fisika kelas 10.indd

X
FISIKA
BESARAN VEKTOR
TUJUAN PEMBELAJARAN
Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.
1.
Memahami pengertian besaran vektor.
2.
Menguasai konsep penjumlahan vektor dengan berbagai metode.
3.
Menguasai konsep selisih dua vektor.
A. VEKTOR
Besaran vektor adalah besaran yang mempunyai nilai dan arah. Beberapa contoh besaran
vektor adalah kecepatan, perpindahan, percepatan, gaya, momentum, medan magnet,
medan listrik, torsi, dan sebagainya. Suatu vektor digambarkan oleh sebuah anak panah.
Panjang anak panah menggambarkan besar atau nilai vektor, sedangkan arah anak panah
menyatakan arah vektor. Perhatikan gambar vektor berikut ini.

AB
A
α
B
Pada gambar di samping, A adalah titik tangkap vektor dan
B adalah ujung vektor. Adapun |AB| merupakan panjang

vektor yang menyatakan nilai vektor dan AB adalah arah
anak panah yang menyatakan arah vektor.
Berdasarkan gambar di samping, nampak bahwa panjang


vektor AB adalah AB = 62 + 52 = 61 satuan dan arah
5
tanαα == ,, α
9 , 8oo.
α = 339,8
vektornya adalah tan
6
1
Kela
s
K-13
B. PENJUMLAHAN VEKTOR
Penjumlahan dua vektor atau lebih adalah mencari sebuah vektor yang komponenkomponennya merupakan hasil jumlah dari komponen-komponen vektor pembentuknya.
Hasil dari penjumlahan vektor disebut resultan vektor. Resultan merupakan sebuah vektor
baru. Resultan dapat diperoleh dengan beberapa metode, yaitu metode poligon (segi
banyak), metode jajaran genjang, dan metode analitis.
a. Metode Poligon
Penjumlahan vektor menggunakan metode poligon dilakukan dengan memindahkan titik
tangkap suatu vektor ke ujung vektor berikutnya secara berurutan (diteruskan). Adapun
resultan vektornya digambarkan dengan cara menarik garis dari titik awal (titik tangkap
vektor pertama) menuju titik akhir (ujung vektor terakhir). Perhatikan gambar berikut.

A

B

C

R

C

B

A
   
R = A+ B + C
Contoh Soal 1
Seseorang berlari dengan pergerakan seperti pada gambar berikut.
Jika satu kotak berukuran 4 m × 4 m, maka besar perpindahan yang dilakukan orang
tersebut adalah ....
2
Pembahasan:
Besar perpindahan orang tersebut dapat ditentukan dengan mencari besarnya resultan
vektor.

R = 32 + 4 2 = 5 satuan kotak. Hal ini berarti,
4
orang tersebut telah berpindah sejauh 5 × 4 m
= 20 meter.
3
Jadi, orang tersebut telah berpindah sejauh 20 meter.
b. Metode Jajaran Genjang
Perhatikan gambar berikut.


F1
α

R
γ
b

F2



Misalkan vektor F1 dan F2 satu sama lain membentuk sudut α, maka resultan kedua vektor
  

 2  2

tersebut adalah R = F1 + F2 dengan besar R = F1 + F2 + 2F1F2 cosα .
Untuk menentukan arah resultan terhadap salah satu vektor, dapat digunakan persamaan
berikut.



F1
F2
R
=
=
α sinbβ singγ
sinα
Catatan:
  



1. Jika F1 dan F2 searah (a = 0o), maka besar resultannya adalah R = F1 + F2 .







 2
 2
2.
Jika F1 dan F2 saling tegak lurus (a = 90o), maka besar resultannya adalah R = F1 + F2 .
3.
Jika F1 dan F2 berlawanan arah (a = 180o), maka besar resultannya adalah R = F1 − F2 .
4.
Besarnya resultan yang mungkin dari duah buah vektor F1 dan F2 dapat ditentukan
dengan cara SUPER berikut.



