Matematika

Matematika Ekonomi
1
MATERI MATRIKULISI
PROGRAM PASCA SARJANA
PROGRAM STUDI AGRIBISNIS
FAKULTAS PERTANIAN UNJA
Oleh
R. SIHOTANG
Ruang Lingkup:
Himpunan, Hubungan, Fungsi, Kalkulus,
dan Matriks.
Sasaran:
Mahasiswa Program Studi Agribisnis yang
diterima pada
Program Pascasarjana
Fakultas pertanian Univ. Jambi
•Tujuan :
Mahasiswa diharapkan mampu memahami
konsep-kosep Matematika dalam penerapannya pada persoalan ekonomi.
Matematika Ekonomi
3
• Kompetensi:
• Mampu menyelesaikan persoalan
Ekonomi dan Bisnis dengan alat analisis
Matematika.
• Literatur
• Chiang A.C, 1984. Fundamental Methods
of Mathematical Economics. Third Edition,
Mc Graw-Hill Book Inc. New York
• Johannes, H dan Handoko, BS. 1994.
Pengantar Matematika untuk Ekonomi.
Edisi ke empat belas. LP3ES. Jakarta
Matematika Ekonomi
4
• Materi:
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Pegertian Matematika
Himpunan
Sistem Bilangan
Fungsi
Fungsi Linear
Fungsi non Linear
Diferensial Fungsi Sederhana
Diferensial Fungsi Majemuk
Aljabar Matriks
Matematika Ekonomi
5
MATEMATIKA
ASAL KATA
Asal kata : MATHEIN artinya mempelajari atau
belajar. Dengan mempelajari matematika, seseorang akan terbiasa
mengatur jalan pemikirannya dgn
sistematis.
Berpikir matematis:
Seseorang yg hendak menem-puh jarak 2 mil akan
MEMILIH naik mobil dari pada jalan kaki, kecuali jika
waktunya banyak terluang atau sedang berolah raga.
Berpikir matematis:
Untuk dapat mengenderai mobil, harus belajar
menyupir. Untuk dapat supir mobil yang baik,
dia perlu pengetahuan matematika.
Matematika, merupakan sarana = pendekatan
untuk suatu analisa.
Dengan mempelajari matematika, membawa
sese-orang kepada kesimpulan dalam waktu
yang singkat.
Matematika Ekonomi
7
Ekonomi dan Matematika Ekonomi
Analisis ekonomi tidak berbeda jika menggunakan
pendekatan matematis dibanding dengan tanpa
pendekatan matematis. Bedanya/keuntungannya:
a. Dengan pendekatan matematis, persoalan atau
pokok bahasan menjadi sederhana.
b. Dengan pendekatan matematis, berarti mengaktifkan logika dengan asumsi-asumsinya.
c. Dapat memakai sebanyak n variabel dalam menggambarkan sesuatu (hubungan antar variabel)
Mis Qd = f(Pr, Inc, Pi, … ), Pr = harga komoditi ybs
Inc = pendapatan, Pi = harga kom. substitusi
Matematika Ekonomi
8
Kelemahannya pendekatan matematis:
a.
Bahasa matematis tidak selalu mudah
dimengerti oleh ahli ekonomi sehingga sering
menimbulkan kesukaran.
Contoh Y = f(X), dalam ilmu ekonomi bagaimana
mengartikan persamaan matematis tersebut,
mis dalam: permintaan, produksi, pendapatan
nas, dll. sehingga ahli ekonomi sulit memetik
keuntungan dari matematika.
b. Seorang ahli ekonomi yang memiliki pengetahuan
dasar matematika, ada kecenderungan:
(1) membatasi diri dengan hanya memecahkan
persoalan secara matematis
Matematika Ekonomi
9
(2) membuat beberapa asumsi yang kurang tepat
demi memudahkan pendekatan matematis
atau statistis. Artinya, lebih banyak berbicara
matematika dan statistika dari pada prinsip/
teori ekonomi.
Kesimpulan dari bahasa adalah:
1. Matematika merupakan pendekatan bagi ilmu
ekonomi.
2. Pendekatan matematis merupakan “ mode of
transportation” yaitu membawa pemikiran
kepada kesimpulan dengan singkat (model)
Matematika Ekonomi
10
Matematika Ekonomi dan Ekonometrika
Ekonometrika adalah pengetahuan yang berkaitan
dengan penerapan statistika untuk menganalisa data
ekonomi.
Matematika
Data
Ekonomi
Ekonometrika
- Deduksi
- Induksi
- Model
- Mengolah data
- Mengambil
kesimpulan
Matematika Ekonomi
11
Teori Ekonomi
Fakta
deduktif
Model atau
Hipotesis
Data Ekonomi
Satu Persamaan
Teori Statistika
Metode
Ekonometrika
Simultan
induktif
Teori
Diterima
Teori
Ditolak
Matematika Ekonomi
Teori
Disempurnakan
12
Bidang Matematika Ekonomi yang dibahas:
Menurut “Social Science Research Council, seorang
ahli ekonomi harus mengerti matematika : Himpunan
(gugus), hubungan dan fungsi, teori matriks, kalkulus
(limit fungsi, diferensial, persamaan diferensi, partial
differentiation, integrasi multipel).
Matematika Ekonomi
13
HIMPUNAN = GUGUS
Silabus:
• Definisi, pencatatan dan himpunan khas
• Himpunan Bagian
• Pengolahan (operasi) himpunan
• Hubungan
Matematika Ekonomi
14
1. Definisi, pencatatan dan himpunan khas
Himpunan adalah kumpulan dari obyekobyek yg memiliki sifat tertentu. Sifat ini
menjadi penciri yg membuat obyek/unsur
itu termasuk dalam himpunan yang sedang
dibicarakan.
Himpunan dilambangkan : A, B, X, …, Z
(kapital)
Obyek atau unsur atau elemen dilambangkan a,b,c, … atau 1, 2, 3, …
Perhatikan (… tiga titik) dibaca dan seterusnya.
Matematika Ekonomi
15
Dua cara pencatatan suatu himpunan
a. Cara pendaftaran: P = { 2, 3, 4 }
P = nama himpunan/gugus
tanda kurawal buka dan kurawal tutup
“ dan “ menyatakan himpunan
2, 3, 4 = obyek/unsur/elemen
Artinya, himpunan P beranggotakan
bilangan bulat positip: 2, 3, dan 4.
b. Pendefinisian sifat: X = { x / x bil. genap}
X = nama himpunan
x = obyek/unsur/elemen
tanda “/” dibaca dengan syarat
x bil genap = sifat atau ciri
Matematika Ekonomi
16
Cara pendefinisian sifat yang lain:
J={x/2 <x<5}
x merupakan unsur
Sifat: bilangan nyata 2 < x < 5, baca himpunan
semua bilangan nyata lebih besar dari 2 dan lebih
kecil dari 5
Himpunan khas:
a. Himpunan Semesta (S) atau Universum (U)
Merupakan himpunan keseluruhan obyek yang
sedang dibicarakan
S = { x / x bilangan ganjil }, berarti semua bil ganjil
b. Himpunan kosong (emty set)
E = { } himpunan kosong atau dicatat dengan
“ø”
Matematika Ekonomi
17
Perhatikan: P = { 2, 3, 4 }
Untuk menyetakan keanggotaan dicatat dengan “€”
Jadi: 2 € P
3€P
4 € P.
Tanda € baca “unsur” atau “elemen” atau “didalam”
Sebaliknya, 5, 6 tidak termasuk unsur P
dicatat
5€P
6€P
Tanda € dibaca “bukan unsur” atau “bukan elemen”
atau “diluar”.
Matematika Ekonomi
18
2. Himpunan bagian
Suatu himpunan A merupakan himpunan bagian
dari himpunan B, jika dan hanya jika setiap
unsur A juga merupakan unsur himpunan B.
A = { 2, 4, 6 };
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }
Dicatat : A B,
baca A himp. bagian B atau A anak gugus dari B
Sebaliknya dicatat: B
A, baca B mencakup A
Tanda
dibaca bukan himpunan bagian dan
tanda
dibaca tidak/bukan mencakup
Perhatikan: himp. bagian terjadi apabila dari
suatu himp dibentuk himp lain dengan memilih
unsur himp itu sebagai unsurnya.
Matematika Ekonomi
19
Contoh:
X = { 1, 2, 3, 4 }
Himpunan bagiannya:
a.Memilih semua unsur:
X4 = { 1, 2, 3, 4 }
b.Memilih tiga unsur
X31 = { 1, 2, 3 }
X32 = { 1, 2, 4 }
X33 = { 1, 3, 4 }
X34 = { 2, 3, 4 }
c. Memilih dua unsur
X21 = { 1, 2 }; X22 = { 1, 3 }
X23 = { 1, 4 }; X24 = { 2, 3 }
X25 = { 2, 4 }; X26 = { 3, 4 }
Matematika Ekonomi
20
d. Memilih 1 unsur:
e. Tanpa memilih
X11 = { 1 }; X12 = { 2 }
X13 = { 3 }; X14 = { 4 }
X0 = {
}
Jumlah himpunan bagian dari 1 himp. = 2n
1 elemen:
1
 2 himp bag
2 elemen:
1 2 1
 4 himp bag
3 elemen:
1
3 3 1
 8 himp bag
4 elemen: 1
4
6 4
1  16 himp bag
5 elemen: 1 5
10 10 5 1  32 himp bag
Disebut segitiga Pascal = bilanga Binom Newton
Matematika Ekonomi
21
• Latihan:
Matematika Ekonomi
22
3. Pengolahan (operasi) Himpunan
Operasi matematis: penjumlahan, penggandaan,
pembagian. Operasi himpunan: gabungan
(union), potongan (irisan) dan komplemen.
