Bab 5 Persamaan Diferensial Tingkat-n

BAB V
PERSAMAAN DIFERENSIAL TINGKAT TINGGI
Standar Kompetensi
Setelah mempelajari pokok bahasan ini diharapkan mahasiswa dapat
memahami
cara
menentukan
akar-akar
persamaan
karakteristik
dan
mengaplikasikan dalam menentukan selesaian umum dan selesaian persamaan
diferensial tingkat tinggi
Kompetensi Dasar
1. Mahasiswa dapat menentukan selesaian umum persamaan diferensial tingkat
tinggi homogen dengan koefisien konstan
2. Mahasiswa dapat menentukan selesaian umum persamaan diferensial tingkat
tinggi tidak homogen dengan koefisien konstan menggunakan metode invers
fungsi operator,
3. Mahasiswa dapat menentukan selesaian umum persamaan diferensial tingkat
tinggi tidak homogen dengan koefisien konstan menggunakan metode
1
sebagai jumlah n pecahan parsial,
F ( D)
4. Mahasiswa dapat menentukan selesaian umum persamaan diferensial tingkat
tinggi tidak homogen dengan koefisien konstan menggunakan metode variasi
paramater,
5. Mahasiswa dapat menentukan selesaian umum persamaan diferensial tingkat
tinggi tidak homogen dengan koefisien konstan menggunakan Metode
koefisien tak tentu, dan
6. Mahasiswa dapat menentukan selesaian umum persamaan diferensial tingkat
tinggi tidak homogen dengan koefisien konstan menggunakan metode integral
khusus dimana Q (x) mempunyai bentuk yang sangat spesifik.
Bab V dalam buku ini membahas hal-hal pokok tentang (1) bentuk umum
persamaan diferensial tingkat tinggi, (2) selesaian umum persamaan diferensial
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo114
tingkat tinggi yang meliputi: persamaan diferensial tingkat tinggi homogen
dengan koefisien konstanta, persamaan diferensial tingkat tinggi tidak homogen
dengan koefisien konstanta, persamaan diferensial tingkat tinggi homogen dengan
koefisien variabel, persamaan diferensial tingkat tinggi tidak homogen dengan
koefisien variabel.
5.1 Bentuk Umum
Persamaan diferensial linear tingkat tinggi disebut pula sebagai persamaan
diferensial linear tingkat-n. Secara umum persamaan diferensial tingkat tinggi
dinyatakan dalam bentuk:
Po
dny
d n 1 y
d n2 y
d n 3 y
dy

P

P

P
 .....  Pn  1
 Pn y  Q ( x )
1
2
3
n
n 1
n2
n3
dx
dx
dx
dx
dx
Dengan Po  0, P1 , P2 , P3, ...........Pn1 , Pn adalah fungsi atau konstanta.
d2y
d3y
d n1 y
dny
dy
2
3
n 1
karena
 Dy ,
D y,
 D y ,.....,
 D y , dan
 Dn y
2
3
n 1
n
dx
dx
dx
dx
dx
maka persamaan
Po
dny
d n 1 y
d n 2 y
d n 3 y
dy

P

P

P
 .....  Pn1
 Pn y  Q( x )
1
2
3
n
n 1
n 2
n 3
dx
dx
dx
dx
dx
dapat dinyatakan dalam bentuk:
Po D n y  P1 D n 1 y  P2 D n 2 y  P3 D n 3 y  .....  Pn1 Dy  Pn y  Q( x)
 ( Po D n  P1 D n1  P2 D n 2  P3 D n 3  .....  Pn 1 D  Pn ) y  Q( x )
 F(D) y = Q(x)
Persamaan yang berbentuk F ( D) y  Q ( x) dengan Q ( x)  0 , maka bentuk
umumnya menjadi
( Po D n  P1 D n1  P2 D n 2  P3 D n 3  .....  Pn 1 D  Pn ) y  0 .
Pada kasus Q ( x)  0 maka F ( D) y  Q ( x) disebut persamaan diferensial linear
homogen tingkat tinggi, sedangkan jika Q ( x)  0 maka F ( D) y  Q ( x) disebut
persamaan diferensial linear tidak homogen tingkat tinggi.
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo115
Contoh
1.
d2y
dy
 2  15 y  0
2
dx
dx
 ( D 2  2d  15) y  0
 y ' '2 y '15 y  0
2.
2
 dy
 dy

2x
  y   2 y   e
 dx
 dx

 ( Dy  y )( Dy  2 y ) 2  e 2 x
 ( y ' y )( y '2 y ) 2  e 2 x
3.
( D 2  9) y  x cos x
 y ' '9 y  x cos x
d2y
 2  9 y  x cos x
dx
4.
d2y
dy
( x  2)
 ( x  2)  y  (3x  4)
2
dx
dx
2
 ( x  2) 2 y" ( x  2) y '  y  (3 x  4)
 ( x  2) 2 D 2 y  ( x  2) Dy  y  (3 x  4)
 {( x  2) 2 D 2  ( x  2) D  1} y  (3 x  4)
5.
x3
2
d3y
dy
2 d y

3
x
 2x  2 y  0
3
2
dx
dx
dx
 x 3 y ' ' '3 x 2 y"2 xy '  2 y  0
 x 3 D 3 y  3x 2 D 2 y  2 xDy  2 y  0
 ( x 3 D 3  2 xd  2) y  0
6.
x3
d3y
dy
 2 x  2 y  x 2 ln x  3 x
3
dx
dx
 x 3 y ' ' '2 xy '2 y  x 2 ln x  3 x
 x 3 D 3 y  2 xDy  2 y  x 2 ln x  3 x
 ( x 3 D 3  2 xD  2) y  x 2 ln x  3x
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo116
Persamaan-persamaan
pada
contoh
di
atas
selanjutnya
dapat
dikelompokkan ke dalam persamaan homogen dan tidak homogen. Persamaan
pada contoh 1 disebut persamaan diferensial linear homogen tingkat dua dengan
koefisien konstan, persamaan pada contoh 2 disebut persamaan diferensial linear
tidak homogen tingkat tiga dengan koefisien konstan, persamaan pada contoh 3
disebut persamaan diferensial linear tidak homogen tingkat dua dengan koefisien
konstan, persamaan pada contoh 4 disebut persamaan diferensial linear tidak
homogen tingkat dua dengan koefisien variabel, persamaan pada contoh 5 adalah
persamaan diferensial linear homogen tingkat tiga dengan koefisien variabel,
sedangkan persamaan pada contoh 6 adalah persamaan diferensial linear tidak
homogen tingkat 3 dengan koefisien variabel.
5.2 Selesaian Umum Persamaan Diferensial Tingkat Tinggi
Misal y  y1 ( x) adalah selesaian persamaan
Po
dny
d n1 y
d n 2 y
d n3 y
dy

P

P

P
 .....  Pnq
 Pn y  Q( x)
1
2
3
n
n 1
n 2
n 3
dx
dx
dx
dx
dx
Maka y  c1 y1 ( x ) juga selesaian persamaan di atas. dimana c1 adalah sebarang
konstanta.
Misal y  y 2 ( x) adalah selesaian persamaan
dny
d n1 y
d n 2 y
d n3 y
dy
Po n  P1 n1  P2 n2  P3 n3  .....  Pnq
 Pn y  Q( x)
dx
dx
dx
dx
dx
Maka y  c 2 y 2 ( x ) juga selesaian persamaan di atas. dimana c 2 adalah sebarang
konstanta.
Misal y  y1 ( x)  y 2 ( x ) adalah selesaian persamaan
dny
d n1 y
d n 2 y
d n3 y
dy
Po n  P1 n1  P2 n2  P3 n3  .....  Pnq
 Pn y  Q( x)
dx
dx
dx
dx
dx
Maka y  c1 y1 ( x )  c 2 y 2 ( x ) juga selesaian persamaan di atas.
Dengan asumsi yang sama, misal y  y1 ( x)  y 2 ( x)  .....  y n 1 ( x )  y n ( x) adalah
selesaian persamaan
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo117
Po
dny
d n1 y
d n 2 y
d n3 y
dy

