Koefisien Binomial

Perluasan permutasi dan
kombinasi
Permutasi dengan pengulangan
Kombinasi dengan pengulangan
Permutasi dengan obyek yang tidak
dapat dibedakan
Distribusi obyek ke dalam kotak
Permutasi dengan pengulangan
Contoh 1
Berapa banyak string panjang n yang dapat
dibentuk dari alfabet ?
Karena ada 26 huruf dalam alfabet dan
karena setiap huruf dapat digunakan
berulang maka ada 26n string panjang n.
Teorema 3
Jumlah permutasi-r dari himpunan dengan n
anggota yang memperbolehkan
pengulangan adalah nr.
Kombinasi dengan pengulangan
Contoh 2
Ada berapa cara untuk memilih 3 buah
dari wadah yang berisi rambutan, duku,
pisang, dan manggis, jika urutan
pengambilan tidak penting, dan setidaknya
ada 4 buah dalam setiap jenis buah.
Contoh 3
Ada berapa cara untuk memilih 5 lembar uang kertas
dari kotak yg memuat lembaran $1, $2, $5, $10,
$20, $50 dan $100?
Asumsikan bahwa urutan pengambilan tidak penting
dan ada sedikitnya 5 lembar uang kertas utk
masing-masing pecahan.
Solusi
• Karena urutan tidak penting dan ke-7 macam uang
kertas tersebut dapat dipilih hingga 5 kali, maka
problem ini sama dengan menghitung kombinasi-5
dengan pengulangan dari himpunan dengan 7
elemen.
• Misal kotak mempunyai 7 bagian dan setiap bagian
menyimpan 1 macam uang, maka bagian-bagian
tersebut dipisahkan oleh 6 pemisah.
Contoh 3 (2)
• Memilih 5 uang kertas sama artinya dengan
menempatkan 6 pemisah dalam 11 tempat
(5* + 6|).
| | | ** | | | ***
: 3 $1 + 2 $10
*| * | ** | | * | |
: $5 + 2 $20 + $50 + $100
Jadi banyaknya cara memilih 5 uang kertas
= banyaknya cara menempatkan 6 pemisah
dalam 11 tempat
= C(11,6)
= 462.
Kombinasi dengan pengulangan (2)
Teorema 4
Terdapat C(n+r-1,r) kombinasi-r dari himpunan
dengan n anggota yang memperbolehkan
pengulangan anggota.
Contoh 4
Ada berapa banyak solusi dari
x1 + x2 + x3=11,
jika x1, x2, x3 bil bulat nonnegatif ?
Solusi
Menghitung solusi = menghitung cara memilih 11
bintang dari himpunan 13 elemen (11 bintang + 2
pemisah). Jadi terdapat C(13,11) macam solusi.
Soal 1
NEW
Apakah hubungan antara solusi
x1 + x2 + x3 + x4 = 6, xi bilangan bulat
nonnegatif,
dengan lintasan terpendek antara A dan B
pada grid ini?
B
A
Soal 2
a. Ada berapa banyak solusi dari
x1 + x2 + x3 ≤ 11,
bila x1, x2, x3 bilangan bulat nonnegatif?
b. Ada berapa banyak solusi dari
x1 + x2 + x3= 11,
bila x1, x2, x3 bilangan bulat
dan x1  1, x2  2 dan x3  3 ?
Solusi:
NEW
a. Tambahkan variabel baru y yang bernilai bulat
nonnegatif, sehingga didapat persamaan
x1 + x2 + x3 +y = 11.
Solusi pada persamaan diatas sama banyak dengan
solusi pada pertaksamaan semula.
b.
Definisikan y1 = x1-1, y2 = x2-2, dan y3 = x3-3.
Maka yi adalah bilangan bulat nonnegatif.
x1 + x2 + x3= 11  (y1+1) +(y2+2) + (y3+3) = 11
 y1+ y2 + y3 = 5.
Permutasi dan kombinasi dengan
pengulangan
Tipe
Pengulangan?
Rumus
r-permutasi
Tidak
n!
(n  r )!
r-kombinasi
Tidak
n!
r!(n  r )!
r-permutasi
Ya
n
r-kombinasi
Ya
(n  r  1)!
r!(n  1)!
r
Permutasi dengan obyek yang tak
dapat dibedakan
Contoh 5
Ada berapa banyak string yang dapat dibuat dengan
mengatur kembali huruf-huruf pada kata SUCCESS ?
Solusi
Karena ada beberapa huruf yg sama, maka jawabannya
tidaklah sama dengan permutasi 7 huruf.
Tapi, banyaknya adalah:
C(7,3) utk menempatkan 3 S dalam 7 tempat;
C(4,2) utk menempatkan 2 C dalam 4 tempat sisanya;
C(2,1) utk menempatkan 1 U dalam 2 tempat sisanya;
C(1,1) utk menempatkan 1 E dalam 1 tempat sisanya;
Jadi banyak string ada:
C(7,3).C(4,2).C(2,1).C(1,1) = 420.
Permutasi dengan obyek yang tak
dapat dibedakan (2)
Teorema 5
Jumlah permutasi dari n obyek,
di mana terdapat
n1 obyek tipe 1,
n2 obyek tipe 2, … , dan
nk obyek k,
adalah:
n!
n1!n2 ! nk !
Distribusi obyek ke dalam kotak
Contoh 6
Ada berapa banyak cara untuk mendistribusikan satu set kartu
pada 4 orang pemain sehingga setiap pemain mendapatkan 5
kartu?
Solusi
• Pemain pertama memperoleh 5 kartu dalam C(52,5) cara
• Pemain kedua memperoleh 5 kartu dalam C(47,5) cara
• Pemain ketiga memperoleh 5 kartu dalam C(42,5) cara
• Pemain keempat memperoleh 5 kartu dalam C(37,5) cara
• Jadi, secara keseluruhan banyaknya cara adalah
C(52,5) . C(47,5) . C(42,5) . C(37,5)

52! 47! 42! 37!
52!