Operasi Gabungan ( U )
A U B = { x / x ε A atau x ε B }
A U B baca: A union B; A gabung B; A atau B.
Jika A = { 3, 5, 7 );
B = { 2, 3, 4, 8 }
A U B = { 3, 5, 7, 2, 4, 8 } atau { 2, 3, 4, 5, 7, 8 }
Matematika Ekonomi
23
Dalam diagram Venn, A U B adalah daerah diarsir
S
A
B
Sifat-sifat gabungan
a. A U B = B U A  Hukum komutasi
b. A
(A U B) dan B
(A U B)
Matematika Ekonomi
24
Operasi potongan (irisan) = ∩
A ∩ B = { x / x ε A dan x ε B }
A ∩ B, baca A irisan B; atau A dan B
Misal: A = { 0, 5, 10, 15 } dan B = { 1, 5, 8, 15, 17 }
A ∩ B = { 5, 15 }
Dalam diagram Venn, A ∩ B adalah daerah diarsir:
s
A
B
Matematika Ekonomi
25
Sifat : a. A ∩ B = B ∩ A
b. (A ∩ B)
(hukum komutasi)
A dan (A ∩ B)
B
Operasi selisih
Selisih himpunan A dan B, dicatat dengan A – B
A – B = { x / x € A, tetapi x € B }
Diagram Venn A – B sebagai berikut:
S
A
B
Matematika Ekonomi
26
Misal: A = { a, b, c, d };
B = { f, b d, g }
A – B = { a, c } serta B – A = { f, g }
A – B sering dibaca “A bukan B”.
Sifat: a (A – B)
A; (B – A)
B
b (A – B); dan (B – A) adalah saling asing
atau terputus
Matematika Ekonomi
27
Komplemen
A’ = { x / x € S, tetapi x € A }
baca “komplemen A” atau “bukan A”
A’
Misal: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, … } himp.bil bulat
positip
A = { 1, 3, 5, 7, 9, . . . } bil. bulat positip ganjil
A’ = { 2, 4, 6, 8, 10. . . } bil. bulat positip genap
Diagram Venn untuk komplemen sbb: (diarsir)
S
A
A
A’
Matematika Ekonomi
28
Sifat: a. A U A’ = S
b. A ∩ A’ = ø
c. (A’)’ = A
Latihan 1
Gambarkan sebuah diagram venn untuk
menunjukkan himpunan universal S dan himpunanhimpunan bagian A serta B jika:
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }
A = {2, 3, 5, 7 }
B = {1, 3, 4, 7, 8 }
Kemudian selesaikan :
a). A – B
b). B – A
d). A U B
e) A ∩ B’
g). (A U B)’ h) (A ∩ B)’
c) A ∩ B
f) B ∩ A’
Matematika Ekonomi
29
Latihan 2
Isilah cell dibawah ini dengan tanda keanggotaan
himpunan: € atau €
A
B
€
€
€
€
€
€
€
€
A∩B AUB (A∩B)’ (AUB)’
Matematika Ekonomi
30
Hubungan
Himpunan Hasil kali Cartesius
Apabila ada dua himpunan X dan Y masing-masing
x ε X dan y ε Y, maka dari dua himpunan terserbut
dapat disusun himpunan yang beranggotakan
pasangan urut atau pasangan tersusun (x, y).
Contoh sederhana, misalkan nilai ujian mate-matika
diberi dari angka 1 hingga 4, sedang-kan pekerjaan
rumah diberi angka 1 hingga 3.
Jadi : X = {1, 2, 3, 4} sedangkan
Y = {1, 2, 3}
Himpunan hasil kali Cartesius adalah:
X x Y = {(x, y)/ x ε X, y ε Y}
Matematika Ekonomi
31
Cara mendapatkan himpunan X x Y tsb:
X
1
2
3
4
1
Y
2
3
(1, 1)
(2, 1)
(3, 1)
(4, 1)
(1, 2)
(2, 2)
(3, 2)
(4, 2)
(1, 3)
(2, 3)
(3, 3)
(4, 3)
X x Y = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1),
(3,2), (3,3), (4,1), (4,2), (4,3)}
Matematika Ekonomi
32
Himpunan hasil kali Cartesius dapat digambarkan
dalam sistem koordinat cartesius berikut:
Y
PR = {1, 2} malas
PR = {3, 4} rajin
3
• H1 •
• H4 •
2
•
•
1
•
0
1
•
H2
•
•
2
3
U = {1, 2} kurang mengerti
U = {3} pintar
•
H3
Terdapat 4 himp bag
•
4
X
Gbr: Hubungan nilai ujian
dan nilai pekerjaan rumah
Matematika Ekonomi
H1 = {malas ttp pintar}
H2 = {malas dan krg
mengerti}
H3 = {rajin ttp krg
ngerti}
H4 = {rajin dan pintar}
33
Daerah dan Wilayah (Range) hubungan
• Perhatikan kembali Himpunan hasil kali
Cartesius:
H = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3),
(3,1), (3,2), (3,3), (4,1), (4,2), (4,3)}
Himpunan unsur-unsur pertama pasangan
urut, disebut dengan Daerah hubungan
• Dh = {1, 2, 3, 4}
Himpunan unsur-unsur kedua pasangan
urut, disebut dengan Wilayah hubungan:
• Wh = {1, 2, 3}
Matematika Ekonomi
34
Kesimpulan:
• Himpunan hasil kali Cartesius adalah
himpunan pasangan urut atau tersusun
dari (x, y) dimana setiap unsur x € X
dipasangkan dengan setiap unsur y € Y.
• X x Y = { (x, y) / x € X, y € Y }
• Daerah hubungan
Dh = { x / x € X}
• Daerah hubungan:
Wh = { y / y € Y}
Matematika Ekonomi
35
SISTEM BILANGAN
1. Pembagian bilangan
Bilangan
2; -2;
1,1; -1,1
Nyata
+ dan -
Khayal
Akar negatip
Rasional
Irrasional
Hasil bagi dua bil
bulat, pecahan
desimal atau
desimal berulang
0,1492525
Bulat
√(-4) = ± 2
Hasil bagi dua bil bulat,
pecahan desimal tak
berulang
0,14925253993999… π, ℮
1; 4; 8;
termasuk
0
Pecahan
Matematika Ekonomi
½; 2/7 dsb
36
2. Tanda pertidaksamaan
• Tanda < melambangkan “lebih kecil dari”
• Tanda > melambangkan “lebih besar dari”
• Tanda ≤ “lebih kecil dari atau sama dengan”
• Tanda ≥ “lebih besar dari atau sama dengan”
3. Sifat
• Jika a ≤ b, maka –a ≥ -b
• Jika a ≤ b dan x ≥ 0, maka x.a ≤ x.b
• Jika a ≤ b dan x ≤ 0, maka x.a ≥ x.b
• Jika a ≤ b dan c ≤ d, maka a + c ≤ b+ d
Matematika Ekonomi
37
Fungsi
Silabus:
a. Pengertian
b. Macam-macam fungsi
c. Fungsi Linear
d. Fungsi non Linear
Matematika Ekonomi
38
Pengertian
Himpunan hasil kali Cartesius ini dikenal dgn
hubungan. Tetapi ada hubungan dimana satu unsur
X dihubungkan dengan satu unsur Y. (tidak setiap
unsur X dihubungkan dengan setiap unsut Y)
Dengan denah Venn sbb:
X
Y
◦
•
◦
•
◦
•
Hubungan 1 - 1
Hubungan dengan kasus diatas, bahwa untuk setiap
nilai x dihubungkan (hanya terdapat satu) nilai y
yang sesuai, disebut dengan bentuk hubungan atau
fungsi. Jelasnya fungsi
LINEAR
Matematika Ekonomi
39
Perhatikan juga contoh berikut:
Y
y = f(x)
•x1
y1
•
•
•x2
•xn
0
•y1
•yn
X
x1
x2
X
Y
Gambar di atas, nilai x1 dan x2 dalam X, dihubungkan dengan nilai y1 dalam Y, dengan bentuk y = f(x)
Fungsi disebut juga TRANSFORMASI, jadi x di
transformasikan di dalam
himpunan y.
Matematika Ekonomi
40
Transformasi mengandung pengertian yang luas:
a. x menentukan besarnya nilai y
b. x mempengaruhi nilai y
c. Dll.
Pernyataan y = f(x)
dibaca: y merupakan fungsi dari x
atau
dicatat : f : x  y
aturan
ditransformasi
simbol “f” diartikan sebagai “aturan” transformasi
unsur himp. X kedalam himpunan Y
Lebih spesifik: Fungsi: suatu bentuk hubungan
matematis yang menyatakan hubungan ketergantungan (hub fungsional antara satu variabel
dengan variabel lain
Matematika Ekonomi
41
Perhatikan: y = f(x)
x merupakan sebab (variabel bebas)
y akibat dari fungsi (variabel terikat)
Himpunan semua nilai-nilai x, disebut sebagai
Domain atau Daerah fungsi (Df) dan nilai y disebut
dengan Range atau Wilayah fungsi (Rf = Wf).
Df = { x / x ε X }
Wf = { y / y ε Y }
Misal: Biaya total C dari suatu perusahaan setiap hari
merupakan fungsi dari output Q tiap hari:
C = 150 + 7Q. Perusahaan memiliki kapasitas
limit sebesar 100 unit per hari.Berapa Daerah
dan Range dari fungsi biaya?