P

P

P
 .....  Pnq
 Pn y  Q( x) , maka
1
2
3
n
n 1
n 2
n 3
dx
dx
dx
dx
dx
y  c1 y1 ( x)  c 2 y 2 ( x)  .....  c n1 y n 1 ( x )  c n y n ( x)
juga
selesaian
persamaan
diferensial tingkat tinggi. .
Himpunan selesaian persamaan-persamaan berikut
y  y1 ( x), y  y 2 ( x), y  y 3 ( x )  ....., y  y n 1 ( x ), dan y  y n ( x )
disebut bebas liner jika persamaan c1 y1  c 2 y 2  c3 y 3  .....  c n1 y n 1  c n y n  0
dimana c i adalah konstanta dan terjadi hanya apabila
c1  c 2  c3 .......  c n1  c n  0 .
Syarat perlu dan cukup bahwa n selesaian merupakan bebas linear yaitu
jika diterminan matrik ordo (nxn) yang masing-masing sukunya adalah selesaian
dimaksud sampai turunan ke (n  1)  0 .
Dengan kata
lain
y  c1 y1 ( x)  c 2 y 2 ( x)  .....  c n1 y n 1 ( x )  c n y n ( x)
adalah
primitif. Jika R(x ) suatu selesaian khusus maka selesaian khususnya persamaan
diferensial linear tingkat tinggi dinyatakan dengan:
y  c1 y1 ( x )  c 2 y 2 ( x)  .....  c n 1 y n 1 ( x)  c n y n ( x)  R( x)
Untuk lebih memudahkan cara menentukan selesaian persamaan diferensial linear
tinggi, maka dalam menentukan selesaian tersebut dikelompok menjadi:
1) persamaan diferensial homogen tingkat tinggi dengan koefisien konstan
2) persamaan diferensial tidak homogen tingkat tinggi dengan koefisien konstan
3) persamaan diferensial homogen tingkat tinggi dengan koefisien variabel
4) persamaan diferensial tidak homogen tingkat tinggi dengan koefisien variabel.
1) Persamaan Diferensial Homogen dengan Koefisien Konstan
Sebagaimana telah disebutkan pada awal Bab V,
bahwa persamaan
diferensial linear homogen tingkat tinggi dengan koefisien konstan dinyatakan
dalam bentuk umum:
dny
d n 1 y
d n 2 y
d n 3 y
dy
Po n  P1 n 1  P2 n 2  P3 n 3  .....  Pn q
 Pn y  0
dx
dx
dx
dx
dx
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo118
Atau
Po D n y  P1 D n 1 y  P2 D n 2 y  P3 D n3 y  .....  Pn1 D n 1 y  Pn y  0
atau
( Po D n  P1 D n1  P2 D n 2  P3 D n 3  .....  Pn 1 D  Pn ) y  0
Atau
F(D) y = 0
dengan Po  0, P1 , P2 , P3, ...........Pn1 , Pn adalah konstan.
dan F(D) disebut fungsi operator diferensial.
Selanjutnya jika F (D) dapat difaktorkan, maka F (D) dapat dinyatakan
dalam
bentuk
( D  m1 )( D  m2 )( D  m3 )......(D  mn )  0 .
Sebaliknya
jika
F (D) tidak dapat difaktorkan maka tetap ditulis sebagai F ( D)  0 .
Bentuk
( D  m1 )( D  m2 )( D  m3 )......(D  mn )  0
dinamakan
persamaan
karakteristik dengan m m1 , m 2 , m3 ,..., mn disebut akar-akar persaman karakteristik.
Perlu diingat bahwa tidak penting menulis persamaan karakteristik, karena akarakarnya dapat dibaca secara langsung dari fungsi operator diferensial.
Persamaan karakteristik f (m)  0 setelah ditentukan akar-akarnya, untuk
menentukan selesaian umum persaamaan
Po
dny
d n 1 y
d n 2 y
d n 3 y
dy

P

P

P
 .....  Pn q
 Pn y  0
1
2
3
n
n 1
n 2
n 3
dx
dx
dx
dx
dx
ditentukan
dengan y  ci e mi x dimana mi akar persamaan karakteristik yang telah diketahui.
Karena m1 , m 2 , m3 ,....., mn adalah akar-akar persamaan karakteristik, maka jenis
akar-akarnya adalah bilangan nyata (real) dan tidak nyata (imajiner).
Untuk lebih jelasnya diberikan penjelasan sebagai berikut:
A. Andaikan m1  m 2  m3  ....  m n 1  m n  bilangan real ( R) ,
maka primitif persamaan diferensialnya
y  c1e m1x  c 2 e m2 x  c3 e m3 x  .....  c n1e mn 1 x  c n e mn x
sehingga melibatkan n selesaian yang bebas linear dan n konstanta
sebarang.
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo119
y  c1e m1x  c 2 e m2 x  c3 e m3 x  .....  c n1e mn 1 x  c n e mn x adalah
Jika
selesaian
maka y  c1e m1 x , y  c 2 e m2 x , y  c3 e m3 x ,....., y  c n 1e mn 1 x , y  c n e mn x
juga selesaian dari persamaan.
Perhatikan beberapa contoh berikut ini:
1.
Tentukan selesaian persamaan diferensial
d2y
dy
 5  6y  0
2
dx
dx
Jawab
Persamaan di atas dapat dinyatakan dalam bentuk
D
2

 5D  6 y  0
Sehingga persamaan karakteristik
D 2  5D  6  0
 ( D  2)( D  3)  0
akar-akarnya m1  2 dan m m2  3 , keduanya berberda.
Primitif persamaan di atas adalah y  c1e 2 x  c 2 e 3 x
Karena y  c1e 2 x  c 2 e 3 x adalah selesaian
Maka y  c1e 2 x dan y  c 2 e 3 x juga selesaian
2.
Tentukan selesaian persamaan diferensial
2
d2y
dy
 11  21y  0
2
dx
dx
Jawab
Persamaan di atas dapat dinyatakan dalam bentuk
2 D
2

 11D  21 y  0
Sehingga persamaan karakteristik
2 D 2  11D  21  0
 (2 D  3)( D  7)  0
akar-akarnya persamaan karakteristik m1 
3
dan m2  7 , keduanya
2
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo120
berberda.
Primitif persamaan di atas adalah y  c1e
3
3
x
2
 c 2 e 7 x
x
Karena y  c1e 2  c 2 e 7 x adalah selesaian
3
x
Maka y  c1e 2 dan y  c 2 e 7 x juga selesaian persamaan.
3.
Tentukan selesaian persaamaan
d4y
d3y d2y
dy

4
 2 6
0
4
3
dx
dx
dx
dx
Jawab
Persamaan di atas dapat dinyatakan dalam bentuk
D  4D  D  6D y  0 , sehingga persamaan karakteristiknya adalah:
D D  4 D  D  6  0
4
3
3
2
2
 D( D  1)( D  2)( D  3)  0
Akhirnya diperoleh akar-akar persamaan karaktristiknya
m1  0, m2  1, m3  2 dan m 4  3 .
Karena m1  m 2  m3  m4 dan bilangan real ( R)


Sehingga selesaian persamaan D 4  4 D 3  D 2  6 D y  0 adalah
y  c1e 0 x  c 2 e1x  c3 e 2 x  c 4 e 3 x .
 y  c1  c 2 e x  c3 e 2 x  c 4 e 3 x .
x
Karena y  c1  c 2 e  c3 e
2x
 c 4 e 3 x . Maka
y  c1 , y  c 2 e x , y  c3 e 2 x , y  c 4 e 3 x . juga selesaian.
4.
Tentukan selesaian persamaan
d3y d2y
dy
 2 2
0
3
dx
dx
dx
Jawab
Persamaan di atas dapat dinyatakan dalam bentuk
D
3

 D 2  2 D y  0 , sehingga persamaan karakteristiknya adalah:
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo121


D D2  D  2  0
 D( D  1)( D  2)  0
Akhirnya diperoleh akar-akar persamaan karaktristiknya
m1  0,m 2  1, m3  2
Karena m1  m 2  m3 dan bilangan real ( R)


