q Departemen Matematika IPB

BAB 1. LOGIKA MATEMATIK
1.1 PROPOSISI
Definisi: [Proposisi]
Proposisi adalah suatu pernyataan yang mempunyai
dua kemungkinan nilai kebenaran, yaitu benar atau
salah tetapi tidak mungkin keduanya.
Benar
Proposisi
Salah
Contoh: Manakah dari pernyataan berikut yang
merupakan proposisi?
1. Ini buku siapa?
2. IPB terletak di Bogor.
3. Bandung ibukota Jawa Tengah.
4. x + 5 = 2.
5. Bogor kota yang indah.
Nilai Kebenaran:
Proposisi
Benar
Salah
Nilai kebenaran
1
0
Notasi: huruf kecil p, q, r, s, t, ... diikuti “:” pernyataan
Contoh: Lambangkan proposisi berikut dan tentukan
nilai kebenarannya.
1. Ada bilangan prima yang genap.
2. Jakarta ibukota negara India.
3. 8 habis dibagi 4.
Departemen Matematika IPB
1
1.2 PERANGKAI DASAR
tunggal
Proposisi
majemuk
Proposisi
tunggal
p
q + Perangkai:
negasi (-)




Proposisi
majemuk
dan ()
atau ()
jika maka ()
jika dan hanya jika ()
Perangkai “Ingkaran” (Negasi)
 Definisi: [Ingkaran]
Misalkan p suatu proposisi. Ingkaran p (negasi p)
adalah suatu proposisi yang salah jika p benar dan
proposisi yang benar jika p salah.
 Notasi: -p (dibaca tidak p)
 Tabel Kebenaran:
Departemen Matematika IPB
p
-p
1
0
0
1
2
 Contoh: Tentukan dan lambangkan ingkaran dari
proposisi berikut, kemudian tentukan nilai
kebenarannya.
1. 2 + 3 = 0.
2. 2 adalah bilangan genap.
3. Jakarta ibukota negara India.
 Catatan:
1. Lambangkan proposisi dalam bentuk positif.
2. Tidak melambangkan suatu proposisi dan
negasinya, dengan huruf yang berbeda.
Perangkai “Dan” (Konjungsi)
 Definisi: [Konjungsi]
Misalkan p dan q adalah dua buah proposisi.
Proposisi “p dan q” (konjungsi p dan q) adalah
suatu proposisi yang bernilai benar jika kedua
proposisi p dan q bernilai benar.
 Notasi: p  q (dibaca: p dan q)
 Tabel Kebenaran:
Departemen Matematika IPB
p
q
pq
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
3
 Contoh: Misalkan diketahui dua proposisi berikut.
p: Hari ini hujan.
q: Pak Joni pergi ke kantor.
Nyatakan proposisi berikut dalam kalimat verbal,
kemudian jelaskan nilai kebenarannya.
1. p  q 2. -p  q 3. -p  -q
 Catatan: Kata lain yang bisa diartikan sebagai
perangkai  adalah: tetapi, walaupun, meskipun,
sedangkan, namun.
Perangkai “Atau” (Disjungsi)
 Disjungsi
inklusif
eksklusif
 Definisi: [Disjungsi inklusif]
Misalkan p dan q adalah dua buah proposisi.
Disjungsi inklusif p dan q adalah suatu proposisi
yang bernilai benar jika sekurang-kurangnya satu
proposisi penyusun-nya bernilai benar.
 Notasi: p  q (dibaca: p atau q)
 Definisi: [Disjungsi eksklusif]
Misalkan p dan q adalah dua buah proposisi.
Disjungsi eksklusif p dan q adalah suatu proposisi
yang bernilai benar jika salah satu saja dari kedua
proposisi penyusun-nya yang bernilai benar.
Departemen Matematika IPB
4
 Notasi: p  q (dibaca: p ataukah q)
 Tabel Kebenaran:
p
q
pq
pq
1
1
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
0
0
0
0
 Contoh: Tentukan perangkai disjungsi yang tepat
untuk proposisi berikut, kemudian jelaskan nilai
kebenarannya.
