KARAKTERISTIK KOMPONEN RANGKAIAN LISTRIK

PERSAMAAN RANGKAIAN
Pada bab ini akan dibahas sebagai berikut :
1. Definisi Cabang, Jerat dan Simpul
2. Persamaan Hukum Kirchhoff
3. Persamaan Jerat/ Loop
4. Jawab Persamaan Jerat
5. Persamaan Simpul/Node
6. Jawab Persamaan Simpul
7/28/2012
persamaan rangkaian by zaenab
muslimin
1
Cabang, Jerat dan Simpul
Rangkaian listrik adalah rangkaian elemen-elemen yang dapat mewakili sifat kelistrikan bagian-bagian suatu
sistem. Elemen-elemen tersebut saling dihubungkan oleh penghantar arus (konduktor) yang tidak memiliki sifat
kecuali sebagai penghantar arus listrik.
Titik hubung antara dua atau lebih elemen disebut titik simpul atau node. Bila titik simpul itu merupakan titik
hubung antara tiga atau lebih elemen maka simpul itu merupakan titik percabangan dan simpul tersebut disebut
simpul silang.
Cabang suatu rangkaian adalah bagian rangkaian yang arusnya selalu sama. Cabang itu mengandung satu atau
lebih elemen. Jadi arus yang melalui setiap elemen yang terdapat pada satu cabang harus sama. Arus yang
mengalir pada satu cabang disebut arus cabang.
Arus listrik dalam rangkaian hanya bisa mengalir bila terdapat jalan melingkar (kembali ke titik asal) melalui
elemen dan penghantar. Setiap jalan atau lintasan melingkar ini disebut jerat/loop.
Gambar 1 adalah contoh sebuah rangkaian beberapa elemen aktif dan pasif. Pada gambar 1 terlihat
Simpul
: a, b, c, d, e, f, g, h, I, j, k, l, m, dan n
Simpul silang
: b, d, h, dan j
cabang
: Z6, Z7, ea, Z3, Z10, Z8 dst
Jerat
: abljhka, bicmdjlb, ghjdefg
7/28/2012
persamaan rangkaian by zaenab
muslimin
2
Gambar 1. Illustrasi cabang, simpul dan jerat
b
a
i
Z7
c
Z3
ec
Z1
Z4
Z2
I1
I2
k
m
l
ea
ed
eb
h
Z9
Z6
Z8
j
I3
d
Z10
ef
g
7/28/2012
Z5
f
persamaan rangkaian by zaenab
muslimin
e
3
Persamaan Hukum Kirchhoff
Persamaan rangkaian diturunkan dari salah satu Hukum Kirchhoff, yaitu :
a. Jumlah jatuh potensial pada suatu jalan melingkar (jerat) sama dengan nol. Secara singkat dengan
menggunakan simbol matematik dapat dituliskan :
( ∑ beda potensial ) jerat/loop = 0
……………………………………….(1)
b. Jumlah arus yang mengalir masuk ke satu simpul/node sama dengan nol. Secara singkat dapat
dituliskan persamaannya sebagai berikut
( ∑ arus ) simpul/node = 0
………..……………………………….(2)
NOTE :
• Dalam menggunakan persamaan (1), hendaknya diperhatikan bahwa polaritas beda potensial antara
dua titik atau simpul adalah positif bila bergerak dari simpul yang lebih tinggi potensialnya ke simpul
yang lebih rendah potensialnya dan negatif bila sebaliknya.
• Dalam menggunakan persamaan (2), kita sepakati bahwa arus I yang mengalir menuju ke simpul
berpolaritas positif, sedangkan arus I yang keluar dari suatu simpul berpolaritas negatif.
7/28/2012
persamaan rangkaian by zaenab
muslimin
4
Persamaan Jerat/Loop
Marilah kita perhatikan gambar 1, dimana diperoleh :
(Z1+Z2+Z6+Z7) I1 +
(-Z2)
I2 +
(-Z6)
I3 = ea – eb
(-Z2)
I1 + (Z2+Z3+Z4+Z8) I2 +
(-Z8)
I3 = eb – ec – ed
(-Z6)
I1 +
(-Z8)
I2 + (Z5+Z6+Z8+Z9+Z10) I3 = -ef
 Z11
 Z21