Jawaban:
Df = { Q / 0 ≤ Q ≤ 100 }
Rf = { C / 150 ≤ C ≤ 850 }  Dapat Anda jelaskan ?
Matematika Ekonomi
42
Macam-macam fungsi
a. Fungsi
Polinomial
Bentuk umumnya :
y = a + bx + cx2 + . . . + pxn
y
y
Slope = a1
x
a0
case c < 0
x
a0
Konstan, jika n = 0
Linear, jika n = 1
Kuadratik, jika n = 2
y=a
y = a + bx
Y = c + bx + ax2
Matematika Ekonomi
43
•
y
Titik maksimum
Titik belok
•
Fungsi kubik
y = d + cx + bx2 + ax3
x
y
Titik
maksimum
Fungsi polinom derajad 4
y = e + dx + cx2 + bx3 + ax4
Titik minimum
x
Matematika Ekonomi
44
b. Fungsi Rasional
Fungsi ini, dengan y dinyatakan sebagai rasio dua
polinomial dengan variabel x atau juga berupa fungsi
hiperbola.
y
Hiperbola:
y = (a/x), a > 0
x
0
c. Fungsi eksponensial dan logaritma
y
y
Eksponensial
y = bx , b>1
Matematika Ekonomi
0
x
0
Logaritma
y = logbx
45
x
Fungsi linear
• Fungsi linear merupakan bentuk yang paling
dasar dan sering digunakan dalam analisa
ekonomi
• Fungsi linear merupakan hubungan sebabakibat dalam analisa ekonomi – misalnya:
- antara permintaan dan harga
- invests dan tingkat bunga
- konsumsi dan pendapatan nasional, dll
• Fungsi linear adalah fungsi polinom, tetapi n = 1
atau fungsi polinom derajad-1.
Matematika Ekonomi
46
• Bentuk umum
• Diturunkan dari fungsi polinom:
y = a0 + a1x + a2x2 + . . . + anxn
• Disebut fungsi linear jika n = 1 yaitu
y = a + bx  bentuk umum
Contoh:
y = 4 + 2x  a = 4
b=2
Pengertian: a = 4 = penggal garis pada
sumbu vertikal y
b = 2, adalah koefisien arah atau
lereng atau slope garis.
Matematika Ekonomi
47
y
a
a
a
a
∆y = a
∆x
a0 = penggal garis
y = ax + b,
pada sumbu y
yaitu nilai y
saat x = 0
b
0
1
2
3
4
5
x
a = lereng garis atau ∆y/Δx
pada x = 0, ∆y/∆x = a; pada x = 1, ∆y/∆x = a
Matematika Ekonomi
48
• Perhatikan bahwa lereng fungsi linear selalu
konstan.
• Latihan-1
y = 4 + 2x
Penggan garis pada sumbu y = ……………
Lereng garis :
x
0
y
∆x
∆y
-
-
∆y/∆x = a
-
1
Mendapatkan
penggal garis
pada sumbu y
ketika x = 0
2
3
4
Matematika Ekonomi
49
Lengkapi tabel berikut dari garis: y = 4 + 2x
x
y
∆x
∆y
∆y/∆x = a
-3
Mendapatkan
penggal garis
pada sumbu x
ketika y = 0
-2
-1
0
1
2
3
4
Matematika Ekonomi
50
Kurva (grafik) fungsi
• Fungsi Linear, kurvanya garis lurus karena
lerengnya sama.
• Misalkan y = 36 – 4x
maka
a = -4  (∆y/∆x)
b = 36
• Menggambarkan kurvanya cukup mencari titik
potong (penggal) dengan:
sumbu x dan penggal dengan sumbu y
• Hubungkan kedua titik penggal tersebut
• Titik penggal pada sb x,  y = .., x = … atau titik
(…, …)
Titik penggal pada sb y,  x = .., y = … atau titik
(…, …)
Matematika Ekonomi
51
Grafik:
y
36
•
(0,36)
y = 36 – 4x
18
(9,0)
0
x
•
9
Grafik dengan lereng negatip
Matematika Ekonomi
52
• Gambarkan grafik fungsi:
• y = 2 + 4x
• Titik penggal dg sb x  y = 0, x = -1/2, (-1/2, 0)
Titik penggal dg sb y  x = 0, y = 2, (0,2)
• Gambarkan :
y
y = 2 + 4x
x
0
Grafik dengan lereng positip
Matematika Ekonomi
53
Fungsi non linear (kuadratik)
• Fungsi non linear juga merupakan bentuk yang
sering digunakan dalam analisa ekonomi
• Sebagaimana fungsi linear, fungsi non linear
juga merupakan hubungan sebab-akibat
• Fungsi linear adalah fungsi polinom, tetapi n = 2
atau fungsi polinom derajad-2.
• Bentuk umum
• Diturunkan dari fungsi polinom:
y = a0 + a1x + a2x2 + . . . + anxn
• Disebut fungsi kuadratik jika n = 2 dan a2 ±
0, yaitu
y = a0 + a1x + a2x2
atau sering ditulis: y = ax2 + bx + c
Matematika Ekonomi
54
• Contoh - 1:
• y = 8 – 2x – x2
a = -1 (a < 0)
b = -2
c=8
• Contoh - 2:
• y = 2x2 + 4x + 6
a = 2  a > 0)
b=4
c=2
Menggambar kurva non linear kuadratik
a. Cari titik penggal dengan sb x, pada nilai y = 0
0 = 8 – 2x – x2 atau 8 – 2x – x2 = 0
Menyelesaikan persamaan ini dapat melalui dua
cara:
1. Faktorisasi
Maksudnya, menguraikan ruas utama fungsi
tersebut menjadi bentuk perkalian ruasruasnya atau disebut bentuk perkalian dua
fungsi yang lebih
kecil
Matematika Ekonomi
55
Faktorisasi persamaan di atas menghasilkan:
(2 - x)(4 + x) f(x) = g(x).h(x)
(2 - x)(4 + x) = 0
(2 - x) = 0, berarti x = 2, di titik (2, 0)
(4 + x)= 0, berarti x = -4, dititik (-4, 0)
2. Memakai rumus kuadrat (bujur sangkar)
-b ± √ b2 – 4ac
x = -------------------2c
- (-2) ± √ (-2)2 – 4(-1)(8)
x = ------------------------------2(-1)
Matematika Ekonomi
56
2 ± √ 4 + 32
2±6
x = ---------------- = ---------2
-2
x1 = (2 + 6)/(-2) = -4,  titik (-4, 0)
x2 = (2 – 6)/(-2) = 2,  titik (2, 0)
Hasilnya sama dengan cara faktorisasi.
b. Cari titik penggal dengan sb y, pada nilai x = 0
y = 8 – 2x – x2, untuk x = 0, y = 8, titik (0,8)
c. Karena ciri fungsi kuadrat memiliki titik maksim atau minimum (lihat gambar terdahulu) maka
titik ini harus dicari.
Matematika Ekonomi
57
• Mencari titik maks atau min
• Sifat fungsi kuadratik
a. Memiliki titik maks atau min yang disebut titik
ekstrim.
Titik maks jika a < 0 dan min jika a > 0
b. Titik maks atau min pada titik (x, y) dengan:
-b
b2 – 4ac
x = ----,
dan y = ----------2a
-4a
c. Kurvanya simetri pada titik xmaks/min
y = 8 – 2x – x2, a < 0  berarti maks
xmaks = -(-2)/(2)(-1) = -1
ymaks = [(-2)2 – 4(-1)(8)]/(-4)(-1) = 36/4
= 9.  titik maks (-1, 9).
Matematika Ekonomi
58
• Gambarkan kurvanya:
y
0
Matematika Ekonomi
x
59
• Latihan:
Dengan cara yang sama selesaikan Contoh - 2:
y = 2x2 + 4x + 6
Matematika Ekonomi
60
Lanjutan:
Matematika Ekonomi
61
• Hubungan dua garis
Dua buah garis dengan fungsi linier dapat:
a. berimpit
Berimpit: Jika dan hanya jika
a1 = a2
b1= b2
b. Sejajar
Sejajar: Jika dan hanya jika
a1 = a2
b1 ± b2
Matematika Ekonomi
62
c. Berpotongan
y
Berpotongan: jika dan
hanya jika
Ttk pot
a1 ± a2
•
b1 ± b2
x
Dua garis fungsi linear dan fungsi non linear hanya
dapat berpotongan.
y
Ttk pot
a<0
Ttk pot
•
• a>0
y2 = ax2 + bx + c
x
Matematika Ekonomi
63
• Mencari titik potong dua
garis/persamaan
• Pada saat dua fungsi berpotongan, maka nilai x
dan y sama pada perpotongan tersebut
• Caranya:
(1) Bentuk fungsi harus y = f(x)
(2) samakan kedua fungsi untuk mendapat titik
potong
• Cari titik potong fungsi x = 15 – 2y dan 3y = x +3
x = 15 – 2y  y = -(1/2)x + 15/2
3y = x +3  y = (1/3)x + 1
-(1/2)x + 15/2 = (1/3)x + 1
-(1/2)x – (1/3)x = 1 – 15/2
x = 78/10
Matematika Ekonomi
64
• Untuk mendapatkan y, substitusi x = 78/10 pada
salah satu fungsi:
y = (1/3)x + 1,
untuk x = 78/10; y = (1/3)(78/10) + 1
y = 26/10
Titik potong fungsi (x, y) = (78/10, 26/10)
Matematika Ekonomi
65
• Mencari titik potong dua garis/persamaan
(1) 2x + 3y = 21 dan (2) x + 4y = 23
Pada saat dua fungsi berpotongan, maka nilai x
dan y sama pada saat perpotongan tersebut.