1. p: Ani belajar Matematika.
q: Ani belajar Fisika.
2. p: 3 > 5.
q: 3 < 5.
Perangkai “Jika …maka…”
 Definisi: [Proposisi bersyarat]
Misalkan p dan q adalah dua buah proposisi.
Proposisi bersyarat (implikasi) “jika p maka q”,
adalah suatu proposisi yang bernilai salah jika p
bernilai benar dan q bernilai salah.
 Notasi: p  q (dibaca: jika p maka q)
p: premis, hipotesis, anteseden
q: konsekuen, kesimpulan
Departemen Matematika IPB
5
 Tabel Kebenaran:
p
q
p q
1
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
 Contoh: Tentukan nilai kebenaran dari proposisi
berikut.
1. Jika segitiga ABC sama sisi, maka segitiga
ABC sama kaki.
2. Jika 1 < 2 dan 1 > 2, maka 1 = 2.
3. Jika Agus tidak lulus ujian, maka dunia akan
berhenti berputar.
 Catatan:
1. Hubungan sebab akibat antara anteseden dan
konsekuen tidak harus selalu ada.
2. Dalam hal proposisi bersyarat p  q diajukan
sebagai proposisi yang benar dan terdapat
hubungan antara anteseden dan konsekuen,
proposisi p  q dapat diucapkan:
 p berimplikasi q
 p syarat cukup bagi q
 q syarat perlu bagi p
 p hanya jika q
 Variasi perangkai implikasi:
1. q  p disebut konvers dari p  q
2. -p  -q disebut invers dari p  q
3. -q  -p disebut kontrapositif dari p  q
Departemen Matematika IPB
6
 Contoh: Tentukan konvers, invers dan
kontrapositif dari proposisi berikut, kemudian
tentukan nilai kebenarannya.
1. Jika 2 + 3 = 5, maka Bandung ibukota Jawa Tengah.
2. Jika segitiga ABC sama sisi, maka segitiga ABC
sama kaki.
Perangkai “Jika dan hanya jika” (jhj)
 Definisi: [Proposisi dwisyarat]
Misalkan p dan q adalah dua buah proposisi.
Proposisi dwisyarat “p jika dan hanya jika q”
adalah suatu proposisi yang bernilai benar jika
p dan q memiliki nilai kebenaran yang sama.
 Notasi: p ↔ q (dibaca: p jika dan hanya jika q)
 Tabel Kebenaran:
p
q
p↔ q
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
 Catatan:
1. Dalam hal proposisi dwisyarat p ↔ q benar dan
terdapat hubungan antara p dan q, proposisi
p ↔ q dapat diucapkan sebagai
“p syarat perlu dan cukup bagi q”.
2. Agar p ↔ q benar terdapat dua syarat yaitu
p  q benar dan q  p benar.
Departemen Matematika IPB
7
 Contoh: Lambangkan dan tentukan nilai kebenaran
proposisi berikut.
1. 5 bilangan genap jhj 2 bukan bilangan ganjil.
2. Segi empat ABCD bujur sangkar jhj semua
sudutnya siku-siku dan sisinya sama panjang.
1.3 PROPOSISI KOMPLEKS
Proposisi
tunggal
Proposisi
majemuk
+ Perangkai:
Proposisi
kompleks
Proposisi kompleks adalah proposisi majemuk yang
menggunakan dua atau lebih perangkai.
Contoh: Tentukan nilai kebenaran dari proposisi
kompleks berikut:
1. [(-p ↔ r)  (q  p )]  -r, jika p benar, q salah
dan r salah.
2. q  [-r  (-q  -p)], jika q salah dan r benar.
3. [(p  q)  (q ↔ r )]  (p ↔ r)
Departemen Matematika IPB
8
Klasifikasi proposisi berdasarkan nilai kebenarannya:
1. Tautologi
Proposisi yang selalu bernilai benar untuk semua
kemungkinan kombinasi nilai kebenaran proposisiproposisi penyusunnya.
