan penyebaran virus
Chikungunya.
5
2. Mengatahui strategi untuk penyembuhan penyakit demam Chikungunya.
3. Memberikan pengetahuan tentang model penyebaran virus penyakit
Chikungunya pada manusia.
4. Mengetahui kestabilan titik ekuilibrium bebas penyakit dan endemik, Basic
Reproduction Ratio.
5. Mengetahui simulasi model dari penyebaran virus Chikungunya yang dibawa
oleh nyamuk Aedes.
1.6. Tinjauan Pustaka
Penelitian ini, penulis mengacu pada literatur - literatur yant tersebut di
dalam daftar pustaka, yang dilakukan dengan mempelajari beberapa buku, jurnal,
karya ilmiah dan penelitian sebelumnya yang berkaitan dengan penelitian ini.
Penulisan ini merujuk pada jurnal ”Transmission Model of Chikungunya
Fever in The Presence of Two Species of Aedes Mosquitoes” yang ditulis oleh I
Ming Tang dan Surapol Noawarat(2013). Dalam penulisan ini akan dibahas dan
dikembangkan dengan memberikan asumsi yang jelas, menjelaskan penyebaran
virus Chikungunya dengan merujuk pada karya ilmiah ”Analisis Faktor yang Berhubungan dengan Kejadian Chikungunya di Wilayah Kerja Puskesmas Gunung
pati Kota Semarang” ditulis oleh Fitri Santoso (2011), serta jurnal ilmiah ”Reemergence of Chikungunya Epidemiology and Roles of Vektor in Transmission of
The Disease [vol 26 - No.2]” yang ditulis oleh Suriptiastuti(2007). Mencari titik
ekuilibrium bebas penyakit dan endemik, mencari Basic Reproduction Ratio
dengan menggunakan rujukan jurnal Driessche dan Watmough (2002). Analisis kestabilan titik ekulibrium menggunakan kriteria Rout-Hurwitz menggunakan
rujukan buku Mathematical System Theory oleh Olsder G.J,Van Der Woude (1994)
6
diterbikan Belanda oleh Deflt University Press .
Tugas Akhir Dian Kurniasari (2012) Matematika, Universitas Gadjah Mada
yang berjudul ”Model Penyebaran virus Chikungunya dengan Penerapan
Adulticide”. Penelitian ini menggunakan satu vektor pembawa dan penyebar virus
Chikungunya yaitu nyamuk Aedes Agepty, dan juga menggunakan penerapan
Aduticide untuk memberantas nyamuk Aedes Agepty.
Jurnal yang ditulis oleh Joko Prasetyo, Mohammad Kharis dan Waryanto
(2012) Matematika, Univeritas Negeri Semarang tentang ”Model Matematika pada
Penyakit Chikungunya dengan Menggunakan Treatment pada Individu yang
Sakit”. Penelitian ini menggunakan Treatment (perawatan) pada individu yang
sakit. Peneliti ini juga menggunakan satu vektor pembawa dan penyebar
virus Chikungunya yaitu nyamuk Aedes Agepty.
Perbedaan penelitian ini dengan penelitian sebelumnya yaitu pada vektor
pembawa dan penyebar virus Chikungunya. Penelitian ini menggunakan dua vektor
pembawa dan penyebar virus Chikungunya, yaitu nyamuk Aedes Aegepty dan Aedes
Albopictus. Perbedaan Peniltian ini dengan penelitian sebelumnya dapat disajikan
ke dalam tabel berikut ini :
Tabel 1.1 Kajian Pustaka
No Nama Peneliti
1.
Dian
Kurniasari
Judul
Perbedaan
(Matem- Model Penyebaran Virus Peneliti menggu-
atika, Fakultas Matematika Chikungunya dengan Pen- nakan penerapan
dan Ilmu Pengetahuan Alam, erapan Adulticide
Adulticide untuk
Universitas Gajdah Mada)
memberantas
nyamuk
Aegepty
Aedes
7
Tabel 1.2 Kajian Pustaka
No Nama Peneliti
2.