• Ubah persamaan di atas menjadi bentuk y = f(x)
(1) 2x + 3y = 21  3y = 21 – 2x
atau y = 7 – (2/3)x
(2) x + 4y = 23  4y = 23 – x
atau y = (23/4) – (1/4)x
Titik potong kedua garis:
7 – (2/3)x = (23/4) – (1/4)x
7 – (23/4) = (2/3)x – (1/4)x
5 = (5/12)x
x = 12.  y = 11/4  (12, 11/4)
Matematika Ekonomi
66
Latihan
Matematika Ekonomi
67
Penggunaan Fungsi dalam ekonomi
Analisa keseimbangan pasar
Keseimbangan pasar – Model linear
Asumsi-1: Keseimbangan pasar terjadi jika “ekses
demand” = 0 atau (Qd – Qs = 0)
Asumsi-2: Qd = jumlah permintaan adalah fungsi
linear P (harga). Jika harga naik, maka Qd
turun.
Asumsi-3: Qs = jumlah penawaran adalah fungsi
linear P. Jika harga naik, maka Qs juga
naik, dengan syarat tidak ada jlh yang
ditawarkan sebelum harga lebih tinggi
dari nol.
Persoalan,bagaimana menentukan nilai
keseimbangan ?
Dalam pernyataan matematis, keseimbangan terjadi
pada saat:
Qd = Qs
Qd = a - bP,
slope (-)
(1)
Qs = -c + dP,
slope (+)
(2)
Gambarnya sbb:
Qd , Qs
a
Qd = a -bP
Qs = -c + dP
keseimbangan
Q0
0
P1
P0
P
-c
Matematika Ekonomi
69
Kasus lain, keseimbangan dapat dilihat sbb:
Qs = 4 – p2 dan Qd = 4P – 1
Jika tidak ada pembatasan misalnya, berlaku dalam
ekonomi, maka titik potong pada (1, 3), dan (-5, -21)
tetapi karena batasan hanya pada kuadran I (daerah
positip) maka keseimbangan pada (1, 3)}
4
QS = 4p - 1
1,3
3
keseimbangan
QD = 4 - p2
0
-1
1
2
Matematika Ekonomi
70
• Latihan
• Temukan keseimbangan dari Qd dan Qs
tersebut
Matematika Ekonomi
71
Matematika Ekonomi
72
Matematika Ekonomi
73
Keseimbangan pasar (lanjutan)
Pada nilai Q dan p berapa terjadi keseimbang-an
permintaan dan penawaran dari suatu komoditi
tertentu jika:
Qd = 16 – P2 , (Permintaan)
QS = 2p2 – 4p
(penawaran)
Gambarkan grafiknya
Apa yang terjadi jika p = 3.5 dan p = 2.5
Matematika Ekonomi
74
Penjelasan
Pada saat keseimbangan maka Qd = Qs
16 – p2 = 2p2 – 4p
3p2 – 4p – 16 = 0
Ingat fungsi polinom derajad 2 atau n = 2
dengan bentuk umum: ax2 + bx + c
Koefisien a = 3, b = -4, dan c = -16
p = (-b) ± (b2 – 4ac)1/2 = 4 ± (16 + 192)1/2 = 3.1 (+)
6
2a
Qd = 16 – p2 = 16 - (3.1)2 = 6.4
Jadi keseimbangan tercapai pada Jlh komoditas
6.4 dan harga 3.1. Atau (Q, p) = (6.4 , 3.1)
Matematika Ekonomi
75
Grafik:
Fungsi Permintaan: Qd = 16 – p2
a. Titik potong dengan sb Q  p = 0; Q = 16, (16,0)
b. Titik potong dengan sb p  Q = 0; 16 – p2 = 0
(p – 4)(p + 4). p – 4 = 0, p = 4,
ttk (0, 4)
p + 4 = 0, p = -4, ttk (0, -4)
c.Titik maks/min: (Q,p)
Q = (-b/2a) = 0/-2 = 0
p = (b2 – 4ac)/(-4a) = 0 – 4(-1)(16)/(-4)(-1)) = 16
atau pada titik (0, 16)
Matematika Ekonomi
76
Grafik:
Fungsi penawaran
Qs = 2p2 – 4p
a. Titik potong dengan sb Q  p = 0; Q = 0, (0,0)
b. Titik potong dengan sb p  Q = 0; 2p2 – 4p = 0
Atau 2p(p – 2) = 0; 2p = 0; p = 0; ttk pot (0, 0)
(p – 2) = 0; p = 2; ttk pot ( 0, 2)
c. Titik maks/min: (Q,p)
Q = (-b/2a) = 4/4 = 1
p = (b2 – 4ac)/(-4a) = (-4)2 – 4(2)(0)/(-4)(2) = 2
atau pada titik (1, 2)
Matematika Ekonomi
77
Grafik:
Qs
p
4
3.1
Qd
2
0
6.4
16
Q
Apa yang terjadi jika p = 3.5 dan p = 2.5
Untuk p = 3.5, terjadi ekses supply dan p = 2.5,
terjadi ekses demandMatematika Ekonomi
78
Penjelasan ekses suplai dan ekses demand
Qs
Qd
Ekses demand mendorong harga naik, dan ekses
supply mendorong harga turun.
Matematika Ekonomi
79
DERIFATIF
1.1. Pengantar Kalkulus
Kalkulus khususnya bahasan matematika tentang
a. Fungsi
b. Derivatif atau fungsi turunan
c. Derivatif parsial dan
d. Integral
sangat luas penggunaannya dalam ilmu
ekonomi.Khusus tentang derivatif (kalkulus diferensial) dapat diinventarisir aplikasinya dalam ilmu
ekonomi diantaranya:
1). Elastisitas, khususnya elastisitas permintaan
Matematika Ekonomi
80
2) Elastisitas produksi
3) Biaya total, rata-rata dan marginal
4) Revenue dan marginal revenue
5) Maksimisasi penerimaan dan profit.
6) dll.
Pendekatan matematis yang sangat pesat
dewasa ini membuat seorang ahli ekonomi
termasuk Agric. Economist, atau
agribussines manager perlu mendalami
pengetahuan kalkulus diferensial dan integral.
Untuk kesempatan ini, kalkulus
diferensial dan aplikasinya dalam ekonomi
lebih diutamakan.
Matematika Ekonomi
81
1.2. Limit fungsi
Pandanglah fungsi h yang diberikan dengan
persamaan:
2x2 + x - 3
h(x) = ------------x-1
Persamaan ini harus disederhanakan sedemikian
rupa, supaya jika disubstitusikan nilai x = 1, (perhatikan pembagi/penyebut) maka nilainya ± 0/0
(bentuk tak tentu)
Matematika Ekonomi
82
Untuk tujuan ini, fungsi tersebut diuraikan atas faktornya, sehingga:
2x2 + x - 3
h(x) = ------------- =
x-1
(x-1)(2x +3)
------------= 2x + 3
x-1
x2 - 4
Demikian juga jika g(x) = ---------, nilainya akan tak
x-2
tentu, untuk x = 2
Karena itu g(x) disederhanakan menjadi:
(x – 2)(x + 2)
g(x) = ------------------- = x + 2.
x-2
Matematika Ekonomi
83
Fungsi h dengan persamaan diatas grafik sebagai
berikut:
Fungsi h tdk terdefinisi di titik x = 1. Untuk x ± 1, maka h(x)
= 2x + 3. Sehingga
untuk x mendekati
1, h(x) akan mendekati 5. Dikatakan
limit fungsi h dititik x
= 1 adalah 5.
y
5
◦
y = h(x)
4
3
2
1
0
1
x
Matematika Ekonomi
84
Keadaan di atas, dicatat sebagai:
2x2 + x - 3
lim h(x) = lim ------------- = 5
x1
x1
x-1
Baca: limit fungsi h(x) untuk x menuju 1
Demikian juga dengan g(x) di atas
x2 - 4
lim g(x) = lim --------- = 4.
x-2
x2
x2
Matematika Ekonomi
85
1.3. Pengertian Derivatif
Suatu fungsi dengan persamaan y = f(x)
mempunyai nilai (terdefinisi) pada x = x0 dan
y = f(x) kontinu di titik tersebut, maka:
lim f(x) = f(x0)
x -> x0
Y
Y = f(x) diskontinu
pada x = x0
Y = f(x)
Y=f(x)
y0
y1
y0
• Y = f(x) kontinu
pada x = x0
x0
x
◦
•
x0
Sehingga f(x) – f(x0) --0
------------------ =
x – x0
0
Maka lim f(x) – f(x0) disebut dengan derivatif
------------x->x0 x – x0
fungsi f dititik x = x0.
Dengan mensubstitusi Δx = x – x0, atau x =
x0 + Δx, untuk x-> x0 berarti Δx ->0 atau:
lim
Δx-> 0
f(x0 + Δx) – f(x0)
------------------Δx
Matematika Ekonomi
merupakan derivatif
atau turunan fungsi.
87
Simbol derivatif fungsi dilambangkan dg:
f’(x) atau dy/dx atau
y’ atau Dxy.
Atau dengan penjelasan lain:
Ump. y = f(x) dengan kurva sbb:
y
y1
y
Y = f(x)
◦ Δx
x
= f(x)
y + Δy = f(x + Δx)
Δy
x1
Besarnya pertambahan adalah:
Δy = f(x + Δx) – f(x).
