Simulasi Monte Carlo

Simulasi Monte Carlo
Simulasi Monte Carlo
• Simulasi monte carlo melibatkan penggunaan
angka acak untuk memodelkan sistem, dimana
waktu tidak memegang peranan yang substantif
(model statis)
• Pembangkitan data buatan (artificial data) dengan
menggunakan pembangkit angka acak (pseudo
random numbers generator) dan sebaran komulatif
yang menjadi interes
Simulasi Monte Carlo …
• Pembangkit Angka Acak
• Membangkitkan peubah acak (random variable) yang
menyebar uniform pada interval 0 sampai 1 (U(0,1),
contohnya adalah fungsi rand() pada excel)
• Adalah tidak mungkin membangkitkan angka acak yang
sebenarnya (truly random numbers) dengan suatu
algoritma komputer
Simulasi Monte Carlo …
• Angka acak U(0,1) ini, kemudian ditransformasikan
sehingga akan mengikuti suatu sebaran peluang
yang diinginkan
• Uniform (a,b)
• Normal (, )
• Simetrik Triangular (a,b)
Langkah-langkah metode
Monte Carlo
• Mendefinisikan distribusi probabilitas dati data
masa lalu atau dari distribusi teoritis.
• Mengkonversikan distribusi kedalam frekuensi
kumulatif
• Melakukan simulasi dengan bilangan acak
• Menganalisa keluaran simulasi
Contoh 1 - Nilai Investasi
• Anda merencanakan untuk menginvestasikan Rp.150
juta dana yang anda miliki, dan tersedia tiga instrumen
investasi yang dapat dipilih
• Tingkat pengembalian masing-masing instrumen
investasi ini merupakan peubah acak (berturut-turut
RL, RM dan RH) dan sebaran masing-masing peubah
acak tersebut diberikan oleh tabel 1
• Gunakan simulasi monte carlo untuk menentukan
distribusi nilai investasi setelah akhir satu tahun,
berdasarkan alokasi dana awal yang telah ditentukan
Contoh 1 - Nilai Investasi …
Tabel 1
Pilihan Investasi
Sebaran tingkat
pengembalian (%)
Risiko rendah
RL ~ Normal (3,1)
Risiko sedang
Risiko tinggi
RM ~ Normal (5,5)
RH ~ Normal (10,15)
•Setelah satu tahun nilai investasinya diberikan oleh rumus berikut
V = SL(1+RL) + SM(1+RM) + SH(1+RH)
Contoh 2 : Pendugaan Keuntungan
• Suatu perusahaan bermaksud memproduksi dan
menjual produk baru dibawah pasar yang bersaing
sempurna
• Total keuntungan diberikan oleh persamaan berikut ini
TP = (Q x P) – (Q x V + F)
• Dimana
•
•
•
•
Q adalah banyaknya unit yang terjual
V adalah biaya variabel per unit
P adalah harga jual per unit
F adalah biaya tetap untuk memproduksi produk itu
Contoh 2 : PendugaanKeuntungan
• Pada produk ini, Q, P dan V merupakan peubah acak
dengan sebaran peluang berikut:
• Q ~ Uniform (80.000, 120.000)
• P ~ Normal (22, 5)
• V ~ Normal (12, 8)
• F diduga besarnya adalah 300.000
• Gunakan simulasi monte carlo untuk menentukan
sebaran total keuntungan dari produk yang
direncanakan tersebut
Contoh 3- simulasi monte carlo
dengan sebaran empiris
• Toko roti X memesan sejumlah roti setiap hari;
disimpan dalam persediaan
• Toko itu bermaksud menentukan berapa banyak roti
yang harus dipesan setiap hari, agar keuntungannya
maksimal
• Diasumsikan bahwa semua roti yang tidak terjual
pada hari itu tidak dapat dijual kembali pada hari
berikutnya, dan dihitung sebagai kerugian
Contoh 3 …
• Toko X mengumpulkan data harian permintaan
rotinya selama 100 hari, dan frekuensi
permintaannya sebagai berikut:
Permintaan
(roti)
Nilai Tengah
Frekuensi
20 –24
22
5
25 – 29
27
10
30 – 34
32
20
35 – 39
37
30
40 – 44
42
20
45 – 49
47
10
50 – 54
52
5
Contoh 3 …
•
Ada dua skenario yang ingin dievaluasi, yang mana
yang akan memberikan keuntungan maksimal
1. Memesan sejumlah roti sama dengan permintaan pada
hari sebelumnya
2. Memesan 37 roti setiap hari tanpa memandang
permintaan yang lalu
•
•
Misalkan roti dijual Rp.500,- per buah dan harga
pembelian dari pabrik adalah Rp.250,- per buah
Manakah skenario yang memberikan keuntungan
maksimal berdasarkan 15 hari simulasi
Contoh 3 …
• Penyelesaian
• Berdasarkan tabel sebaran frekuensi yang diperoleh
sebelumnya, dibuat tabel rentang angka acak. Lebar
rentang angka acak didasarkan pada frekuensi relatif
tiap permintaan
• Titik tengah (midpoint) permintaan mewakili nilai
permintaan yang akan dibangkitkan. Hasilnya
ditunjukkan oleh Tabel 3.
Contoh 3 …
• Tabel 3
Nilai Tengah
permintaan
Frek
df
Rentang
angka acak
22
5
0,05
0 - 0,049
27
10
0,10
0,05 - 0,149
32
20
0,20
0,15 - 0,349
37
30
0,30
0,35 – 0,649
42
20
0,20
0,65 – 0,849
47
10
0,10
0,85 – 0,949
52
5
0,05
0,95 – 1,000
Angka acak 0,173 akan bersesuaian dengan permintaan 32 roti, dan seterusnya.