2. Kontradiksi
Proposisi yang selalu bernilai salah untuk semua
kemungkinan kombinasi nilai kebenaran proposisiproposisi penyusunnya.
3. Kontingensi
Proposisi yang bukan tautologi dan bukan
kontradiksi.
Notasi: i = tautologi
o = kontradiksi
Contoh: Dengan menggunakan tabel kebenaran periksa
apakah proposisi berikut merupakan tautologi,
kontradiksi atau kontingensi.
1. p  -p
2. ( p  q)  p
3. [(p  q)  (q ↔ r )]  (p ↔ r)
1.4 LATIHAN
1. Nyatakan proposisi berikut ke dalam lambang,
kemudian tentukan nilai kebenarannya.
a. Syarat cukup untuk dapat kuliah di IPB adalah lulus
USMI.
Departemen Matematika IPB
9
b. Sumbangan diharapkan berupa uang atau barang.
c. Syarat perlu dan cukup supaya segitiga ABC sama
sisi adalah ketiga sisinya sama panjang.
d. Bukan kantor pos yang buka, tetapi apotek di
depannya.
e. Ani maupun Ningrum tidak ada di rumah.
2. Nyatakan secara verbal proposisi berikut, jika
p: Rani mahasiswa TPB.
q: Rina mahasiswa pengulang mata kuliah
Matematika Dasar.
a. -p  q
b. -(p q) c. -p  -q
3. Periksa dengan menggunakan tabel kebenaran apakah
proposisi berikut tautologi, kontradiksi atau
kontingensi.
a. (p  q) ↔ (-q  -p)
b. [(p  q)  -q]  -p
c. [(p  -(q  -r))  -q]  (p  r)
4. Nyatakan proposisi berikut:
“Misalkan a suatu bilangan real. Jika a > 0, maka
a + 1> 1”
dengan menggunakan istilah syarat perlu dan syarat
cukup, kemudian tentukan konvers, invers dan
kontrapositif dari proposisi tersebut.
5. Jika proposisi p ↔ q benar, tentukan nilai kebenaran
dari proposisi p  -q.
Departemen Matematika IPB
10
1.5 KESETARAAN DUA PROPOSISI
Definisi: [Kesetaraan logik]
Dua buah proposisi dikatakan setara logik, bila kedua
proposisi tersebut memiliki nilai kebenaran yang sama
untuk setiap kombinasi nilai kebenaran proposisi
penyusunnya.
Notasi: p = q atau p  q atau p  q
(dibaca: p setara dengan q)
Contoh: Dengan menggunakan tabel kebenaran
tunjukkan bahwa:
1. p  q = -p  q
2. -(p  q) = -p  -q
Dalil-dalil Kesetaraan
Misalkan p, q dan r adalah proposisi, i tautologi dan o
kontradiksi.
1. Dalil Keidentikan
a. p  o = p
b. p  i = i
c. p  o = o
a. p  i = p
2. Dalil Kesamakuatan
a. p  p = p
b. p  p = p
3. Dalil Komplemen
a. p  -p = i
b. p  -p = o
Departemen Matematika IPB
11
4. Dalil Komutatif
a. p  q = q  p
b. p  q = q  p
5. Dalil Asosiatif
a. (p  q)  r = p  (q  r)
b. (p  q)  r = p  (q  r)
6. Dalil Distributif
a. p  (q  r) = (p  q)  (p  r)
b. p  (q  r) = (p  q)  (p  r)
7. Dalil Ingkaran Ganda
a. -(- p) = p
8. Dalil de Morgan
a. -(p  q) = -p  -q
b. -(p  q) = -p  -q
9. Dalil Penghapusan
a. (p  q)  p = p
b. (p  q)  q = q
10. Dalil lainnya
a. p  q = -p  q
b. p ↔ q = (p  q)  (q  p) = (p  q)  (-p  -q)
Catatan:
Untuk menunjukkan kesetaraan dua proposisi dapat
digunakan:
1. Tabel kebenaran
2. Dalil Kesetaraan
Departemen Matematika IPB
12
Contoh: Dengan menggunakan dalil kesetaraan
tunjukkan bahwa:
1. (p  -p) → -p = i
2. -(p  q)  (p  -q) = -q
3. p  (q → r) =(p  q)  r.