Dibagi dg Δx:
Δy/Δx = f(x + Δx) – f(x)
------------------------------Δx
Matematika Ekonomi
88
lim Δy/Δx = f(x + Δx) – f(x)
Δx->0
-----------------------------
Δx
adalah turunan fungsi tsb yaitu: y’ = f’(x) = dy/dx
Contoh. Cari turunan y = f(x); y = x2 + 1,
dititik x = 5.
Jika x ditambah sebesar Δx, maka y akan
bertambah sebesar Δy.
y + Δy = (x + Δx)2 + 1
y
= x2
+ 1 (-)
Matematika Ekonomi
89
Dengan pengurangan:
Δy = (x + Δx)2 + 1 – x2 – 1
= x2 + 2xΔx + (Δx)2 + 1 – x2 – 1
= 2xΔx + (Δx)2
Δy/Δx = 2x Δx + (Δx)2
Δx
= 2x + Δx
lim Δy/Δx = lim 2x + lim Δx
Δx ->0
Δx ->0
Δx ->0
dy/dx = 2x + 0 = 2x dititik x = 5,
berarti dy/dx untuk x = 5 adalah 10.
Matematika Ekonomi
90
1.4 Rules of differentiation
Rule 1: Derivative of a power function.
Fungsi pangkat (power function) y = xn
y + Δy = (x + Δx)n
Δy = (x + Δx)n – y
Δy = (x + Δx)n – xn
Ingat kembali bil. Binom Newton
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
= C(0, 4)a4 + C(1, 4)a3b +
C(2, 4)a2b2 + C(3, 4)ab3+C(4,4)b3
Matematika Ekonomi
91
C(i, n)  baca kombinasi tingkat i dari n
unsur.
C(i, n)  adalah teori kombinasi yang
menyatakan memilih sebanyak i unsur dari
suatu himpunan untuk menjadi anggota
himpunan bagiannya.
C(0, 4)  berarti kombinasi tingkat 0 dari 4
unsur.
n!
C(i, n) = ------------
i ! – (n – i)!
Matematika Ekonomi
92
n! = n(n-1)(n-2)(n-3) …
4! = 4. 3. 2. 1 = 24
0! = 1
Sekarang: Δy = (x + Δx)n – xn
= C(0, n)xn + C(1, n)xn-1Δx +
C(2, n)xn-2Δx2 +
C(3, n)xn-3Δx3 +
C(4, n)xn-4Δx4 +
…………
+
C(n-1, n)xΔxn-1 - xn
Matematika Ekonomi
93
n!
n.n-1.n-2.n-3. …
C(0, n) = --------- = ---------------------- = 1
0!(n-0)! 1.n.n-1.n-2.n-3 …
n!
n.n-1.n-2.n-3. …
C(1, n) = ---------- = ---------------------- = n
1!(n-1)! 1.n-1.n-2.n-3. …
n.n-1.n-2.n-3. …
n.n-1
n!
C(2, n) = ---------- = ---------------------- = ----2!(n-2)! 2.1.n-2.n-3. …
2
Matematika Ekonomi
94
Δy = (x + Δx)n – xn
= xn + nxn-1Δx + n(n-1)xn-2Δx2 +
C(3, n)xn-3Δx3 +
2
C(4, n)xn-4Δx4 +
……
+
C(n-1, n)xΔxn-1 - xn
= nxn-1Δx + n(n-1)xn-2Δx2 +
C(3, n)xn-3Δx3 +
C(4, n)xn-4Δx4 +
……
+
C(n-1, n)xΔxn-1
Matematika Ekonomi
95
Δy = nxn-1+ n(n-1)xn-2Δx +
2
Δx
C(3, n)xn-3Δx2 +
C(4, n)xn-4Δx3 +
……
+
C(n-1, n)xΔxn-2
Δy
Lim ---- = lim nxn-1 atau
Δx->0 Δx
Δx->0
dy/dx = nxn-1
Contoh: y = x5
dy/dx = 5x4.
Mis C = total cost, q = output C = q3
derivatif C thdp q = 3q2.
Matematika Ekonomi
96
Rule 2: Multiplication by a constant.
y = f(x)= cx2, c adalah konstanta, dy/dx?
y + Δy = c(x + Δx)2
Δy = cx2 + c2xΔx + c(Δx)2 – cx2
= c2xΔx + c(Δx)2
Δy
---- = c2x + c(Δx)
Δx
Δy
lim ---- = lim c2x , Jadi dy/dx = c2x
Δx->0 Δx
Δx->0
Matematika Ekonomi
97
Contoh: y =f(x) = 5x2
f’(x) = 5(2)x2-1 = 10x
Rule 3: Derivative of a sum
f(x) = g(x) + h(x)
Dengan pembuktian yang sama spt
rule (1) dan (2) diperoleh:
f’(x) = g’(x) + h’(x)
Demikian juga untuk:
f(x) = g(x) + h(x) + k(x)
f’(x) = g’(x) + h’(x) + k’(x)
Matematika Ekonomi
98
Derivatif penjumlahan dua fungsi atau lebih
sama dengan pengurangan atau selisih.
f(x) = g(x) – h(x);
f’(x) = g’(x) – h’(x).
Contoh:
Cari derivatif f(x) = 7x4 + 2x3 – 3x + 37
g(x) = 7x4; g’(x) = 28x3
h(x) = 2x3; h’(x) = 6x2
k(x) = -3x; k’(x) = -3
l(x) = 37; l’(x) = 0
jadi f’(x) = 28x3 + 6x2 – 3.
Matematika Ekonomi
99
Rule 4: derivative of a product
Fungsi hasil kali berbentuk
y = f(x) = g(x).h(x)
f’(x) = g(x).h’(x) + h(x).g’(x)
Contoh: y = f(x) = (2x + 3)(3x2)
g(x) = (2x + 3); g’(x) = 2
h(x) = 3x2;
h’(x) = 6x
Jadi:
f’(x) = (2x + 3)(6x) + (3x2)(2)
= 12x2 + 18x + 6x2
= 18x2 + 18x.
Matematika Ekonomi
100
Rule 5: derivatif of a quotient
Bentuk umum hasil bagi dua fungsi:
y = f(x) = g(x)/h(x).
f’(x) = g’(x)h(x) – g(x)h’(x)
[h(x)]2
Matematika Ekonomi
101
Contoh: f(x) = (2x – 3)/(X + 1).
g(x) = 2x – 3; g’(x) = 2
h(x) = x + 1; h’(x) = 1
f’(x) = (2)(x + 1) – (1)(2x – 3)
(x + 1)2
= 2x + 2 – 2x + 3 =
5
2
2
(x
+
1)
(x + 1)
Matematika Ekonomi
102
Rule 6: Chain rule
Fungsi berantai bentuknya sbb:
y = f(u)
u = g(x)
Dicari derivatif y terhadap x atau dy/dx.
Dari u = g(x) didpt
du/dx.
Dari y = f(u) didpt
dy/du, Maka
dy
= dy . du
dx
du dx
y = f(z)
z = g(u)
u = h(x)
Dengan cara yang sama
dy du dz
dy
= du
dz dx
dx
Matematika Ekonomi
103
Contoh: Misalkan x adalah lahan, yang dapat
menghasilkan y unit gandum dan z adalah roti yg
terbuat dari gandum. Umpamakan setiap unit
lahan (x) dihasilkan 2 unit gandum (y) sehingga:
y = 2x
Untuk setiap unit gandum (y) dapat diproduksi 15
unit roti (z), yang digambarkan sebagai:
z = 15y
Apabila ada perubahan sejumlah kecil lahan (x),
maka berapa besar perubahan roti (z) akan terjadi
dari perubahan tersebut? Hal ini merupakan masalah hukum berantai dari turunan fungsi (derivatif).
Matematika Ekonomi
104
dy/dx merupakan perubahan y apabila sejumlah
kecil perubahan x yaitu
dy/dx = 2
Perubahan z apabila ada perubahan y
dz/dy = 15
Oleh karena itu perubahan z apabila ada perubahan x menjadi:
dz/dx = dz/dy. dy/dx = 15(2) = 30 unit.
Matematika Ekonomi
105
Contoh: Jika y = uv, dimana u = s3 dan s = 1 – x.
v = t2 dan t = 1 + x2
u=
 du/ds =
s = 1 – x  ds/dx = -1
s 3,
3s2
v = t2,  dv/dt = 2t
t = 1 + x2  dt/dx = 2x
y = uv, adalah bentuk hasil kali berarti
dy/dx = u.dv/dx + v.du/dx
= u(dv/dt)(dt/dx) + v(du/ds)(ds/dx)
= s3(2t)(2x) + t2(3s2)(-1)
= 4s3tx -3t2s2 = s2t(4sx – 3t)
Substitusi, dy/dx = (1-x)2(1+x2)[4(1-x)(x) – 3(1+x2)]
Matematika Ekonomi
106
Contoh: Jika y = (1 + x2)3, dapatkan dy/dx.
Dengan memakai derivatif fungsi berantai:
Mis u = 1 + x2, dan oleh karena itu y = u3
dy/dx = (dy/du)(du/dx) = (3u2)(2x) = 6x(1 + x2)2.
Matematika Ekonomi
107
1.5. Derivatif of higher order
Jika y = f(x), maka derivatif pertama dicatat
sebagai dy/dx atau f’(x). Derivatif kedua
dilambangkan dengan:
d2y/dx2 atau f”(x) atau y”
Demikian seterusnya untuk derivatif yang
lebih tinggi. Semua hukum-hukum yang
sudah dibahas, berlaku untuk mencari
derivatif orde yang lebih tinggi.
Contoh: Hitung derivatif y = f(x) = x3 – 3x2 + 4,
dan hitung nilainya untuk x = 2.
