Kal 2 mdol 11

6. Persamaan Diferensial Tidak Eksak
Bentuk Umum :
.m(x,y) dx + n(x,y) dy = 0
m
n
Disebut PD Tidak Eksak bila


y
x
Cara menyelesaikan :
Dicari fungsi µ(x,y) yang biasa disebut Faktor Integral .
Sehingga µ (.m(x,y) dx + n(x,y) dy) = 0 menjadi PD Eksak
Maka .m  .n
 

n
m
.n  .
.m 
. 
x
x
y
y


.n 
.m
x
y
Faktor Integral : µ = m n

y x
y
x
Penyelesaian : F(x,y) =  .( x, y ).m( x, y )dx  Q( y )
Turunkan terhadap y dan disamakan dengan{µ(x,y)n(x,y)} diperoleh Q(y). Sehingga diperoleh
penyelesaian F(x,y) = C.
Contoh – contoh :
Selesaikan persamaan diferensial berikut :
( 9 y2 + 2 x y3 ) dx + ( 9 xy + 2 x2y2 ) dy = 0
Dengan factor integral fungsi dari x.
Jawab :
( 9 y2 + 2 x y3 ) dx + ( 9 xy + 2 x2y2 ) dy = 0
m= 9
y2
+2x
y3
m
 18 y  6 xy2

y
n
 9 y  4 xy2
x
.n =( 9 xy + 2 x2y2 ) 
m
n

Jadiy
x
merupakan PD tidak Eksak.

Faktor integral : merupakan fungsi dari x makay .  0



2 2
.n 
.m
µ=
x
y
m n

y x
.(9 xy  2 x y )

x

(18 y  6 xy2 )  (9 y  4 x y 2 )
.x   x .
µ=

x  
dx



x
.
x

.(9 xy  2 x 2 y 2 )

x

(9 y  2 x y 2 )
 lnµ = ln x
Jadi µ = x.
P D menjadi PD Eksak :
x{( 9 y2 + 2 x y3 ) dx + ( 9 xy + 2 x2y2 ) dy} = 0
(( 9x y2 + 2 x2 y3 ) dx + ( 9 x2 y + 2 x3y2 ) dy = 0
F(x,y) = (9 xy2  2 x 2 y 3 )dx  Q( y )
F(x,y) = x2 y2 + + Q(y)

.(9 x  2 xy2 ) x
 x
(9 y  2 x y 2 )
F(x,y) = x2 y2 + + Q(y)
.
F
 n ( x, y )
y
 9x2 y+2x3y2 + Q’(y) =9x2 y+2x3y2  Q’(y) = 0  Q(y) = C
Jadi F(x,y) =
9
2
2
x2 y2 + 3 x3 y 3 = C ///
2. Selesaikan persamaan diferensial berikut :
( 2x3 y2 + x2 y3 ) dx + ( x3 y2 - 2 x2y3 ) dy = 0
Dengan factor integral fungsi dari (xy).
Jawab :
( 2x3 y2 + x2 y3 ) dx + ( x3 y2 - 2 x2y3 ) dy = 0
: m= 2x3 y2 + x2 y3
m
 4 x3 y  3x 2 y 2
 y
n
2 2
3

3
x
y

4
xy
.n =( x3 y2 - 2 x2y3 )  x
Jadi m  n merupakan PD tidak Eksak.
y x
Faktor integral : merupakan fungsi dari xy dimisalkan z = xy
maka

 z 
.

y
x
z x z
dan

 z 
.

x
y
z y z
z
z
. y
.  xdan
x
y
•
Faktor Integral :


.n 
.m
x
y

m n

y x


y.( x3 y 2  2 x 2 y 3 ) 
x(2 x 3 y  x 2 y 3 )
z
 z
(4 x3 y  3x 2 y 2 )  (3x 2 y 2  4 x y 3 )
 3 3
{x y  2 x 2 y 4 )  ( 2 x 4 y  x 3 y 3 )
 z 3
(4 x y  3x 2 y 2  3x 2 y 2  4 x y 3 )


{2 x 2 y 4  2 x 4 y}  ( x 2 y 2{2 y 2  2 x 2}
( x y )

z


z

z


(4 x 3 y  4 x y 3 )
2
2 xy(2 x 2  2 y 2 )
lnµ = -2 ln z  µ =
1
( xy) 2

( z )

z
 z
  2 . 

z
2
z-2 =(xy)-2.  1 2
( xy)