Sehingga selesaian persamaan D 3  D 2  2 D y  0 adalah
y  c1e 0 x  c2 e 1x  c3e 2 x .
 y  c1  c2 e  x  c3e 2 x .
Karena y  c1  c 2 e
x
 c3 e 2 x . Maka
y  c1 , y  c 2 e  x , y  c3 e 2 x . juga selesaian.
B. Andaikan m1  m 2  m3  ....  mn 1  mn  m  bilangan real ( R) ,
maka primitif persamaan diferensialnya
y  (c1  c 2 x  c3 x 2  .....  c n 1 x n 2  c n x n 1 )e mx
dalam hal ini selesaian persamaan melibatkan konstanta sebarang dan m kali
hubungan diantaranya.
Karena
y  (c1  c 2 x  c3 x 2  .....  c n 1 x n 2  c n x n 1 )e mx
 y  c1e mx  c 2 xe mx  c3 x 2 e mx  .....  c n1 x n 2 e mx  c n x n1e mx
Maka
y  c1e mx , y  c 2 xe mx , y  c3 x 2 e mx ,.....y  c n1 x n 2 e mx , y  c n x n1e mx
Juga selesaian persamaan yang akar-akar persamaan karakteristiknya
memenuhi
m1  m 2  m3  ....  mn 1  mn  m  bilangan real ( R)
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo122
Perhatikan contoh berikut ini
1.
Tentukan selesaian persamaan
d2y
dy
 4  4y  0
2
dx
dx
Jawab
Persamaan di atas dinyatakan dalam bentuk
( D 2  4 D  4) y  0
 ( D  2)( D  2)  0
Sehingga persamaan karakteristiknya adalah:
( D  2)(D  2)  0 sehingga akar persamaan karakteristiknya
m1  m 2  2
Diperoleh akar-akar persamaan karakteristik m1  m 2
Sehingga selesaian persamaan di atas adalah
y  (c1  c 2 x )e 2 x
Karena
y  (c1  c 2 x )e 2 x
 y  c1e 2 x  c 2 xe 2 x
Maka y  c1e 2 x dan y  c 2 xe 2 x juga selesaian
2.
Tentukan selesaian persamaan
d2y
dy
 6  9y  0
2
dx
dx
Jawab
Persamaan di atas dinyatakan dalam bentuk
D
2

 6D  9 y  0
 D  3D  3 y  0
Sehingga persamaan karakteristik
D  3)( D  3  0
Diperoleh akar-akar persamaan karakteristik m1  m 2  3
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo123
Akibatnya primitif persamaan di atas adalah
y  (c1  c 2 x)e 3 x
Karena y  (c1  c 2 x)e 3 x selesaian maka
y  c1e 3 x dan y  c 2 xe 3 x juga selesaian persamaan.
3.
Tentukan selesaian persamaan
9
d2y
dy
 24  16 y  0
2
dx
dx
Jawab
Persamaan di atas dinyatakan dalam bentuk
9 D 2 y  24 Dy  16 y  0
 9 D 2 y  24 Dy  16 y  0
Sehingga persamaan karakteristik
9 D 2  24 D  16  0
 (3D  4)(3D  4)  0
Diperoleh akar-akar persamaan karakteristik m1  m 2  
4
3
Akibatnya primitif persamaan di atas adalah
y  (c1  c 2 x)e
4
 x
3
Karena y  (c1  c 2 x)e
4
 x
3
selesaian maka y  c1e
4
 x
3
dan y  c 2 xe
4
 x
3
juga
selesaian persamaan.
4.
Tentukan selesaian persamaan
d5y
d4y
d3y
d2y

6

12

8
0
dx 5
dx 4
dx 3
dx 2
Jawab
Bentuk lain persamaan di atas adalah
D
5

y  6 D 4  12 D 3  8 D 2 y  0


 D 2 D 3 y  6 D 2 y  12 Dy  8 y  0
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo124


 D 2 D 3  6 D 2  12 D  8 y  0
Sehingga persamaan karakteristik persamaan di atas adalah


D 2 D 3  6 D 2  12 D  8  0
 D 2 ( D  2)( D  2)( D  2)  0
 D 2 ( D  2) 3  0
Dan diperoleh akar-akar persamaan karakteristiknya m1  m 2  0
dan m3  m4  m5  2 Sehingga selesaian umum persamaan diferensial
di atas adalah
y  c1  c 2 x e 0 x  (c3  c 4 x  c 5 x 2 )e 2 x
y  c1  c 2 x   (c3  c 4 x  c5 x 2 )e 2 x
Karena
y  c1  c 2 x   (c3  c 4 x  c5 x 2 )e 2 x selesaian persamaan, maka:
y  c1 , y  c 2 x, y  c3 e 2 x , y  c 4 xe 2 x , dan y  c5 x 2 e 2 x
juga selesaian persamaan.
C.
Andaikan terjadi kombinasi hubungan antar akar persamaan karakteristik
dalam bentuk 1 dan 2 di atas yaitu:
m1  m 2  m3  m4  ....  m n1  mn
maka primitifnya
y  c1e mx  (c 2  c3 x  c 4 x 2 )e mx  ...  e mn 1 x  c n e mx
Perhatikan contoh berikut
1
Tentukan selesaian persamaan
d4y d3y
d2y
dy


9

11
 4y  0
dx
dx 4 dx 3
dx 2
Jawab
Persamaan di atas dapat dinyatakan dalam bentuk
d4y d3y
d2y
dy


9
 11  4 y  0
4
3
2
dx
dx
dx
dx
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo125
 D 4 y  D 3 y  9D 2 y  11Dy  4 y  0
 ( D 4  D 3  9D 2  11D  4) y  0
Sehingga persamaan karakteristiknya adalah
D 4  D 3  9D 2  11D  4  0
 D 4  D 3  9 D 2  11D  4  0
 ( D  1)(D  1)(D  1)(D  4)  0
Akar persamaan karakteristik m1  m 2  m3  1 dan m4  4
Sehingga selesaian umum persamaan di atas adalah


y  c1  c 2 x  c3 x 2 e  x  c 4 e 4 x
Karena y  c1  c 2 x  c3 x 2 e  x  c 4 e 4 x
selesaian persamaan, maka
y  c1e 2 x , y  c 2 xe 2 x , y  c3 x 2 e  x , dan y  c 4 e 4 x
juga selesaian persamaan diferensial yang diketahui
2.
Tentukan selesaian persamaan
d4y
d3y
d2y
dy
 6 3  12 2  8  0
4
dx
dx
dx
dx
Jawab
Persamaan di atas dapat dinyatakan dalam bentuk
d4y
d3y
d2y
dy

6

12
8  0
4
3
2
dx
dx
dx
dx
 D 4 y  6 D 3 y  12D 2 y  8Dy  0
 ( D 4  6D 3  12D 2  8D) y  0
Sehingga persamaan karakteristiknya adalah
D 4  6D 3  12D 2  8D  0
 D( D 3  6 D 2  12D  8)  0
 D( D  2)(D  2)(D  2)  0
Akar persamaan karakteristik m1  0, dan m 2  m3  m4  2
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo126
Sehingga selesaian umum persamaan di atas adalah

 c

 c x  c x e
 c  c x  c x e
y  c1e 0 x  c 2  c3 x  c 4 x 2 e 2 x
 y  c1
2
2
Karena y  c1
3
2x
4
2
2
3
2x
4
selesaian persamaan, maka
y  c1 , y  c 2 e 2 x , y  c 3 xe 2 x , dan y  c 4 x 2 e 2 x
juga selesaian persamaan diferensial yang diketahui.
D. Jika akar-akar persamaan karakteristik tidak real (imajiner) dan misal akarakarnya dinyatakan dalam bentuk
m1.2  a  bi maka diperoleh
y  c1e ( a bi ) x  c 2 e ( a bi ) x
y  e ax (c1e bix  c 2 e bix )
Karena e x  1  x
e bix  1  (bix) 
 1  (bix ) 
bix
(bix) 2 (bix ) 3 (bix ) 4 (bix) 5 (bix) 6




 ...
2!
3!
4!
5!
6!
(b 2 x 2 )
 ..... dan
2!
e   1  (bix) 
 1  (bix ) 
x2 x3 x4 x5 x6 x7