Matematika Ekonomi
108
f(x) = x3 – 3x2 + 4,
f’(x) = 3x2 – 6x,
f”(x) = 6x – 6
f”’(x) = 6
f(2) = 8 – 12 + 4 = 0
f’(2) = 12 – 12 = 0
f”(2) = 6
f”’(2) = 6.
Matematika Ekonomi
109
1.5 Derivatif parsial
Teknik ini digunakan untuk suatu fungsi lebih dari
satu variabel. z = f(x, y) atau z = f( u, v, x) dst
Banyak kejadian terdiri dari beberapa variabel.
Contoh: Qd = f(h, hkl, sK, i,)
dimana h = harga komoditi itu sendiri
hkl = harga komoditi lain
sK = selera konsumen
i = income
Umpamakan kita berhadapan dengan fungsi:
z = f(x , y), bila y dianggap tetap,
maka z hanya merupakan fungsi x dan derivatif z
ke x dapat dihitung.
Matematika Ekonomi
110
Derivatifnya disebut derivatif parsial atau turunan
parsial dari z ke x dan dilambangkan dengan:
∂z/∂x atau ∂f/∂x atau fx
Demikian juga jika x dianggap tetap, maka derivatif
parsial ke y dapat dihitung, dan dilambangkan dg:
∂z/∂y atau ∂f/∂y atau fy
Derivatif parsial z ke x didefinisikan sebagai:
∂z/∂x = lim Δz/Δx = lim f(x + Δx, y) – f(x, y)
Δx->0
Δx->0
Δx
Derivatif parsial z ke y didefinisikan sebagai:
∂z/∂y = lim Δz/Δy = lim f(x,y + Δy) – f(x, y)
Δy->0
Δy->0
Δy
Matematika Ekonomi
111
Contoh: Jika z = 3x2 + 2xy – 5y2 ,maka:
∂z/∂x = 6x + 2y
∂z/∂y = 2x – 10y
Derivatif parsial kedua juga dapat dicari sbb:
Contoh: z = (x2 + y2)3
∂z/∂x = fX = 3(x2 + y2)2(2x) = 6x(x2 + y2)2
∂z/∂y = fy = 3(x2 + y2)2(2y) = 6y(x2 + y2)2
∂2z/∂x2 = fXX = 12x(x2 + y2)(2x) = 24x2(x2 + y2)
∂2z/∂y2 = fyy = 12y(x2 + y2)(2y) = 24y2(x2 + y2)
∂2z/ ∂y∂x = fyx = 12x(x2 + y2)(2y) = derivatif
∂z/∂x
thd y
24xy(x2 + y2).
∂2z/∂x∂y = fxy = 12y(x2 + y2)(2x) = 24xy(x2 + y2)
Matematika Ekonomi
112
Simbol derivatif parsial ∂z/∂x
juga dilambangkan ∂f/∂x atau fx.
Fungsi turunan kedua dilambangkan:
∂2z/∂x2 atau ∂2f atau fxx
Fungsi turunan fx terhadap y dilambangkan fyx
Fungsi turunan fy terhadap x dilambangkan fxy
fyx = fxy
Matematika Ekonomi
113
Maksimum dan minimum
y = f(x)
akan maksimum pada saat:
dy/dx = 0
dan
d2y/dx2 < 0
akan minimum pada saat:
dy/dx = 0
dan
d2y/dx2 > 0
akan mempunyai titik belok (inflection point) pada:
dy/dx = 0
dan
d2y/dx2 = 0
Matematika Ekonomi
114
Apabila fungsinya lebih dari dua variabel:
z = f(x, y) atau f(x1, x2),
Maksimum jika
fx = 0, fy = 0
Minimum jika
fx = 0, fy = 0
fxx < 0, fyy < 0
fxx > 0, fyy > 0
fxxfyy – (fxy)2 > 0
fxxfyy – (fxy)2 > 0
Matematika Ekonomi
115
Contoh: Periksa apakah fungsi berikut ini mempunyai titik maksimum, minimum atau titik belok
dan hitung nilai f(x) pada titik tersebut.
y = f(x) = -x2 + 4x + 7
dy/dx = -2x + 4 = 0; nilai x = 2
d2y/dx2 = -2 < 0; berarti mempunyai titik maks.
pada x = 2.
nilai ymaks atau f(x)maks = -(2)2 + 4(2) + 7 = 11
Matematika Ekonomi
116
Contoh: Tentukan nilai ekstrim (maks/min) dari:
z = x2 + xy + y2 – 3x + 2
Langkah-langkah:
a. Derivatif pertama: fx = 2x + y – 3
fy = x + 2y
b. fx = 0 dan fy = 0
2x + y – 3 = 0
x + 2y = 0
Dari 2x + y – 3, didapat y = 3 – 2x.
Substitusi y = 3 – 2x ke persamaan x + 2y = 0
didapat x + 2(3 – 2x) = 0; x + 6 – 4x = 0
atau 3x = 6  x = 2.
Matematika Ekonomi
117
Untuk x = 2, y = 3 – 2(2) = -1.
Artinya titik (2, -1) merupakan titik maks atau min
c. Uji dengan derivatif kedua:
fxx = 2;
fyy = 2;
fxy = fyx = 1
fxxfyy – (fxy)2 = 2.2 – 12 = 3 > 0
artinya fungsi z mempunyai titik minimum pada
titik (2, -1).
d. Nilai zmin = (2)2 + (2)(-1) + (-1)2 – 3(2) + 2
= 4 – 2 + 1 – 6 + 2 = -1.
Matematika Ekonomi
118
1.5 Aplikasi dalam ekonomi
1) Elastisitas permintaan
Elastisitas permintaan adalah persentase
per-ubahan jumlah komoditi diminta
apabila terdapat perubahan harga.
Jika q = komoditi yg diminta,
Δq = perubahannya
p = harga komoditi;
Δp = perubahannya
Matematika Ekonomi
119
Δq/q
Δq/q
Δq p
dq p
Ed = ------ = lim ------- = lim ---- -- = ---- -dp q
Δp/p Δp->0 Δp/p Δp->0 Δp q
Contoh: Umpamakan fungsi permintaan q = 18 -2p2
hitung elastisitas permintaan jika harga berkurang 5% (bukan mendekati nol) dari p = 2, q =
10. Bandingkan hasil kedua pendekatan: definisi dan derivatif.
Pendekatan definisi: p = 2; Δp = 0.05 berarti
p1 = 2 – 2(0.05) = 1.9
Untuk p1 = 1.9,
untuk p = 2,
berarti
q = 18-2p2 = 18 – 2(1.9)2 = 10.78
q = 18-2p2 = 18 – 2(2)2 = 10.
Δq = 10.78 – 10 = 0.78
Matematika Ekonomi
120
Jadi menurut pendekatan definisi
Ed = 7.8%/-0.05% = - 1.56
Dengan pendekatan derivatif:
Ed = (dq/dp)(p/q) = (-4p)(p/q) = - 4p2/q
pada harga p = 2, dan q = 10
Ed = -4(2)2/10 = - 1.60.
Perhatikan dengan derivatif, Δp mendekati nol,
sementara menurut definisi, Δp = 0.05%, jadi
hasilnya sedikit berbeda.
Matematika Ekonomi
121
2) Total Cost, Average cost and marginal cost
TC = f(q),
merupakan fungsi biaya dimana TC = total cost,
dan q = produk yang dihasilkan.
TC/q = f(q)/q
merupakan fungsi biaya rata-rata.
MC = dTC/dq
merupakan derivatif dari TC, sebagai biaya marginal. Biaya marginal adalah tambahan biaya yg
dibutuhkan per satuan tambahan produk.
Matematika Ekonomi
122
Hubungan TC, AC dan MC, seperti kurva dibawah
ini.
TC
Rp
MC
AC
VC
q
Matematika Ekonomi
123
Contoh dengan data diskrit
q
FC
VC
TC
AC
MC
1
100
10
110
110.00 -
2
100
16
116
58.00
6.0
3
100
21
121
40.33
5.0
4
100
26
126
31.50
5.0
5
100
30
130
26.00
4.0
6
100
36
136
22.67
6.0
7
100
45.5
145.5 20.78
9.5
8
100
56
156
19.50
10.5
9
100
72
172
19.10
16
Matematika Ekonomi
124
Contoh dengan fungsi biaya:
TC = q3 – 4q2 + 10q + 75.
FC = Fixed Cost = 75
VC = Variable cost = q3 – 4q2 + 10q
MC = dTC/dq = 3q2 – 8q + 10
AC = TC/q = q2 – 4q + 10 + 75/q
3) Revenue and Marginal revenue
Apabila fungsi permintaan diketahui, maka
Total Revenue (TR) adalah jumlah produk
yang diminta dikali harga.
Matematika Ekonomi
125
Jadi jika q = kuantitas diminta dan p = harga
dengan q = f(p) maka:
TR = qp = f(p).p
Marginal Revenue (MR) = dTR/dq.
Contoh:
MR = dTR/dq
= 9/2 – 3q
Fungsi Permintaan;
3q + 2p = 9;
TR, MR, p
2p = 9 – 3q atau
p = 9/2 – (3/2)q
MR
4
TR = p.q atau
p
TR = (9/2)q – (3/2)q2
Matematika Ekonomi
0
3
q
126
4). Fungsi produksi
Seorang produsen dalam teori ekonomi paling
tidak harus mengambil dua keputusan apabila
dilandasi oleh suatu asumsi produsen berusa-ha
memperoleh profit maksimum, adalah:
a.
