Asymptotic Distribution Of Estimator For The

33
LAMPIRAN
34
35
Beberapa Definisi
Ruang Contoh Kejadian dan Peluang
Suatu percobaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama, yang hasilnya
tidak dapat diprediksi dengan tepat tetapi kita bisa mengetahui semua
kemungkinan hasil yang muncul disebut percobaan acak.
Definisi L.1 (Ruang contoh dan kejadian)
Himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan acak disebut ruang
contoh, dan dinotasikan dengan
. Himpunan bagian dari ruang contoh disebut
kejadian.
(Grimmett and Stirzaker 2001)
Definisi L.2 (Kejadian lepas )
Kejadian A dan B disebut saling lepas jika irisan dari keduanya adalah himpunan
kosong ( ).
(Grimmett and Stirzaker 2001)
Definisi L.3 (Medan- )
Medan- adalah himpunan
yang anggotanya merupakan himpunan bagian dari
yang memenuhi syarat-syarat berikut :
(1)
maka Ac
(2)
Jika A
(3)
Jika A1, A2, …,
Medan-
.
maka
.
terkecil yang mengandung semua selang berbentuk (
disebut medan Borel, dan anggotanya disebut himpunan Borel.
(Grimmett and Stirzaker 2001)
Definisi L.4 (Ukuran peluang)
Ukuran peluang P pada ruang ukuran (
) adalah fungsi P :
yang
memenuhi :
(1)
(2)
Jika A1,A2, … adalah himpunan anggota
untuk setiap i, j dengan
yang saling lepas yaitu
maka :
.
Tripel (
) disebut dengan ruang peluang.
(Grimmett and Stirzaker 2001)
36
Definisi L.5 (Kejadian saling bebas)
Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika :
Secara umum, himpunan kejadian {
.
} dikatakan saling bebas, jika :
untuk setiap himpunan bagian J dari I.
(Grimmett and Stirzaker 2001)
Peubah Acak dan Fungsi Sebaran
Definisi L.6 (Peubah acak)
Peubah acak adalah suatu fungsi
}
untuk setiap
dengan sifat bahwa {
.
(Grimmett and Stirzaker 2001)
Definisi L.7 (Fungsi sebaran)
yang
Fungsi sebaran dari suatu peubah acak X adalah
didefinisikan oleh
(Grimmett and Stirzaker 2001)
Definisi L.8 (Peubah acak diskret)
Peubah acak X disebut diskret jika himpunan semua kemungkinan nilai {x1, x2,…}
dari peubah acak tersebut merupakan himpunan tercacah.
(Grimmett and Stirzaker 2001)
Suatu himpunan bilangan C disebut tercacah jika C terdiri atas bilangan berhingga
atau anggota C dapat dikorespodensikan 1-1 dengan bilangan bulat positif.
Definisi L.9 (Fungsi massa peluang)
Fungsi massa peluang dari peubah acak diskret X adalah fungsi
yang diberikan oleh : p(x) = P (X = x).
(Grimmett and Stirzaker 2001)
Definisi L.10 (Peubah acak Poisson)
Suatu peubah acak X disebut peubah acak Poisson dengan parameter
fungsi kerapatan peluangnya diberikan oleh :
jika
, untuk k= 0, 1, 2, …
(Ghahramani 2005)
37
Nilai Harapan, Momen dan Ragam
Definisi L.11 (Nilai harapan, momen dan ragam)
Misalkan X adalah peubah acak diskret dengan fungsi kerapatan peluang p(x).
Nilai harapan dari X, dinotasikan dengan E(X), adalah
E(X)=
Momem ke-k dengan k merupakan bilangan bulat positif, dari suatu peubah acak
X adalah
Misalkan momen ke-1 dari x adalah E(X) = . Maka momen pusat ke-k atau
dari peubah acak X adalah
Nilai harapan dari peubah acak X merupakan momen pertama dari X. Ragam
adalah nilai harapan dari
(variance) dari X, dinotasikan dengan Var (X) atau
kuadrat perbedaan antara peubah acak X dengan nilai harapannya yaitu :
2
p(x).
Ragam merupakan momen ke-2 dari peubah acak X.
(Hogg et al. 2005)
Kekonvergenan
Definisi L.12 (Kekonvergenan barisan bilangan nyata)
Barisan ( n) dikatakan mempunyai limit L dan kita tuliskan
n
L jika
apabila setiap
atau
terdapat bilangan M sedemikian rupa
sehingga jika n > M maka
ada, kita katakan
barisan tersebut konvergen. Jika tidak, kita katakan barisan tersebut divergen.
(Stewart 1999)
Terdapat beberapa cara untuk menginterpretasikan pernyataan kekonvergenan
barisan peubah acak.