 ... , maka:
2! 3! 4! 5! 6! 7!
(bix) 2 (bix ) 3 (bix ) 4 (bix) 5 (bix) 6




 ...
2!
3!
4!
5!
6!
(b 2 x 2 )
 .....
2!
sehingga
y  e ax (c1e bix  c 2 e bix )
y  e ax (c1 cos bx  c 2 sin bx)
Perhatikan contoh berikut:
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo127
1.
Tentukan selesaian persamaan
d2y
dy
 2  5y  0
2
dx
dx
Jawab
Persamaan diferensial di atas mempunyai persamaan karakteristik
D 2  2D  5  0
Sehingga akar-akarnya adalah m1.2 
2  4i
2
Atau m1..2  1  2i
Dengan kata lain m1.  1  2i atau m1.  1  2i
Sehingga
selesaian persamaan di atas adalah:
y  e x (c1 cos 2 x  c 2 sin 2 x )
2.
Tentukan selesaian umum persammaan
D
2

 1)( D 2  D  1  D  3 y  0
Jawab
Persamaan diferensial di atas mempunyai persamaan karakteristik
D
2

 1)( D 2  D  1 D  3  0
Dan diperoleh akar-akarnya
m12  0  i , m34 
1 i 3
, m5  3
2
Selesaian umum persamaan
0x
y  e (c1 cos x  c 2 sin x)  e 
E
1
x
2
(c3 cos
x 3
x 3
 c 4 sin
)  c5 e 3 x
2
2
Akar-akar persamaan karakteristika gabungan real dan tidak real, maka
selesaian umumnya menggunakan perpaduan bentuk 1, 2, 3, dan 4 di atas.
Perhatikan contoh-contoh berikut:
1.
Tentukan selesaian umum perasamaan diferensial
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo128
(D 4  4D 2 ) y  0
Jawab
Persamaan diferensial di atas mempunyai persamaan karakteristik
(D 4  4D 2 ) y  0
 ( D 4  4D 2 )  0
 D 2 ( D 2  4)  0
akar-akarnya adalah
m1  m 2  0 , dan m3.4  0  2i
Sehingga diperoleh selesaian umum ( D 4  4 D 2 ) y  0 adalah
y  (c1  c 2 x )e 0 x  e 0 x (c3 cos 2 x  c 4 sin 2 x)
2.
Tentukan selesaian persamaan
D  2 ( D  2)(D 2  16) y  0
Jawab
Persamaan diferensial di atas mempunyai persamaan karakteristik
D  2 ( D  2)( D 2  16)  0`
Sehingga akar-akar persamaan karakteristik
m1  2, m3  2, m3.4  0  4i
Dan primitifnya adalah
y  (c1  c 2 x )e 2 x  e 0 x (c3 cos 4 x  c 4 sin 4 x )
2) Persamaan Diferensial Tidak Homogen dengan Koefisien Konstan
Bentuk umum persamaan diferensial linear tidak homogen dengan
koefisien konstan adalah
Po
dny
d n 1 y
d n 2 y
d n 3 y
dy

P

P

P
 .....  Pn1
 Pn y  Q( x )
1
2
3
n
n 1
n 2
n 3
dx
dx
dx
dx
dx
Dengan Po  0, P1 , P2 , P3, ...........Pn1 , Pn adalah konstanta dan Q ( x)  0
d2y
d3y
d n1 y
dny
dy
2
3
n 1
karena
 Dy ,
D y,
 D y ,.....,
 D y , dan
 Dn y
2
3
n 1
n
dx
dx
dx
dx
dx
maka persamaan
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo129
Po
dny
d n 1 y
d n 2 y
d n 3 y
dy

P

P

P
 .....  Pn1
 Pn y  Q( x )
1
2
3
n
n 1
n 2
n 3
dx
dx
dx
dx
dx
dapat dinyatakan dalam bentuk:
Po D n y  P1 D n 1 y  P2 D n 2 y  P3 D n 3 y  .....  Pn1 Dy  Pn y  Q( x)
 ( Po D n  P1 D n1  P2 D n 2  P3 D n 3  .....  Pn 1 D  Pn ) y  Q( x )
 F ( D ) y  Q( x)
Persamaan yang berbentuk F ( D ) y  Q( x) dengan Q ( x)  0 , maka bentuk
umumnya menjadi
Po
dny
d n 1 y
d n 2 y
d n 3 y
dy

P

P

P
 .....  Pn1
 Pn y  Q( x )
1
2
3
n
n 1
n 2
n 3
dx
dx
dx
dx
dx
 ( Po D n  P1 D n 1  P2 D n 2  P3 D n 3  .....  Pn 1 D  Pn ) y  Q( x )
Contoh
1.
d2y
dy
 3  2 y  10e 4 x
2
dx
dx


2. D 2  4 D  4 D  3 y  5e 2 x
d2y
dy
3.
2
 cos 3 x
2
dx
dx
Selesaian persamaan diferensial linear tidak homogen dengan koefisien konstan
dinyatakan dalam bentuk:
Y  y (c )  y ( p )
y(c) disebut fungsi komplemen dan merupakan selesaian dari F ( D) y  0 ,
y(p) disebut selesaian khusus (particular solution).
Dengan demikian untuk menentukan selesaian
Po
dny
d n 1 y
d n 2 y
d n 3 y
dy

P

P

P
 .....  Pn 1
 Pn y  Q ( x)
1
2
3
n
n 1
n 2
n 3
dx
dx
dx
dx
dx
Dengan Po  0, P1 , P2 , P3 ,......., Pn 1 , Pn adalah konstana dan Q ( x)  0
Untuk menentukan y ( p ) , dapat dilakukan beberapa cara yaitu:
a) menggunakan metode invers fungsi operator,
b) metode
1
sebagai jumlah n pecahan parsial,
F ( D)
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo130
c) metode variasi paramater,
d) metode koefisien tak tentu, dan
e) metode integral khusus dimana Q ( x)  0 mempunyai bentuk yang sangat
spesifik.
Metode Invers Fungsi Operator
Misal F ( D ) y  Q ( x) adalah persamaan diferensial linear tidak homogen dengan
koefisien konstan, maka selesaiannya Y  y (c )  y ( p )
setelah ditentukan
y (c ) selanjutnya
F ( D) y  Q ( x)
y
Q( x )
F (D)
Misal F ( D )  ( D  m1 )( D  m2 )( D  m3 )....( D  mn1 )( D  mn ) maka
y
Q( x )
( D  m1 )( D  m2 )( D  m3 )...(D  mn )
misal u 
v
1
Q( x) -------------- (persamaan diferensial linear)
( D  mn )
1
u ----------- (persamaan diferensial linear)
( D  mn 1 )
..................................
z
1
t
( D  m1 )
--------- (persamaan diferensial linear) yang selesaiannya
telah dijelaskan pada bab III
Misal u 
1
Q( x)
( D  mn )
 D  mn u  Q (x )
Jika m1  m2  m3  .....  mn 1  mn  bilangan real
n
maka y ( P )  e m1 x  e ( m 2  m1 ) x  e ( m3 m 2 ) x  ..... Q ( x )e  mn x dx 
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo131
Jika m1  m2  m3  ....  mn 1  mn  bilangan real
n
maka y ( P)  e m x    ..... Q( x )e  mx dx 
1
Perhatikan beberapa contoh berikut ini
1. Tentukan selesaian persamaan diferensial
d2y
dy
 3  2 y  10e 4 x
2
dx
dx
Jawab
Persamaan diferensial di atas mempunyai persamaan karakteristik
D 2  3D  2  0
 ( D  1)( D  2)  0
Sehingga akar-akarnya nyata yaitu m1  1, m 2  2
Dan fungsi komplemennya y (c)  c1e x  c 2 e 2 x
Selesaian khususnya
y ( p) 
1
Q( x)
F (D)
 y( p) 
1
10e 4 x
( D  1)( D  2)
 y ( p)  e x  e ( 21) x  10e 4 x e 2 x dx 
2
 y ( p )  e x  e x  10e 2 x dx.dx
 y ( p )  e x  e x 5e 2 x dx
 y ( p )  5e x  e 3 x dx
1
 y ( p )  5e x  e 3 x
 3
 y ( p) 
5 4x
e
3
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo132
Sehingga selesaian persamaan
d2y
dy
 3  2 y  10e 4 x adalah
2
dx
dx
Y  y (c )  y ( p )
Y  c1e x  c 2 e 2 x 
5e 4 x
3
2. Tentukan selesaian umum persamaan diferensial
d3y
d2y
dy