Super (Solusi Quipper)
 
 
F1 − F2 ≤ R ≤ F1 + F2
3

 
5.
Selisih dua vektor
  



Selisih dua vektor F1 dan F2 yang membentuk sudut a adalah R = F1 − F2 dengan besar

 2  2

a .
R = F1 + F2 − 2F1F2 cosα
Contoh Soal 2



Dua buah vektor gaya F1 dan F2 masing-masing mempunyai nilai 3 N dan 4 N. Jika kedua
vektor bertitik tangkap sama dan saling mengapit sudut 60°, maka nilai dan arah resultan
dari kedua vektor tersebut adalah ….
Pembahasan:
Diketahui:


F1 = 3 N

F2 = 4 N
a = 60°

Ditanya: R dan arahnya = ... ?
Dijawab:
Permasalahan pada soal dapat digambarkan sebagai berikut.


F1 = 3 N
a

R
b

F2 = 4 N
Besar resultan kedua vektor tersebut dapat ditentukan dengan metode jajaran genjang
berikut.

 2  2

R = F1 + F2 + 2F1F2 cos a
α
= 32 + 4 2 + 2.3.4 cos60
= 9 + 16 + 12
= 37 N
= 6,08 ≈ 6,1N
Jadi, besarnya resultan kedua vektor tersebut adalah 6,1 N.
Untuk menentukan arah vektor, dapat digunakan persamaan berikut.
4


F1
R
=
a sin βb
sinα
6,1
3
=
β
sin60° sinb
6,1
3
=
0,87 sinb
β
b = 0,428
sin β
bβ = arc sin 0,428 = 25,3≈ 25

Jadi, arah resultan vektor tersebut adalah α = 25˚ terhadap vektor F2 .
Contoh Soal 3
Dua buah vektor masing-masing besarnya 4 N dan 9 N. Besar resultan kedua vektor yang
tidak mungkin adalah ....
A. 4 N
B. 5 N
C. 10 N
D. 13 N
E. 36 N
Pembahasan:
Diketahui:


F1 = 4 N

F2 = 9 N
Ditanya: besarnya resultan kedua vektor yang tidak mungkin = ... ?
Dijawab:
 
 
F1 − F2 ≤ R ≤ F1 + F2
4−9 ≤R ≤ 4+9
5 ≤ R ≤ 13
Dari pilihan jawaban tersebut, nilai resultan yang tidak mungkin adalah 36 N.
5
Contoh Soal 4
Perhatikan gambar berikut.

F3

F1

F2



Jika diketahui F1 = 4 N ke kiri, F2 = 3 N ke kanan, dan F3 = 6 N ke kanan, maka besar dan
arah resultan gaya-gaya tersebut adalah ....
Pembahasan:
Diketahui:

F1 = 4 N ke kiri

F2 = 3 N ke kanan

F3 = 6 N ke kanan
   
F1 +arahnya
F2 + F3 = . . .?
dan
Ditanya: R =
Dijawab: = −4 + 3 + 6
= 5 N ke kanan
Dengan memerhatikan
arah ketiga gaya tersebut, maka diperoleh:
   
R = F1 + F2 + F3
= −4 + 3 + 6
= 5 N ke kanan
Jadi, resultan ketiga gaya tersebut adalah 5 N ke arah kanan.
Contoh Soal 5


Dua buah vektor gaya P dan Q memiliki nilai masing-masing 20 N dan 40 N. Jika sudut
antara kedua vektor adalah 60˚, maka besar selisih kedua vektor tersebut adalah ....
Pembahasan:
Diketahui:

P = 20 N

Q = 40 N
a = 60˚
6


Ditanya: | P − Q | = ...?
Dijawab:
Besar selisih dua vektor tersebut dapat ditentukan dengan rumus berikut.
 
 2  2
 
P − Q = P + Q − 2P .Q cosa
θ
= 202 + 402 − 2.20.40cos60
= 1200
= 20 3 N
Jadi, besar selisih kedua vektor tersebut adalah 20 3 N.
Contoh Soal 6
Dua buah vektor besarnya sama. Jika nilai hasil bagi selisih dan resultan kedua vektor
1
tersebut adalah
3 , maka nilai kosinus sudut apitnya adalah ....
2
Pembahasan:
Diketahui:
misalkan sudut apit = α
 