Definisi L.13 (Kekonvergenan dalam peluang)
Misalkan X, X1, X2, … adalah peubah acak dalam ruang peluang (
). Kita
katakan bahwa barisan peubah acak Xn konvergen dalam peluang ke X,
dinotasikan
.
(Grimmet and Stirzaker 2001)
38
Definisi L.14 (Konvergen dalam rataan ke – r)
Misalkan X1,X2,…X adalah peubah acak dalam ruang peluang (Ω, , P).
Barisan peubah acak Xn dikatakan konvergen dalam rataan ke-r ke peubah acak X,
dengan r ≥ 1, ditulis X n
dan
Xn
X
r
r
X untuk n
0 untuk n
, jika
Xn
r
untuk semua n
.
(Grimmett dan Stirzaker, 1992)
Definisi L.15 (Konvergen hampir pasti)
Misalkan X1,X2,…X adalah peubah acak dalam ruang peluang (Ω, , P).
Barisan peubah acak Xn dikatakan konvergen hampir pasti ke peubah acak X,
ditulis
lim X n
n
as
Xn
X
X,
untuk
n
,
jika
untuk
setiap
ε
>
0,
1 . Dengan kata lain konvergen hampir pasti adalah
konvergen dengan peluang satu.
(Grimmett dan Stirzaker, 1992)
Definisi L.16 (Konvergen dalam sebaran)
Misalkan X1,X2,…X adalah peubah acak dalam ruang peluang (Ω, , P).
Barisan peubah acak Xn dikatakan konvergen dalam sebaran ke peubah acak X,
ditulis X n
d
X , jika P(Xn ≤ x) → P(X ≤ x) untuk n
, untuk semua titik x
dimana fungsi sebaran FX(x) adalah kontinu.
(Grimmett dan Stirzaker, 1992)
Penduga dan Sifat-sifatnya
Definisi L.17 (Statistik)
Statistik merupakan suatu fungsi dari satu atau lebih peubah acak yang tidak
tergantung pada satu atau beberapa parameter yang tidak diketahui.
(Hogg et al. 2005)
39
Definisi L.18 (Penduga)
Misalkan X1,X2,…Xn adalah contoh acak. Suatu statistik U(X1, X2, …,Xn)yang
digunakan untuk menduga fungsi parameter g( ), dikatakan sebagai penduga
(estimator) bagi g( ) , dilambangkan dengan
n
( )
Bilamana nilai X1=x1 , X2=x2 ,…Xn=xn , maka nilai U(X1, X2, …,Xn) disebut
sebagai dugaan (estimate) bagi g( )
(Hogg et al. 2005)
Definisi L.19 (Penduga tak bias)
(1)
, yaitu
Suatu penduga yang nilai harapannya sama dengan parameter
=
disebut penduga tak bias bagi parameter
.
Jika sebaliknya, penduga di atas disebut berbias.
(2)
Jika
=
maka
)disebut
penduga tak bias asimtotik
(Hogg et al. 2005)
Definisi L.20 (Penduga konsisten)
Suatu penduga yang konvergen dalam peluang ke parameter
, disebut
penduga konsisten bagi
(Hogg et al. 2005)
Definisi L.21 (MSE suatu penduga)
Mean Square Error (MSE) dari suatu penduga U bagi parameter
didefinisikan sebagai berikut :
MSE(U)= E(U – g( ))2 = (Bias (U))2 + Var (U),
dengan Bias(U) = EU (Hogg et al. 2005)
Definisi L.22 (Fungsi terintegralkan lokal)
Fungsi intensitas  adalah terintegralkan lokal, jika untuk sembarang himpunan
Borel terbatas B diperoleh
40
Definisi L.23 (Titik Lebesgue)
Titik s dikatakan titik Lebesgue dari fungsi
jika
.
(Dudley 1989)
Definisi L.24 (O(.) dan o(.))
Symbol „big-oh’ dan „litle-o‟ ini merupakan cara membandingkan besarnya dua
fungsi u(x) dan v(x) dengan x menuju suatu limit L.
(1)
Notasi u(x) = O(v(x)), x L menyatakan bahwa
terbatas untuk x L.
(2)
Notasi u(x) = o(v(x)), x L menyatakan bahwa
untuk x L.
(Serfling 1980)
Dengan menggunakan definisi di atas kita peroleh hal berikut
(1)
Suatu barisan bilangan nyata
disebut terbatas dan ditulis
untuk semua bilangan asli n.
(2)
Suatu barisan bn yang konvergen ke 0, untuk
dapat ditulis bn = o(1).