3
 3  y  x2  x 1
3
2
dx
dx
dx
Jawab
Persamaan diferensial di atas mempunyai persamaan karakteristik
D 3  3D 2  3D  1  0
 ( D  1)( D  1)( D  1)  0
Sehingga akar-akarnya nyata yaitu m1  m 2.  m3  1
Dan fungsi komplemennya y (c)  (c1  c 2 x  c 3 x 2 )e x
Selesaian khususnya
y ( p) 
1
Q( x)
F (D)
 y( p) 
1
( x 2  x  1)
( D  1)( D  1)( D  1)
 y ( p )  e x    Q ( x)e  x dx 
3
 
 y ( p )  e x    ( x 2  x  1)  d e  x dx 
2
 y ( p )  e x   ( e  x ( x 2  x  1)  e  x (2 x  1)  2e  x )dx 


 y ( p )  e x    e  x ( x 2  x  1  e  x (2 x  1)  2e  x )dx 

 y ( p )   e   e x  3x  4 dx 
 y ( p )  e   x  3 x  4d (e ) dx

2
2
 y ( p )   e x   e  x x 2  x  1  2 x  1  2 dx 
x
x
x
2
2
2
2
x
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo133
 y ( p )  e x  e  x ( x 2  3 x  4)   e  x ( 2 x  3)dx


 y ( p )  e x  e  x ( x 2  3 x  4)  e  x ( 2 x  3   e  x 2dx)
 y ( p )  e x  e  x ( x 2  3 x  4)  e  x ( 2 x  3)  2e  x )dx
 y ( p )  e x  e  x ( x 2  3x  4  2 x  3  2)dx
 y ( p )  e x  e  x ( x 2  5 x  9) dx
 y ( p )   e x  ( x 2  5 x  9) d ( e  x )


 y ( p )   e x e  x ( x 2  5 x  9)   e  x (2 x  5 dx

e
e

 y ( p )  e x e  x ( x 2  5 x  9  e  x ( 2 x  5)   e  x 2dx
 y( p)  e x
 y( p)  e x

x
( x 2  5 x  9  2 x  5  2) dx
x
( x 2  7 x  16

 y ( p )   x 2  7 x  16


Sehingga selesaian persamaan
d3y
d2y
dy

3
 3  y  x 2  x  1 adalah
3
2
dx
dx
dx
Y  y (c )  y ( p )
y (c)  (c1  c 2 x  c3 x 2 )e x  x 2  7 x  16
3. Tentukan selesaian persamaan diferensial
d3y
d2y
dy
4 2 4
 e2x
3
dx
dx
dx
Jawab
Persamaan diferensial di atas mempunyai persamaan karakteristik
D 3  4D 2  4D  0
 D ( D 2  4 D  4)  0
 D( D  2)( D  2)  0
Sehingga akar-akarnya nyata yaitu m1  0, m2.3  2
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo134
Dan fungsi komplemennya y (c)  c1  (c 2  c3 x )e 2 x
Selesaian khususnya
y ( p) 
1
Q( x)
F (D)
 y( p) 
1
e2x
D( D  2)( D  2)
 y( p) 
1
e2x
2
2( D  2)
 y( p) 
1 x 2 2x
e
2 2!
 y( p) 
x 2e2x
4
Sehingga selesaian persamaan
d3y
d2y
dy

4
4
 e 2 x adalah
3
2
dx
dx
dx
Y  y (c )  y ( p )
Y  c1  (c 2  c3 x)e
2x
x 2e2x

4
Metode Penjumlahan n Pecahan Parsial.
y
1
Q ( x)
( D  m1 )( D  m2 )( D  m3 )...( D  mn )
dinyatakan dalam bentuk penjumlahan n pecahan parsial yaitu
 A1
A3
An1
An
A2
y  


 ... 

D  mn1 D  mn
 D  m1 D  m2 D  m3

Q( x)

 A3 
 An1 
 An
 A1 
 A2 
Q( x)  
Q( x)  
Q( x)  ...  
Q( x)  
 y  
 D  m1 
 D  m2 
 D  m3 
 D  mn 1 
 D  mn

Q( x)

dan masing-masing merupakan persamaan diferensial linear tingkat 1 yang
selesaiannya sudah dibahas pada bab III. yaitu dinyatakan dalam bentuk
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo135
y  A1e m1 x  Q ( x)e  m1 x dx  A2 e m2 x  Q( x)e  m2 x dx  A3 e m3 x  Q( x)e  m3 x dx  ...  An e mn x  Q( x)e  mn x dx
1. Tentukan selesaian persamaan
d2y
dy
 4  3y  2
2
dx
dx
Jawab
Persamaan diferensial di atas mempunyai persamaan karakteristik
D 2  4D  3  0
Sehingga akar-akarnya adalah m1  1 atau m2  3
Fungsi komplemennya adalah y (c)  c1e x  c 2 e 3 x
Selesaian khususnya ditentukan dengan menggunakan metode penjumlahan
n pecahan parsial.
y ( p) 
1
Q( x)
D  4D  3
y ( p) 
1
.2
( D  1)( D  3)
2
B 
 A
y ( p)  

2
 D 1 D  3 
 A( D  3)  B( D  1) 
y ( p)  
2
D 2  4D  3


1
1
Diperoleh A   , B 
2
2
Sehingga
  1 / 2 1/ 2 
y ( p)  

2
 D 1 D  3 
1
1
y ( p)   e x  2e  x dx  e 3 x  2e 3 x dx
2
2
1
1  2

y ( p)   e x  2e  x  e 3 x   e 3 x 
2
2  3



Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo136
y ( p)  1 
y ( p) 
2
3
1
3
Sehingga selesaian persamaan
d2y
dy
 4  3 y  2 adalah
2
dx
dx
Y  y (c )  y ( p )
Y  c1e x  c 2 e 3 x 
1
3
2. Tentukan selesaian persamaan
d2y
dy
 3  2 y  e3x
2
dx
dx
Jawab
Persamaan diferensial di atas mempunyai persamaan karakteristik
D 2  3D  2  0
Sehingga akar-akarnya adalah m1  1 atau m2  2
Fungsi komplemennya adalah y (c)  c1e x  c 2 e 2 x
Selesaian khususnya ditentukan dengan menggunakan metode penjumlahan
n pecahan parsial.
y ( p) 
1
Q( x)
D  3D  2
y ( p) 
1
.e 3 x
( D  1)( D  2)
2
B  2x
 A
y ( p)  

e
 D 1 D  2 
 A( D  2)  B( D  1)  3 x
y ( p)  
e
D 2  3D  2


Diperoleh A  1, B  1
Sehingga
1  3x
 1
y ( p)  

e
 D 1 D  3 
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo137
y ( p)  e x  e 3 x e  x dx  e 2 x  e 3 x e 2 x dx
1

y ( p )  e x  e 2 x   e 2 x e x
2

 
1
y ( p)   e 3 x  e 3 x
2
y ( p) 
1 3x
e
2
Sehingga selesaian persamaan
d2y
dy
 3  2 y  e 3 x adalah
2
dx
dx
Y  y (c )  y ( p )
1
Y  c1e x  c 2 e 2 x  e 2 x
2
3. Tentukan selesaian persamaan
d2y
dy
 5  4 y  (3  2 x )
2
dx
dx
Jawab
Persamaan diferensial di atas mempunyai persamaan karakteristik
D 2  5D  4  0
Sehingga akar-akarnya adalah m1  1 atau m 2  4
Fungsi komplemennya adalah y (c)  c1e  x  c 2 e 4 x
Selesaian khususnya ditentukan dengan menggunakan metode penjumlahan
n pecahan parsial.
y ( p) 
1
Q( x)
D  5D  4
y ( p) 
1
.(3  2 x)
( D  1)( D  4)
2
B 
 A
y ( p)  

