basis dan dimensi

BASIS DAN DIMENSI
Dimensi Basis:
Vektor – vektor v1 , v2 , …… ,vk dalam ruang vektor V dikatakan membentuk basis – basis V ,
jika :
1. v1 , v2 , ...... , vk membangun V atau span (v1 , v2 , ….. , vk) = V
2. v1 , v2 , ….. , vk adalah bebas linier .
Contoh 2.32
1
e1 = [0],
0
0
e2 = [1],
0
0
e3 = [0], dan S = {e1 , e2 , e3}.
1
Apakah e1 , e2 , dan e3 a basis dalam R3 ?
Jawab :
e1 , e2 , dan e3 membentuk basis dalam R3 karena
1. span (S) = span (e1 , e2 , e3) = R3
2. e1 , e2 , dan e3 adalah bebas linier
Contoh 2.33
1
v1 = [ ],
0
0
v2 = [ ],
1
3
v3 = [ ]
4
Apakah v1, v2,dan v3 basis dalam R2 ?
Jawab :
v1, v2,dan v3 bukan basis dari R2 karena v1, v2,dan v3 adalah bergantung linier ,
3v1 + 4v2 - v3 = 0
Contoh 2.34
1
v1 = [2],
3
−2
v2 = [ 1 ] ,
1
8
v3 = [ 6 ],
10
Apakah v1, v2,dan v3 basis dalam R3 ?
Jawab :
v1, v2,dan v3 basis dalam R3 karena v1, v2,dan v3 adalah bergantung linier ,
8
1
−2
v3 = [ 6 ] = 4 [2] -2 [ 1 ] = 4v3 - 2v2
10
3
1
,
Contoh 2.35
Diketahui :
1
v1 = [2] ,
1
1
v2 = [0],
2
1
v3 = [1], dan S = { v1, v2, v3 }
0
Apakah S basis dalam R3 ?
Jawab :
1.
𝑎
Span (S) = R ↔ untuk setiap vektor v = [𝑏 ] ∈ 𝑅3 , ada bilangan real c1 , c2, c3 sehingga
𝑐
3
𝑎
1
1
1
v = [𝑏 ]= c1 = [2] + c2 [0] + c3[1] = c1v1 + c2v2 + c3v3.
𝑐
1
2
0
↔ kita selesaikan persamaan di atas ,
1 1
[2 0
1 2
𝑎
1 𝑐1
1] [𝑐2 ] = [𝑏 ]
𝑐
0 𝑐3
Solusinya adalah :
c1 =
−2𝑎
+ 2𝑏
3
+𝑐
,
c2 =
𝑎
−𝑏 + 𝑐
3
c3 =
,
4𝑎
−𝑏
3
− 2𝑐
jadi ,
−2𝑎
v=(
+ 2𝑏
3
+𝑐
)v1 + (
𝑎
−𝑏 + 𝑐
3
4𝑎
)v2 + (
−𝑏
3
− 2𝑐
)v3
Artinya, setiap vektor dalam R3 merupakan kombinasi linier dari v1, v2, v3 dan span (S) = R3.
2.
Karena
𝑐1
c1v1 + c2v2 + c3v3. = [2𝑐1
𝑐1
+𝑐2
+2𝑐2
+𝑐3
0
+𝑐3 ] = [0] ↔ c1 = c2 = c3 = 0
0
v1, v2, v3 adalah bebas linier .
maka v1, v2, v3 adalah basis dari R3 .
Definisi Dimensi :
Dimensi dari ruang vektor V adalah jumlah vektor-vektor yang membentuk basis pada V .
Contoh 2.36
1
e1 = [0],
0
0
e2 = [1],
0
0
e3 = [0], T = {e1 , e2 , e3} adalah basis untuk R3.
1
→ dimension dari R3 adalah 3.
Contoh 2.37
Apakah v1 =
1
[3] ,
−1
2
v 2 = [1 ] ,
0
4
v3 = [2], S = {v1, v2, v3} basis untuk R3.
1
Jawab :
Karena R3adalah ruang vektor 3-dimensional , kita hanya perlu menguji apakah S bebas linier
atau tidak . karena ,
𝑐1
c1v1 + c2v2 + c3v3 = [ 3𝑐1
−𝑐1
+ 2𝑐2
+𝑐2
+4𝑐3
0
+2𝑐3 ] = [0] ↔ c1 = c2 = c3 = 0
+𝑐3
0
maka v1, v2, v3 adalah basis linier . jadi v1, v2, v3 adalah basis dari R3 .