 Z31
Z12
Z22
Z32
Z13
Z23 
Z33 
I1  E1
I2   E2
   
I3  E3
[Z] [I] = [E]
...............(3)
…….………..(4)
………………………….(5)
Definisikan :
• Biarkanlah didefinisikan impedansi diri jerat j. Zjj adalah jumlah semua impedansi yang ada pada
jerat j.
• Impedansi bersama atau impedansi gandeng Zjk adalah jumlah impedansi yang terdapat baik pada
jerat j maupun jerat k, yaitu jumlah impedansi yang secara bersama dimiliki atau menggandengkan
jerat j dan jerat k. Sehingga Zjk = Zkj.
7/28/2012
persamaan rangkaian by zaenab
muslimin
5
• E1 = Ea – Eb adalah jumlah sumber tegangan yang ada pada jerat 1. Sumber tegangan
dikatakan posistif bila berpolaritas searah dengan I1, dan negatif bila berlawanan arah
denga arah I1.
• Pada persamaan (5) [Z] adalah matriks bujur sangkar, [I] adalah matriks kolom atau vektor
arus-arus jerat, dan [E] adalah vektor sumber tegangan.
• Elemen-elemen diagonal utama dari matriks [Z] adalah impedansi dari masing-masing jerat
dan tanda di depannya selalu posistif.
• Elemen-elemen lainnya yang terdapat disisi kanan atas atau disisi kiri bawah elemenelemen diagonal adalah impedansi bersama atau gandeng pasangan-pasangan jerat yang
terpilih.Tanda di depannya positif atau negatif, tergantung pada polaritas arus-arus jerat
yang melaluinya.
7/28/2012
persamaan rangkaian by zaenab
muslimin
6
Jawab Persamaan Jerat/Loop
Jawab persamaan jerat adalah memperoleh arus-arus jerat [ I ]. Arus-arus jerat ini didapat
dengan jalan persamaan (5) diperkalikan dengan [ Z ] -1 sebagai berikut :
[ Z ] -1 [ Z ] [ I ] = [ Z ] -1 [ E ]
[ U ] [ I ] = [ Z ] -1 [ E ]
[ I ] = [ Z ] -1 [ E ]
[ I ] = [ Y ] [ E ] ....................................................................(6)
Persamaan (6) adalah jawab dari persamaan (5).
7/28/2012
persamaan rangkaian by zaenab
muslimin
7
Langkah-langkah penyelesaian untuk memperoleh arus-arus jerat
•
Gambarkan rangkaian dengan menyatakan semua elemen aktif (sumber
energi) sebagai sumber tegangan.
•
Gambarkan arus-arus jeratnya. Ambillah searah dengan arah jarum jam
•
Tuliskanlah matriks impedansi [ Z ]
•
Carilah matriks [ Y ] dengan jalan meng-invers matriks [ Z ]
•
Tentukanlah vektor sumber tegangan [ V ]
•
Hitung arus [ I ] dengan jalan memperkalikan [ Y ] dengan [ E ]
7/28/2012
persamaan rangkaian by zaenab
muslimin
8
Persamaan Simpul / Node
Persamaan simpul diturunkan dari persamaan (2). Dalam hal ini semua elemen aktif atau
sumber energi dinyatakan sebagai sumber arus bebas. Biasanya sumber energi itu lebih sering
dinyatakan sebagai sumber tegangan bebas yang seri dengan impedansinya.
Terdapat teori yang mengatakan bahwa terhadap ujung-ujng AB suatu sumber tegangan bebas
e seri dengan sebuah impedansi Zd dapat diagnti dengan suatu sumber arus bebas I paralel
dengan impedansi Zd tersebut asal saja I = E / Zd.
Banyaknya persamaan yang dibutuhkan untuk menyelesaikan persoalan persamaan simpul
sama dengan banyaknya simpul dikurang satu. Dikurang satu karena harus dipilih satu simpul
sebagai simpul acuan. Sehingga semua tegangan simpul lainnya dapat diacukan ke simpul
acuan tersebut.
Marilah kita perhatikan gambar 3. Setelah semua tegangan yang seri dengan suatu impedansi
diganti dengan sumber arus setaranya yang paralel dengan impedansi atau admitansinya,
seperti yang tampak pada gambar 4.
7/28/2012
persamaan rangkaian by zaenab
muslimin
9
Gambar 3. Contoh rangkaian untuk penyelesaian persamaan simpul
A
Z1
Z2
E1
Z3
E2
C
Z5
E3
Z6
o
B
E4
Z4
7/28/2012
D
persamaan rangkaian by zaenab
muslimin
10
Gambar 4. Penyederhanaan gambar 3
A
I1
Z1
IZ1
Y1
I2
Z2
Z5
IZ2
C
Y5
I3
Y2
Z6
O
IZ5
IZ6
Z3
IZ3
Y3
B
Y6
I4
Z4
7/28/2012
Y4
IZ4
persamaan rangkaian by zaenab
muslimin
11
Dari gambar 4 dapat dituliskan persamaan berikut :
Simpul A
I1 – IZ1 + I2 - IZ2 + I3 - IZ3 = 0
I1 – Y1 VAC + I2 - Y2 VA + I3 – Y3 VAB = 0
I1 – Y1 (VA - VC) + I2 - Y2 VA + I3 – Y3 (VA - VB) = 0
(Y1 + Y2 + Y3) VA – Y3 VB - Y1 VC = I1 + I2 +I3
Simpul B
-I3 + IZ3 - IZ6 + I4 - IZ4 = 0
-I3 + Y3 (VA - VB) - Y6 VB + I4 – Y4 (VB - VC) = 0
-Y3 VA + (Y3 + Y4 + Y6) VB – Y4 VC = - I3 + I4
Simpul C
-I1 + IZ1 - IZ5 - I4 + IZ4 = 0
-I1 + Y1 (VA - VC) - Y5 VC - I4 – Y4 (VB - VC) = 0
-Y1 VA – Y4 VB + (Y1 + Y4 + Y5) VC = - I1 - I4
7/28/2012
persamaan rangkaian by zaenab
muslimin
12
(Y1 + Y2 + Y3) VA +
(– Y3)
VB +
( - Y1)
VC = I1 + I2 +I3
(-Y3)
VA + (Y3 + Y4 + Y6) VB +
(– Y4)
VC = - I3 + I4
( -Y1)
VA + (– Y4)
VB + (Y1 + Y4 + Y5) VC = - I1 - I4
Secara umum persamaan matriks dapat dituliskan sebagai :
 Y11