Contoh 3 …
• Bangkitkan 15 buah angka acak, bersesuaian
dengan 15 hari simulasi (dapat menggunakan
calculator, sehingga diperoleh angka acak dengan
tiga digit dibelakang koma)
• Misalkan angka acak yang diperoleh (anda mungkin
akan mendapatkan angka-angka acak yang
berbeda) adalah:
0,272 0,433 0,851 0,882 0,298 0,697 0,940
0,639 0,323 0,488 0,136 0,139 0,544 0,152
0,475
Contoh 3 …
Skenario 1
Hari
Angka
Acak
0
Permintaan
Jumlah
pesanan
Penjualan
Skenario 2
Jumlah
pesanan
Penjualan
37
1
0,272
32
37
32
37
32
2
0,433
37
32
32
37
37
3
0,851
47
37
37
37
37
4
0,882
47
47
47
37
37
5
0,298
32
47
32
37
32
6
0,697
42
32
32
37
37
7
0,940
47
42
42
37
37
8
0,639
37
47
37
37
37
9
0,323
32
37
32
37
32
10
0,488
37
32
32
37
37
11
0,136
27
37
27
37
27
12
0,139
27
27
27
37
27
13
0,544
37
27
27
37
37
14
0152
32
37
32
37
32
15
0,475
37
32
32
37
37
Jumlah =>
587
550
500
555
515
Contoh 3 …
• Pada simulasi ini permintaan merupakan peubah
acak yang nilai-nilainya dibangkitkan (data artifisial)
• Penjualan = minimum nilai permintaan dan
pemesanan.
• Skenario 1:
• Keuntungan = 500 (500) – 250 (550) = Rp.112.500
• Skenario 2:
• Keuntungan = 500 (515) – 250 (555) = Rp.118.750
APLIKASI SIMULASI MONTE
CARLO
Contoh:
• Sebuah perusahaan permen coklat memberikan penawaran
khusus pada event-event spesial seperti hari valentine. Untuk
keperluan tersebut perusahaan memesan paket spesial dari
supplier berupa coklat massacre. Coklat jenis ini dibeli dengan
harga $7.5/unit dan dijual $12/unit. Jika tidak terjual pada
tanggal 14 Februari, maka produk ini akan dijual dengan harga
50% dari harga semula.
• Perusahaan ini mengalami dilema dalam menentukan berapa
kotak yang harus dipesan supaya menghasilkan keuntungan
(profit) maksimum.
• Jika diasumsikan demand berfluktuasi antara 40, 50, 60,70,80,
90 unit dan perusahaan memutuskan untuk memesan
sebanyak 60 unit, maka tentukan profit yang akan didapat
perusahaan.
Penyelesaian
1. Tentukan komponen-komponen sistem yang
significant. Beberapa diantaranya yaitu:
• Demand (kebutuhan)  D.
Variabel ini merupakan variabel yang tidak dapat
dikontrol (uncontrollable)
• Pesanan  Q.
Variabel ini merupakan variabel yang memerlukan
keputusan (decision variabel).
• Profit  merupakan variabel tidak bebas (dependent
variabel).
2. Tentukan hubungan antar komponen sistem. Dalam
menentukan hubungan harus benar-benar dipelajari
bagaimana mekanisme sistemnya. Pada sistem ini
terdapat dua kondisi yaitu:
a. Kondisi dimana demand < pesanan (D < Q)
Pada kondisi ini hubungan antar variabel
dapat
dirumuskan sebagai berikut:
Profit = 12D – 7.5 Q + 6 (Q-D)
b. Kondisi dimana demand > pesanan (D >= Q)
Pada kondisi ini hubungan antar variabel dapat
dirumuskan sebagai berikut:
Profit = (12 – 7.5) Q
3. Tentukan jumlah trial yang diinginkan.
4. Buat kemungkinan demand untuk tiap trial.
5. Hitung Profit untuk tiap trial.
Contoh perhitungan profit untuk D = 40 unit dan Q =
60 unit.
Profit = 12D - 7.5 Q + 6(Q-D)
= 12(40) - 7.5(60) + 6(60-40)
= $ 150
Silakan hitung profit untuk tiap trial pada tabel
berikut:
Trial
Demand
1
80
2
60
3
50
4
70
5
40
6
60
7
80
8
90
9
50
10
60
Rata-rata
Profit ($)
Hasil perhitungan profit untuk tiap trial dapat dilihat
pada tabel berikut:
Trial
Demand
Profit ($)
1
80
270
2
60
270
3
50
210
4
70
270
5
40
150
6
60
270
7
80
270
8
90
270
9
50
210
10
60
270
Rata-rata
246
6. Buat distribusi frekuensi dari setiap probabilitas
profit
Profit ($)
150
210
270
Probabilitas
0.1
0.2
0.7
Frekuensi
1
2
7
7. Buat grafik fungsi frekuensi profit
8
7
6
5
$150
4
$210
3
$270
2
1
0
PROFIT
• Untuk mendapatkan solusi terbaik, kita harus
melakukan eksperimen dengan menggunakan
order quantity 40, 50, 60, 70 dan 90.
• Hitung average profit untuk tiap order quantity
yang berbeda.
• Cari yang memberikan keuntungan paling besar
Order
Quantity
Average
Profit ($)
40
50
60
70
80
90