F1 = F2 = F
 
F1 − F2 1
  =
3
F1 + F2 2
Ditanya: cos a = …?
Dijawab:
Oleh karena nilai hasil bagi selisih dan resultan kedua vektor tersebut adalah
a
F 2 + F 2 − 2F.Fcosα
2
2
F + F + 2F.Fcosa
α
F 2 + F 2 − 2F 2 cosa
α
2
2
2
F + F + 2F cosα
a
2F 2 (1− cosa
α)
2F (1+ cosa
α)
2
=
1
3
2
=
3
4
=
3
4
4 − 4 cosa
α =3+3cosa
α
1=7cosα
a
1
7
1
Jadi, nilai kosinus sudut apitnya adalah .
7
cosa
α=
7
1
3 , maka:
2
Contoh Soal 7
Dua buah vektor gaya mempunyai besar yang sama, yaitu F N. Jika besar resultan kedua
vektor tersebut juga F N, maka besar sudut apitnya adalah ....
Pembahasan:
Diketahui:
misalkan sudut apit = α
 
F1 = F2 = F N
|R| = F N
Ditanya: a = ...?
Dijawab:
Berdasarkan rumus besar resultan dua vektor, diperoleh:

2 2
 
a
R = F 1 + F 2 + 2F 1 .F 2 cosα
F = F 2 + F 2 + 2F.F cosa
α
F 2 = F 2 + F 2 + 2F 2 cosa
α
F 2 = 2F 2 + 2F 2 cosα
a
a
−F 2 = 2F 2 cosα
1
α =−
cosa
2
 1
a
α = arc cos  −  = 120o
 2
Jadi, besarnya sudut apit kedua vektor tersebut adalah 120°.
c. Metode Analitis
Metode analitis dilakukan dengan menguraikan terlebih dahulu sebuah vektor menjadi
komponen-komponen vektor tegak lurus sumbu koordinat, yaitu komponen-komponen
pada sumbu X dan sumbu Y. Perhatikan gambar berikut.
Y

P


P y = P sin a

P
a

Py
a
X


P x = P cos a

Px
8

Besar vektor P dan arahnya dapat ditentukan dengan persamaan berikut.

 2  2
Py

| P | = Px +Py dan tan α = 
Px
Contoh Soal 8

Vektor P sebesar 20 satuan membentuk sudut 60˚ terhadap sumbu X positif. Tentukan
komponen-komponen vektor tersebut pada sumbu X dan sumbu Y.
Pembahasan:
Diketahui:

P = 20 satuan
θ = 60˚
Ditanya: 
P x = …?

P y =…?
Dijawab:
Komponen terhadap sumbu X:


P x = P cos 60°
1
= 20.
2
= 10 satuan
Komponen terhadap sumbu Y:


P y = P sin 60°
1
= 20. 3
2
= 10 3 satuan

Jadi, komponen vektor tersebut pada sumbu X dan sumbu Y adalah P x = 10 satuan dan

P y = 10 3 satuan.
Contoh Soal 9
Sebuah meriam ditembakkan dengan kecepatan awal 100 m/s membentuk sudut 53˚
dari permukaan bumi. Tentukan komponen-komponen kecepatan vektor tersebut. (sin
53°=0,8)
Pembahasan:
Diketahui:

v o = 100 m/s
9
θ = 53˚

Ditanya: v x =…?

v y =...?
Dijawab:
Komponen kecepatan meriam terhadap sumbu X:
 
v x = v o cos53o
= 100.0,6
= 60 m/s
Komponen kecepatan meriam terhadap sumbu Y:
 
v y = v o sin53o
= 100(0,8)
= 80 m/s


Jadi, komponen-komponen kecepatan vektor tersebut adalah v x = 60 m/s dan v y = 80
m/s.
Contoh Soal 10
Perhatikan gambar berikut.
Y
4 43NN
10 N
30o
X
2N
Tentukan resultan vektor-vektor tersebut.
Pembahasan:
Mula-mula, uraikan komponen vektor yang tidak searah dengan sumbu X dan sumbu Y.
10
Perhatikan gambar berikut.
Y
10 sin 30o N
10 cos 30o N
4 3
X
2N
Pada sumbu X:

∑F
x
= 10cos30o − 4 3
= 10(0,5 3) − 4 3
=5 3 −4 3
= 3N
Pada sumbu Y:

∑F
y
= 10 sin 30o − 2
= 10(0,5) − 2
=5−2
=3N
Besar resultan vektor:

 2
 2
R =
Fx + Fy
=
∑ ∑
2
( 3 ) + 33
= 3+9
= 12
=2 3 N
Jadi, besar resultan vektor-vektor tersebut adalah 2 3 N.
11