(3  2 x)
 D 1 D  4 
 A( D  4)  B( D  1) 
y ( p)  
(3  2 x )
D 2  5D  4


Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo138
1
1
Diperoleh A  , B  
3
3
Sehingga
1/ 3 
 1/ 3
y ( p)  

(3  2 x)
 D 1 D  4 
1
1
y ( p)  e  x  (3  2 x )e x dx  e  4 x  (3  2 x)e 4 x dx
3
3
1
1
1
1
3

y ( p)  e  x 3e x  2 xe x  2e x  e 4 x  e 4 x  xe 4 x  e 4 x 
3
3
2
8
4


y ( p) 

11 1
 x
8 2
Sehingga selesaian persamaan
d2y
dy
 5  4 y  (3  2 x ) adalah
2
dx
dx
Y  y (c )  y ( p )
Y  c1e  x  c 2 e  4 x 
1
11
x
2
8
Metode Variasi Parameter
Selesaiannya
Y  y (c )  y ( p )
Fungsi komplemen
y (c )  c1 y1 ( x )  c2 y 2 ( x )  c3 y3 ( x )  ...  cn 1 yn 1 ( x )  cn yn ( x )
Diperoleh hubungan dasar
y ( p )  L1 ( x ) y1 ( x)  L2 ( x) y2 ( x )  L3 ( x ) y3 ( x )  ...  Ln1 ( x) y n1 ( x )  Ln ( x ) y n ( x)
dengan mengganti C dengan fungsi x yang tidak diketahui, yaitu L .
Metode ini terdiri dari cara untuk menentukan L sedemikian sehingga
y ( p )  L1 ( x ) y1 ( x)  L2 ( x) y2 ( x )  L3 ( x ) y3 ( x )  ...  Ln1 ( x) y n1 ( x )  Ln ( x ) y n ( x)
menjadi
y (c )  c1 y1 ( x )  c2 y 2 ( x )  c3 y3 ( x )  ...  cn1 y n1 ( x )  cn yn ( x )
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo139
Perhatikan beberapa contoh di bawah ini:
Tentukan selesaian persamaan
1.
( D 2  2 D ) y  e x sin x
Jawab
Persamaan diferensial di atas mempunyai persamaan karakteristik
D 2  2 D  0 atau D ( D  2)  0 dengan akar-akar nyata dan berbeda yaitu
m1  0, m2  2 sehingga fungsi kompelennya adalah
y (c)  c1  c 2 e 2 x . Untuk menentukan y(p) selanjutnya dibentuk hubungan
y ( p)  L1  L2 e 2 x
dengan menurunkan Dy  2 L2 e 2 x  ( L1'  L'2 e 2 x ) dan
misal L1'  L'2 e 2 x  0 .......(1)
Karena Dy  2 L2 e 2 x , D 2 y  4 L2 e 2 x  2 L'2 e 2 x dengan memilih
2 L'2 e 2 x  Q ( x)  e x sin x .......(2)
Dari (2) diperoleh
Jadi L'2 
1 x
1
e sin x dan L2   e  x (sin x  cos x)
2
4
1
1

Dari (1) karena L1'   L'2 e 2 x maka L1'   e  x sin x e x   e x sin x
2
2

1
Didapat L1   e x (sin x  cos x)
4
Selesaian persamaan ( D 2  2 D ) y  e x sin x adalah
Y  y (c)  y ( p )
1
1
1
 1

= c1  c 2 e 2 x  e x sin x  e x cos x    e  x sin x  e  x cos x e 2 x
4
4
4
 4

1
= c1  c 2 e 2 x  e x sin x
2
2. Tentukan selesaman persamaan
( D 3  D ) y  csc x
Jawab
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo140
Persamaan diferensial di atas mempunyai persamaan karakteristik
( D 3  D ) y  csc x adalah ( D 3  D)  0 atau D( D 2  1)  0 dengan akarakar nyata dan tidak nyata yaitu 0 dan  i sehingga fungsi kompelennya
adalah
y (c)  c1  c 2 cos x  c3 sin x . Selanjutnya dibentuk hubungan
y ( p)  L1  L2 cos x  L3 sin x dengan menurunkan diperoleh
Dy   L2 sin x  L3 cos x  ( L1'  L'2 cos x  L'3 sin x)
dan
dengan
memisalkan L1'  L'2 cos x  L'3 sin x  0 .......(1)
Karena Dy   L2 sin x  L3 cos x dan
D 2 y   L2 cos x  L3 sin x  ( L'2 sin x  L'3 cos x )
dengan memisalkan  L'2 sin x  L'3 cos x  0 ......(2)
maka
D 3 y  ( L2 sin x  L3 cos x)  ( L'2 cos x  L'3 sin x)
Dengan memisalkan  L'2 cos x  L'3 sin x  Q( x)  csc x .......(3)
Dari (1) dan (3)
Diperoleh L1'  L'2 cos x  L'3 sin x  L1'  ( L'2 cos x  L'3 sin x )  0
atau L1'  csc x dan L1   ln csc x  cot x
dari (2) dan (3)
diperoleh L'3  1 dan L'2   cot x
sehingga L3   x dan L2   ln sin x
Selesaian persamaan di atas adalah
Y  y (c)  y ( p )
= c1  c 2 cos x  c 3 sin x  ln csc x  cot x  cos x ln sin x  x sin x
3. Tentukan selesaian persamaan
( D 2  6 x  9) y  e 3 x x  x
Jawab
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo141
Persamaan karakteristiknya adalah
D 2  6 D  9  0 atau ( D  3)( D  3)  0 dengan akar-akar nyata dan sama
yaitu m1  m 2  3 , sehingga fungsi komplemen
y (c)  c1  c 2 x e 3 x Selanjutnya dibentuk hubungan
y ( p)  ( L1  L2 x)e 3 x dengan menurunkan diperoleh
Dy  (3L1  L2 )e 3 x  3L2 xe 3 x  ( L1' e 3 x  L'2 xe 3 x )
Dengan memisalkan L1' e 3 x  L'2 xe 3 x  0 ......(1)
Maka D 2 y  (9 L1  6 L2 )e 3 x  9 L2 xe 3 x  (3L1'  L'2 x )e 3 x  3L'2 xe 3 x
Dengan memisalkan (3L1'  L'2 x)e 3 x  3L'2 xe 3 x  e 3 x x 2
Dari (1) dan (2) diperoleh
L1'   x 1 dan L'2  x 2 sehingga L1   ln x dan L2   x 1
Selesaian persamaan di atas adalah
Y  y (c)  y ( p )
= c1  c 2 x e 3 x + ( ln x  x 1 x )e 3 x
= c1  c 2 x e 3 x  e 3 x ln x  e 3 x
Metode Koefisien tak Tentu
Yang dimaksud dengan metode koefisien tak tentu adalah membuat hubungan
dasar y  Ar1 ( x)  Br2 ( x )  Cr3 ( x )  ....  Grn ( x)
Dimana r1 ( x ), r2 ( x ), r3 ( x), ...rn ( x ) adalah suku-suku Q dan fungsi-fungsi ini
muncul dari suku-suku Q dengan menurunkannya dan A, B, C, ....G adalah
konstanta.
Misal persamaannya f ( D ) y  x 3 maka y  Ax 3  Bx 2  Cx  D
Misal persamaannya f ( D ) y  e x  e 3 x maka y  Ae x  Be 3 x
Misal persamaannya f ( D ) y  sin ax maka y  A sin ax  B cos ax
Misal persamaannya f ( D ) y  sec x maka metode ini tidak dapat digunakan
untuk menentukan selesaiannya.
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo142
Selanjutnya substitusikan
y
kedalam
f ( D ) y maka koefiesien
A, B, C ,...
diperoleh dari menyelesaikan identintas.
Perhatikan contoh berikut:
1.
Tentukan selesaian persamaan
( D 2  2 D ) y  e x sin x
Jawab
Selesaian persamaan Y  y ( c)  y ( p )
Fungsi komplemennya y ( c)  c1  c 2 e x karena persamaan karakteristiknya
adalah ( D 2  2 D )  0 atau D ( D  2)  0
y(p) = Ae x sin x  Be x cos x
dengan menurunkan diperoleh
Dy  ( A  B)e x sin x  ( A  B)e x cos x
D 2 y  2 Be x sin x  2 Ae x cos x sehingga
( D 2  2 D ) y  e x sin x
 (2 Ae x sin x  2 Be x cos x)  e x sin x
Diperoleh -2A=1 dan -2B=0 sehingga selesaian persamaan
2.
Tentukan selesaian persamaan
d2y
dy
 4  5 y  sin x
2
dx
dx
Jawab
Persamaan diferensial di atas mempunyai persamaan karakteristik
( D 2  4 D  5)  0
Sehingga diperoleh
m1.2 
 4  16  20
2
m1.2 
 4  2i
2
m1.2  2  i
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo143
Fungsi komplemen y (c)  c1 cos x  c 2 sin x e 2 x
Selanjutnya ditentukan integral khususnya
y ( p) 
1
sin x
D  4D  5
2
 y( p) 
1
sin x
 1  4D  5
 y( p) 
1
sin x
4D  4
 y( p) 
1 1 D 1
sin x
4 D 1 D 1
 y ( p) 
1 D 1
sin x
4 D2 1
 y( p) 
1 ( D  1)
sin x
4 1 1
1
 y ( p )   ( D  1) sin x
8
1
 y ( p )   (cos x  sin x )
8
Selesaian persamaan
d2y
dy
 4  5 y  sin x
2
dx
dx
Y  y (c)  y ( p )
1
1
Y  (c1 cos x  c 2 sin x)e  2 x  cos x  sin x
8
8
3.
Tentukan selesaian persamaan
d 2 y dy