1.6 ARGUMEN
Definisi: [Argumen]
Argumen adalah suatu proposisi yang berbentuk
[H1  H2  …  Hn] → K.
Catatan:
1. H1 , H2 , …,Hn : hipotesis, premis
K : Kesimpulan
2. Argumen
[H1  H2  …  Hn] → K
biasa ditulis:
H1
H2

Hn
K
● Argumen
Sah
[H1  H2  …  Hn] → K tautologi
Tidak sah
[H1  H2  …  Hn] → K bukan tautologi
Departemen Matematika IPB
13
Jika argumen [H1  H2  …  Hn] → K sah, maka
[H1  H2  …  Hn] → K disebut suatu implikasi
logik dan dilambangkan [H1  H2  …  Hn]  K
Catatan:
1. Jika suatu argumen sah dan semua premisnya
benar, maka kesimpulan pasti benar.
2. Untuk memeriksa kesahan suatu argumen dapat
digunakan:
• tabel kebenaran
• dalil kesetaraan
• kombinasi dalil kesetaraan dan tabel kebenaran.
Contoh: Periksa argumen berikut sah atau tidak sah.
1. Jika hari ini hujan, maka saya membawa payung.
Ternyata saya tidak membawa payung. Oleh karena
itu dapat disimpulkan bahwa hari ini tidak hujan.
2. Jika Indonesia negara agraris, maka industri di
Indonesia tidak berkembang. Kenyataannya industri
di Indonesia tidak berkembang. Jadi dapat
disimpulkan Indonesia adalah negara agraris.
Aturan Inferensia: beberapa argumen yang sah dan
sering dijumpai dalam penalaran sehari-hari.
1. Modus Ponens 2. Modus Tollens
p
-q
p→q
q
Departemen Matematika IPB
p→q
-p
3. Kaidah Silogisme
p→q
q→r
p→r
14
Contoh: Periksa kesahan argumen berikut dengan
menggunakan aturan inferensia.
1. p  r
p→q
-r
q
2. Saya tidak akan gagal dalam ujian Matematika, jika
saya belajar. Tidak menonton TV adalah syarat
cukup agar saya belajar. Kenyataannya saya gagal
dalam ujian Matematika. Oleh karena itu dapat
disimpulkan bahwa saya menonton TV.
Metode Pohon
 Kegunaan: untuk menentukan kesahan suatu
argumen
 Konsep dasar:
1. Suatu argumen berbentuk implikasi p → q.
2. -(p → q) = p  -q.
3. p → q adalah tautologi jika p  -q adalah
kontradiksi.
4. Susun suatu pohon dari konjungsi premis (p) dan
negasi kesimpulan (-q).
5. Bila semua cabang pohon membentuk kontradiksi
maka argumen sah.
6. Bila ada cabang yang tidak membentuk suatu
kontradiksi, maka argumen tidak sah.
Departemen Matematika IPB
15
 Prosedur:
1. Daftarkan semua premis dan negasi kesimpulannya
2. Tuliskan semua proposisi bersyarat dan proposisi
dwisyarat dalam bentuk konjungsi () dan
disjungsi ()
3. Turunkan salah satu premis atau negasi kesimpulannya
Perangkai  : ditulis ke bawah membentuk batang.
Perangkai  : ditulis ke samping membentuk cabang.
4. Jika ada cabang yang memuat suatu proposisi dan
negasinya (kontradiksi), maka cabang tersebut tertutup
dan beri tanda (x).
5. Lanjutkan langkah 3 bila masih ada cabang yang
belum tertutup dan belum semua proposisi pada
langkah 1 diturunkan.