Joko
Prasetyo,
Judul
Moham- Model Matematika pada Peneliti menggu-
mad Kharis dan Waryanto Penyakit
(Matematika,
Perbedaan
Fakultas dengan
Chikungunya nakan Treatment
Menggunakan (perawatan) pada
Matematika dan Ilmu Penge- Treatment pada Individu individu
tahuan
Alam,
Universitas yang Sakit
yang
sakit
Negeri Semarang)
3.
Farida Amanati (Matematika, Model Matematika Penye- Peneliti
meng-
Fakultas Sains dan Teknolo- baran Penyakit Demam gunakan
gi, Universitas Islam Negeri Chikungunya
Sunan Kalijaga)
dua
dengan vektor
jenis
Dua Jenis Nyamuk Aedes nyamuk
(Aedes Aegepty dan Aedes (Ades
Albopictus)
ty
Aedes
Aegep-
dan
Aedes
Albopictus)
pembawa
virus
Chikungunya
1.7. Sistematika Penulisan
Sistematika pembahasan ini untuk memberikan gambaran menyeluruh dan
dan memudahkan dalam penelitian ini, secara garis besar sitematikanya yaitu:
BAB I : PENDAHULUAN
Berisi latar belakang, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan penelitian,
manfaat penelitian, tinjauan pustaka dan sistematika penulisan.
8
BAB II : LANDASAN TEORI
Berisi tentang beberapa pembahasan definisi dan teorema yang digunakan
sebagai landasan pada bab selanjutnya yaitu operasi matrik, nilai eigen , solusi
persamaan kuadrat, persamaan diferensial, integral tak tentu, sistem dinamik, titik
ekuilibrium, kestabilan titik keseimbangan, kriteria Routh-Hurwitz, dan basic
reproduction ratio.
BAB III : MODEL MATEMATIKA PENYEBARAN PENYAKIT DEMAM
CHIKUNGUNYA DENGAN DUA JENIS NYAMUK AEDES (AEDES AEGEPTY DAN AEDES ALBOPICTUS)
Berisi tentang penjelasan secara biologis tentang demam Chikungunya,
skema pemodelan alur penyebaran virus Chikungunya, dan pencarian titik
ekuilibrium dan Basic Reproduction Ratio, sehingga dapat menganalisis kestabilan
dari sistem.
BAB IV : SIMULASI NUMERIK
Berisi tentang simulasi numerik dari pemodelan yang dibahas, sehingga
diperoleh gambaran dari hasil penelitian yang dilakukan.
BAB V : PENUTUP
Berisi kesimpulan dari akhir penelitian ini dan saran yang dapat diambil dari
hasil penelitian ini.
BAB V
PENUTUP
Pada bab ini akan diberikan kesimpulan dan saran-saran yang dapat diambil
berdasarkan materi-materi yang telah dibahas pada bab-bab sebelumnya.
5.1. Kesimpulan
Kesimpulan yang dapat diambil penulis setelah menyelesaikan pembuatan
skripsi ini adalah :
1. Model matematika penyakit demam Chikungunya antara vektor penyebar
penyakit dengan populasi manusia diturunkan menjadi emapat persamaan
yaitu :
dSh
= µh (1 − Sh ) − γm1 (A1 /(µm1 )Im1 Sh − γm2 (A2 /(µm2 ))Im2 Sh
dt
dIh
= γm1 (A1 /(µm1 ))Im1 Sh + γm2 (A1 /(µm2 ))Im2 Sh − (µh − rh )Ih
dt
dIm1
= γh (Ih Nh )(1 − Im1 ) − µm1 Im1
dt
dIm2
= γh (Ih Nh )(1 − Im2 ) − µm2 Im2 .
dt
2. Model matematika penyakit demam Chikungunya mempunyai dua titik ekulibrium yaitu titik ekuilibrium bebas penyakit E0 (1, 0, 0, 0) dan titik ekuilibrium
endemik E1 (Sh∗ , Ih∗ , Im 1∗ , Im 2∗ )
3. Titik ekuilibrium bebas penyakit E0 stabil asimtotik lokal dengan R0 < 1.
Sementara Titik ekuilibrium endemik E0 stabil asimtotik lokal dengan R0 >
1.
73
74
4. Tingkat penyebaran virus Chikungunya yang paling meningkat untuk mentransfer ke dalam populasi manusia yaitu nyamuk Aedes Albopictus.