 y  x2  2x 1
2
dx
dx
Jawab
Persamaan diferensial di atas mempunyai persamaan karakteristik
D2  D 1  0
Sehingga diperoleh
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo144
m1.2 
1  1 4
2
m1.2 
1 i

3
2 2

x 3
x 3

Fungsi komplemen y (c)   c1 cos
 c 2 sin

2
2


Selanjutnya ditentukan integral khususnya
y ( p) 
1
( x 2  2 x  1)
D  D 1
2
 y ( p )  (1  D )( x 2  2 x  1)
 y ( p )  ( x 2  2 x  1)  (2 x  2)
 y ( p )  ( x 2  3)
Selesaian persamaan
d 2 y dy

 y  x2  2x 1
2
dx
dx
Y  y (c)  y ( p )

x 3
x 3
  x2  3
Y   c1 cos
 c 2 sin
2
2 

Metode Integral Khusus Q(x) Berbentuk Sangat Spesifik.
Integral khusus persamaan diferensial f ( D ) y  Q( x) dengan koefisien konstan
dinyatakan dengan y 
1
Q( x) .
F ( D)
Untuk bentuk-bentuk tertentu Q(x) dapat dipandang sebagai bentuk khusus,
1. Jika Q ( x)  e ax maka y 
1
1 ax
Q( x) 
e , F ( a)  0
F (D)
F (a )
2. Jika Q ( x)  sin( ax  b) atau Q( x)  cos(ax  b)
maka y 
1
1
sin( ax  b) 
sin( ax  b), F (a 2 )  0
2
2
F (D )
F (a )
maka y 
1
1
cos(ax  b) 
cos(ax  b), F (a 2 )  0
2
2
F (D )
F (a )
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo145
3. Jika Q ( x)  x n maka
y
1
x n  (ao  a1 D  a 2 D 2  ...  a n D n ) x n , a o  0
F ( D)
Diperoleh dengan mengembangkan
1
dengan pangkat naik D dan
F ( D)
menghilangkan semua suku di atas D n karena D n x m  0
Q ( x )  e ax V ( x ) D n x m  0
4. Jika
y
maka
1
1
e axV  e ax
V
F ( D)
F ( D  a)
1
1
F ' ( D)
xV  x
V
V
F ( D)
F ( D)
F ( D) 2
5. Jika Q ( x)  xV ( x) maka y 


Perhatikan contoh-contoh berikut ini.
1.
Tentukan selesaian persamaan
( D 3  2 D 2  5D  6) y  (e 3 x  3) 2
Jawab
Persamaan diferensial di atas mempunyai persamaan karakteristik
( D 3  2 D 2  5 D  6)  0
 ( D  1)( D  3)( D  2)  0
Fungsi komplemennya adala6h y (c)  c1e x  c 2 e 3 x  c3 e 2 x
Integral khususnya adalah
y ( p) 
y ( p) 
1
3
2
D  2D  5D  6
(e 2 x  3) 2
1
( x 4 x  6e 2 x  9
( D  1)( D  3)( D  2)
e 4 x  6e 2 x  9
y ( p) 
( D  1( D  3)( D  2)
y ( p) 
1
6
9
e 4x 
e2x 
e0x
( D  1)( D  3)( D  2)
( D  1)( D  3)( D  2)
( D  1)( D  3)( D  2)
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo146
y ( p) 
1 4x
6
9
e 
e 2x 
3(1)6
1(1)4
(1)(3)(2)
y ( p) 
e 4 x 6e 2 x 3


18
4
2
Selesaian persamaan ( D 3  2 D 2  5D  6) y  (e 3 x  3) 2 adalah
Y  y (c)  y ( p )
Y  c1e x  c 2 e 3 x  c3 e 2 x 
2.
e 4 x 6e 2 x 3


18
4
2
Tentukan selesaian persamaan
D
2

 4 y  sin 3x
Jawab
Persamaan diferensial di atas mempunyai persamaan karakteristik
( D 2  4)  0
Sehingga diperoleh
m1.2 
0 10  16
2
m1.2  0  2i
Fungsi komplemen y (c)  c1 cos 2 x  c 2 sin 2 x e 0 x
Selanjutnya ditentukan integral khususnya
y ( p) 
1
sin 3x
D 4
2
 y( p) 
1
sin 3 x
 (3) 2  4
1
 y ( p )   sin 3x
5
Selesaian persamaan
d2y
dy
 4  5 y  sin x
2
dx
dx
Y  y (c)  y ( p )
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo147
1
Y  (c1 cos 2 x  c 2 sin 2 x )  sin 3 x
5
3.
Tentukan selesaian persamaan
D
4

 10 D 2  9 y  sin( 2 x  3)
Jawab
Persamaan diferensial di atas mempunyai persamaan karakteristik
D 4  10 D 2  9  0
 ( D 2  1)( D 2  9)  0
Diperoleh akar-akarnya tidak nyata dan berbeda yatu
m1.2   i dan m3.4   3i
Persamaan komplemennya adalah
y (c)  c1 cos x  c 2 sin x   c3 cos 3x  c 4 sin 3x 
Integral khususnya
y ( p) 
1
cos(2 x  3)
( D  1)( D 2  3)
y ( p) 
1
cos(2 x  3)
(3)(5)
2
y ( p)  
1
cos(2 x  3)
15


Selesaian persamaan D 4  10 D 2  9 y  sin( 2 x  3) adalah
Y  y (c)  y ( p )
Y  c1 cos x  c 2 sin x   c 3 cos 3x  c 4 sin 3x  
1
cos 2 x  3
15
Persamaan Diferensial Homogen dengan Koefisien Variabel
Bentuk umum persamaan diferensial linear homogen dengan koefisien variabel
adalah
Po
dny
d n1 y
d n 2 y
d n3 y
dy

P

P

P
 .....  Pnq
 Pn y  Q( x )
1
2
3
n
n 1
n 2
n 3
dx
dx
dx
dx
dx
Dimana Po  0, P1 , P2 , P3 ,......., Pn 1 , Pn adalah fungsi dan Q ( x)  0
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo148
Contoh
1.
x D
3
3

 3x 2 D 2  2 xD  2 y  0
atau dapat ditulis dalam bentuk
 d3y 
 d2y 
dy
x 3  3   3 x 2  2   2 x
 2y  0
dx
 dx 
 dx 
2.