Jumlah produk yang yang akan diproduksi
b.
Menentukan kombinasi input-input yang
digunakan dan jumlah tiap input tsb.
Landasan teknis dari produsen dalam teori
ekonomi disebut dengan FUNGSI PRODUKSI.
Fungsi produksi = persamaan yang menunjukkan
hubungan antara tingkat penggunaan input-input
dengan tingkat output.
Matematika Ekonomi
127
Fungsi produksi, secara umum dicatat:
Q = f(x1, x2, x3, … , xn)
Q = output
xi = input-input yang digunakan, i = 1, 2, 3, … , n
Apabila dalam proses produksi:
Q = f(x1/x2, x3, … , xn)
input xI ditambah terus menerus, sedangkan input
lain tetap, maka fungsi produksi itu tunduk pada
hukum : The law of diminishing returns
“bila satu macam input, terus ditambah
penggunaannya sedang penggunaan input lain
tidak berubah, maka tam-bahan output yg
dihasilkan dari setiap tambahan input, mulai-mula
meningkat, kemudian menurun, dan akhirnya
negatip”.
Matematika Ekonomi
128
Tambahan output yg didapat karena adanya tambahan satu unit input dinamakan Produk Fisik
Marginal (Produk Marginal = PM).
PM = ∂Q/∂xi, i = 1, 2, 3, … , n
Selain produk marginal, fungsi lain yang dapat diturunkan dari fungsi produksi adalah fungsi
Produk Rata-rata (PR).
PR = Q/x = f(x)/x
Jadi ada hubungan antara Q atau produk total
(PT) dengan PM dan PR.Hubungan tersebut ditunjukkan oleh kurva berikut ini.
Matematika Ekonomi
129
Q
X1 Q
Q = PT
PM
PR
-
10
1
10
2
24
14 12
3
39
15 13
4
52
13 13
5
61
9
12.2
6
66
5
11
7
66
0
9.4
8
64
-2
8
x
PM
PR
Matematika Ekonomi
x
130
Ciri-ciri grafik fungsi produksi dicatat sbb:
a. Pada saat PT maks, maka PM = 0
b. Pada saat PR maks, maka PM = PR
c. PR maks pada saat grs lurus dari titik nol
(origin) menyinggung kurva PT.
Kurva produksi yang dijelaskan di atas, hanya
jika input variabel terdiri atas satu input. Untuk
Q = f(x1, x2)/x3, … , xN)
atau dua input variabel, maka kurvanya dalam
ruang spt berikut:
Matematika Ekonomi
131
z
x1
x2
Matematika Ekonomi
132
MATRIKS
Matriks artinya sesuatu yang membungkus, yang
dibungkus adalah data kuantitatif yang disusun
dalam bentuk “baris” dan “lajur”.
Contoh: Harga gula pasir di 3 kota selama 3 bulan
(rata-rata)
Kota
A
B
C
Bulan
J
4000
4500
4200
F
4200
4600
4500
M
4200
4700
4500
Dengan catatan matriks ditulis:
A = 4000 4500 4200
B= 1 0 1 4
4200 4600 4500
3 2 6 7
4200 4700 450
Bentuk umum sbb:
9 8 4 1
Notasi matriks
A = a11 a12 … a1n
mxn
a21 a22 … a2n
:
:
:
am1 am2 … amn
Untuk menyederhanakan
dicatat:
A = (aij)mxn
mxn
m = jlh baris; n = jlh lajur
Matematika Ekonomi
134
Vektor.
Kumpulan data/angka yang terdiri atas satu baris
disebut: VEKTOR BARIS, jika satu lajur disebur
dengan VEKTOR LAJUR. Dengan demikian, dpt
disebut bahwa matriks terdiri atas beberapa vektor
baris dan beberapa vektor lajur.
Vektor baris:
Vektor lajur
a’ = (4, 1, 3, 2)
b= 1
u = u1
2
u2
8
:
x’ = (x1, x2, … xn)
un
Matematika Ekonomi
135
Beberapa macam bentuk matriks
a. Matriks segi: A = (aij)m.n dengan m = n
A= 2 0 2 4
4x4
4 1 7 7
1 2 3 4
5 1 4 1
b. Matriks setangkup: B = (bij)n.n, bij = bji
B=1 0 7 7
4X4
0 5 4 3
7 4 2 5
7 3 5 1
Matematika Ekonomi
136
c. Matriks diagonal
D = (dij)n.n, dij = 0 utk i±j
e. Matriks segitiga atas,
jika semua unsur dibawah diagonal utama bernilai nol.
D= 3
0
0
0
5
0
G= 9 9 3
0
0
7
0 1 3
0 0 2
d. Matriks identitas
I4 = 1 0 0 0
I2 = 1 0
0 1 0 0
0 1
0 0 1 0
0 0 0 1
Diagonal utama
Jika semua unsur diatas diagonal utama
bernilai 0 = matriks
segitiga bawah.
Matematika Ekonomi
137
Penggandaan matriks
Matriks A = (aij)m.n dapat digandakan dgn B = (bij)p.q
jika dan hanya jika lajur matriks A = baris matriks B
atau n = p
Cara penggandaan adalah vektor baris x vektor lajur
dimana setiap baris A digandakan dengan setiap
lajur B seperti contoh berikut ini.
1 1 0
8 -1
2 4 5
1 1
6 7 8
1 2
Matematika Ekonomi
138
1 1 0
2 4 5
6 7 8
8 -1 = (1 1 0) 8 , (1 1 0) -1
1 1
1
1
1 2
1
2
=
(2 4 5) 8 , ( 2 4 5) -1
1
1
1
2
(6 7 8) 8 , (6 7 8)
-1
1
1
1
1
Matematika Ekonomi
139
(1)(8) + (1)(1) + (0)(1), (1)(-1) + (1)(1) + (0)(2)
(2)(8) + (4)(1) + (5)(1), (2)(-1) + (4)(1) + (5)(2)
(6)(8) + (7)(1) + (8)(1), (6)(-1) + (7)(1) + (8)(2)
9
0
Contoh-2: 3 6 0
x
25
12
4 2 -7
y
63
17
=
z
3x + 6y
4x + 2y – 7z
Matematika Ekonomi
140
Putaran matriks
Matriks A = (aij)m.n, putarannya adalah A’ = (a’ij)n.m,
sedangkan (a’ij) = (aji).
Contoh: A = 3 8 -9

A’ = 3 1
1 0 4
8 0
-9 4
D= 1 0 4

D’ = 1 0 4
0 3 7
0 3 7
4 7 2
4 7 2
Matematika Ekonomi
141
Matematika Ekonomi
142
Determinan matriks segi
Determinan suatu matriks segi adalah hasil perkalian unsur-unsur yang tidak sebaris dan tidak
selajur, dengan tanda tertentu. Determinan
matriks A dicatat det (A) atau |A|
Contoh: Hitung determinan matiks A =
2 7
4 9
det A = (2)(9) – (4)(7) = - 10.
Matematika Ekonomi
-
+
143
Contoh: Cari determinan matriks
C= 1 4 7
8 2 5
6 9 3
Cara Sarrus, yaitu dengan
menambahkan lajur 1 sebagai
lajur 4 dan lajur 2 sebagai
lajur 5 kemudian menggandakan angka yang tidak sebaris
dan tidak selajur.
-
-
-
+
+
+
det C = 1 4 7 1 4
8 2 5 8 2
6 9 3 6 9
= (1)(2)(3) + (4)(5)(6) + (7)(8)(9)
-(7)(2)(6) - (1)(5)(9) – (4)(8)(3) = 405
Matematika Ekonomi
144
Untuk matriks dengan dimensi/ukuran 4 x 4, cara
Sarrus tidak dapat digunakan melainkan dicari perkalian unsur yang tidak sebaris dan tidak selajur.
Pangkat suatu matriks
Suatu matriks segi dengan determinan ± 0, maka
matriks itu disebut berpangkat penuh atau matriks tak
singular. Sebaliknya, disebut matriks berpangkat tak
penuh atau dinamakan matriks singular.
Jika suatu matriks B berukuran nxn, maka pangkat
matriks itu dicatat p(B) = n, jika matriknya berpangkat
penuh.
Matematika Ekonomi
145
Tetapi jika determinannya = 0, maka pangkat matriks
B, lebih kecil dari n, yaitu dimensi salah satu anak
matriksnya yang memiliki det ± 0.
Contoh A = 1 1 0 , karena det A = 0, maka
3x3
2 -1 1
p(A) ± 3, dan kemungkinan
4 1 1
p(A) = 2.
Untuk memeriksa, ambil salah satu anak matiksnya:
A11 = 1 1 , det A11 = - 3 ± 0. Berarti p(A) = 2
2 -1
Matematika Ekonomi
146
Dalam sistem persamaan linear, yang mencari nilainilai x dari sistem persamaan tersebut, maka matriks
penyusun persamaan linear dimaksud harus ± 0 atau
tak singular atau berpangkat penuh.
Misal: 7x1 - 3x2 – 3x3 = 7
2x1 + 4x2 + x3 = 0
- 2x2 - x3 = 2
Setelah diubah dg
perkalian matiks
diperoleh
7 -3
-3
x1 =
7
2 4
1
x2
0
0 -2
-1
x3
2
Matematika Ekonomi
147
Det. Matriks: 7 -3 -3 = -8 ± 0, berarti nilai-nilai x
2
4
1
dari persamaan li-
0
-2 -1
near itu dpt dicari.
Matematika Ekonomi
148
Persamaan linear dan jawabannya.
Persamaan linear adalah himpunan dari persamaan
linear dengan beberapa nilai yang hendak dicari.