5.2. Saran
Setelah membahas dan mengimplementasikan model penyebaran penyakit
Chikungunya, penulis ingin menyampaikan beberapa saran.
1. Model ini menurunkan empat persamaan sehingga mengabaikan kelas Recovered (kelas sembuh), sehingga masih terdapat kemungkinan untuk
peneliti selanjutnya menggunakan model yang lebih kompleks untuk menganilisis populasi yang sembuh akan meningkat atau sebaliknya.
2. Dalam skripsi ini belum ada penerapan obat pembasmi nyamuk Aedes
Aegepty dan Aedes Albopictus. Sehingga penilitian selanjutnya dapat
ditambahkan ke dalam model untu mengurangi jumlah nyamuk penyebar
penyakit Chikungunya.
3. Penelitian selanjutnya dapat mengambil data di wilayah Indonesia.
Powered by LATEX
DAFTAR PUSTAKA
Anton, H. 2004. Aljabar Linear Elementer, Edisi kedelapan . Jakarta: Erlangga
Depkes RI. 2003. Pencegahan dan Penanggulangan Penyakit Demam Chikungunya
dan Demam Bedrarah Dengue. Jakarta: Depkes RI. (http://www.depkes.go.id),
diakses pada 10 Oktober 2015.
Depkes RI. 2008. Chikungunya Tidak Menyebabkan Kematian atau Kelumpuhan.
Jakarta: Depkes RI. (http://www.depkes.go.id), diakses pada 10 Oktober 2015.
Driessche Van den .P Watmough. 2002. Reproduction numbers and sub-threshold
endemic equilibria for compartemental models of disease transmission vol: 2948. Canada: Elseiver(Mathematical Biosciences).
Joko P, M Kharis, Wuryanto. 2012. Model Matematika pada Penyakit Chikungunya
dengan Menggunakan Treatment pada Individu yang Sakit. Semarang: UNNES
Juornal of Mathematics.
Murtiyasa, B dan R. P. Khotimah. 2013. Persamaan Diferensial Elementer.
Surakarta: Muhammadiyah University Press.
Naowarat Surapol, Ming. I Tang. 2013Transmission Model Of Chikungunya Fever
In The Presence Of Two Species Of Aedes Mosquitoes. USA: Science Publication.
Olsder G.J,Van Der Woude. 1994. Mathematical System Theory. Belanda: Deflt
University Press
75
76
Perko, Lawrwnce. 2001. Differential Equations and Dynamical Systems. New York:
Springer-Verlag
Purcell, Varberg. 2008. Kalkulus Edisi Kelima. Jakarta: Erlangga.
Ross, Shepley. L. 1984. Introduction to Ordionary Differential Equations. USA:
John Wiley and Sons.
Santoso, Fitri. 2011. Analisis Faktor yang Berhubungan dengan Kejadian Chikungunya di wilayah Kerja Puskesmas Gunungpati Kota Semarang Tahun 2010. Semarang: UNNES.
Suharto. 2003. Chikungunya Pada Orang Dewasa. Surabaya: Airlangga University
Press.
Suriptiastuti.2007. Re-emergence of Chikungunya Epidemilogy and Roles of Vektor
in Tranmission of The Disease [Vol 26 - No,2]. Universitas Trisakti: Universa
Mecina.