6. Hentikan proses bila semua cabang sudah tertutup atau
semua proposisi pada langkah 1 sudah diturunkan.
7. Argumen sah jika semua cabang tertutup.
8. Argumen tidak sah jika terdapat sekurang-kurangnya
satu cabang yang tidak tertutup.
 Contoh: Dengan menggunakan metode pohon, periksa
kesahan argumen berikut.
1. p → q
q
p
Departemen Matematika IPB
2. p  r
p→q
-r
q
16
Reductio ad absurdum
 Kegunaan: untuk membuktikan bahwa suatu
proposisi benar, secara tidak langsung.
 Konsep dasar:
1. Kaidah reductio ad absurdum:
-p → o
p
adalah argumen yang sah.
2. Jika -p mengakibatkan suatu kontradiksi adalah
benar, maka dapat ditarik kesimpulan bahwa
p benar.
 Prosedur:
1. Misalkan proposisi yang akan dibuktikan adalah p
(kesimpulan pada kaidah reductio ad absurdum).
2. Andaikan negasi p, yaitu -p benar.
3. Lakukan analisis pada -p, sehingga diperoleh
suatu kontradiksi, yaitu pernyataan q  -q = o.
4. Menurut kaidah reductio ad absurdum terbukti
p benar.
 Contoh: Jika diketahui x dan y adalah bilangan
bulat, buktikan pernyataan berikut.
1. Jika x + y ganjil dan x genap, maka y ganjil.
2. Jika x2 ganjil, maka x ganjil.
Departemen Matematika IPB
17
1.7 LATIHAN:
1. Periksa kesahan argumen berikut menggunakan dalil
kesetaraan, aturan inferensia atau metode pohon.
a. p
pq
c. p
q
pq
b. p  q
-p
q
d. p  q
p
e. m  k
m → -u
u
k
f. Bayi tidak lapar atau dia menangis. Bayi tertawa atau
dia tidak menangis. Jika bayi tertawa, maka mukanya
merah. Jadi jika bayi lapar, maka mukanya merah.
g. Jika saya diterima di IPB dan belajar setidaknya 6 jam
setiap hari, maka saya akan lulus dari IPB. Saya
belajar 6 jam setiap hari. Jadi saya akan lulus dari IPB.
h. Jika suatu bilangan bulat n habis dibagi 2 dan 3, maka
n habis dibagi 6. Syarat perlu dan cukup agar suatu
bilangan bulat n habis dibagi 6 adalah pembagian
tersebut meninggalkan sisa 0 jika dibagi 6. Diberikan
suatu bilangan bulat n yang habis dibagi 3, tetapi tidak
habis dibagi 2. Kesimpulannya n tidak meninggalkan
sisa 0 jika dibagi 6.
2. Jika n adalah bilangan bulat, buktikan penyataan berikut
menggunakan reductio ad absurdum.
a. Jika n2 bilangan genap, maka n bilangan genap.
b. Jika n - 2 habis dibagi 4, maka n2 - 4 habis dibagi 16.
Departemen Matematika IPB
18
1.8 PREDIKAT
Definisi: [Predikat dan Semesta]
Predikat atau proposisi terbuka adalah suatu
pernyataan yang melibatkan peubah yang nilainya
tidak ditentukan. Himpunan nilai-nilai yang mungkin
menggantikan peubah dalam suatu predikat disebut
semesta bagi peubah tersebut.
Contoh: Jelaskan mengapa pernyataan berikut
merupakan predikat, kemudian tentukan semestanya,
1. x + 1 < 8.
2. Mahasiswa IPB diwajibkan mengikuti upacara
17 Agustus.
3. Setiap orang harus menghargai orang lain.
4. x – y = 3.
1 &2: predikat 1 peubah
3 &4: predikat 2 peubah
Notasi:
 Predikat: huruf besar P, Q, R, S, …
 Peubah: huruf kecil x, y, z, …
 Predikat 1 peubah:
P(x): “pernyataan yang memuat x”
 Predikat 2 peubah:
P(x,y): “pernyataan yang memuat x dan y”
Catatan :
1. Jika P(x) predikat dengan semesta S, maka P(a),
untuk suatu a  S adalah suatu proposisi.
