TEORI PENDUGAAN (TEORI ESTIMASI)

TEORI PENDUGAAN (TEORI
ESTIMASI)
Pertemuan 9
Pendahuluan :


Tujuan utama kita mengambil sampel
dari suatu populasi adalah untuk
memperoleh informasi mengenai
parameter populasi.
Oleh karena parameter populasi tidak
diketahui, maka dalam statistika
inferensia dipelajari bagaimana cara
mengetahui parameter tersebut.

Ada dua cara untuk mengetahui
parameter populasi yang dipelajari
dalam statistika inferensia, yaitu :



Cara pendugaan (penaksiran/estimasi)
Pengujian hipotesis.
Dua cara ini didasarkan pada besaran
yang dihitung dari sampel.
ˆ

Parameter populasi ditulis dengan huruf latin , di
mana  bisa berupa:




Sedangkan statistik dari sampel ditulis  (topi),
bisa berupa :




rata-rata populasi,
simpangan baku populasi,
proporsi populasi.
rata-rata sampel,
simpangan baku sampel,
proporsi sampel.
Dalam statistika inferensia, statistik  (topi) inilah
yang dipakai untuk menduga parameter  dari
populasi
Teori Pendugaan dikenal dua jenis
pendugaan (estimasi) yaitu :

Pendugaan Titik (Estimasi Titik).


Bila nilai parameter  dari populasi hanya diduga
dengan memakai satu nilai statistik  (topi) dari
sampel yang diambil dari populasi tersebut
Pendugaan Interval (Estimasi Interval).

Bila nilai parameter  dari populasi diduga dengan
memakai beberapa nilai statistik  (topi) yang
berada dalam suatu interval, misalnya 1 (topi) <
 < 2 (topi)
Pendugaan Titik
X

X 

n
S2 
2
(
X

X
)

X
p
n
n 1


penduga titik untuk

penduga titik untuk
2
penduga titik untuk
P
Estimasi Interval
Sampel Besar ( n  30 )
Pendugaan parameter rata-rata  :

Interval kepercayaan (1 - ) untuk
menduga rata-rata , bila  diketahui
adalah 
:

X  Z / 2
n
   X  Z / 2
n
Bila  tidak diketahui, maka dapat digunakan
penduga dari  yaitu S
Pendugaan perameter proporsi P:

Interval kepercayaan (1 - )
untuk menduga proporsi P adalah
:
pq
pq
p  Z / 2
n
 P  p  Z / 2
Dimana :
X
P
N
dan
x
ˆ
P p
n
n
Pendugaan parameter beda dua rata-rata
(1 - 2) :

Interval kepercayaan (1 - ) untuk
menduga beda dua rata-rata 1 - 2 :
( X 1  X 2 )  Z / 2
 12
n1

 22
n2
 1   2  ( X 1  X 2 )  Z / 2
 12
n1

 22
n2
Pendugaan parameter beda dua proporsi
(P1 - P2):

Interval kepercayaan (1 - )
untuk
menduga
beda
dua
proporsi ( P1 - P2 ) adalah :
( p1  p2 )  Z / 2
p1q1 p2q2
p1q1 p2 q2

 P1  P2  ( p1  p2 )  Z / 2

n1
n2
n1
n2
Sampel Kecil ( n < 30 )
Pendugaan parameter rata-rata  :

Interval kepercayaan (1 - )
untuk menduga rata-rata .
dengan sampel kecil, bila  tidak
diketahui adalah:
X  t / 2,
S
S
   X  t / 2,
n
n
Pendugaan parameter beda dua rata-rata
(1 - 2) :


Misalkan diketahui dua populasi
masing-masing mempunyai rata-rata
1 dan 2 , dan distribusinya mendekati
normal.
Misalkan variansi dua populasi itu
sama yaitu 12 = 22 = 2 tetapi tidak
diketahui berapa besarnya.
( X 1  X 2 )  t / 2, S p
1 1
1 1

 1   2  ( X 1  X 2 )  t / 2, S p

n1 n2
n1 n2
di mana : derajat kebebasan  = n1 + n2 - 2
Simpangan baku gabungan adalah
(n1  1) S1  (n2  1) S 2
n1  n2  2
2
Sp 
2

bila variansi dua populasi itu tidak sama
besarnya yaitu 12  22 dan kedua variansi
tidak diketahui nilainya, maka interval
kepercayaan (1-) untuk beda dua ratarata (1 - 2) dari dua populsai tersebut
adalah :
2
( X 1  X 2 )  t / 2,
2
2
S1
S
 2  1   2  ( X 1  X 2 )  t / 2,
n1
n2
 S1
S2

 n  n
2
 1
2
di mana derajat kebebasan

 S 2 2
  1 n 
1



 n1  1


2




2
 S2
 

 
n
2  


n2  1 


2
2
S1
S
 2
n1
n2
2
Pendugaan parameter beda dua rata-rata (1 - 2)
jika kedua sampel tidak bebas :

Misalnya bila pengamatan dalam kedua
sampel diambil secara berpasangan
sehingga kedua sampel saling terkait, maka
interval kepercayaan (1-) untuk beda dua
rata-rata (1 - 2 = d) dari dua populasi
tersebut adalah :
d  t / 2,v
Sd
n
  d  d  t / 2,v
Dimana derajat kebebasan  = n - 1
Sd
n