  2
z
.
z
{( 2x3 y2 + x2 y3 ) dx + ( x3 y2 - 2 x2y3 ) dy }= 0 menjadi PD Eksak.
(2x+y)dx + (x-2y) dy = 0  PD Eksak
Penyelesaian :
F(x,y) =  (2 x  y)dx  Q( y) F(x,y) = x2 + xy + Q(y)
F
 n ( x, y )
y
 0+x + Q’(y) = x – 2y  Q’(y) = -2y Q(y)=-y2
F(x,y) = x2 + xy –y2 = C ///
.
Persamaan Diferensial orde dua derajat satu
Bentuk Umum :
d2y
dy
a 2  b  c. y  Q( x)
dx
dx
Cara menyelesaikan :
d2y
dy
(1). Dicari penyelesaian karakteristik : a 2  b  c. y  0
dx
dx
dy
Gunakan simbul D = dx
Maka diperoleh : a D2 y + b D y + c y = o
( a D2 + bD + c ) y = 0 karena y ≠ 0 maka
( a D2 + bD + c ) = 0
Dicari akar-akar dari D ada 3 kemungkinan yaitu :
.i) D1 = D2 = α maka penyelesaian karakteristik y = C1 eα x + C2 x eα x
.ii) D1 =α D2 = β maka penyelesaian karakteristik y = C1 eα x + C2 e β x
.iii) D1,2= α + .i β maka penyelesaian karakteristik y = eα x (C1 cosβ x +C2 sin β x}
(2) Dicari penyelesaian partikuler :
d2y
dy
a
dx 2
b
dx
 c. y  Q( x)
Dengan metode koefisien tak tentu dapat ditabelkan penyelesaian partikuler sebagai berikut :
Q(x)
Penyelesaian Partikuler
.x
========= y = Ax + B
.x2
========= y = A x2 + Bx + C
.x3 ========== .y = A x3 + B x2+ Cx + D
.ekx
========= y = A ekx
.sin kx Atau cos kx  .y = A cos kx + B sin kx.
=======================================
Penyelesaian umum = penyelesaian karakteristik + penyelesaian partikuler.
Contoh-contoh:
1..Selesaikan persamaan diferensial berikut :
d2y
dy
 5  6. y  3x 2  1
2
dx
dx
(1)Dicari penyelesaian karakteristik : d 2 y  5 dy  6. y  0
dy
dx 2
dx
Gunakan simbul D = dx
Maka diperoleh : D2 y + 5 D y + 6 y = o
( D2 + 5D + 6 ) y = 0 karena y ≠ 0 maka ( D2 + 5D + 6 ) = 0
D-3)(D-2)=0
•
D1 = 3 D2 = 2 maka penyelesaian karakteristik y = C1 e3 x + C2 e 2 x
(2) Dicari penyelesaian partikuler :
d2y
dy
 5  6. y  3x 2  1
2
dx
dx
Dengan metode koefisien tak tentu maka penyelesaian partikuler adalah:
.y = A x2 + Bx + C
dy
 2 Ax  B
dx
d2y
dan
 2A
dx 2
2 A  5(2 Ax  B)  6.( Ax2  Bx  C )  3x 2  1
Kesamaan koefisien : x2  6A = 3  A= ½
.x  10 A + 6 B = 0  B =
Konstan 2A +5B + 6C = 1
1
 56
25
25
 6C  1  C 
6
36
y  2 x 6 x  36
maka penyelesaian partikuler :
2 5
25
Penyellesaian Umum : y = C1 e3 x + C2 e 2 x + 12 x  6 x  36
///
1
2
2. ..Selesaikan persamaan diferensial berikut :
(1)Dicari penyelesaian karakteristik :
dy
5
25
d2y
dy
 4  4. y  3sin 2 x
2
dx
dx
d2y
dy
 4  4. y  0
2
dx
dx
Gunakan simbul D = dx
Maka diperoleh : D2 y + 4 D y + 4 y = o
( D2 + 4D + 4 ) y = 0 karena y ≠ 0 maka ( D2 + 4D + 4 ) = 0
(D + 2)2=0
D1 = D2 = -2 maka penyelesaian karakteristik y= C1 e-2 x + C2 x e-2x
2
(2) Dicari penyelesaian partikuler : d y2  4 dy  4. y  3sin 2 x
dx
dx
Dengan metode koefisien tak tentu maka penyelesaian partikuler adalah:
.y = A cos 2x + B sin 2x
dy
d2y
 2 A sin 2 x  2 B cos 2 x dan
 4 A cos 2 x  4 B sin 2 x
dx
dx 2
• 4 A cos 2x  4B sin 2x  4(2 A sin 2 x  2 B cos 2 x)  4(A cos 2x + B sin 3x= 3 sin2x
Kesamaan koefisien : sin 2x  -4B -8A+4B=3 - 8 A = 3 maka A= .cos 2x -4A +4B+4B = 0  8B= 4A
3
3
2B = - 8  B = - 16
3
3
maka penyelesaian partikuler y = - 8 cos 2x - 16
Penyelesaian umum
3
3
y = C1 e-2 x + C2 x e-2x- 8 cos 2x - 16 sin 2x///
sin 2x
3
8
TUGAS:
y
y
y
(3 x sin  y cos )dx  x cos dy  0.
1Selesaikan persamaan diferensial berikut :
x
x
x
y
)
x
dengan factor integral fungsi dari (
2 Selesaikan persamaan diferensial berikut
1 :
2 x 2 y 2  xy2e y )dx  x 2 y 2e y dy  0
xy 2
d2y
dy
Dengan factor integral fungsi dari (

4
 9. y  3 cos 2 x
2
dx
dx
3 Selesaikan persamaan diferensial berikut :
4.Selesaikan persamaan diferensial berikut :
d2y
dy

2
 4. y  3e5 x
2
dx
dx
d2y
dy
 4  y  3x 2  sin 3x
2
dx
5.Selesaikan persamaan diferensial berikut : dx