2. Hal yang serupa dengan di atas berlaku pula untuk
predikat dengan 2 peubah.
Departemen Matematika IPB
19
● Predikat
P
+ Perangkai:
Predikat
baru
-, , , ,

Contoh: Lambangkan predikat berikut dan tentukan
semestanya.
1. Mahluk hidup memerlukan air dan udara
2. n bilangan genap jika dan hanya jika n habis dibagi 2.
3. Jika x < y, maka x2 < y2.
4. Yang muda harus menghormati yang tua.
Q
Predikat berkuantifikasi
 Suku pengkuantifikasi
Umum
Khusus
 Suku pengkuantifikasi umum: setiap, semua ( )
 Suku pengkuantifikasi khusus: ada, beberapa ( )
ada tepat satu (! )
 Notasi:
( x) P(x) dibaca untuk semua x berlaku P(x)
( x) P(x) dibaca ada x sehingga berlaku P(x)
Contoh: Dengan menggunakan suku pengkuantifikasi dan
semesta yang diberikan, lambangkan predikat berikut.
1. Semua mahasiswa pandai.
a. Semesta S = himpunan mahasiswa.
b. Semesta S = himpunan manusia.
2. Beberapa segi empat adalah bujursangkar.
a. Semesta S = himpunan segi empat.
b. Semesta S = himpunan bidang datar.
Departemen Matematika IPB
20
3. Ada bilangan asli yang tidak genap.
a. Semesta S = himpunan bilangan asli.
b. Semesta S = himpunan bilangan bulat.
Ingkaran predikat berkuantifikasi
 - (x) P(x) = (x) - P(x)
 - (x) P(x) = (x) - P(x)
Contoh: Lambangkan proposisi berikut, kemudian
tentukan negasinya dan nyatakan secara verbal.
1. Semua mahasiswa TPB mendapat nilai A untuk
Matematika.
2. Ada segitiga yang sudutnya lebih besar dari 180°.
3. Tidak ada ikan yang hidupnya tidak di air.
Proposisi dengan dua suku pengkuantifikasi
 Biasanya muncul pada predikat yang mengandung
lebih dari satu peubah, misalnya:
1. (x) ( y) P(x,y)
2. (x) ( y) P(x,y)
 Ingkaran proposisi dengan dua suku
pengkuantifikasi
1. -(x) ( y) P(x,y) = (x) ( y)-P(x,y)
2. -(x) ( y) P(x,y) = (x) ( y) -P(x,y)
 Contoh: Lambangkan predikat berikut, kemudian
tentukan negasinya.
“Untuk setiap bilangan real x, ada bilangan real y
sehingga x2 = y”.
Departemen Matematika IPB
21
1.9 INDUKSI MATEMATIK
Kegunaan: untuk membuktikan kebenaran predikat
(n) P(n) dengan semesta S, di mana S = 
(himpunan bilangan asli).
Prinsip Induksi Matematik (PIM):
Jika 1. P(1) benar
2. P(k)  P(k+1) benar untuk setiap k  1
maka benar berlaku (n) P(n), dengan n  .
Langkah pembuktian:
1. Basis induksi
Tunjukkan P(1) benar.
2. Hipotesis induksi
Anggap P(k) benar untuk k  1.
3. Langkah induksi
Tunjukkan P(k+1) benar.
Contoh: Dengan prinsip induksi matematik buktikan
pernyataan berikut.
1. Untuk setiap bilangan asli n, berlaku
12 + 22 + 32 + … + n2 = 1/6 n (n+1)(2n+1).
2. Untuk setiap bilangan asli n, berlaku
12 + 22 + 32 + … + (n-1)2 < 1/3 n3.
3. Untuk setiap bilangan asli n, 15n- 6n habis dibagi 9.
4. Untuk setiap bilangan asli n  10, berlaku 2n > n3.
Departemen Matematika IPB
22