sistem bilangan riil

SISTEM BILANGAN
RIIL
1.1 Bilangan Bulat dan Rasional
Bilangan paling sederhana diantara semuanya adalah bilangan asli (natural
number) yaitu : 1,2,3,4,…. Dengan bilangan asli kita bisa menghitung buku,
teman, uang, dan lain-lain. Jika disertakan negatif dari bilangan asli dan nol, maka
bilangan tersebut disebut bilangan bulat yaitu : …-3,-2,-1,0,1,2,3,…
Untuk mengukur panjang, berat atau voltase. Bilangan bulat saja tidak cukup
maka diperlukan bilangan yang disebut bilangan rasional, misalnya :
3 −7 21
,
, , … 𝑑𝑙𝑙
4 8 5
atau dapat kita tulis dalam bentuk
𝑚
𝑛
dimana 𝑚 dan 𝑛 adalah bilangan bulat
dengan 𝑛 ≠ 0. Apakah bilangan rasional dapat digunakan untuk mengukur semua
jenis panjang?
Contoh:
C
Berapa panjang AC ?
?
1
𝐴𝐶 = √𝐴𝐵 2 + 𝐵𝐶 2
𝐴𝐶 = √2 → 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑖𝑟𝑟𝑎𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙
A
1
B
3
Sehingga √3, √5, √7, 𝜋 dan banyak bilangan lain adalah bilangan irrasional.
Sehingga bilangan irrasional adalah bilangan yang tidak bisa ditulis sebagai hasil
bagi dari 2 bilangan bulat.
Matematika Dasar
Page 1
1.2 Bilangan Real
Bilangan real bilangan yang merupakan gabungan dari bilangan rasional dan
bilangan irrasional. Jika bilangan real dinyatakan dalam suatu diagram dapat
dibentuk sebagai berikut :
Bil.Asli
Bil.Bulat
Bil.Asli
Bil.Rasional
Bil. Real
Garis bilangan real :
Bil.Asli
Bil.Bulat
−1
1
2
2
-4 -3Bil.Asli
-2 -1
Bil.Rasional
0
𝜋
1
2
3 4
Setiap bilangan real berkorespondensi dengan satu dan hanya 1 titik pada
Bil.Asli
sebuah garis bilangan yang disebut garis bilangan real.
Bil.Bulat
Bil.Asli
1.3 Sistem Bilangan Real
Bil.Rasional
Bilangan real yang dilengkapi dengan sifat-sifat bilangan disebut sistem
bilangan real.
Sifat-sifat bilangan real dibagi menjadi :
1. Sifat-sifat aljabar
2. Sifat-sifat lapangan (field)
3. Sifat-sifat urutan
Sifat-sifat aljabar bilangan real
Sifat-sifat aljabar menyatakan bahwa 2 bilangan real dapat ditambahkan,
dikurangkan, dikalikan dan dibagi (kecuali dengan 0) untuk memperoleh bilangan
real yang baru.
1
1
Contoh : 2 + 5 8 = 7 8
Matematika Dasar
Page 2
5 − 0,4 = 4,6
3
=3
4
3
3∶4=
4
4𝑥
Sifat-sifat lapangan (field) bilangan real

Hukum komutatif
𝑥+𝑦 =𝑦+𝑥
𝑥. 𝑦 = 𝑦. 𝑥

Hukum assosiatif
𝑥 + (𝑦 + 𝑧) = (𝑥 + 𝑦) + 𝑧
𝑥(𝑦𝑧) = (𝑥𝑦)𝑧

Hukum distributif
𝑥(𝑦 + 𝑧) = 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧

Elemen-elemen identitas
𝑥+0=𝑥
𝑥. 1 = 𝑥

Balikan (invers)
𝑥 + (−𝑥) = 0
𝑥.
1
=1
𝑥
Contoh 1.1
Selesaikan dengan menggunakan sifat-sifat lapangan di atas :
1. 2 + (−3 + 5) =
2. −5(6 + 7) =
3. Berapakah invers penjumlahan dari −5
4. Berapakah invers penjumlahan dari
Matematika Dasar
1
5
Page 3
Sifat-sifat urutan bilangan real
Bilangan real 𝑎 disebut bilangan positif, jika 𝑎 nilainya lebih dari 0, ditulis
𝑎 > 0.
Contoh: 5 adalah bilangan positif, karena 5 > 0
Bilangan real 𝑎 kurang dari 𝑏, ditulis 𝑎 < 𝑏, jika 𝑏 − 𝑎 positif.
Contoh : 2 < 5 karena 5 − 2 = 3 > 0
Untuk setiap bilangan real 𝑎, 𝑏, 𝑐, berlaku sifat-sifat sebagai berikut :