Sutimin, Widowati. 2007. Bahan Ajar Pemodelan Matematika. Semarang: UNDIP
Wakhid M Musthofa. 2015. Pengantar Teori Sistem dan Kendali. Yogyakarta: UINSUKA
LAMPIRAN A
M-FILE SOFTWARE MATLAB VERSI 7.1
1.1. M-file Laju Penyebaran Pada Manusia
%nilai awal
S(1)=0.0236;
Ih(1)=0.00007;
Im1(1)=0.0002;
Im2(1)=0.0014;
%nilai parameter
Nh=20000;
muh=0.00457;
mum1=0.2;
mum2=0.143;
A1=90;
A2=100;
gammam1h=0.0002;
gammam2h=0.003;
gammah=0.00001;
rh=0.5;
i=1;
t=1;
t(1)=0;
deltaT=0.01;
77
78
while (t<=10)
S(i+1)=S(i)+(muh*(1-S(i))*deltaT)-(gammam1h*(A1/mum1)
*Im1(i)*S(i)*deltaT)-(gammam2h*(A2/mum2)
*Im2(i)*S(i)*deltaT);
Ih(i+1)=Ih(i)+(gammam1h*(A1/mum1)*Im1(i)*S(i)*deltaT)
+(gammam2h*(A2/mum2)*Im2(i)*S(i)*deltaT)
-((muh-rh)*Ih(i)*deltaT);
Im1(i+1)=Im1(i)+(gammah*(Ih(i)*Nh)*(1-Im1(i))*deltaT)
-(mum1*Im1(i)*deltaT);
Im2(i+1)=Im2(i)+(gammah*(Ih(i)*Nh)*(1-Im2(i))*deltaT)
-(mum2*Im2(i)*deltaT);
t(i+1)=t(i)+deltaT;
i=i+1;
end;
plot(t,S,’g’,’lineWidth’,2);
hold on;plot(t,Ih,’b’,’lineWidth’,2);
title(’Laju penyebaran manusia’);
xlabel(’Waktu’);
ylabel(’Sh,Ih’);
legend(’S = Susceptible Human’,’Ih = Infected Human’);
grid on
1.2. M-file Laju Penyebaran Penyakit Terhadap Kompartemen Terinfeksi
%nilai awal
S(1)=0.0236;
Ih(1)=0.00007;
79
Im1(1)=0.0002;
Im2(1)=0.0014;
%nilai parameter
Nh=20000;
muh=0.00457;
mum1=0.2;
mum2=0.143;
A1=500;
A2=1000;
gammam1h=0.0002;
gammam2h=0.003;
gammah=0.00001;
rh=0.5;
i=1;
t=1;
t(1)=0;
deltaT=0.01;
while (t<=10)
S(i+1)=S(i)+(muh*(1-S(i))*deltaT)-(gammam1h*(A1/mum1)
*Im1(i)*S(i)*deltaT)-(gammam2h*(A2/mum2)
*Im2(i)*S(i)*deltaT);
Ih(i+1)=Ih(i)+(gammam1h*(A1/mum1)*Im1(i)*S(i)*deltaT)
+(gammam2h*(A2/mum2)*Im2(i)*S(i)*deltaT)
-((muh-rh)*Ih(i)*deltaT);
Im1(i+1)=Im1(i)+(gammah*(Ih(i)*Nh)*(1-Im1(i))*deltaT)
80
-(mum1*Im1(i)*deltaT);
Im2(i+1)=Im2(i)+(gammah*(Ih(i)*Nh)*(1-Im2(i))*deltaT)
-(mum2*Im2(i)*deltaT);
t(i+1)=t(i)+deltaT;
i=i+1;
end;
plot(t,Ih,’g’,’lineWidth’,2);
hold on;plot(t,Im1,’b’,’lineWidth’,2);
hold on;plot(t,Im2,’y’,’lineWidth’,2);
title(’Kompartemen terinfeksi’);
xlabel(’Waktu’);
ylabel(’Ih, Im1, Im2’);
legend(’Ih = Infected Human’, ’Im1 = Infected Ae.Aegepty’,
’Im2 = Infected Ae.Albopictus’);
grid on
DAFTAR RIWAYAT HIDUP
A. Data Pribadi
Nama
: Farida Amanati
Umur
: 22 Tahun
Tempat, Tanggal, Lahir
: Demak, 7 Juni 1994
Agama
: Islam
Status
: Belum Nikah
Jenis Kelamin
: Perempuan
Alamat
: Ds. Karanganyar RT.01/RW.02 Kec.
Karanganyar
Kab. Demak Jawa Tengah
No. Hp
: 085740136028
E-mail
: [email protected]
B. Latar Belakang Pendidikan
1. SDN 03 Karanganyar (2000-2006)
2. MTs. Mazro’atul Huda Karanganyar (2006-2009)
3. MA NU Banat Kudus (2009-2012)
4. Universitas Islam Negeri Sunan Kalijaga Yogyakarta, masuk Tahun
2012