(Purcel dan Varberg 1998)
Lema teknis
Lema L.1
Jika X adalah peubah acak maka untuk sembarang konstanta a dan b berlaku
(Ghahramani 2005)
Bukti
Dari Definisi 11 kita bisa menuliskan bahwa
2
2
2
41
=
Jadi lema L.1 terbukti.
Lema L.2 (Formula Young dari Teorema Taylor)
Misalkan g memiliki nilai turunan ke-n yang terhingga pada suatu titik x, maka
untuk
.
(Serfling 1980)
Lema L.3 (Ketaksamaan Markov)
Jika
adalah peubah acak, maka untuk setiap t > 0,
(Ghahramani 2005)
Bukti:
Misalkan A adalah himpunan nilai yang mungkin dari peubah acak X dan
, maka
Sehingga
Jadi Lema 3 terbukti.
42
Lema L.4 (Ketaksamaan Chebyshev)
Jika X adalah peubah acak dengan nilai harapan μ dan ragam terbatas σ2 maka
2
(X
t)
untuk setiap t ≥ 0.
t2
(Ghahramani, 2005).
Bukti :
2
Karena X
(X
0 , dengan ketaksamaan Markov
)
2
t
2
Oleh karena X
2
)2
(X
t2
2
t2
.
t 2 adalah eqivalen X
t , maka Lema L.4 terbukti.
Lema L.5 (Deret-p)
1
Deret
n 1
np
(disebut juga deret-p) konvergen jika p > 1, dan divergen jika p ≤ 1.
Bukti : lihat Steawart, 1999.
Lema L.6 (Teorema Limit Pusat (CLT))
Misalkan X 1 , X 2 ,... adalah barisan peubah acak yang i.i.d
identically distributed) dengan nilai harapan
dan ragam
(independent and
2
. Maka distribusi
dari
Zn
X1
X 2 ... X n n
n
jika n
d
Normal 0,1 ,
, atau dengan kata lain
lim
n
x
Zn
1
e
2
x
lim
n
X1
X 2 ... X n n
n
x
y2
2
dy.
(Ghahramani 2005)
Bukti:
Untuk membuktikan Teorema Limit Pusat diperlukan Teorema Kekontinuan
Levy, sebagai berikut :
43
Lema 7 (Teorema Kekontinuan Levy)
Misalkan X 1 , X 2 ,... adalah barisan peubah acak dengan masing-masing fungsi
distribusi F1 , F2 ,... dan fungsi pembangkit momen M X1 , M X 2 ,... . Misalkan adalah
peubah acak dengan fungsi distribusi F dan fungsi pembangkit momen M X t .
Jika semua nilai t, M X n t konvergen ke M X t , maka titik-titik dari F yang
kontinu, Fn konvergen ke F .
Bukti Teorema Limit Pusat:
Misalkan Yn
Zn
X1
Xn
, maka
0 dan Var Yn
Yn
2
, akan dibuktikan
X 2 ... X n n
, untuk n 1 konvergen ke distribusi Z.
n
Jika Y1 , Y2 ,... berdistribusi identik maka Y1 , Y2 ,... mempunyai pembangkit momen
yang sama, yaitu M. Dari kebebasan peubah acak Y1 , Y2 ,..., Yn diperoleh
M Zn t
exp
M Y1
M Y1
M
Y1 Y2 ... Yn
t
n
t
Y2 ... Yn
t
n
n
M Y2
t
n
...M Yn
t
n
n
t
n
.
(L.1)
Dari Teorema Kekontinuan Levy, cukup dibuktikan bahwa M Zn t konvergen ke
exp
t2
2
yang merupakan fungsi pembangkit momen dari Z. Ekuivalen dengan
menunjukkan bahwa
44
t2
2
lim ln M Zn t
n
Misalkan h
t
maka n
n
ln M Zn t
t2
sehingga dari persamaan (L.1) dihasilkan
2 2
h
t2
ln M h
2 2
h
n ln M h
t 2 ln M h
, maka
2
h2
ln M h
t2
lim
.
2h 0
h2
lim ln M Zn t
n
Karena M 0
(L.2)
1 dan lim
h
0
ln M h
h2
(L.3)
nilai tidak tetap, maka untuk menentukan

dua kali, sehingga diperoleh
nilainya dapat digunakan aturan L‟Hopital
lim
h
0
ln M h
h2
M' h M h
0
2h
lim
h
h
Dengan M " 0
lim ln M Zn t
n
2
dan
t2 2
.
2 2
Jadi Teorema terbukti.
h
M" h
0 2M h
2hM ' h
lim
Yi
M' h
0 2hM h
lim
M" 0
2M 0
2
2
,
0, maka dari (L.3) diperoleh bahwa
t2
yaitu persamaan (L.2).
2