2
y
dy
   x  2  y  0
2 
dx
 dx 
x  22  d
atau dapat ditulis dalam bentuk
( x  2)
2

D 2  ( x  2)  1 y  0
Persamaan Diferensial Tidak Homogen dengan Koefisien Variabel
Bentuk umum persamaan diferensial linear tidak homogen dengan koefisien
variabel dinyatakan dengan
Po
dny
d n1 y
d n 2 y
d n3 y
dy

P

P

P
 .....  Pnq
 Pn y  Q( x )
1
2
3
n
n 1
n 2
n 3
dx
dx
dx
dx
dx
Dimana Po  0, P1 , P2 , P3 ,......., Pn 1 , Pn adalah fungsi dan Q ( x)  0
Contoh
1.

2
y
dy
   x  2  y  (3 x  4)
2 
dx
 dx 
x  22  d
 d3y 
 d2y 
dy
2. x 3  3   3x 2  2   2 x
 2y  1 x
dx
 dx 
 dx 
Cara yang digunakan untuk menentukan selesaian umum persamaan
diferensial homogen dan tidak homogen dengan koefisien konstan dan variabel
adalah dengan metode substitusi yaitu e z  x  z  ln x . Cara ini disebut
metode persamaan Cauchy dan e z  (ax  b)  z  ln ax  b . Cara ini disebut
metode persamaan Legendre.
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo149
Karena
e z  x maka
dz 1

dx x
dan karena
e z  (ax  b) maka
1
.
ax  b
Persamaan linear Cauchy dinyatakan dalam bentuk
n 1
n 2
n 3
dny
y
y
y
dy
n 1 d
n 2 d
n 3 d
Po x
 P1 x
 P2 x
 P3 x
 .....  Pn1 x  Pn y  0
n
n 1
n 2
n 3
dx
dx
dx
dx
dx
n
Dengan Po , P1 , P2 , P3, ...........Pn1 , Pn adalah konstanta sebarang.
Persamaan linear Legendre dinyatakan dalam bentuk
n 1
dny
y
d n 2 y
dy
n 1 d

P
(
ax

b
)

P
(
ax

b
)
 ...  Pn1 (ax  b) x  Pn y  0
1
2
n
n 1
n 2
dx
dx
dx
dx
Dengan Po , P1 , P2 , P3, ...........Pn1 , Pn adalah konstanta sebarang yang merupakan
Po (ax  b) n
keadaan khusus persamaan linear Cauchy yaitu untuk a  1 dan b  0 yang dapat
diubah ke persamaan linear dengan koefisien konstan dan variabel bebasnya
disesuaikan.
Selanjutnya menurut dalil rantai pada kalkulus diferensial diperoleh
dy dy dz

dx dz dx
sehingga
 dy   dy dz   dy  1 
 dy 
1. Dy     
    , sehingga xDy   
 dx   dz dx   dz  x 
 dz 
2. D 2 y 
d  dy  d  1 dy   d  1  dy  1 d  dy  
  
      
 
dx  dx  dx  x dz   dx  x  dz  x dx  dz  
2
2
 d 2 y dy 
 1  dy d y  1  d y dy 
2
2
   2   2   2  2   sehingga x D y   2  
dz 
dz 
 x  dz dz  x  dz
 dz
2
2
2
2

 

3. D 3 y  d  d 2y   d  12  d 2y  dy     d  12  d 2y  dy   12 d  d 2y  dy  

 

dx  dx 
dx  x  dz
dz  
 dx  x  dz
dz 
x dx  dz
dz  
3

 d3y

d2y
d2y
 1  d y
3
3
  3  3  3 2  2 y  sehingga x D y   3  3 2  2 y 
dz
dz
 x  dz

 dz

dan seterusnya.
Dengan cara yang sama diperoleh:
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo150
 d y dy 
 dy 
(ax  b) Dy  a , (ax  b) 2 D 2 y  a 2  2  , dan seterusnya ,
dx 
 dz 
 dx
Berdasarkan substitusi di atas, akhirnya persamaan semua dapat
diselesaikan dengan terlebih dahulu menentukan persamaan karakteristik dan
akar-akarnya sebagaimana yang telah dijelaskan pada bagian awal bab V.
1.
Tentukan selesaian persamaan diferensial
x
2

D 2  3xD  4 y  0
Jawab
Persamaan diferensial di atas diubah menjadi:
 d 2 y dy   dy 
 2    3   4 y  0
dz   dz 
 dz
 d 2 y dy   dy 
  2    3   2 y  0
dz   dz 
 dz
 d 2 y dy

  2 
 2 y   0
dz
 dz

Persamaan diferensial di atas mempunyai persamaan karakteristik
2    2  0 dan akar-akarnya 1 dan -2 (tidak sama)
Sehingga selesaiannya adalah y  c1e z  c 2 e 2 z Karena z  ln x
selesaian
y  c1e
ln x
persamaan
 c2 e
diferensial
x
2

D 2  3xD  2 y  0
maka
adalah
2 ln x
 y  c1 x  c 2 x 2
2.
Tentukan selesaian persamaan diferensial
x D
3
3

 2 xD  2 y  x 2 ln x  3 x
Jawab
Persamaan diferensial di atas diubah menjadi:
d3y
d2y
dy   dy 
 3  3 2  2   2   2 y  x 2 ln x  3x
dx   dz 
dz
 dz
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo151
 d3y

d2y
dy
  2  3 2  4  2 y   x 2 ln x  3 x
dx
dz
 dz

2

d
d
 d

   1 2  2  2  y  ze 2 z  3z
dz
 dz  dz

Persamaan diferensial di atas mempunyai persamaan karakteristik
  12  2  2  0
Sehingga
fungsi
dan akar-akarnya real dan tidak real
komplementernya
y  c1e z  e z c 2 cos z  c3 sin z 
selesaiannya adalah y (c)  c1e z  c 2 e 2 z
dan integral selesaian khususnya adalah
y ( p) 
1
ze 2 z  3 z
d  3d  4d  2
3
 y( p) 
2
1
3
2
d  3d  4d  2
ze 2 z  3 z
 y( p)  e 2 z
1
1
3
z
3
(d  2)  3(d  2)  4(d  2)  2
(d  1)(d  2d  2)
 y( p)  e 2 z
1
1
z 3
z
(d  1)(1)
d  3d  4d  2
2
3
2
1

1

 y ( p )  e 2 z   d  z  3e z  e z e  z dz  e 2 z  z  1  3ze z
2

2

Sehinggan selesaian persamaan diferensial
maka selesaian persamaan
diferensial x 3 D 3  2 xD  2 y  x 2 ln x  3 x adalah
1

y  c1e z  e z c 2 cos z  c 3 sin z   e 2 z  z  1  3 ze z `
2

 y  c1 x  x c 2 cos ln x  c3 sin ln x  
1 2
x ln x  2  3x ln x
2
5.3 Soal-soal
Tentukan selesaian umum persamaan diferensial berikut ini!
1.
y ' ' ' y ' '2 y  0
2. ( D 4  6 D 3  12 D 2  8 D) y  0
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo152
3. ( D 4  D 2 ) y  0
4. ( D 4  6 D 3  13D 2  12 D  4) y  0
5. ( D 6  9 D 4  24 D 2  16) y  0
6. ( D 8  D 6 ) y  0
7. ( y ' ' '64 y ) 2  0
8.
y
9.
y ' ' ' y ' '4 y '4 y  0
(5)

 15 y ( 4)  85 y ' ' '225 y ' '274 y '120  0
10. ( D 4  16) y  0
11. ( D 2  2 D  5) 5 y  0
12. ( D 4  5 D 2  36) y  0
( 5)
( 4)
13. y  5 y  7 y ' ' ' y ' '8 y '4 y  0
14.
y ' ' '3 y ' '3 y ' y  0
15.
( y ' '4 y '4 y )( y '3 y )  0


2
16. D  4 D  3 y  1



17. D 2  D  2 y  2 1  x  x 2
18.
D
2


 3D  2 y  sin e  x
19. D 2  1y  sin 2 x  1 1  cos 2 x 
2
20. D 2  1y  1  e  x 
2
3
21. x y ' ' ' xy ' y  3 x
22.
4
xy ' '( x  2) y '2 y  0

23. 1  x
2
y' '2 xy'2 y  2
24. 2 x  1 y ' '2( 2 x  1) y '12 y  6 x
2
25. x  12 D 2  x  1D  1y  ln x  1 2  ( x  1)
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo153
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo154