fungsi hiperbolik dan inversnya

FUNGSI HIPERBOLIK DAN INVERSNYA
SKRIPSI
Disusun dalam Rangka Menyelesaikan Studi Strata 1
untuk memperoleh Gelar Sarjana Sains
Oleh
Nama
: Susanto
Nim
: 4150403010
Program Studi : Matematika S1
Jurusan
: Matematika
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG
2007
PENGESAHAN
SKRIPSI
Fungsi Hiperbolik dan Inversnya
Telah dipertahankan dihadapan Sidang Panitia Ujian Skripsi Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Semarang pada:
Hari
:
Tanggal
:
Panitia Ujian
Ketua,
Sekretaris,
Drs. Kasmadi Imam S., M.S
NIP. 130781011
Drs. Supriyono, M.Si
NIP. 130815345
Pembimbing Utama,
Ketua Penguji,
Drs. Moch. Chotim, M.S
NIP. 130781008
Drs. Kartono, M.Si
NIP. 130815346
Pembimbing Pendamping,
Anggota Penguji,
Drs. Wuryanto, M.Si
NIP. 131281225
Drs. Moch. Chotim, M.S
NIP. 130781008
Anggota Penguji,
Drs. Wuryanto, M.Si
NIP. 131281225
ii
ABSTRAK
Susanto. 4150403010. 2007. Fungsi Hiperbolik dan Inversnya. Skripsi.
Program Studi Matematika. Jurusan Matematika.
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
Universitas Negeri Semarang.
Dalam persoalan matematika terapan digunakan banyak sekali
kombinasi tertentu fungsi-fungsi eksponen e x dan e − x . Sehingga fungsi-fungsi
yang memuat kombinasi tersebut diberi nama khusus salah satunya adalah fungsi
hiperbolik. Telah banyak buku-buku kalkulus yang menulis tentang fungsi
hiperbolik, namun tidak banyak yang menulis tentang penurunan rumus atau
formula dari fungsi hiperbolik. Permasalahan yang dikaji dalam penelitian ini
adalah bagaimana membangun fungsi hiperbolik dan menentukan invers fungsi
hiperbolik dan turunan serta anti turunan fungsi hiperbolik dan inversnya.
Pertimbangan lebih jauh dari masalah ini adalah bahwa tidak semua fungsi
hiperbolik mempunyai invers pada daerah asalnya. Tujuan dari penelitian ini
adalah untuk mengetahui rumus atau formula fungsi hiperbolik dan inversnya
serta turunan dan anti turunan fungsi hiperbolik dan inversnya.
Penelitian ini dilakukan melalui tinjauan pustaka terhadap buku-buku
atau literatur. Teori-teori yang digunakan sebagai dasar untuk menyelesaikan
permasalahan dalam penelitian ini adalah teori tentang fungsi, limit fungsi,
turunan dan integral, fungsi invers, fungsi logaritma serta fungsi eksponen. Dari
pengertian tersebut, kemudian dibahas materi-materinya secara mendalam.
Hasil dari penelitian ini adalah fungsi hiperbolik dibangun oleh dua
ex
e−x
+
+
dan q : R → R , q ( x) =
.
fungsi p dan q dengan p : R → R , p ( x) =
2
2
Selanjutnya dibangun fungsi f dan g yang dinyatakan sebagai jumlah dan selisih
dari fungsi p dan q, dengan demikian
f ( x ) = p ( x ) + q ( x ) dan
g ( x ) = p ( x ) − q ( x ) . Sifat-sifat yang dimiliki oleh fungsi f dan g memiliki
kemiripan dengan sifat-sifat fungsi trigonometri, salah satunya adalah kesamaan
dasar fungsi f 2 ( x) − g 2 ( x) = 1 yang memiliki kemiripan dengan sifat
cos 2 x + sin 2 x = 1 pada fungsi trigonometri. Dengan mengacu pada sifat-sifat
tersebut, kemudian dikembangkan suatu ide untuk menyatakan fungsi f dan g
sebagai fungsi hiperbolik.
Hasil dari penelitian ini diharapkan dapat bermanfaat sebagai bahan
bacaan atau referensi bagi mahasiswa matemetika khususnya dan masyarakat pada
umumnya.
Kata Kunci : fungsi eksponen, fungsi hiperbolik, turunan, dan invers.
iii
MOTTO DAN PERUNTUKAN
MOTTO
]
With passion, with terminations, and with hard work we can to reach our dream
come true.
]
Remember, the problems ahead of you are never as great as the power behind
you.
PERUNTUKAN
Puji syukur kepada Allah swt atas terselesainya skripsi ini.
Kuperuntukan karya ini kepada:
1. Bapak Suyanto dan Ibu Kikis atas doanya
2. Semua Saudara dan Kerabat
3. Guru dan sahabatku
4. All My lovely friends..
iv
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT, atas limpahan
petunjuk dan karunia-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan
skripsi yang berjudul ”Fungsi Hiperbolik dan Inversnya”.
Ucapan terima kasih penulis sampaikan kepada:
1. Drs. Kasmadi Imam S., M.S, Dekan FMIPA Universitas Negeri Semarang.
2. Drs. Supriyono, M.Si, Ketua Jurusan Matematika FMIPA Universitas Negeri
Semarang.
3. Drs. Moch Chotim, M.S, Pembimbing utama yang telah memberikan
bimbingan dan arahan kepada penulis dalam menyusun skripsi ini.
4.
Drs. Wuryanto, M.Si, Pembimbing pendamping yang telah memberikan
bimbingan dan arahan kepada penulis dalam menyusun skripsi ini.
5. Bapak dan ibu yang senantiasa mendoakan serta memberikan dorongan baik
secara moral maupun spiritual dan segala yang tak ternilai.
6. Semua keluarga yang telah memberikan dukungan dan semangat serta doa
hingga terselesaikanya skripsi ini.
7. Teman-temanku Gandhi, Iwan, Bambang, dan semua angkatan 2003, terima
kasih atas semuanya.
8. Kelurga Besar ” Pandawa Kost ” Bapak Sodri sekeluarga, Rudi, Eko Budi,
dan Mas Arief yang tiada henti memotivasi penulis agar segera
menyelesaikan skripsi ini.
v
9. Orang-orang yang tanpa sengaja memberikan inspirasi, motivasi, dan
semangat agar cepat diselesaikannya skripsi ini.
Akhirnya penulis berharap skripsi ini bermanfaat dan dibaca.
Semarang,
Penulis,
vi
Agustus 2007
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ..................................................................................... i
HALAMAN PENGESAHAN........................................................................ ii
ABSTRAK ...................................................................................................... iii
MOTTO DAN PERUNTUKAN ................................................................... iv
KATA PENGANTAR.................................................................................... v
DAFTAR ISI................................................................................................... vii
DAFTAR GAMBAR...................................................................................... ix
BAB I PENDAHULUAN............................................................................ 1
A. Latar belakang .............................................................................. 1
B. Permasalahan................................................................................ 2
C. Tujuan penelitian.......................................................................... 2
D. Manfaat penelitian........................................................................ 2
E. Sistematika penulisn skripsi ......................................................... 3
BAB II LANDASAN TEORI ....................................................................... 5
A. Fungsi ........................................................................................... 5
B. Limit Fungsi ................................................................................. 6
C. Kekontinuan Fungsi ..................................................................... 7
D. Turunan ........................................................................................ 9
E. Integral.......................................................................................... 14
F. Fungsi Invers, Logaritma, dan Eksponen..................................... 20
BAB III METODE PENELITIAN ............................................................... 32
A. Menentukan masalah.................................................................... 32
B. Merumuskan masalah................................................................... 32
C. Studi pustaka ................................................................................ 32
D. Analisis dan pemecahan masalah ................................................. 33
E. Penarikan simpulan ...................................................................... 33
vii
BAB IV PEMBAHASAN............................................................................... 34
A. Fungsi Hiperbolik......................................................................... 34
B. Turunan Fungsi Hiperbolik .......................................................... 42
C. Invers Fungsi Hiperbolik.............................................................. 46
D. Turunan Invers Fungsi Hiperbolik ............................................... 59
E. Anti Turunan Invers Fungsi Hiperbolik ....................................... 63
BAB V PENUTUP........................................................................................ 64
A. Simpulan....................................................................................... 64
B. Saran............................................................................................. 66
DAFTAR PUSTAKA .................................................................................... 67
viii
DAFTAR GAMBAR
Gambar 1
Diagram fungsi f : D → R ................................................. 1
Gambar 2
Grafik fungsi f kontinu di titik a.......................................... 8
Gambar 3
Grafik fungsi p : R → R + , p ( x) =
ex
................................ 34
2
Gambar 4
Grafik fungsi q : R → R + , q ( x) =
e−x
............................... 35
2
Gambar 5
Grafik fungsi f : R → [0, ∞ ) , f ( x ) = p ( x ) + q ( x ) ............. 35
Gambar 6
Grafik fungsi g : R → R , g ( x ) = p ( x ) − q ( x ) .................... 36
Gambar 7
Grafik fungsi f : R → ( −1,1) , f ( x ) = tanh x ..................... 41
Gambar 8
Grafik fungsi f : R → ( −∞,−1) ∪ (1, ∞ ) , f ( x ) = coth x ..... 41
Gambar 9
Grafik fungsi f : R → (0,1] , f ( x ) = sec hx ........................ 42
Gambar 10
Grafik fungsi f : R → R , f ( x) = sinh −1 x ......................... 48
Gambar 11
Grafik fungsi f : [0, ∞ ) → [1, ∞ ) , f ( x) = cosh x ................ 49
Gambar 12
Grafik fungsi f : [1, ∞ ) → [0, ∞ ) , f ( x) = cosh −1 x ............. 50
Gambar 13
Grafik fungsi f : ( −1,1) → ( −∞ , ∞ ) , f ( x) = tanh −1 x ......... 53
Gambar 14
Grafik fungsi f : ( −∞,−1) ∪ (1, ∞ ) → ( −∞, ∞ ) ,
f ( x) = coth −1 x .................................................................... 55
Gambar 15
Grafik fungsi f : [0, ∞ ) → (0,1] , f ( x ) = sec hx .................. 56
Gambar 16
Grafik fungsi f : (0,1] → [0, ∞ ) , f ( x) = sec h −1 x ............... 58
ix
BAB I
PENDAHULUAN
A. LATAR BELAKANG MASALAH
Kalkulus sebagai salah satu cabang ilmu matematika merupakan ilmu
yang berintikan teori tentang diferensiasi dan integrasi yang telah
dikembangkan secara terpisah oleh matematikawan asal Inggris Issac Newton
pada abad ke 17 dan matematikawan Jerman Gottfried Wilhelm Leibniz.
Diferensiasi dan integrasi merupakan dua operasi matematis yang saling
berkebalikan. Pada intinya, diferensial (teori diferensiasi ) berkenaan dengan
penentuan tingkat perubahan suatu fungsi, sedangkan integral (teori integrasi)
berkenaan dengan pembentukan suatu fungsi apabila tingkat perubahan fungsi
yang bersangkutan diketahui.
Keampuhan Kalkulus, baik berupa turunan maupun integral tak perlu
diragukan lagi sebagai sarana ampuh untuk memecahkan berbagai
permasalahan yang dihadapi dalam kehidupan nyata. Fungsi logaritma dan
fungsi eksponen sebagai bagian dari kalkulus telah memberi pengaruh yang
besar dalam perkembangan Kalkulus. Dalam persoalan matematika terapan
banyak sekali digunakan kombinasi-kombinasi tertentu fungsi eksponen e x
dan e − x sehingga kombinasi fungsi-fungsi tersebut diberi nama khusus, salah
satunya adalah fungsi hiperbolik. Namun bagaimana membangun fungsi
hiperbolik merupakan suatu permasalahan yang menarik untuk kita kaji
secara mendalam untuk kemudian ditemukan solusinya.
1
2
Dalam penelitian ini juga akan dikaji mengenai invers fungsi
hiperbolik. Fungsi invers pada dasarnya ditentukan untuk memperluas dan
memperkaya fungsi-fungsi. Invers merupakan salah satu cara yang dapat
ditempuh untuk memproduksi fungsi baru yakni dengan mengambil fungsifungsi lama kemudian membalikan atau menginverskan fungsi-fungsi
tersebut. Dengan mengacu pada konsep invers pada fungsi biasa tersebut,
kemudian akan dikembangkan untuk menentukan invers pada fungsi
hiperbolik. Selanjutnya konsep diferensi dan integrasi yang merupakan inti
dari Kalkulus akan diterapkan untuk menentukan turunan dan anti turunan
fungsi hiperbolik dan inversnya.
Dari uraian di atas maka penulis ingin mengangkat judul “Fungsi
Hiperbolik dan Inversnya”, sebagai judul skripsi.
B. PERMASALAHAN
Permasalahan yang akan dikaji dalam penulisan ini adalah:
1. Bagaimana membangun fungsi hiperbolik?
2. Bagaimana menentukan invers fungsi hiperbolik dan turunan serta anti
turunan fungsi hiperbolik dan inversnya?
C. TUJUAN PENELITIAN
Mengetahui rumus atau formula fungsi hiperbolik dan inversnya serta
turunan dan anti turunan fungsi hiperbolik dan inversnya.
3
D. MANFAAT PENELITIAN
Mendapatkan suatu wawasan dan pengetahuan tentang fungsi
hiperbolik dan inversnya.
E. SISTEMATIKA PENULISAN SKRIPSI
Penulisan skripsi nantinya akan dibagi menjadi tiga bagian, yakni
bagian awal, bagian isi, dan bagian akhir.
Bagian awal, memuat halaman judul, abstrak, halaman pengesahan,
halaman motto, halaman peruntukan, kata pengantar, dan daftar isi.
Bagian isi terbagi atas 5 bab, yakni:
BAB I
PENDAHULUAN
Membahas tentang alasan pemilihan judul, permasalahan yang
diangkat, tujuan penelitian, manfaat penelitian, dan sistematika
penulisan skripsi.
BAB II
LANDASAN TEORI
Mencakup pembahasan materi-materi pendukung yang digunakan
dalam pemecahan masalah.
BAB III METODE PENELITIAN
Memaparkan
tentang
prosedur
dan
langkah-langkah
yang
dilakukan dalam penelitian ini meliputi menemukan masalah,
perumusan masalah, studi pustaka, analisis dan pemecahan
masalah, dan penarikan simpulan.
4
BAB IV PEMBAHASAN
Dalam bab ini berisikan pembahasan dan analisis dari penelitian.
BAB V PENUTUP
Berisi tentang kesimpulan dari hasil pembahasan dan saran yang
ditujukan untuk pembaca umumnya dan bagi penulis sendiri
khususnya.
Bagian akhir berisikan daftar pustaka sebagai acuan penulis dan lampiranlampiran yang mendukung kelengkapan skripsi.
BAB II
LANDASAN TEORI
A. FUNGSI
Definisi 1.
Dipunyai D dan R dua himpunan dengan elemen real. Sebuah fungsi f adalah
padanan yang mengawankan setiap elemen x di D dengan tepat satu elemen
f(x) di R ditulis dengan simbol f: D →R. Dengan kata lain jika a ∈ D, b, b’ ∈ R
dan (a, b), (a, b’) ∈ f maka b = b’.
Himpunan D dinamakan daerah asal (domain) f, dan himpunan R dinamakan
daerah hasil atau jelajah (range) f, dan himpunan semua peta unsur di D oleh f
disebut daerah hasil f. Contoh fungsi deberikan pada Gambar 1.
Gambar 1: Diagram fungsi f : D → R
Contoh 1
Dipunyai f: D →R, D ⊂ R, f(x) = x2 + 5.
Tujukan f suatu fungsi.
5
6
Penyelesaian:
Ambil sembarang a, b∈ D dengan a = b.
Jelas f(a) – f(b) = a2 + 5 – b2 - 5
= a2-b2
= 0.
Jadi ∀a, b ∈ D, a = b, f (a ) = f (b) .
Jadi f suatu fungsi.
Contoh 2
Dipunyai f: D →R, D ⊂ R2, f(x, y) = x2 + 2y.
Tunjukan f suatu fungsi.
Penyelesaian:
Ambil sembarang ( x1 , y1 ), ( x 2 , y 2 ) ∈ D, ( x1 , y1 ) = ( x 2 , y 2 ) .
Jelas x1 = x 2 dan y1 = y 2
Jelas f ( x1 , y1 ) − f ( x 2 , y 2 ) = ( x12 + 2 y1 ) − ( x 22 + 2 y 2 )
= ( x12 + 2 y1 ) − ( x12 + 2 y1 )
= 0.
Jadi ∀( x1 , y1 ), ( x 2 , y 2 ) ∈ D, ( x1 , y1 ) = ( x 2 , y 2 ), f ( x1 , y1 ) = f ( x 2 , y 2 ) .
Jadi f suatu fungsi.
B. LIMIT FUNGSI
Definisi 2.
Milsalkan f sebuah fungsi yang terdefinisi pada suatu selang buka I, yang
memuat a, kecuali mungkin pada a itu sendiri. Maka limit f(x) untuk x
mendekati a adalah L, ditulis:
7
lim f ( x) = L ⇔ ∀ε > 0∃δ > 0 ∋ f ( x) − L < ε apabila 0 < x − a < δ .
x →a
Contoh 3
Buktikan lim(4 x + 2) = 22 .
x →5
Bukti:
Tulis f(x) = 4x+2.
Ambil sebarang ε > 0 .
Pilih δ =
ε
4
.
Dipunyai 0 < x − 5 < δ
Jelas f ( x) − 22 = 4 x + 2 − 22
= 4 x − 20
= 4x−5
< 4δ
<4
ε
4
=ε.
Jadi ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∋ f ( x) − 22 < ε apabila 0 < x − 5 < δ
Jadi lim(4 x + 2) = 22 .
x →5
C. KEKONTINUAN FUNGSI
Definisi 3.
Misalkan f terdefinisi pada selang buka I yang memuat a. Fungsi f dikatakan
kontinu di a jika lim f ( x) = f (a) .
x→a
8
Definisi tersebut menysaratkan tiga hal berikut yang harus dipenuhi agar suatu
fungsi f kontinu di a, yakni:
a. f(a) ada
b. lim f ( x) ada
x→ a
c. lim f ( x) = f (a)
x →a
Ilustrasi fungsi kontinu diberikan pada Gambar 2.
Gambar 2: Fungsi f kontinu di titik a
Contoh 4
Buktikan fungsi f dengan f(x) = x2 + 2 kontinu di x = 1.
Bukti:
Dipunyai f(x) = x2 + 2.
Jelas f(1) = 1+2 = 3 dan lim f ( x) = lim x 2 + 2 = 1 + 2 = 3 .
x →1
Jadi lim f ( x) = f (1) = 3 .
x →1
Jadi f kontinu di x = 1.
x →1
9
D. TURUNAN (DIFERENSIAL)
Definisi 4.
Turunan fungsi f pada bilangan x dinyatakan dengan f’(x) adalah
f’(x) = lim
h →0
f ( x + h) − f ( x )
, jika limitnya ada.
h
Jika f’ ada maka dikatakan f terdiferensial di x.
Contoh 5
Carilah turunan fungsi f ( x) = x 2 − 8 x + 9 pada bilangan a.
Penyelesaian:
Dipunyai f ( x) = x 2 − 8 x + 9 .
Jelas f ' (a ) = lim
h→0
f ( a + h) − f ( a )
h
[(a + h) 2 − 8(a + h) + 9] − [a 2 − 8a + 9]
h →0
h
= lim
a 2 + 2ah + h 2 − 8a − 8h + 9 − a 2 + 8a − 9
h →0
h
= lim
2ah + h 2 − 8h
h →0
h
= lim
= lim(2a + h − 8)
h→0
= 2a − 8 .
Konsep Turunan (Derivative Formulas)
a. Aturan Perpangkatan (Power of x Rule)
Jika f(x) = xn, dengan n bilangan real, maka f’(x) = nxn-1.
b. Aturan Fungsi Konstan (Constant Function Rule)
10
Jika f(x) = c, dimana c adalah konstanta, maka f’(x) = 0.
c. Aturan Koefisien (Coefficient Rule)
Jika f terdiferensial pada x, c konstanta, maka cf terdiferensial pada x dan
(cf )' ( x) = cf ' ( x) .
d. Aturan Jumlah (Sum Rule)
Jika f dan g terdiferensialkan pada x maka (f + g) terdiferensialkan pada x
dan ( f + g )' ( x) = f ' ( x) + g ' ( x) .
e. Aturan Selisih (Difference Rule)
Jika f dan g terdiferensialkan pada x maka (f + g) terdiferensialkan pada x
dan ( f − g )' ( x) = f ' ( x) − g ' ( x) .
f. Aturan Perkalian (Product Rule)
Jika f dan g terdiferensialkan pada x maka (f. g) terdiferensialkan pada x
dan ( f .g )' ( x) = f ( x) g ' ( x) + g ( x) f ' ( x) .
g. Aturan Hasil Bagi (Quotient Rule)
Jika f dan g terdiferensialkan pada x, g ( x) ≠ 0 maka
f
terdiferensialkan
g
⎛f ⎞
g ( x) f ' ( x) − f ( x) g ' ( x)
.
pada x dan ⎜⎜ ⎟⎟( x ) =
[ g ( x)]2
⎝g⎠
h. Aturan Rantai (Chain Rule)
Jika f dan g fungsi yang terdiferensial dengan y = f(u) dan u = g(x), maka
y fungsi yang terddiferensial pada x, dan
dy d
d
dy dy du
=
f (u ). g ( x) , atau dapat dituliskan
= . .
dx du
dx
dx du dx
11
Bukti:
(a) Dipunyai f(x) = xn.
Jelas f ' ( x) = lim
h →0
f ( x + h) − f ( x )
h
( x + h) n − x n
h →0
h
= lim
n(n − 1) n − 2 2
⎡ n
n −1
n −1
n⎤
n
⎢⎣ x + nx h + 2! x h + ... + nxh + h ⎥ − x
⎦
= lim
h →0
h
= lim
nx n −1 h +
h →0
= lim nx n −1 +
h →0
n(n − 1) n −2 2
x h + ... + nxh n −1 + h n
2!
h
n(n − 1) n − 2
x h + ... + nxh n − 2 + h n −1
2!
= nx n −1 .
Jadi terbukti bahwa f ' ( x) = nx n −1 .
(b) Dipunyai f fungsi konstan, f(x) = c.
Jelas f ' ( x) = lim
h →0
= lim
h →0
f ( x + h) − f ( x )
h
c−c
h
0
h →0 h
= lim
= lim 0 = 0 .
h→0
Jadi terbukti bahwa f ' ( x) = 0 .
12
(c) Dipunyai c konstanta dan f dan cf terdiferensial.
(cf )( x + h) − (cf )( x)
h
Jelas (cf )' ( x) = lim
h →0
= lim
h →0
cf ( x + h) − cf ( x)
h
⎡ f ( x + h) − f ( x ) ⎤
= lim c ⎢
⎥⎦
h →0
h
⎣
= c lim
h →0
f ( x + h) − f ( x )
h
= cf ' ( x) .
Jadi terbukti bahwa (cf )' ( x) = cf ' ( x) .
(d) Dipunyai f, g, dan f + g terdiferensial.
( f ( x + x) + g ( x + x)) − ( f ( x) + g ( x))
h →0
h
Jelas (f + g)’(x) = lim
= lim
f ( x + h) − f ( x ) + g ( x + h) − g ( x )
h
= lim
f ( x + h) − f ( x )
g ( x + h) − g ( x )
+ lim
h→0
h
h
h →0
h →0
= f’(x) + g’(x).
Jadi terbukti bahwa (f + g)’(x) = f’(x) + g’(x).
(f) Dipunyai f, g, dan f g terdiferensial.
Jelas (fg)’(x) = lim
h →0
= lim
h →0
f ( x + h).g ( x + h) − f ( x).g ( x)
h
f ( x + h) g ( x + h) − f ( x ) g ( x + h) + f ( x ) g ( x + h) − f ( x ) g ( x )
h
g ( x + h) − g ( x ) ⎤
⎡ f ( x + h) − f ( x )
= lim ⎢(
) g ( x + h) + f ( x)(
)⎥
h →0
h
h
⎣
⎦
13
= lim
h→ x
f ( x + h) − f ( x )
g ( x + h) − g ( x )
lim g ( x + h) + lim f ( x) lim
h
→
0
h
→
0
h
→
0
h
h
= f’(x)g(x) + f(x)g’(x)
Jadi terbukti bahwa (fg)’(x) = f’(x)g(x) + f(x)g’(x).
(g) Dipunyai f, g, dan
f
terdiferensial.
g
f ( x + h) f ( x )
−
f
g ( x + h) g ( x )
Jelas ( )' ( x) = lim
h →0
g
h
f ( x + h ) g ( x ) − f ( x ) g ( x + h)
g ( x + h) g ( x )
= lim
h →0
h
= lim
h →0
f ( x + h) g ( x ) − f ( x ) g ( x + h)
[ g ( x + h) g ( x)]h
1
f ( x + h) g ( x ) − f ( x ) g ( x + h)
lim
h →0 [ g ( x + h) g ( x )] h →0
h
= lim
=
1
f ( x + h) g ( x ) − f ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ( x ) − f ( x ) g ( x + h)
{lim
}
2 h →0
h
[ g ( x)]
=
1
g ( x + h) − g ( x ) ⎤
⎡ f ( x + h) − f ( x )
{lim (
) g ( x) − f ( x)(
)⎥ }
2 h→0 ⎢
h
h
[ g ( x)]
⎣
⎦
=
1
f ( x + h) − f ( x )
g ( x + h) − g ( x)
{lim(
) lim g ( x) − lim f ( x) lim(
)}
2 h→0
h→0
h→0
h →0
h
h
[ g ( x)]
1
=
{ f ' ( x) g ( x) − f ( x) g ' ( x)}
[ g ( x)]2
=
f ' ( x) g ( x) − f ( x) g ' ( x)
.
[ g ( x)]2
14
f
f ' ( x) g ( x) − f ( x) g ' ( x)
.
Jadi terbukti bahwa ( )' ( x) =
g
[ g ( x)]2
Berikut diberikan beberapa contoh penggunaan dari konsep diatas.
Contoh 6
Diberikan fungsi-fungsi f ( x) = 5 , g ( x) = 4 x 2 dan h( x) = x + 1 .
Tentukan f ' ( x) , g ' ( x) dan ( g + h)' ( x) .
Penyelesaian:
Jelas f ' ( x) = 0 .
Jelas g ' ( x) = 8 x .
Jelas ( g + h)' ( x) = g ' ( x) + h' ( x)
= 8x + 1.
E. INTEGRAL
Definisi 5.
Fungsi F dinamakkan anti turunan dari fungsi f jika turunan dari F adalah f.
Contoh 7
Dipunyai f ( x) = x 2 , F1 ( x) =
1
1
1 3
x , F2 ( x) = x 3 + 5 dan F3 ( x) = x − π .
3
3
3
Tunjukan bahwa F1 ( x), F2 ( x) dan F3 ( x) merupakan anti turunan dari f (x) .
Penyelesaian:
⎡1 ⎤
d ⎢ x3 ⎥
d [ F1 ( x)]
3 ⎦ 1 d (x3 ) 1 2
Jelas
=
= .3 x = x 2 .
= ⎣
3 dx
3
dx
dx
⎤
⎡1
d ⎢ x 3 + 5⎥
d [ F2 ( x)]
3
⎦=
Jelas
= ⎣
dx
dx
⎡1 ⎤
d ⎢ x 3 ⎥ + d (5)
1 d (x3 )
1
⎣3 ⎦
=
+ 0 = .3x 2 = x 2 .
3 dx
3
dx
15
⎤
⎡1
d ⎢ x3 − π ⎥
d [ F2 ( x)]
3
⎦=
Jelas
= ⎣
dx
dx
⎡1 ⎤
d ⎢ x 3 ⎥ − d (π )
1 d (x3 )
1
⎣3 ⎦
=
− 0 = .3x 2 = x 2
3 dx
3
dx
Jadi F1 ( x), F2 ( x) dan F3 ( x) semuanya merupakan anti turunan dari f (x) .
Definisi 6.
Jika F (x) pada selang buka I merupakan anti turunan dari f (x) dan C
sembarang konstanta, maka F ( x) + C juga merupakan anti turunan dari f (x) .
d [ F ( x) + C ] d [ F ( x)] d (C )
=
+
= f ( x) + 0 = f ( x) .
dx
dx
dx
Definisi 7.
Dipunyai fungsi f terdefinisi pada selang buka I dan F suatu anti turunan f
pada selang I. Proses menentukan anti turunan dari fungsi f dinamakan
imtegral tak tentu f pada I, dinyatakan dengan
∫ f ( x)dx = F ( x) + C
dengan C sembarang konstanta dan di baca integral tak tentu dai f terhadap
variabel x.
Contoh 8
Tentukan ∫ cos xdx .
Penyelesaian:
Tulis f ( x) = cos x dan F ( x) = sin x
Jelas F ' ( x) =
d [ F ( x)] d (sin x)
=
= cos x = f ( x) .
dx
dx
Jadi F (x) suatu anti turunan dari f (x) .
16
Teorema 2.1
Jika n adalah sebarang bilangan rasional, n ≠ −1 , maka
n
∫ x dx =
x n +1
+C.
n +1
Bukti:
Tulis F suatu anti turunan dari f.
Jelas
∫ f ( x)dx = F ( x) + C .
Jadi F ' ( x) = f ( x) ⇔
d [ F ( x)]
= f ( x) .
dx
⎤
⎡ x n +1
d⎢
+ C⎥
n +1
⎦
⇔ ⎣
dx
⇔
1 d ( x n +1 )
n + 1 dx
⇔
1
(n + 1) x n = x n = f ( x) .
n +1
Teorema 2.2
(1) ∫ cf ( x)dx = c ∫ f ( x)dx , c suatu konstanta.
(2) ∫ [ f ( x) + g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx
(3) ∫ [ f ( x) − g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx − ∫ g ( x)dx .
Bukti:
(1) Tulis F suatu anti turunan dari f .
Jadi F ' ( x) = f ( x) ⇔
d [ F ( x)]
= f ( x)
dx
17
⇔ c.
⇔
d [ F ( x)]
= c. f ( x)
dx
d [c.F ( x)]
= c. f ( x) .
dx
Jadi cF ( x) suatu anti turunan dari cf ( x) .
Jadi ∫ c. f ( x)dx = c.F ( x) = c ∫ f ( x)dx .
(2) Tulis F dan G suatu anti turunan dari f dan g .
Jadi F ' ( x) = f ( x) dan G ' ( x) = g ( x) .
Jadi
∫ f ( x)dx = F ( x) + C
dan
∫ g ( x)dx = G( x) + C .
Jadi ( F + G )' ( x) = ( f + g )( x) .
Jadi ( F + G ) suatu anti turunan dari ( f + g ) .
Jadi ∫ ( f + g )( x)dx = ( F + G )( x) + C
= [ F ( x) + C1 ] + [G ( x) + C 2 ]
= ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx .
(3) Tulis F dan G suatu anti turunan dari f dan g .
Jadi F ' ( x) = f ( x) dan G ' ( x) = g ( x) .
Jadi
∫ f ( x)dx = F ( x) + C
dan
∫ g ( x)dx = G( x) + C .
Jadi ( F − G )' ( x) = ( f − g )( x) .
Jadi ( F − G ) suatu anti turunan dari ( f − g ) .
Jadi ∫ ( f − g )( x)dx = ( F − G )( x) + C
= [ F ( x) + C1 ] − [G ( x) + C 2 ]
18
= ∫ f ( x)dx − ∫ g ( x)dx .
Contoh 9
Tentukan: (a) ∫ 4 cos xdx dan (b) ∫ ( x + x 2 )dx .
Penyelesaian:
(a) Jelas ∫ 4 cos xdx = 4 ∫ cos xdx
= 4(sin x + C )
= 4 sin x + 4C
= 4 sin x + K , K = 4C .
(b) Jelas ∫ ( x + x 2 )dx = ∫ xdx + ∫ x 2 dx
=
1 2
1
x + C1 + x 3 + C 2
2
3
=
1 2 1 3
x + x + C1 + C 2
2
3
=
1 2 1 3
x + x + C , C = C1 + C 2 .
2
3
Teorema 2.3
Dipunyai g suatu fungsi yang terdiferensialkan pada selang buka I dan F anti
turunan dari f. Jika u = g ( x) ,
∫ f [ g ( x)]g ' ( x)dx = ∫ f (u )du = F (u) + C =F[ g ( x)] + C .
Bukti:
Dipunyai R g ⊂ I .
Jadi F '[ g ( x)] = f [ g ( x)] ⇔
d (F [ g ( x)])
= f [ g ( x)] .
dx
19
Jadi
⇔
∫ f [ g ( x)]d[ g ( x)] = F[ g ( x)] + C
∫ f [ g ( x)]g ' ( x)dx = F[ g ( x)] + C .
Contoh 10
Tentukan: (a) ∫ ( x 2 + 1)10 .2 xdx dan (b) ∫ sin 2 x cos xdx .
Penyelesaian:
(a) Tulis u = x 2 + 1 .
Jelas
du
= 2 x ⇒ du = 2 xdx
dx
Jelas ∫ ( x 2 + 1)10 .2 xdx = ∫ u 10 .du
=
1 11
u +C
11
=
1 2
( x + 1) + C .
11
(b) Tulis u = sin x .
Jelas
du
= cos x ⇒ du = cos xdx .
dx
Jelas ∫ sin 2 x cos xdx = ∫ u 2 du
1
= u3 + C
3
1
= sin 3 x + C .
3
20
Teorema 2.4
Jika U = U ( x) dan V = V ( x) fungsi-fungsi yang memiliki turunan pada
selang buka I, maka
∫ UdV = U .V − ∫ V .dU .
Bukti:
Dipunyai d (U .V ) = U .dV + V .dU .
Jadi ∫ d (U .V ) = ∫ (U .dV + V .dU )
⇔ U .V = ∫ U .dV + ∫ V .dU
⇔ ∫ U .dV = U .V − ∫ V .dU .
Contoh 11
Tentukan
∫ x. cos xdx .
Penyelesaian:
Jelas
∫ x. cos xdx = ∫ xd (sin x)
= x. sin x − ∫ sin x.dx
= x. sin x + sin x + C .
F. FUNGSI INVERS, LOGARITMA, DAN EKSPONEN
1. Fungsi Invers
Definisi 8.
Dipunyai f fungsi dengan daerah definisi D. invers fungsi f , ditulis
g= f
−1
, adalah fungsi yang didefinisikan sebagai
g ( f ( x)) = x
∀x∈D.
21
Contoh 12
Dipunyai
g ( x) =
f ( x) = 2 x , x ∈ (−∞, ∞) . Tunjukan bahwa inversnya adalah
1
x.
2
Penyelesaian:
Tulis y = f ( x)
Jelas y = 2 x .
Jelas g ( y ) =
1
1
y = .2 x = x .
2
2
Jelas g ( f ( x)) =
1
1
f ( x) = .2 x = x , x ∈ (−∞, ∞) .
2
2
Contoh 13
Dipunyai f ( x) = x , x ≥ 0 . Tujukan bahwa inversnya adalah g ( x) = x 2 .
Penyelesaian:
Tulis y = f (x)
Jelas y = x
Jelas g ( y ) =
( x)
2
= x.
Jelas g ( f ( x)) = [ f ( x)] 2 =
( x)
2
= x , x ≥ 0.
Deinisi 9.
Dipunyai f fungsi, f disebut fungsi satu-satu jika untuk setiap x1 , x 2 di
domain f, x1 ≠ x 2 maka f ( x1 ) ≠ f ( x 2 ) .
Contoh 14
Dipunyai f: D →R, D ⊂ R2, f ( x) = 2 x 2 + y .
22
Tunjukan f fungsi satu-satu.
Penyelesaian:
Ambil sembarang ( x1 , y1 ), ( x 2 , y 2 ) ∈ D, ( x1 , y1 ) ≠ ( x 2 , y 2 ) .
Jelas x1 ≠ x 2 dan y1 ≠ y 2 .
Jelas f ( x1 , y1 ) − f ( x 2 , y 2 ) = (2 x12 + y1 ) − (2 x 22 + y 2 )
= (2 x12 − 2 x 22 ) + ( y1 − y 2 )
≠ 0.
Jadi ∀( x1 , y1 ), ( x 2 , y 2 ) ∈ D, ( x1 , y1 ) ≠ ( x 2 , y 2 ), f ( x1 , y1 ) ≠ f ( x 2 , y 2 ) .
Jadi f fungsi satu-satu.
Teorema 2.5
Dipunyai f suatu fungsi yang didefinisikan f : D → R . Jika f fungsi satusatu maka
(i) f
−1
ada, dan
(ii) daerah definisi f
−1
adalah range f.
Bukti:
Definisikan pemadanan
g : Rf → Df
dengan g ( y ) = x , ∀ x ∈ R f dan y = f (x) .
Ditunjukan g suatu fungsi.
Ambil y1 , y 2 ∈ R f dengan y1 = y 2 .
Jelas y1 = f ( x1 ) dan y 2 = f ( x 2 ) untuk suatu x1 , x 2 ∈ D f .
23
Karena y1 = y 2 , maka f ( x1 ) = f ( x 2 ) .
Dipunyai f satu-satu.
Jadi x1 = x 2 .
Jadi g suatu fungsi.
Jelas g ( f ( x)) = g ( y ) = x , ∀ x ∈ D f .
Jadi terdapat fungsi invers g untuk f. Tulis g = f
−1
.
Jelas D f −1 = D g = R f .
Contoh 15
Tentukan invers dari fungsi f ( x) = 2 x − 4 , x ∈ (−∞, ∞) .
Penyelesaian:
Dipunyai f ( x) = 2 x − 4 .
Tulis y = f ( x) .
Jelas y = 2 x − 4
⇔ 2x = y + 4
⇔x=
y+4 y
= + 2.
2
2
Jadi f −1 ( y ) =
y
+2.
2
Jelas f −1 ( y ) =
1
(2 x − 4) + 2 = x , x ∈ (−∞, ∞) .
2
Jadi f −1 ( x) =
x
+ 2.
2
24
2. Fungsi Logaritma Asli
Definisi 10.
Fungsi logaritma asli adalah fungsi yang didefinisikan oleh
ln x = ∫
x
1
1
dt
t
x > 0.
Definisi 11.
Dipunyai f suatu fungsi yang terdiferensialkan pada selang (0, ∞ ) , dengan
f ( x) = ln x , turunan dari f didefinisikan sebagai
d (ln x) 1
= ,
dx
x
x > 0.
Definisi 12.
Dipunyai u fungsi yang terdiferensialkan pada x pada selang buka I,
dengan u = ln u , maka turunanya didefinisikan sebagai
d (ln u ) 1 du
= . ,
dx
u dx
u >0.
Contoh 16
Tentukan turunan dari: (a) f ( x) = ln( x + x 2 ) dan (b) f ( x) = x ln(1 + x 2 ) .
Penyelesaian:
(a) Jelas f ' ( x) =
d [ln( x + x 2 )]
dx
=
d [ln( x + x 2 )] d ( x + x 2 )
.
dx
d (x + x2 )
=
1
.(1 + 2 x)
(x + x2 )
25
=
(b) Jelas f ' ( x) =
=
(1 + 2 x)
.
(x + x2 )
d [ f ( x)]
dx
d [ x ln(1 + x 2 )]
dx
= ln(1 + x 2 ).
d ( x)
d [ln(1 + x 2 )]
+ x.
dx
dx
d [ln(1 + x 2 )] d (1 + x 2 )
= ln(1 + x ) + x.
.
dx
d (1 + x 2 )
2
= ln(1 + x 2 ) + x.
= ln(1 + x 2 ) +
1
.2 x
(1 + x 2 )
2x 2
.
(1 + x 2 )
Teorema 2.6
Jika a, b ∈ R , a > 0 , b > 0 , dan r rasional maka:
(1) ln(ab) = ln a + ln b
⎛a⎞
(2) ln⎜ ⎟ = ln a − ln b ,
⎝b⎠
(3) ln(a r ) = r ln a .
Bukti:
(1) Ambil sembarang x > 0 .
Pilih f ( x) = ln ax dan g ( x) = ln x .
Jelas
d [ f ( x)] d (ln ax) d (ax) 1
1
=
= .a = dan
dx
d (ax) dx
ax
x
26
d [ g ( x)] d (ln x) 1
=
= .
dx
dx
x
Jadi f ( x) = g ( x) + C untuk suatu konstanta C.
Jelas f (1) = g (1) + C ⇔ ln a = C .
Jadi f ( x) = g ( x) + ln a
⇔ ln ax = ln x + ln a .
Pilih x = b .
Jelas ln ab = ln a + ln b .
(2) Dipunyai ln ab = ln a + ln b .
Pilih a =
1
.
b
1
⎛1 ⎞
Jelas ln + ln b = ln⎜ .b ⎟ = ln 1 = 0 .
b
⎝b ⎠
Jadi ln
1
= ln 1 − ln b = 0 − ln b = − ln b .
b
1
⎛ 1⎞
⎛a⎞
Jadi ln⎜ ⎟ = ln⎜ a. ⎟ = ln a + ln = ln a − ln b .
b
⎝ b⎠
⎝b⎠
(3) Dipunyai a x = e x. ln a , ∀ x ∈ R .
Pilih r bilangan rasional.
Jelas r ∈ R .
Jadi a r = e r . ln a .
Jadi ln a r = ln e r . ln a
⇔ ln a r = r. ln a. ln e
⇔ ln a r = r. ln a.1
27
⇔ ln a r = r. ln a .
Jadi ln a r = r. ln a, ∀ a ∈ R, a > 0 dan r bilangan rasional.
Definisi 13.
Bilangan e adalah bilangan yang didefinisikan oleh persamaan ln e = 1 .
Telah ditunjukan e merupakan bilangan irasional dengan ketelitian sampai
12 desimal yakni e ≈ 2,718281828459 .
Berdasarkan teorema 2.6 point (3) diperoleh ln e n = n ln e = n.1 = n .
Teorema 2.7
Logaritma asli sebagai anti turunan dinyatakan
1
∫ x dx = ln x + C ,
x ≠ 0.
Bukti:
Ambil sembarang x ∈ R , x ≠ 0 .
Kasus x > 0 .
Jelas x = x
Jadi
d (ln x )
dx
=
d (ln( x) d (ln( x)) d ( x) 1
1
.
=
= .(1) = .
dx
d ( x)
dx
x
x
Kasus x < 0 .
Jelas x = − x .
Jelas
d (ln x )
dx
=
d (ln(− x) d (ln(− x)) d (− x)
1
1
.
.(−1) = .
=
=
dx
d (− x)
dx
x
−x
Contoh 17
Tentukan
1 + cos x
∫ x + sin x dx ,
x + sin x ≠ 0 .
28
Penyelesaian:
Tulis u = x + sin x
Jelas du = (1 + cos x)dx .
Jelas
1 + cos x
∫ x + sin x dx = ∫
du
u
= ln u + C
= ln x + sin x + C .
3. Fungsi Eksponen
Definisi 14.
Fungsi eksponen asli merupakan fungsi yang didefinisikan sebagai
y = exp(x) jika dan hanya jika x = ln y .
Definisi 15.
exp( x) adalah fungsi yang didefinisikan sebagai exp( x) = e x , dengan x
bilangan rasional dan e adalah bilangan yang didefinisikan oleh persamaan
ln e = 1 .
Teorema 2.8
Dipunyai x1 , x 2 , dan r di R, r rasional maka:
(i) e x1 .e x2 = e x1 + x2 ,
e x1
(ii) x2 = e x1 − x2 , dan
e
(iii) [e x1 ] r = e rx1 .
Bukti:
(i) Tulis y1 = e x1 dan y 2 = e x2 .
29
Jelas y1 = e x1 ⇔ x1 = ln y1 dan y 2 = e x2 ⇔ x 2 = ln y 2 .
Jadi x1 + x 2 = ln y1 + ln y 2
⇔ x1 + x 2 = ln( y1 . y 2 )
⇔ e x1 + x2 = y1 . y 2
⇔ y1 . y 2 = e x1 + x2
⇔ e x1 e x2 = e x1 + x2 .
(ii) Tulis y1 = e x1 dan y 2 = e x2 .
Jelas y1 = e x1 ⇔ x1 = ln y1 dan y 2 = e x2 ⇔ x 2 = ln y 2 .
Jadi x1 − x 2 = ln y1 − ln y 2
⎛y
⇔ x1 − x 2 = ln⎜⎜ 1
⎝ y2
⇔
⎞
⎟⎟
⎠
y1
= e x1 − x2
y2
e x1
⇔ x2 = e x1 − x2 .
e
(iii) Dipunyai ln a r = r. ln a .
Tulis y = (e x1 ) r .
Jadi ln y = ln(e x1 ) r = r. ln e x1 = r.x1 ln e = r.x1 .1 = rx1 .
Jadi y = e rx1 .
Jadi (e x1 ) r = e rx1 .
30
Teorema 2.9
d (e x )
= ex , ∀ x ∈ R .
dx
Bukti:
Ambil sembarang x ∈ R .
Dipunyai ln e x = x .
Jelas
d (ln e x ) d ( x)
=
dx
dx
d (ln e x ) d (e x )
⇔
.
=1
dx
d (e x )
⇔
1 d (e x )
.
=1
e x dx
⇔
d (e x )
= ex .
dx
d (e x )
Jadi
= e x untuk setiap x ∈ R .
dx
Contoh 18
Tentukan turunan dari fungsi f ( x) = e x sin x .
Penyelesaian:
Jelas f ' ( x) =
d [ f ( x)]
dx
=
d (e x sin x )
dx
=
d (e x sin x ) d ( x sin x)
.
d ( x sin x)
dx
= e x sin x [sin x + x cos x] .
31
Teorema 2.10
Teorema 2.9 diatas memberikan formula integrasi sebagai berikut
∫e
x
dx = e x + C .
Bukti:
Dipunyai ∫ e x dx = e x + C .
Jelas
(
d ∫ e x dx
dx
) = d [ F ( x) + C ]
dx
=
d (e x + C )
dx
=
d (e x ) d (C )
+
dx
dx
= e x = f (x) .
Jadi F ( x) + C suatu anti turunan dari f.
Contoh 19
Tentukan ∫ e −3 x dx .
Penyelesaian:
Tulis u = −3 x .
Jelas du = −3dx .
1
Jelas ∫ e −3 x dx = ∫ e u (− )du
3
=−
1 u
e du
3∫
1
1
= − e u + C = − e −3 x + C .
3
3
BAB III
METODE PENELITIAN
Pada penelitian ini metode yang digunakan penulis adalah studi pustaka.
Langkah-langkah yang dilakukan adalah sebagai berikut:
A. Menentukan Masalah
Dalam tahap ini dilakukan pencarian sumber pustaka dan memilih bagian
dalam sumber pustaka tersebut yang dapat dijadikan sebagai permasalahan.
B. Merumuskan Masalah
Tahap ini dimaksudkan untuk memperjelas permasalahan yang telah
ditemukan yakni
1. Bagaimana membangun fungsi hiperbolik?
2. Bagaimana menentukan invers fungsi hiperbolik dan turunan serta anti
turunan fungsi hiperbolik dan inversnya?
C. Studi Pustaka
Dalam tahap ini dilakukan kajian sumber-sumber pustaka dengan cara
mengumpulakan data atau informasi yang berkaitan dengan permasalahan,
mengumpulakan konsep pendukung seperti definisi dan teorema serta
membuktikan teorema-teorema yang diperlukan untuk menyelesaikan
permasalahan.
Sehingga
didapat
suatu
pengembangan upaya pemecahan masalah.
32
ide
mengenai
bahan
dasar
33
D. Analisis dan Pemecahan Masalah
Analisis dan pemecahan masalah dilakuan dengan langkah-langkah sebagai
berikut:
1. Mempelajari dan mengkaji menggunakan referensi yang ada tentang
bagaimana menurunkan model matematikanya.
2. Mengetahui secara jelas tentang sifat-sifat fungsi hiperbolik.
3. Mencari penurunan rumus fungsi hiperbolik dan invers serta turunan dan
anti turunan fungsi hiperbolik dan inversnya.
E. Penarikan Simpulan
Dalam tahap ini dilakukan kajian sumber-sumber pustaka dengan cara
mengumpulakan data atau informasi yang berkaitan denagn permasalahan,
mengumpulakan konsep pendukung seperti definisi dan teorema serta
membuktikan teorema-teorema yang diperlukan untuk menyelesaikan
permasalahan.
Sehingga
didapat
suatu
pengembangan upaya pemecahan masalah.
ide
mengenai
bahan
dasar
BAB IV
PEMBAHASAN
A. FUNGSI HIPERBOLIK
Dalam masalah matematika terapan sering kita jumpai kombinasikombinasi tertentu dari fungsi eksponen e x dan e − x sehingga kombinasi
fungsi-fungsi tersebut diberi nama khusus. Untuk itu pada bagian ini akan
dibahas secara khusus suatu fungsi yang memuat kombinasi dari kedua fungsi
tersebut yakni fungsi hiperbolik. Untuk keperluan tersebut, dibangun fungsifungsi p dan q sebagai berikut.
ex
e−x
+
p : R → R , p ( x) =
dan q : R → R , q ( x) =
.
2
2
+
Grafik fungsi p dan q diberikan pada Gambar 3 dan Gambar 4.
Gambar 3. Grafik fungsi p naik
34
35
Gambar 4. Grafik fungsi q turun
Selanjutnya dibangun fungsi f dan g yang didefinisikan sebagai jumlah
dan selisih fungsi-fungsi p dan q. Dengan demikian
f ( x) = p ( x) + q( x) dan g ( x) = p ( x) − q( x) .
Grafik fungsi f dan g disajikan pada Gambar 5 dan Gambar 6.
Gambar 5. Grafik fungsi f : R → [1, ∞)
f ( x) = p ( x) + q ( x)
36
Dipunyai f : R → [1, ∞) , f ( x) =
Jelas f ' ( x) =
e x − e−x
>0
2
e x + e−x
.
2
∀ x > 0 dan f ' ( x) =
e x − e−x
<0
2
Jadi grafik f naik pada [0, ∞) dan turun pada (−∞,0] .
Jelas f (− x) =
e−x + e x e x + e−x
=
= f ( x) ∀ x ∈ R .
2
2
Jadi f suatu fungsi genap.
e x + e−x
Jelas f ' ' ( x) =
= f ( x) > 0 .
2
Jadi grafik f cekung ke atas pada (−∞, ∞) .
Gambar 6. Grafik fungsi g : R → R
g ( x) = p ( x) − q( x)
Dipunyai g : R → R , g ( x) =
e x − e−x
.
2
∀x < 0.
37
Jelas g ' ( x) =
e x + e−x
> 0 ∀x∈R.
2
Jadi grafik fungsi g naik pada daerah asalnya.
e−x − e x
e x − e−x
Jelas g (− x) =
=−
= − g ( x) ∀ x ∈ R .
2
2
Jadi f suatu fungsi ganjil.
Jelas g ' ' ( x) =
e x − e−x
= g ( x)
2
⎧+ , x > 0
.
⎨
⎩ −, x < 0
Jadi grafik g cekung ke bawah pada (−∞,0] dan cekung ke atas pada [0, ∞) .
Berikut disajikan beberapa sifat fungsi f dan g.
Sifat 4.1
(1) f (0) = 1 dan g (0) = 0 ,
(2) f ' ( x) = g ( x) ∀ x ∈ R ,
(3) g ' ( x) = f ( x) ∀ x ∈ R ,
(4) f 2 ( x) − g 2 ( x) = 1 ,
(5) f ( x + y ) = f ( x). f ( y ) + g ( x).g ( y ) ,
(6) g ( x + y ) = f ( x).g ( y ) + g ( x). f ( y ) ,
2
⎡ f ( x) ⎤
1
=− 2
, dan
(7) 1 − ⎢
⎥
g ( x)
⎣ g ( x) ⎦
2
⎡ g ( x) ⎤
1
(8) 1 − ⎢
= 2
.
⎥
f ( x)
⎣ f ( x) ⎦
Bukti:
Dipunyai f ( x) =
e x + e−x
e x − e−x
dan g ( x) =
.
2
2
38
(1) Jelas f (0) =
e0 + e0 2
e0 − e0 0
= = 1 dan g (0) =
= = 0.
2
2
2
2
(2) Jelas f ' ( x) =
e x − e−x
= g ( x) .
2
(3) Jelas g ' ( x) =
e x + e−x
= f ( x) .
2
⎛ e x + e−x
(4) Jelas f ( x) − g ( x) = ⎜⎜
2
⎝
2
2
2
⎞ ⎛ e x − e−x
⎟⎟ − ⎜⎜
2
⎠ ⎝
⎞
⎟⎟
⎠
2
e 2 x + 2 + e −2 x e 2 x − 2 − e −2 x
=
−
4
4
=
4
= 1.
4
e x+ y + e −( x+ y )
(5) Jelas f ( x + y ) =
2
=
e xe y + e−xe− y
2
=
1 x y
e e + e −x e− y
2
=
1
[( f ( x) + g ( x))( f ( y) + g ( y)) + ( f ( x) − g ( x))( f ( y) − g ( y))]
2
=
1 ⎡ f ( x ) f ( y ) + f ( x ) g ( y ) + g ( x ) f ( y ) + g ( y ) g ( x) + f ( x) f ( y ) ⎤
⎥
2 ⎢⎣− f ( x) g ( y ) − g ( x) f ( y ) + g ( x) g ( y )
⎦
=
1
[2 f ( x) f ( y) + 2 g ( x) g ( y)]
2
[
]
= f ( x). f ( y ) + g ( x).g ( y ) .
39
e x+ y − e −( x+ y )
2
(6) Jelas g ( x + y ) =
=
e xe y − e−xe− y
2
=
1 x y
e e − e −x e− y
2
=
1
[( f ( x) + g ( x))( f ( y) + g ( y)) − ( f ( x) − g ( x))( f ( y) − g ( y))]
2
=
1 ⎡ f ( x) f ( y ) + f ( x) g ( y ) + g ( x) f ( y ) + g ( y ) g ( x) − f ( x) f ( y ) ⎤
⎥
2 ⎢⎣+ f ( x) g ( y ) + g ( x) f ( y ) − g ( x) g ( y )
⎦
=
1
[2 f ( x) g ( y) + 2 g ( x) f ( y)]
2
[
]
= f ( x).g ( y ) + g ( x). f ( y ) .
2
⎡ f ( x) ⎤
f 2 ( x)
(7) Jelas 1 − ⎢
⎥ = 1− 2
g ( x)
⎣ g ( x) ⎦
=
g 2 ( x) − f 2 ( x)
g 2 ( x)
f 2 ( x) − g 2 ( x)
=−
g 2 ( x)
=−
1
.
g ( x)
2
2
⎡ g ( x) ⎤
g 2 ( x)
(8) Jelas 1 − ⎢
⎥ = 1− 2
f ( x)
⎣ f ( x) ⎦
=
f 2 ( x) − g 2 ( x)
f 2 ( x)
40
=
1
.
f ( x)
2
Sifat-sifat dari fungsi f dan g yang diberikan pada sifat 4.1
memperlihatkan adanya kemiripan dengan sifat-sifat yang dimiliki oleh fungsi
trigonometri. Hal ini memberikan suatu ide untuk mendefinisikan fungsi f dan
g sebagai fungsi hiperbolik sebagai berikut.
Sifat 4.2
(1) Dipunyai f : R → R , fungsi sinus hiperbolik didefinisikan sebagai
sinh x =
e x − e−x
,
2
(2) Dipunyai f : R → [1, ∞) , fungsi cosinus hiperbolik didefinisikan sebagai
cosh x =
e x + e−x
,
2
(3) Dipunyai f : R → (−1,1) , fungsi tangen hiperbolik didefinisikan sebagai
tanh x =
(4)
sinh x e x − e − x
=
,
cosh x e x + e − x
Dipunyai
f : R → (−∞,−1) ∪ (1, ∞) ,
fungsi
cotangen
hiperbolik
didefinisikan sebagai
cosh x e x + e − x
coth x =
=
, dan
sinh x e x − e − x
(5) Dipunyai f : R → (0,1] , fungsi secan hiperbolik didefinisikan sebagai
sec hx =
1
2
= x
.
cosh x e + e − x
41
Gambar grafik fungsi tangen hiperbolik, cotangen hiperbolik, dan secan
hiperbolik masing-masing diberikan pada Gambar 7, Gambar 8, dan
Gambar 9.
Gambar 7. Grafik fungsi f ( x) = tanh x
Gambar 8. Grafik fungsi f ( x) = coth x
42
Gambar 9. Grafik fungsi f ( x) = sec hx
B. TURUNAN FUGSI HIPERBOLIK
Berdasarkan sifat 4.2, diperoleh:
Teorema 4.1
(1)
d (sinh x)
= cosh x
dx
(2)
d (cosh x)
= sinh x
dx
(3)
d (tanh x)
= sec h 2 x
dx
(4)
d (coth x)
= − csc h 2 x
dx
(5)
d (sec hx)
= − tanh x. sec hx .
dx
Bukti:
e x − e−x
(1) Dipunyai sinh x =
.
2
43
⎛ e x − e−x
d ⎜⎜
2
d (sinh x)
Jelas
= ⎝
dx
dx
⎞
⎟⎟
⎠
1 d (e x − e − x )
=
2
dx
=
1 x
(e + e − x )
2
= cosh x .
Jadi
d (sinh x)
= cosh x .
dx
e x + e−x
.
(2) Dipunyai cosh =
2
⎛ e x + e−x
d ⎜⎜
2
d (cosh x)
Jelas
= ⎝
dx
dx
⎞
⎟⎟
⎠
=
1 d (e x + e − x )
dx
2
=
1 x
(e − e − x )
2
= sinh x .
Jadi
d (cosh x)
= sinh x .
dx
(3) Dipunyai sinh x =
e x − e−x
e x + e−x
dan cosh =
.
2
2
⎛ sinh x ⎞
d⎜
⎟
d (tanh x)
cosh x ⎠
⎝
=
Jelas
dx
dx
44
⎛ e x − e−x
d ⎜⎜ x
e + e −x
⎝
=
dx
=
(e x + e − x )
⎞
⎟⎟
⎠
d (e x − e − x )
d (e x + e − x )
− (e x − e − x )
dx
dx
(e x + e − x ) 2
=
(e x + e − x )(e x + e − x ) − (e x − e − x )(e x − e − x )
(e x + e − x ) 2
=
( e x + e − x ) 2 − (e x − e − x ) 2
(e x + e − x ) 2
= 1−
(e x − e − x ) 2
(e x + e − x ) 2
⎛ e x − e−x
= 1 − ⎜⎜ x
−x
⎝e +e
⎞
⎟⎟
⎠
2
= 1 − tanh 2 x
= sec h 2 x .
Jadi
d (tanh x)
= sec h 2 x .
dx
(4) Dipunyai sinh x =
e x − e−x
e x + e−x
dan cosh =
.
2
2
⎛ cosh x ⎞
d⎜
⎟
d (coth x)
sinh x ⎠
⎝
Jelas
=
dx
dx
⎛ e x + e−x
d ⎜⎜ x
e − e −x
⎝
=
dx
⎞
⎟⎟
⎠
45
=
d (e x + e − x )
d (e x − e − x )
− (e x + e − x )
dx
dx
x
−x 2
(e − e )
(e x − e − x )
=
(e x − e − x )(e x − e − x ) − (e x + e − x )(e x + e − x )
(e x − e − x ) 2
=
( e x − e − x ) 2 − (e x + e − x ) 2
(e x − e − x ) 2
= 1−
(e x + e − x ) 2
(e x − e − x ) 2
⎛ e x + e−x
= 1 − ⎜⎜ x
−x
⎝e −e
⎞
⎟⎟
⎠
2
= 1 − coth 2 x
= − csc h 2 x .
Jadi
d (coth x)
= − csc h 2 x .
dx
(5) Dipunyai cosh =
e x + e−x
.
2
⎛ 1 ⎞
d⎜
⎟
d (sec hx)
cosh x ⎠
⎝
=
Jelas
dx
dx
2
⎛
⎞
d⎜ x
−x ⎟
e +e ⎠
= ⎝
dx
=
=
(e x + e − x )
d ( 2)
d (e x + e − x )
−2
dx
dx
x
−x 2
(e + e )
− 2(e x − e − x )
(e x + e − x ) 2
46
=−
(e x − e − x )
2
x
−x
x
(e + e ) (e + e − x )
= − tanh x. sec hx .
Jadi
d (sec hx)
= − tanh x. sec hx .
dx
C. INVERS FUNGSI HIPERBOLIK
Fungsi invers sinus hiperbolik, cosinus hiperbolik, tangen hiperbolik,
cotangen hiperbolik, dan secan hiperbolik, masing-masing dinyatakan dengan
sinh −1 , cosh −1 , tanh −1 , coth −1 , dan sec h −1 , didefinisikan sebagai
(1) y = sinh −1 x ⇔ x = sinh y ,
(2) y = cosh −1 x ⇔ x = cosh y ,
(3) y = tanh −1 x ⇔ x = tanh y ,
(4) y = coth −1 x ⇔ x = coth y , dan
(5) y = sec h −1 x ⇔ x = sec hy .
Lebih jauhnya tentang invers fungsi hiperbolik disajikan dalam uraian
berikut.
(1) Invers Fungsi Sinus Hiperbolik
Dipunyai f : R → R , f ( x) = sinh x .
Ambil sembarang x1 , x 2 ∈ R, x1 ≠ x 2 .
Jelas f ( x1 ) − f ( x 2 ) = sinh x1 − sinh x 2
=
e x1 − e − x1 e x2 − e − x2
−
2
2
47
(e x1 − e x2 ) + (e − x2 − e − x1 )
≠ 0.
2
=
Jadi fungsi f satu-satu.
Berikutnya ditunjukan f fungsi pada.
Ambil sembarang x ∈ R .
Tulis x = sinh y , untuk suatu y ∈ R .
Jelas x =
e y − e− y
2
⇔ 2x = e y − e − y
⇔ 2 xe y = e y (e y − e − y )
⇔ 2 xe y = e 2 y − 1
⇔ e 2 y − 2e y x − 1 = 0
[
]
⇔ (e y ) 2 − 2e y x + x 2 − (1 + x 2 ) = 0
(
⇔ (e y − x ) 2 − 1 + x 2
) =0
2
⇔ e y = x − 1+ x2 ∨ e y = x + 1+ x2 .
Jelas e y = x + 1 + x 2 ⇔ y = ln( x + 1 + x 2 ) .
Jadi ∀ x ∈ R ∃ y = ln( x + 1 + x 2 ) ∈ R ∋ x = f ( y ) .
Jadi f suatu fungsi pada.
Jadi f : R → R , f ( x) = sinh x memiliki invers.
Jelas y = sinh −1 x ⇔ x = sinh y
Jadi sinh −1 x = ln( x + 1 + x 2 ) .
48
Gambar grafik fungsi f : R → R , f ( x) = sinh −1 x diberikan pada
Gambar 10.
Gambar 10. Grafik fungsi f ( x) = sinh −1 x
(2) Invers Fungsi Cosinus Hiperbolik
Dipunyai f : R → [1, ∞) , f ( x) = cosh x .
Ambil x1 = −1, x 2 =1 ∈ R .
Jelas x1 ≠ x 2 .
akan tetapi f ( x1 ) = f (−1) =
e + e −1
= f (1) = f ( x 2 ) .
2
Jadi f bukan fungsi satu-satu.
Jadi fungsi f : R → [1, ∞) , f ( x) = cosh x tidak memiliki invers.
Agar f memiliki invers maka kita definisikan f sebagai
f : [0, ∞) → [1, ∞) , f ( x) = cosh x .
49
Grafik fungsi f : [0, ∞) → [1, ∞) , f ( x) = cosh x diberikan pada
Gambar 11.
Gambar 11. Grafik fungsi f : [0, ∞) → [1, ∞)
f ( x) = cosh x
Jelas f ' ( x) > 0 ∀ x ∈ [0, ∞) .
Jadi f monoton naik pada daerah asalnya.
Jadi fungsi f : [0, ∞) → [1, ∞) , f ( x) = cosh x memiliki invers.
Ambil sembarang x ∈ [0, ∞) .
Tulis x = cosh y , untuk suatu y ∈ [1, ∞) .
Jelas x =
e y + e− y
2
⇔ 2x = e y + e − y
⇔ 2 xe y = e y (e y + e − y )
50
⇔ 2 xe y = e 2 y + 1
⇔ e 2 y − 2e y x + 1 = 0
[
]
⇔ (e y ) 2 − 2e y x + x 2 − ( x 2 − 1) = 0
⇔ (e y − x ) 2 −
)
(
2
x2 −1 = 0
⇔ e y = x − x2 −1 ∨ e y = x + x2 −1 .
Jelas e y = x + x 2 − 1 ⇔ y = ln( x + x 2 − 1) .
Jadi ∀ x ∈ [0, ∞) ∃ y = ln( x + x 2 − 1) ∈ [1, ∞) ∋ x = f ( y ) .
Jelas y = cosh −1 x ⇔ x = cosh y .
Jadi cosh −1 x = ln( x + x 2 − 1) .
Gambar grafik fungsi f : [1, ∞) → [0, ∞) , f ( x) = cosh −1 x diberikan
pada Gambar 12.
Gambar 12. Grafik fungsi f ( x) = cosh −1 x
51
(3) Invers Fungsi Tangen Hiperbolik
Dipunyai fungsi f : R → (−1,1) , f ( x) = tanh x .
Ambil sembarang x1 , x 2 ∈ R, x1 ≠ x 2 .
Jelas f ( x1 ) − f ( x 2 ) = tanh x1 − tanh x 2
=
e x1 − e − x1 e x2 − e − x2
−
e x1 + e − x1 e x2 + e − x2
(e x1 − e − x1 )(e x2 + e − x2 ) − (e x2 − e − x2 )(e x1 + e − x1 )
=
(e x1 + e − x1 )(e x2 + e − x2 )
≠ 0.
Jadi fungsi f satu-satu.
Selanjutnya ditunjukan f suatu fungsi pada.
Ambil sembarang x ∈ R .
Tulis x = tanh y , untuk suatu y ∈ (−1,1) .
Jelas x =
e y − e− y
e y + e−y
⇔ x (e y + e − y ) = e y − e − y
⇔ xe y (e y + e − y ) = e y (e y − e − y )
⇔ x(e 2 y + 1) = e 2 y − 1
⇔ e 2 y − 1 − x(e 2 y + 1) = 0
⇔ e 2 y − xe 2 y − x − 1 = 0
⇔ (e y ) 2 − x(e y ) 2 − ( x + 1) = 0
⇔ (1 − x)(e y ) 2 = x + 1
52
⇔ (e y ) 2 =
x +1
1− x
⇔ ln(e y ) 2 = ln
1+ x
1− x
⇔ 2. y. ln e = ln
1+ x
1− x
⇔ 2. y = ln
⇔ y=
1+ x
1− x
1 1+ x
.
ln
2 1− x
Jadi ∀ x ∈ R ∃ y =
1 1+ x
ln
∈ (−1,1) ∋ x = f ( y ) .
2 1− x
Jadi f suatu fungsi pada.
Jadi fungsi f : R → (−11) , f ( x) = tanh x memiliki invers.
Jelas y = tanh −1 x ⇔ x = tanh y .
Jadi tanh −1 x =
Gambar
1 1+ x
.
ln
2 1− x
grafik
diberikan pada Gambar 13.
fungsi f : (−1,1) → (−∞, ∞) ,
f ( x) = tanh −1 x
53
Gambar 13. Grafik fungsi f ( x) = tanh −1 x
(4) Invers Fungsi Cotangen Hiperbolik
Dipunyai f : R → (−∞,−1) ∪ (1, ∞) , f ( x) = coth x .
Ambil sembarang x1 , x 2 ∈ R, x1 ≠ x 2 .
Jelas f ( x1 ) − f ( x 2 ) = coth x1 − coth x 2
e x1 + e − x1 e x2 + e − x2
= x1
−
e − e − x1 e x2 − e − x2
=
(e x1 + e − x1 )(e x2 − e − x2 ) − (e x2 + e − x2 )(e x1 − e − x1 )
(e x1 − e − x1 )(e x2 − e − x2 )
≠ 0.
Jadi fungsi f satu-satu.
Selanjutnya ditunjukan f suatu fungsi pada.
Ambil sembarang x ∈ R .
Tulis x = coth y , untuk suatu y ∈ (−∞,−1) ∪ (1, ∞) .
54
Jelas x =
e y + e− y
e y − e−y
⇔ x (e y − e − y ) = e y + e − y
⇔ xe y (e y − e − y ) = e y (e y + e − y )
⇔ x(e 2 y − 1) = e 2 y + 1
⇔ e 2 y + 1 − x(e 2 y − 1) = 0
⇔ e 2 y − xe 2 y + x + 1 = 0
⇔ (e y ) 2 − x(e y ) 2 + ( x + 1) = 0
⇔ (1 − x)(e y ) 2 = −( x + 1)
⇔ (e y ) 2 =
− x −1
1− x
⇔ (e y ) 2 =
− x −1
− x +1
⇔ (e y ) 2 =
x +1
x −1
⇔ ln(e y ) 2 = ln
x +1
x −1
⇔ 2. y. ln e = ln
x +1
x −1
⇔ 2. y = ln
⇔ y=
x +1
x −1
1 x +1
ln
.
2 x −1
Jadi ∀ x ∈ R ∃ y =
1 x +1
ln
∈ (−∞,−1) ∪ (1, ∞) ∋ x = f ( y ) .
2 x −1
Jadi f suatu fungsi pada.
55
Jadi fungsi f : R → (−∞,−1) ∪ (1, ∞) , f ( x) = coth x memiliki invers.
Jelas y = coth −1 x ⇔ x = coth y .
Jadi coth −1 x =
Gambar
1 1+ x
.
ln
2 1− x
grafik
fungsi
f : (−∞,−1) ∪ (1, ∞) → (−∞, ∞) ,
f ( x) = coth −1 x diberikan pada Gambar 14.
Gambar 14. Grafik fungsi f ( x) = coth −1 x
(5) Invers Fungsi Secan Hiperbolik
Dipunyai f : R → (0,1] , f ( x) = sec hx .
Ambil x1 = −1, x 2 = 1 ∈ R .
Jelas x1 ≠ x 2 .
akan tetapi f ( x1 ) = f (−1) =
2
= f (1) = f ( x 2 ) .
e + e −1
56
Jadi f bukan fungsi satu-satu.
Jadi fungsi f : R → (0,1] , f ( x) = sec hx tidak memiliki invers.
Agar f memiliki invers maka kita definisikan f sebagai
f : [0, ∞) → (0,1] , f ( x) = sec hx .
Grafik fungsi
f : [0, ∞) → (0,1] ,
f ( x) = sec hx diberikan pada
Gambar 15.
Gambar 15. Grafik fungsi f : [0, ∞) → (0,1]
f ( x) = sec hx
Jelas f ' ( x) < 0 ∀ x ∈ [0, ∞) .
Jadi f monoton turun pada daerah asalnya.
Jadi fungsi f : [0, ∞) → (0,1] , f ( x) = sec hx memiliki invers.
Ambil sembarang x ∈ [0, ∞) .
Tulis y = sec hx , untuk suatu y ∈ (0,1] .
57
Jelas x =
2
e + e−y
y
⇔ x (e y + e − y ) = 2
⇔ xe y (e y + e − y ) = 2e y
⇔ x(e 2 y + 1) = 2e 2 y
⇔ xe 2 y + x − 2e 2 y = 0
⇔ x(e y ) 2 − 2e y + x = 0
⇔ e12y =
2 ± 4 − 4 x.x
2x
⇔ e12y =
2 ± 4 − 4x 2
2x
⇔ e12y =
2 ± 4(1 − x 2 )
2x
2 ± 2 (1 − x 2 )
⇔e =
2x
y
12
⇔ e12y =
1 ± (1 − x 2 )
x
1+ 1− x2
1− 1− x2
y
⇔e =
atau e2 =
.
x
x
y
1
Jelas e y =
⎛1+ 1− x2
1+ 1− x2
⇔ y = ln⎜
⎜
x
x
⎝
⎛1+ 1− x2
Jadi ∀ x ∈ [0, ∞) ∃ y = ln⎜
⎜
x
⎝
Jelas y = sec h −1 x ⇔ x = sec hy .
⎞
⎟.
⎟
⎠
⎞
⎟ ∈ (0,1] ∋ x = f ( y ) .
⎟
⎠
58
⎛1+ 1− x2
Jadi sec h −1 x = ln⎜
⎜
x
⎝
⎞
⎟.
⎟
⎠
Gambar grafik fungsi f : (0,1] → [0, ∞) , f ( x) = sec h −1 x diberikan
pada Gambar 16.
Gambar 16. Grafik fungsi f ( x) = sec h −1 x
Perolehan tersebut disajikan dalam suatu teorema berikut.
Teorema 4.2
(
x = ln (x +
)
− 1 ),
(1) sinh −1 x = ln x + 1 + x 2 ,
−∞ < x < ∞,
(2) cosh −1
x ≥ 1,
(3) tanh −1 x =
x2
1 1+ x
,
ln
2 1− x
−1 < x < 1 ,
59
(4) coth −1 x =
1 x +1
ln
,
2 x −1
x > 1 , dan
⎛1+ 1− x2
(5) sec h −1 x = ln⎜
⎜
x
⎝
⎞
⎟,
⎟
⎠
0 < x ≤ 1.
D. TURUNAN INVERS FUNGSI HIPERBOLIK
Teorema 4.3
(1)
d (sinh −1 x)
1
,
=
dx
1+ x2
d (cosh −1 x)
=
(2)
dx
1
x2 −1
,
(3)
1
d (tanh −1 x)
=
dx
1− x2
x < 1,
(4)
1
d (coth −1 x)
=
dx
1− x2
x > 1 , dan
(5)
d (sec h −1 x)
1
.
=−
dx
x 1− x2
Bukti:
)
(
(1) Dipunyai sinh −1 x = ln x + 1 + x 2 .
2
d (sinh −1 x) d ln( x + 1 + x
=
Jelas
dx
dx
(
d ln( x + 1 + x 2 d x + 1 + x 2
=
.
dx
d (x + 1 + x 2 )
=
⎛
x
.⎜⎜1 +
2
x + 1+ x ⎝
1+ x2
1
⎞
⎟
⎟
⎠
)
60
=
⎛ 1+ x2 + x ⎞
⎜
⎟
2 ⎜
2
⎟
x + 1+ x ⎝
1+ x
⎠
1
x + 1+ x2
=
(x +
=
1
1+ x2
) 1+ x
2
.
1+ x2
)
(
(2) Dipunyai cosh −1 x = ln x + x 2 − 1 .
(
2
d (cosh −1 x) d ln x + x − 1
=
Jelas
dx
dx
(
) (
d ln x + x 2 − 1 d x + x 2 − 1
.
=
dx
d x + x2 −1
(
=
)
⎛
.⎜⎜1 +
x + x2 −1 ⎝
1
(
)
⎞
⎟
⎟
x2 −1 ⎠
x
⎛ x2 −1 + x ⎞
⎜
⎟
=
2
2
⎜
x + x −1 ⎝
x − 1 ⎟⎠
1
(
)
(x +
=
(x +
=
1
x2 −1
)
)
x −1 x −1
2
x2 −1
2
.
(3) Dipunyai tanh −1 x =
1 1+ x
.
ln
2 1− x
⎛ 1 1+ x ⎞
d ⎜ ln
⎟
d (tanh x)
2 1− x ⎠
⎝
Jelas
=
dx
dx
−1
)
)
61
=
1 ⎡ d ( ln(1 + x) − ln(1 − x) ) ⎤
⎢
⎥
2⎣
dx
⎦
=
1 ⎡ d ln(1 + x) d ln(1 − x) ⎤
−
⎢
⎥
2⎣
dx
dx
⎦
=
1 ⎡ d ln(1 + x) d (1 + x) d ln(1 − x) d (1 − x) ⎤
−
.
.
⎢
⎥
dx
d (1 − x)
dx ⎦
2 ⎣ d (1 + x)
=
1⎡ 1
1 ⎤
+
⎢
2 ⎣1 + x 1 − x ⎥⎦
=
1 ⎡1 − x + 1 + x ⎤
2 ⎢⎣ 1 − x 2 ⎥⎦
1
1 2
= .
=
.
2
2 1− x
1− x2
(4) Dipunyai coth −1 x =
Jelas coth −1 x =
1 x +1
ln
.
2 x −1
1 x +1
ln
2 x −1
=
1 ⎡ d ( ln( x + 1) − ln( x − 1) ) ⎤
⎢
⎥
2⎣
dx
⎦
=
1 ⎡ d ln( x + 1) d ln( x − 1) ⎤
−
⎢
⎥
2⎣
dx
dx
⎦
=
1 ⎡ d ln( x + 1) d ( x + 1) d ln( x − 1) d ( x − 1) ⎤
−
.
.
⎢
⎥
dx
d ( x − 1)
dx ⎦
2 ⎣ d ( x + 1)
=
1⎡ 1
1 ⎤
−
⎢
2 ⎣ x + 1 x − 1⎥⎦
=
1 ⎡ ( x − 1) − ( x + 1) ⎤
⎥⎦
2 ⎢⎣
x2 −1
62
1 ⎡ −2 ⎤
= .⎢ 2 ⎥
2 ⎣ x − 1⎦
=−
1
1
.
=
x −1 1− x2
2
⎛1+ 1− x2
(5) Dipunyai sec h −1 x = ln⎜
⎜
x
⎝
⎞
⎟.
⎟
⎠
⎛1+ 1− x2
d ln⎜
⎜
x
d (sec h −1 x)
⎝
=
Jelas
dx
dx
=
⎞
⎟
⎟
⎠
d ln(1 + 1 − x 2 − d ln x
dx
d ln(1 + 1 − x 2 ) d (1 + 1 − x 2 ) d (ln x)
=
−
.
dx
dx
d (1 + 1 − x 2 )
=
⎛
x
⎜−
⎜
1+ 1− x2 ⎝
1− x2
=−
=−
=−
=−
1
x
(1 +
1− x
2
⎞ 1
⎟−
⎟ x
⎠
)( 1 − x )
2
−
x 2 − 1 − x 2 + (1 − x 2 )
x( 1 − x 2 + (1 − x 2 )
1− 1− x2
x 1 − x 2 (1 − 1 − x 2 )
1
x 1− x2
.
1
x
63
E. ANTI TURUNAN INVERS FUNGSI HIPERBOLIK
Teorema 4.3 menyatakan bahwa
turunan sinh −1 x dan
1
x −1
2
Teorema 4.4
∫
(2)
∫
(3)
(4)
dx
1+ x
= sinh −1 x + C ,
2
dx
= cosh −1 x + C ,
x −1
2
⎧tanh −1 x + C ,
dx
⎪
∫ 1 − x 2 = ⎨ −1
⎪coth x + C ,
⎩
∫x
dx
1− x
2
1+ x
2
merupakan suatu anti
, x ≠ 1 suatu anti turunan cosh −1 x . Akibatnya
dapat dimunculkan teorema 4.4 berikut.
(1)
1
= − sec h −1 x + C .
x <1
, dan
x >1
64
F. CONTOH PENERAPAN TEORI DIFERENSI DAN INTEGRASI PADA
FUNGSI HIPERBOLIK DAN INVERSNYA
Berikut diberikan beberapa penerapan teori diferensi dan integrasi dan
penyelesaianya pada fungsi hiperbolik dan inversnya.
dy
dari masing-masing fungsi yang diberikan berikut.
dx
1. Tentukan
(a) y = cosh( x 4 )
(e) y = sec h(e 2 x )
⎛1⎞
(i) y = sinh −1 ⎜ ⎟
⎝ x⎠
(b) y = sinh(4 x − 8)
(f) y = sec h x
(j) y = coth −1 x
(c) y = ln(tanh 2 x)
(g) y = cosh −1 (1 − x)
(d) y = coth(ln x)
(h) y = sec h −1 ( x 7 )
2. Tentukan integral dari masing-masing fungsi yang diberikan berikut.
(a) ∫ cosh(2 x − 3)dx
(e)
∫
(b) ∫ sinh 6 x cosh xdx
(f)
∫
(g)
∫
(c)
∫
(d)
∫
tanh x sec h 2 xdx
dx
1 + 9x 2
Penyelesaian:
1. (a) Dipunyai y = cosh( x 4 ) .
Jelas
dy d [cosh( x 4 )]
=
dx
dx
dx
9 x 2 − 25
dx
2 − 2x + x 2
dx
x2 − 2
65
=
d [cosh( x 4 )] d ( x 4 )
.
dx
d (x 4 )
= sinh( x 4 ).4 x 3
= 4 x 3 sinh( x 4 ) .
(b) Dipunyai y = sinh(4 x − 8) .
Jelas
dy d [sinh(4 x − 8)]
=
dx
dx
=
d [sinh(4 x − 8)] d (4 x − 8)
.
d (4 x − 8)
dx
= cosh(4 x − 8).4
= 4 cosh(4 x − 8) .
(c) Dipunyai y = ln(tanh 2 x) .
Jelas
dy d [ln(tanh 2 x)]
=
dx
dx
=
d [ln(tanh 2 x)] d (tanh 2 x) d (2 x)
.
.
d (tanh 2 x)
d (2 x)
dx
=
1
. sec h 2 2 x.2
tanh 2 x
=
2 sec h 2 2 x
.
tanh 2 x
(d) Dipunyai y = coth(ln x) .
Jelas
dy d [coth(ln x)]
=
dx
dx
=
d [coth(ln x)] d (ln x)
.
d (ln x)
dx
66
= − csc h 2 (ln x).
=−
1
x
csc h 2 (ln x)
.
x
(e) Dipunyai y = sec h(e 2 x ) .
Jelas
dy d [sec h(e 2 x )]
=
dx
dx
d [sec h(e 2 x )] d (e 2 x ) d (2 x)
.
.
=
d (2 x) dx
d (e 2 x )
= − tanh(e 2 x ). sec h(e 2 x ).e 2 x .2
= −2e 2 x tanh(e 2 x ). sec h(e 2 x ) .
(f) Dipunyai y = sec h x .
Jelas
dy d [sec h x ]
=
dx
dx
=
d [sec h x ] d ( x )
.
dx
d( x)
= − tanh x . sec h x .
=−
tanh x . sec h x
2 x
1
2 x
.
(g) Dipunyai y = cosh −1 (1 − x) .
Jelas
dy d [cosh −1 (1 − x)]
=
dx
dx
=
d [cosh −1 (1 − x)] d (1 − x)
.
d (1 − x)
dx
67
1
=
(1 − x) 2 − 1
.(−1)
1
=−
(1 − x) 2 − 1
.
(h) Dipunyai y = sec h −1 ( x 7 ) .
Jelas
dy d [sec h −1 ( x 7 )]
=
dx
dx
=
d [sec h −1 ( x 7 )] d ( x 7 )
.
dx
d (x7 )
1
=−
x
=−
7
1 − (x )
7 2
7x6
x7 1 − (x7 )2
.7 x 6
.
⎛1⎞
(i) Dipunyai y = sinh −1 ⎜ ⎟ .
⎝ x⎠
⎛1⎞
d [sinh −1 ⎜ ⎟]
dy
⎝ x⎠
Jelas
=
dx
dx
⎛1⎞ ⎛1⎞
d [sinh −1 ⎜ ⎟] d ⎜ ⎟
⎝ x⎠ . ⎝ x⎠
=
dx
⎛1⎞
d⎜ ⎟
⎝ x⎠
=
⎛ 1 ⎞
.⎜ − 2 ⎟
2
⎛1⎞ ⎝ x ⎠
1+ ⎜ ⎟
⎝ x⎠
1
68
1
=−
⎛1⎞
1+ ⎜ ⎟
⎝ x⎠
x2
2
.
(j) Dipunyai y = coth −1 x .
Jelas
dy d [ coth −1 x ]
=
dx
dx
=
d ( coth −1 x ) d (coth −1 x)
.
dx
d (coth −1 x)
1
=
1
2
2 coth −1 x 1 − x
=
1
.
2(1 − x 2 ) coth −1 x
2. (a) ∫ cosh(2 x − 3)dx
Jelas ∫ cosh(2 x − 3)dx =
=
1
cosh(2 x − 3)d (2 x − 3)
2∫
1
sinh(2 x − 3) + C .
2
(b) ∫ sinh 6 x cosh xdx
Tulis u = sinh x .
Jelas du = cosh xdx
Jelas ∫ sinh 6 x cosh xdx = ∫ u 6 du
=
1 7
u +C
7
=
1
sinh 7 x + C .
7
69
(c)
∫
tanh x sec h 2 xdx
Tulis u = tanh x .
Jelas du = sec h 2 xdx
Jelas
∫
tanh x . sec h 2 xdx = ∫ u .du
3
2
= u2 +C
3
(d)
∫
=
2
u. u + C
3
=
2
tanh x tanh x + C .
3
dx
1 + 9x 2
Jelas
dx
∫
1 + 9x
2
=
1
d (3x)
∫
3 1 + (3x) 2
1
= sinh −1 3x + C .
3
(e)
∫
dx
9 x 2 − 25
Jelas
∫
dx
9 x 2 − 25
=
⎛ 3x ⎞
d⎜ ⎟
⎝ 5 ⎠
5
3 ∫ ⎛ 3x ⎞ 2
⎜ ⎟ −1
⎝ 5 ⎠
5
3x
= cosh −1
+C .
3
5
(f)
∫
dx
2 − 2x + x 2
70
Jelas
∫
dx
2 − 2x + x
2
=∫
d (−1 + x)
1 + (−1 + x) 2
= sinh −1 (−1 + x) + C .
(g)
∫
dx
x2 − 2
Jelas
∫
dx
x2 − 2
= 2∫
⎛ x ⎞
d⎜
⎟
⎝ 2⎠
2
⎛ x ⎞
⎜
⎟ −1
⎝ 2⎠
= 2 cosh −1
x
2
+C.
BAB V
PENUTUP
A. SIMPULAN
Berdasarkan pembahasan pada bab-bab sebelumnya dapat diambil kesimpulan
sebagai berikut.
1. Fungsi hiperbolik dibangun oleh dua fungsi p dan q dengan p : R → R + ,
p ( x) =
ex
e−x
dan q : R → R + , q ( x) =
. Selanjutnya dibangun fungsi f
2
2
dan g yang dinyatakan sebagai jumlah dan selisih dari fungsi p dan q,
dengan demikian f ( x) = p ( x) + q ( x) dan
g ( x) = p ( x) − q ( x) , dimana
fungsi f dan g memiliki kemiripan sifat dengan sifat-sifat yang dimiliki
oleh fungsi trigonometri. Berdasarkan sifat tersebut diturunakn formula
fungsi hiperbolik.
2. Berdasarkan point (1) diperoleh formula fungsi hiperbolik sebagai berikut
(a) sinh x =
e x − e−x
2
(d) coth x =
cosh x
sinh x
(b) cosh x =
e x + e−x
2
(e) sec hx =
1
cosh x
(c) tanh x =
sinh x
cosh x
3. Formula turunan fungsi hiperbolik
(a)
d (sinh x)
= cosh x ,
dx
64
65
(b)
d (cosh x)
= sinh x ,
dx
(c)
d (tanh x)
= sec h 2 x ,
dx
(d)
d (coth x)
= − csc h 2 x , dan
dx
(e)
d (sec hx)
= − tanh x. sec hx .
dx
4. Invers fungsi hiperbolik
(
x = ln (x +
)
− 1)
(a) sinh −1 x = ln x + 1 + x 2
−∞ < x < ∞
(b) cosh −1
x ≥1
x2
(c) tanh −1 x =
1 1+ x
ln
2 1− x
−1 < x < 1
(d) coth −1 x =
1 x +1
ln
2 x −1
x >1
⎛1+ 1− x2
(e) sec h −1 x = ln⎜
⎜
x
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
0 < x ≤ 1.
5. Formula turunan invers fungsi hiperbolik
(a)
d (sinh −1 x)
1
=
dx
1+ x2
(b)
d (cosh −1 x)
=
dx
(c)
1
d (tanh −1 x)
=
dx
1− x2
x <1
1
d (coth −1 x)
=
(d)
dx
1− x2
x >1
1
x2 −1
66
(e)
d (sec h −1 x)
1
.
=−
dx
x 1− x2
6. Formula anti turunan invers fungsi hiperbolik
(a)
∫
(b)
∫
1+ x
2
= sinh −1 x + C
dx
= cosh −1 x + C
x −1
2
⎧tanh −1 x + C ,
dx
⎪
∫ 1 − x 2 = ⎨ −1
⎪coth x + C ,
⎩
(c)
(d)
dx
∫x
dx
1− x
2
x <1
x >1
= − sec h −1 x + C .
B. SARAN
Dalam skripsi ini, penulis menentukan penurunan rumus fungsi
hiperbolik dan invers serta turunan dan anti turunan fungsi hiperbolik dan
inversnya pada fungsi hiperbolik bernilai real. Bagi pembaca yang beminat
dapat mengembangkannya untuk fungsi hiperbolik pada bilangan kompleks.
DAFTAR PUSTAKA
Anton, H. 1980. Calculus With Analytic Geometry. New York: John Wiley And
Sons.
Berkey, D. Dennis. 1988. Calculus, 2nd Edition. New York: Sounders Collage
Publishing.
Chotim, M. 2004. Kalkulus 2. Semarang: Penerbit FMIPA Universitas Negeri
Semarang.
Leithold, L. 1993. Kalkulus dan Ilmu Ukur Analitik Jilid 2, Edisi Kelima
(diterjemahkan oleh Hutahean, Widianti Santoso, dan Koko Martono).
Jakarta: Erlangga.
Purcell, E. J. & Varberg, D. 1987. Kalkulus dan Geometri Analitik Jilid 1
(diterjemahkan oleh I Nyoman Susila, Bana Kartasasmita, dan Rawuh).
Jakarta: Erlangga.
Purcell, E. J., Varberg, D., & Rigdon, S. E. 2003. Kalkulus Jilid 1, Edisi
kedelapan (diterjemahkan oleh I Nyoman Susila). Jakarta: Erlangga.
Thomas, George. B. 1962. Calculus, 2nd. Tokyo: Japan Publications Trading
Company, LTD.
67