47!5! 42!5! 37!5! 32!5! 5!5!5!5!32!
Distribusi obyek ke dalam kotak
Teorema 6
Banyaknya cara untuk mendistribusikan n
obyek yang dapat dibedakan ke dalam k
kotak yang dapat dibedakan sehingga ni
buah obyek ditempatkan dalam kotak i,
i=1,2,…,k adalah
n!
n1!n2 ! nk !
Koefisien Binomial
Teorema Binomial
(x+y)n = C(n,0)xn + C(n,1)xn-1y +
C(n,2)xn-2y2 +
… + C(n,n-1)xyn-1 + C(n,n)yn.
Bukti
Menghitung banyaknya xn-jyj , untuk suatu
j=0,1,2,…,n, sama dengan memilih (n-j)
buah x dari n suku (sehingga j suku lainnya
dalam perkalian adalah y).
Jadi koefisien xn-j yj adalah C(n,n-j).
Koefisien Binomial (2)
Akibat 1
1. C(n,j) = C(n,n-j).
2. C(n,0) + C(n,1) + … + C(n,n) = 2n.
n
3.
k
(

1
)
 C (n, k )  0
k 0
n
4.
k
n
2
C
(
n
,
k
)

3

k 0
Bukti
1. Banyaknya cara memilih j dari n elemen sama
dengan banyaknya meninggalkan n-j dari n elemen.
2. Pilih x = y = 1.
3. Pilih x = -1 dan y = 1.
4. Pilih x = 1 dan y = 2.
Koefisien Binomial (3)
NEW
Perhatikan bahwa:
 ruas kanan Akibat 1 Bag. 2 menyatakan
banyaknya subhimpunan dari himpunan dengan
n anggota. Dari ruas kiri kita peroleh bahwa
subhimpunan ini dapat dikelompokkan
berdasarkan banyaknya anggota.
 Akibat 1 Bag. 3 menyatakan bahwa
subhimpunan berukuran ganjil sama banyak
dengan subhimpunan berukuran genap.
Identitas dan Segitiga Pascal
Identitas Pascal
Misal n dan k bilangan bulat positif, n  k.
Maka, C(n+1,k) = C(n,k-1) + C(n,k).
Bukti
• Pandang T himpunan dengan n+1 elemen, aT.
• Misal S = T-{a}.
• Ada C(n+1,k) buah subhimpunan dari T yang
mempunyai k elemen.
• Suatu subhimpunan dari T dgn k elemen dapat
memuat a dan (k-1) elemen S atau memuat k
elemen S tanpa memuat a.
• Jadi,
C(n+1,k) = C(n,k-1)+C(n,k).
Identitas Vandermonde
Misal m, n dan r bilangan bulat positif, m  r dan n  r.
r
Maka,
C (m  n, r )   C (m, r  k )C (n, k )
k 0
Bukti
• Pandang dua himpunan A dengan m elemen dan B dengan
n elemen.
• Maka banyaknya cara untuk memilih r elemen dari AUB
adalah C(m+n,r).
• Cara lain untuk memilih r elemen dari AUB adalah dengan
memilih k elemen dari B dan kemudian r-k elemen dari A,
dengan k bilangan bulat, 0≤k≤r.
• Banyaknya cara untuk melakukan pemilihan tersebut adalah
C(m,r-k)C(n,k).
• Jadi banyaknya cara untuk memilih r elemen dari AUB
adalah
r
 C (m, r  k )C (n, k )
k 0
Soal 3
Buktikan
C(2n,n) = C(n,0)2 + C(n,1)2 + … + C(n,n)2
dengan 3 cara:
1. Menggunakan Identitas Vandermonde.
2. Memandang pemilihan n orang dari 2n
orang yg terdiri dari n pria dan n wanita
Soal-soal
1. Latihan 4.5.11
Ada berapa cara untuk memilih 8 uang logam dari sebuah
celengan yang berisi 100 uang logam Rp. 500 yang identik dan
80 uang logam Rp. 1000 yang identik. (Solusi: 9)
2. Latihan 4.5.17
Ada berapa string dari 10 digit terner (0,1, atau 2) yang memuat
tepat dua digit 0, tiga digit 1, dan lima digit 2? (Solusi: 2520)
3. Latihan 4.5.25
Ada berapa banyak bilangan bulat positif yang lebih kecil dari
1000000 dengan jumlah dari digit-digitnya adalah sama dengan
19?
4. Latihan 4.5.13
Suatu penerbit mempunyai 3000 buku Matematika Diskrit. Ada
berapa cara menyimpan buku-buku tersebut ke dalam tiga
gudang jika setiap buku tidak dapat dibedakan? (Solusi:
4504501)
5. Latihan 4.5.39
Ada berapa cara untuk berjalan dari titik (0,0,0) ke (4,3,5) di
ruang xyz dengan melangkah sebesar 1 satuan ke arah x positif,
1 satuan ke arah y positif, dan 1 satuan ke arah z positif.