 Y21
 Y31
Y12
Y22
Y32
Y13 

Y23 
Y33 
 VA  I A 

  
 VB   IB 
 VC  IC 
…………………..(7)
Penulisan lengkap tersebut dapat disederhanakan menjadi :
[Y] [V] = [I]
7/28/2012
…………………………………………………………(8)
persamaan rangkaian by zaenab
muslimin
13
Definisi dari persamaan (7)
•
Y11 = Y1 + Y2 + Y3; adalah jumlah admitansi yang dihubungkan langsung ke simpul A=1.
demikian pula Y22 = Y3 + Y4 + Y6; dan Y33 = Y1 + Y4 + Y5; masing-masingnya adalah
jumlah admitansi yang dihubungkan langsung ke simpul B=2 dan simpul C=3.
•
Y11, Y22 ,Y33 adalah admitansi diri. Admitansi diri merupakan elemen-elemen diagonal
utama dan tanda di depannya selalu positif (+).
•
Y12 = Y21, Y23 = Y32, Y13 = Y31 adalah jumlah admitansi yang menghubungkan atau
menggandengkan simpul 1 dengan simpul 2, simpul 2 dengan simpul 3 serta simpul 1
dengan simpul 3. Admitansi ini disebut admitansi bersama atau admitansi gandeng, dan
tanda di depannya adalah negatif (-).
•
IA = I1 + I2 + I3; adalah jumlah sumber arus yang berhubungan langsung ke simpul A=1,
dihitung positif bila menuju ke simpul A dan negatif bila keluar dari simpul A. Demikian
pula untuk IB dan IC .
7/28/2012
persamaan rangkaian by zaenab
muslimin
14
Jawab Persamaan Simpul / Node
Jawab persamaan simpul adalah memperoleh tegangan pada masing-masing simpul
selain simpul acuan. Jawab persamaan simpul dapat diperoleh dengan jalan yang sama
seperti pada jawab persaman jerat :
[ Y ] -1 [ Y ] [ V ]
[U] [V]
[V]
[V]
=
=
=
=
[ Y ] -1 [ I ]
[ Y ] -1 [ I ]
[ Y ] -1 [ I ]
[ Z ] [ I ] ....................................................................(9)
Persamaan (9) adalah jawab dari persamaan (8).
7/28/2012
persamaan rangkaian by zaenab
muslimin
15
Langkah-langkah penyelesaian untuk memperoleh tegangan simpul
•
Gambarkan rangkaian dengan menyatakan semua elemen aktif (sumber energi) sebagai
sumber arus.
•
Beri nomor / huruf setiap simpul dan pilih simpul acuan. Simpul acuan yang dipilih
dianjurkan adalah simpul yang banyak cabangnya keluar.
•
Tuliskanlah matriks admitansi [Y ]
•
Carilah matriks [ Z ] dengan jalan meng-invers matriks [ Y ]
•
Tentukan vektor sumber arus [ I }
•
Hitung tegangan [ V ] dengan jalan memperkalikan [ Z ] dengan [ I ]
7/28/2012
persamaan rangkaian by zaenab
muslimin
16