Trikotomi
𝑥 < 𝑦 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 = 𝑦 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 > 𝑦

Ketransitifan
Jika 𝑥 < 𝑦 𝑑𝑎𝑛 𝑦 < 𝑧 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑥 < 𝑧

Penambahan
𝑥 < 𝑦 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑑𝑎𝑛 ℎ𝑎𝑛𝑦𝑎 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 + 𝑧 < 𝑦 + 𝑧

Perkalian
Bila 𝑧 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑓 , 𝑥 < 𝑦 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑑𝑎𝑛 ℎ𝑎𝑛𝑦𝑎 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥𝑧 < 𝑦𝑧
Bila 𝑧 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑓 , 𝑥 < 𝑦 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑑𝑎𝑛 ℎ𝑎𝑛𝑦𝑎 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥𝑧 > 𝑦𝑧
Contoh 1.2
Nyatakan apakah masing-masing soal berikut benar atau salah
1. −2 < −5
2.
6
7
34
< 39
Latihan 1.1
1. Selesaikan soal di bawah ini :
a. 3[2 − 4(7 − 12)]
b. 5[−2 + 4(12 − 7)]
c. 4[5 − 2(4 + 6)]
d. 5[10 − 3(7 − 2)]
e. −1[4 + 2(2 − 6)]
f.−3[1 + 4(−2 + 8)]
1 1 1
1
1
g. 2 [3 (4 − 3) + 6]
Matematika Dasar
1 2 1
1
1
h. 4 [3 (3 − 4) + 2]
Page 4
1 1 1
1
1
i. 3 [2 (4 − 3) + 6]
1 1 1
1
1
k. 6 [2 (4 − 2) + 6]
1 2
1 1
1
j. − 3 [5 − 2 (3 − 5)]
1 1 2
1
1
l. 3 [3 (3 − 2) + 4]
2. Kerjakan operasi berikut ini :
a. (5𝑥 2 − 4𝑦 2 )(−𝑥 2 + 3𝑦 2 )
b. (𝑥 3 − 3𝑥 + 5)(2𝑥 − 7)
c. 4𝑥 3 (𝑥 2 + 𝑦 2 − 𝑦 + 𝑥 + 2)
d. (5𝑥 2 + 2)(3𝑥 3 − 4)
e. (8𝑥 + 12𝑦 2 )(𝑥 2 − 𝑦)
f. (3𝑥 2 + 5𝑦)(4𝑥 2 + 𝑦)
3. Kerjakan operasi berikut ini :
a. (2𝑥 3 + 5𝑥 2 − 33𝑥 + 20): (2𝑥 − 5)
b. (2𝑥 3 + 5𝑥 2 − 22𝑥 + 10): (2𝑥 − 3)
c. (𝑥 3 + 𝑥 2 − 14𝑥 + 6): (𝑥 − 3)
d. (𝑥 4 + 𝑥 3 − 9𝑥 2 + 𝑥 + 2): (𝑥 2 + 3𝑥 − 2)
4. Selesaikan soal di bawah ini :
𝑥2
a. 𝑥 + 5 − 𝑥−5
b.
c.
d.
𝑎+2
2𝑎−6
𝑎−2
− 2𝑎+6
2𝑎−3𝑏
𝑎2 −𝑏 2
1
+ 𝑎−𝑏
2𝑥+3
18𝑥 2 −27𝑥
2𝑥−3
− 18𝑥 2 +27𝑥
1.4 Pengubahan pecahan ke desimal, desimal ke persen, dan sebaliknya
a) Mengubah Pecahan Biasa ke Desimal
Contoh:
2 2𝑥2
4
=
=
= 0,4
5 5𝑥2 10
5
5𝑥4
20
=
=
= 0,2
25 25𝑥4 100
1 1𝑥125
125
=
=
= 0,125
8 8𝑥125 1000
Matematika Dasar
Page 5
b) Mengubah Pecahan Desimal ke Persen
Contoh:
0,3 = 0,3𝑥100% = 30%
0,05 = 0,05𝑥100% = 5%
c) Mengubah persen ke pecahan dan sebaliknya
Contoh:
25
1
=
100 4
2
50
16 3
2
50
1
16 % =
= 3 =
=
3
100 100 300 6
3
75
=
= 75%
4 100
1
20
=
= 20%
5 100
25% =
Matematika Dasar
Page 6