7x1 – x2 – x3 = 0
Contoh: 5x1 + 3x2 = 30
6x1 – 2x2 = 8
10x1 – 2x2 + x3 = 8
6x1 + 3x2 – 2x3 = 7
Dari persamaan tersebut akan dihitung x1 dan x2
Matematika Ekonomi
149
Dengan aturan Cramer, menggunakan cara determinan, sistem persamaan linear di atas dapat
diselesai-kan dg cara sbb:
a. Buat persamaan linear menjadi dalam bentuk
perkalian matriks.
5
3
x1 = 30
6
-2
x2
8
x
d
A
b. Cari nilai det (A);
det A = -28
c. Dapatkan matiks A1 yaitu matriks A dengan
mengganti lajur ke-1 dengan vektor d.
Matematika Ekonomi
150
A1 = 30 3
8 -2
d. Dapatkan matriks A2 yaitu matriks A dengan
mengganti lajur ke-2 dengan vektor d.
A2 = 5 30
6
8
e. Cari det A1 dan det A2; det A1 = -84; det A2 = -140
f. Nilai x1 = det A1/det A, dan x2 = det A2/A.
x1 = -84/-28 = 3;
x2 = -140/-28 = 5.
Matematika Ekonomi
151
Contoh 2
7 -1 -1
x1
= 0
10 -2 1
x2
8
6 3 -2
x3
7
x
d
A
a. Det A = -61
b. Det A1 = 0 -1 -1
= -61; det A2 = 7 0 -1 = -183
8 -2 1
10 8 1
7 3 -2
6
7 -2
det A3 = 7 -1 0 = -244
10 -2 8
6 3 7
Matematika Ekonomi
152
MATRIKS KEBALIKAN
Jika A = (aij)n.n maka matriks kebalikannya dicatat
sebagai A-1.
Cara mencari matriks kebalikan:
a. Dengan matriks adjoint
b. Dengan transformasi penyapuan
c. Dengan metode Doolittle
Matematika Ekonomi
153
Mencari matriks kebalikan dengan matiks adjoint
Umpamakan dibicarakan matiks A = a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
Untuk mencari matriks kebalikannya ditempuh langkah-langkah sbb:
a. Mencari minor setiap unsur apq atau Mpq, dimana
p=q = 1, 2, 3. (baris = p, lajur = q = 1, 2, 3)
Definisi: Minor unsur apq adalah determinan anak
matriks dengan menghapus baris p dan
lajur q.
Jadi M11 dihitung dengan cara berikiut:
Matematika Ekonomi
154
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
Minor unsur a11 = M11 = a22 a23 = a22a33 – a23a32
a32 a33
Minor unsur a12 = M12 = a21 a23 = a21a33 – a23a31
a31 a33
Minor unsur a13 = M13 = a21 a22
a31 a32 = a21a32 – a22a31
Matematika Ekonomi
155
Minor unsur a21 = M21 = a12 a13 = a12a33 – a13a32
a32 a33
Minor unsur a22 = M22 = a11 a13 = a11a33 – a13a31
a31 a33
Minor unsur a23 = M23 = a11 a12
a31 a32 = a11a32 – a12a31
Matematika Ekonomi
156
Minor unsur a31 = M31 = a12 a13 = a12a23 – a13a22
a21 a23
Minor unsur a32 = M32 = a11 a13 = a11a23 – a13a21
a21 a23
Minor unsur a33 = M33 = a11 a12
a21 a22 = a11a22 – a12a21
Matematika Ekonomi
157
b. Kofaktor.
Kofaktor unsur apq ialah αpq = (-1)p+qMpq.
Kofaktor unsur a11 = α11 = (-1)1+1M11
Kofaktor unsur a12 = α12 = (-1)1+2M12
Kofaktor unsur a13 = α13 = (-1)1+3M13
Kofaktor unsur a21 = α21 = (-1)2+1M21
Kofaktor unsur a22 = α22 = (-1)2+2M22
Kofaktor unsur a23 = α23 = (-1)2+3M23
Kofaktor unsur a31 = α31 = (-1)3+1M31
Kofaktor unsur a32 = α32 = (-1)3+2M32
Kofaktor unsur a33 = α33 = (-1)3+3M33
Matematika Ekonomi
158
Setelah dapat kofaktor dari setiap unsur, susunlah
matriks kofaktor K:
K = α11 α12 α13
α21 α22 α23
α31 α32 α33
Matriks kebalikan dari A = A-1 = (1/det A)(K’)
Perhatikan, kofaktor unsur sebenarnya hanya soal
tanda dari minor sauté unsur. Jika indeksnya genap,
tandanya + dan jika indeksnya ganjil, tandanya
negatip.
Matematika Ekonomi
159
Contoh: Cari matriks kebalikan dari B = 4 1 -1
0 3 2
3 0 7
Matriks kofaktor K= 3 2
0 2
0 3
= 21 6 -9
0 7
3 7
3 0
-7 31 3
1 -1
4 -1
4 1
5 -8 12
-
-
-
0 7
3 7
3 0
1 -1
4 -1
4 1
0 2
0 3
-
3 2
Matematika Ekonomi
160
Matriks putaran K = K’ =
21 -7
5
6 31 -8
-9
3 12
Matriks kebalikan = B-1
adalah: (1/det B)K’.
det (B) = (4)(3)(7) +
(1)(2)(3) +
(0)(0)(-1)
-(-1)(3)(3)
-(2)(0)(4)
-(1)(0)(7) = 99
B-1 = (1/99) 21 -7 5
Matematika Ekonomi
6 31 -8
-9 3 12
161
Untuk menguji, maka: BB-1 = I
4 1 -1
21/99 -7/99 5/99
= 1 0 0
0 3 2
6/99 31/99 -8/99
0 1 0
3 0 7
-9/99 3/99 12/99
0 0 1
B
B-1
Matematika Ekonomi
I
162
PENGGUNAAN MATRIKS KEBALIKAN DALAM
EKONOMI (INPUT – OUTPUT Analysis)
Dalam analisis ekonomi dikenal keterkaitan antar industri (atau sektor industri). Artinya output suatu
sektor dipakai untuk memenuhi sektor lain, dan memenuhi permintaan akhir rumah tangga, pemerintah,
pembentukan modal maupun ekspor. Sementara
Input suatu sektor dibeli dari sektor lain.
Matematika Ekonomi
163
Dalam analisis ekonomi, sering hubungan antar satu
sektor dgn sektor lain dinyatakan dengan himpunan
persamaan linear. Contoh analisis input-output
Leontief.
Dengan notasi matriks model I-O sbb:
AX + F = X atau
X - AX = F atau
(I – A)X
= F
pers matriks Leontief
X = F/(I - A) = (I – A)-1. F.
Matriks kebalikan
Leontief
Matematika Ekonomi
164
0.2
0.3
0.2 ,
x1 ,
0.4
0.1
0.2
x2
5
0.1
0.3
0.2
x3
6
x
F
A
10
Mis. Sektor
perekonomian
terdiri dari 3
sekt. Pert, Ind,
dan Jasa.
1 0 0 - 0.2
0.3
0.2
= 0.8 -0.3 -0.2
0 1 0
0.4
0.1
0.2
-0.4 0.9 -0.2
0 0 1
0.1
0.3
0.2
-0.1 -0.3
I
0.8
A
0.8 -0.3 -0.2
x1 = 10
-0.4 0.9 -0.2
x2
5
-0.1 -0.3
x3
6
I-A
0.8
x Ekonomi
Matematika
F
165
Matriks Kofaktor dari (I – A) adalah
M11 -M12 M13
= 0.66 0.34 0.21 , K’ = 0.66 0.30 0.24
-M21 M22 -M23
0.30 0.62 0.27
0.34 0.62 0.24
M31 -M32 M33
0.24 0.24 0.60
0.21 0.27 0.60
(I – A)-1 = 1/(det (I-A)K’
= 1
0.66 0.30 0.24
0.384 0.34 0.62 0.24
0.21 0.27 0.60
= 1.72 0.78 0.63 = R
0.90 1.61 0.63
0.55 0.70 1.56
Matematika Ekonomi
166
Arti dari matriks kebalikan Leontief:
Mis r12 = 0.78, artinya untuk menopang setiap permintaan akhir akan produk Industri, harus
diproduksi sebanyak 0.78 satuan produk pertanian.
R23 = 0.68, artinya untuk menopang setiap permintaan akhir akan produk Jasa, maka harus diproduksi sebanyak 0.68 satuan produk Industri.
Matematika Ekonomi
167
Vektor x adalah vektor permintaan akhir yaitu:
(I – A)-1F
X = x1 = 1/0.384 [0.66(10) + 0.30(5) + 0.24(6)] = 24.84
x2
1/0.384 [0.34(10) + 0.62(5) + 0.24(6)] = 20.68
x3
1/0.384 [0.21(10) + 0.27(5) + 0.60(6)] = 18.36
Artinya: Berdasarkan permintaan akhir yang ada, maka diramalkan output sektor pertanian, industri dan jasa masingmasing akan menjadi 24.84 satuan, 20.68 satuan dan 18.36
satuan.
Dengan analogi yang sama, jika permintaan akhir mau dinaikkan, maka ramalan output tiap sektor dapat diketahui.
Matematika Ekonomi
168
Penutup: TUHAN Maha Tahu
tetapi tidak pernah memberi tahu !
Mengapa ?
Manusia sudah diberi pikiran
dan manusia adalah makhluk
yang berpikir.
Matematika merupakan sarana berpikir
Matematika Ekonomi
169